Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
Transcript of Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
1/37
1
Teori Bilangan
1
FPB & ARITMATIKA MODULO
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
2/37
2
Bilangan Bulat
Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak
mempunyai pecahan desimal, misalnya 8,
21, 8765, -34, 0
Berlaanan dengan bilangan bulat adalah
bilangan riil yang mempunyai titik desimal,seperti 8!0, 34!25, 0!02!
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
3/37
3
Sifat Pembagian pada Bilangan Blat
"isalkan adan bbilangan bulat, a0!
a !abi" membagi b #a divides b$ %ika terdapatbilangan bulat c sedemikian sehingga b & ac!
'(tasi) a* b %ika b& ac, c#dan a0!
$onto! 1) 4 * 12 karena 12 ) 4 & 3 #bilangan bulat$atau 12 & 4 3! +etapi 4 * 13 karena 13 ) 4 & 3!25#bukan bilangan bulat$!
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
4/37
4
Teorema %lidean
Teorema 1 'Teorema %lidean()
"isalkan m dan n bilangan bulat, n 0!
ika m dibagi dengan n maka terdapatbilangan bulat unik q #quotient$ dan r
#remainder$, sedemikian sehingga
m& nq. r #1$dengan 0 r/ n!
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
5/37
5
$onto! *)#i$ 1877 & 20, sisa 47)
187 & 7 20 . 47
#ii$ 223 & 8, sisa 2)22 & 3#8$ . 2
tetapi 22 & 3#7$ 1 salah
karena r& 1 #syarat 0 r/ n)
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
6/37
6
Pembagi Ber"ama Terbe"ar 'FPB(
"isalkan adan bbilangan bulat tidak n(l!
embagi bersama terbesar #B greate"tommon di+i"or atau gcd$ dari a dan b adalah
bilangan bulat terbesar dsedemikian hingga d * a
dan d* b!
alam hal ini kita nyatakan baha B#a, b$ & d!
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
7/377
$onto! ,)
akt(r pembagi 45) 1, 3, 5, , 15, 45
akt(r pembagi 36) 1, 2, 3, 4, , 12, 18, 36akt(r pembagi bersama dari 45 dan 36
adalah 1, 3,
B#45, 36$ & !
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
8/378
Teorema *) "isalkan m dan n bilangan bulat,
dengan syarat n 0 sedemikian sehingga
m& nq. r , 0 r/ n
maka B#m, n$ & B#n, r$
$onto! ,) m& 60, n& 18,
60 & 18 3 . 6
maka B#60, 18$ & B#18, 6$ & 6
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
9/379
Algoritma %lidean
+u%uan) alg(ritma untuk mencari B dari
dua buah bilangan bulat!
enemu) uclid, se(rang matematikaan
unani yang menuliskan alg(ritmanya
tersebut dalam buku,Element!
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
10/3710
"isalkan mdan nadalah bilangan bulat tak negati9 dengan
mn! "isalkan r0& mdan r1& n!
:akukan secara berturut-turut pembagian untuk memper(leh
r0& r1q1. r2 0 r2/ r1,
r1& r2q2. r3 0 r3/ r2,
rn 2& rn1qn1 . rn 0 rn/ rn1,
rn1 & rnqn . 0
"enurut +e(rema 2,
BB#m, n$ & BB#r0, r1$ & BB#r1, r2$ & ; &BB#rn 2, rn 1$ & BB#rn 1, rn$ & BB#rn, 0$ & rn
adi, BB dari m dan n adalah sisa terakhir yang tidak n(l dari
runtunan pembagian tersebut
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
11/3711
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
12/3712
procedure Euclidean(input m, n : integer,
output PBB : integer)
{ Mencari PBB(m, n) dengan syarat m dan n bilangan tak-
negatif dan m n
Masukan: m dan n, m n dan m, n 0
Keluaran: PBB(m, n)}
Kamus
r : integer
Algoritma:
while n0 do
r m mod n
m n
n r
endwhile
{ n = 0, maka PBB(m,n) = m }
PBB m
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
13/3713
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
14/3714
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
15/3715
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
16/3716
>elati9 rima
ua buah bilangan bulat adan bdikatakan relatifprima%ika B#a, b$ & 1!
$onto! .)
#i$ 20 dan 3 relati9 prima sebab B#20, 3$ & 1!
#ii$ 7 dan 11 relati9 prima karena B#7, 11$ & 1!#iii$ 20 dan 5 tidak relati9 prima sebab B#20, 5$
& 5 1!
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
17/3717
ika adan brelati9 prima, maka terdapat bilangan
bulat mdan nsedemikian sehingga ma. nb & 1
$onto! /)Bilangan 20 dan 3 adalah relati9 prima
karena B#20, 3$ &1, atau dapat ditulis
2 ! 20 . #13$ ! 3 & 1 #m& 2, n& 13$
+etapi 20 dan 5 tidak relati9 prima karena B#20,
5$ & 5 1 sehingga 20 dan 5 tidak dapat
dinyatakan dalam m! 20 . n ! 5 & 1!
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
18/3718
Aritmeti-a Modlo
"isalkan adan mbilangan bulat #m 0$! ?perasi
am(d m#dibaca @am(dul( mA$
memberikan sisa %ika adibagi dengan m!
'(tasi) am(d m& r sedemikian sehingga
a& mq. r, dengan 0 r/ m!
m disebut modl" atau modlo, dan hasilaritmetika m(dul( m terletak di dalam himpunan0, 1, 2, ;, m 1C #mengapaD$!
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
19/3719
$onto! 0)Beberapa hasil (perasi dengan (perat(rm(dul()
#i$ 23 m(d 5 & 3 #23 & 5 4 . 3$
#ii$ 27 m(d 3 & 0 #27 & 3 . 0$
#iii$ 6 m(d 8 & 6 #6 & 8 0 . 6$
#iE$ 0 m(d 12 & 0 #0 & 12 0 . 0$
#E$ 41 m(d & 4 #41 & #5$ . 4$
#Ei$ 3 m(d 13 & 0 #3 & 13#3$ . 0$
Penjelasan untuk (v):
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
20/3720
Kongruen
"isalnya 38 m(d 5 & 3 dan 13 m(d 5 & 3, makadikatakan 38 13 #m(d 5$
#baca) 38 k(ngruen dengan 13 dalam m(dul( 5$!
"isalkan a dan b bilangan bulat dan m adalahbilangan 0, maka a b #m(d m$ %ika m habismembagi a b!
ika atidak k(ngruen dengan bdalam m(dulus m,maka ditulis a /b#m(d m$ !
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
21/3721
$onto! )
17 2 #m(d 3$ ( 3 habis membagi 1 ! " # 1$)
7 15 #m(d 11$
(11 habis membagi ! ! 1$ # !"")
12 2 #m(d 7$
( tidak habis membagi 1" ! " # 1% )
7 15 #m(d 3$
(3 tidak habis membagi ! ! 1$ # !"")
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
22/37
:atihan
+entukan sisa pembagian 7103(leh 10
22
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
23/37
Gisa pembagian 7103(leh 10 merupakan
bilangan satuan
"encari nilai satuan yang dimaksud dapat
menggunakan m(dul( 10
Gatuan dari 7103& 7103#"(d 10$
& #72$51H 71#"(d 10$
& #-1$51#"(d 10$ H 7 #"(d 10 $
& #-1$ #"(d 10$ H 7 # "(d 10 $& #-7$ #"(d 10$ & 3
adi sisa pembagian 7103(leh 10 adalah 3
23
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
24/37
24
ab#m(d m$ dapat dituliskan sebagai
a& b. km #kadalah bilangan bulat$
$onto! 12)
17 2 #m(d 3$ 17 & 2 . 5 3
7 15 #m(d 11$ 7 & 15 . #2$11
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
25/37
25
am(d m& r dapat %uga ditulis sebagai
a
r#m(d m$
$onto! 11)
#i$ 23 m(d 5 & 3 23 3 #m(d 5$
#ii$ 27 m(d 3 & 0 27 0 #m(d 3$
#iii$ 6 m(d 8 & 6 6 6 #m(d 8$
#iE$ 0 m(d 12 & 0 0 0 #m(d 12$
#E$ 41 m(d & 4 41 4 #m(d $
#Ei$ 3 m(d 13 & 0 3 0 #m(d 13$
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
26/37
26
Teorema 3) "isalkan madalah bilangan bulat
p(siti9!
1!ika a b #m(d m$ dan c adalah sembarangbilangan bulat maka
#i$ #a. c$ #b. c$ #m(d m$
#ii$ acbc #m(d m$#iii$ apbp#m(d m$ ,pbilaagn bulat tak-negati9
2! ika ab#m(d m$ dan cd#m(d m$, maka
#i$ #a. c$ #b. d$ #m(d m$
#ii$ acbd#m(d m$
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
27/37
27
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
28/37
28
$onto! 1*)
"isalkan 17 2 #m(d 3$ dan 10 4 #m(d 3$,
maka menurut +e(rema 4,
17 . 5 & 2 . 5 #m(d 3$ 22 & 7 #m(d 3$
17 ! 5 & 5 2 #m(d 3$ 85 & 10 #m(d 3$
17 . 10 & 2 . 4 #m(d 3$ 27 & 6 #m(d 3$
17 ! 10 & 2 4 #m(d 3$ 170 & 8 #m(d 3$
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
29/37
29
+e(rema 4 tidak memasukkan (perasi pembagian
pada aritmetika m(dul( karena %ika kedua ruas
dibagi dengan bilangan bulat, maka kek(ngruenantidak selalu dipenuhi!
=(nt(h)
10 4 #m(d 3$ dapat dibagi dengan 2
karena 102 & 5 dan 42 & 2, dan 5 2 #m(d 3$
14 8 #m(d 6$ tidak dapat dibagi dengan 2,karena 142 & 7 dan 82 & 4, tetapi 7 4 #m(d 6$!
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
30/37
30
Balikan Modulo (modulo invers)
i dalam aritmetika bilangan riil, inEersi#inverse$ dari perkalian adakah pembagian!
=(nt(h) InEersi 4 adalah 14,
sebab 4 14 & 1!
i dalam aritmetika m(dul(, masalahmenghitung inEersi m(dul( lebih sukar!
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
31/37
31
ika adan mrelati9 prima dan m 1, maka
kita balikan #invers$ dari am(dul( mada!
Balikan dari am(dul( madalah bilangan
bulat sedemikian sehingga
a1 #m(d m$
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
32/37
32
Bukti) a dan m relati9 prima, %adi B#a, m$ & 1, danterdapat bilangan bulatpdan qsedemikian sehingga
pa. qm& 1
yang mengimplikasikan baha
pa. qm1 #m(d m$
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
33/37
33
embuktian di atas %uga menceritakan
baha untuk mencari balikan dari am(dul(
m, kita harus membuat k(mbinasi linier dariadan msama dengan 1!
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
34/37
34
$onto! 1,)+entukan balikan dari 4 #m(d $, 17 #m(d 7$,
dan 18 #m(d 10$!
enyelesaian)#a$
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
35/37
35
=atatan) setiap bilangan yang k(ngruen dengan 2
m(dul( %uga adalah inEersi dari 4, misalnya 7,
11, 16, dan seterusnya, karena
7 2 #mod$ # habis membagi 7 #2$ & $
11 2 #mod$ # habis membagi 11 #2$ & $
16 2 #mod$ # habis membagi 16 #2$ & 18$
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
36/37
36
-
7/24/2019 Logika - Fpb & Aritmatika Modulo 2015
37/37
#c$