KALKULUS PERNYATAAN DAN KEABSAHAN

A. Mengingat Kembali

Ingatlah kembali beberapa tautologi yang pernah dipelajari pada Bab IV.

1. Aturan Detasemen/ Modus Ponendo Ponens

𝑝 ∧ 𝑝 ⟹ 𝑞 ⟹ 𝑞

2. Modus Tolendo Tollens

−𝑞 ∧ 𝑝 ⟹ 𝑞 ⟹ −𝑝

3. Modus Tollendo Ponens

𝑝 ∨ 𝑞 ∧ −𝑝 ⟹ 𝑞

4. Aturan Penyederhanaan

𝑝 ∧ 𝑞 ⟹ 𝑝

𝑝 ∧ 𝑞 ⟹ 𝑞

5. Aturan Hipotetik Silogisme

𝑝 ⟹ 𝑞 ∧ 𝑞 ⟹ 𝑟 ⟹ 𝑝 ⟹ 𝑟

6. Aturan Eksportasi

𝑝 ∧ 𝑞 ⟹ 𝑟 ⟹ 𝑝 ⟹ 𝑞 ⟹ 𝑟

7. Aturan Importasi

𝑝 ⟹ 𝑞 ⟹ 𝑟 ⟹ 𝑝 ∧ 𝑞 ⟹ 𝑟

8. Aturan De-Morgan

i. − 𝑝 ∧ 𝑞 ⟹ −𝑝 ∨ −𝑞

ii. − 𝑝 ∨ 𝑞 ⟹ −𝑝 ∧ −𝑞

Dan perhatikan pula tautologi-tautologi yang lainnya.

B. Penurunan Kesimpulan dalam Argumen dan Keabsahan

Dalam penurunan kesimpulan ini ditentukan suatu himpunan pernyataan

tunggal atau pernyataan majemuk yang semuanya bernilai benar. Hasil

perangkaian pernyataan-pernyataan tersebut dengan aturan yang berlaku akan

menghasilkan pernyataan yang benar pula. Pernyataan hasil penurunan tersebut

dinamakan kesimpulan atau konklusi. Sedangkan pernyataan tunggal atau

majemuk yang dirangkai itu masing-masing dinamakan premis.

Contoh:

1. a: Jika Andi belajar giat maka ia lulus ujian

b: Andi belajar giat

dari kedua premis tersebut dapat diturunkan pernyataan baru yaitu Andi

lulus ujian.

Penurunan ini dapat disimbolkan dengan

1. 𝑝 ⟹ 𝑞 (premis)

2. 𝑝 (premis)

𝑞 (kesimpulan)

Penurunan tersebut dapat dituliskan dengan

𝑝 ⟹ 𝑞; 𝑝 ⊨ 𝑞

𝑝 ⟹ 𝑞 ∧ 𝑝 ⟹ 𝑞

Penarikan kesimpulan ini menggunakan aturan modus ponendo ponen

2. a: Jika Andi belajar giat maka ia lulus ujian

b: Andi tidak lulus ujian

dari kedua premis tersebut dapat diturunkan pernyataan baru yaitu Andi

tidak rajin belajar.

Penurunan ini dapat disimbolkan dengan

1. 𝑝 ⟹ 𝑞 (premis)

2. −𝑞 (premis)

−𝑝 (kesimpulan)

Penurunan tersebut dapat dituliskan dengan

𝑝 ⟹ 𝑞; −𝑞 ⊨ −𝑝

Penarikan kesimpulan ini menggunakan aturan modus tolendo tollens

3. a: Langit mendung atau Rudi berangkat kuliah

b: Langit tidak mendung

tentukan kesimpulan dan penulisan simbol secara ringkasnya.

4. Tentukan keabsahan argumen berikut

a. 𝑝 ∧ 𝑟 ∧ 𝑞 ∧ 𝑝 ⟹ −𝑟 ⟹ −𝑞

b. 𝑝 ⟹ 𝑞 ∨ 𝑟 ∧ 𝑞 ⟹ −𝑝 ∧ 𝑠 ⟹ −𝑟 ∧ 𝑝 ⟹ −𝑠

c. 𝑎 ⟹ 𝑏; 𝑐 ⟹ 𝑏; 𝑑 ⟹ 𝑎 ∧ 𝑐; 𝑑 ⊨ 𝑏

d. 𝑝 ⟹ −𝑞; −𝑞 ⟹ −𝑟; 𝑠 ∧ 𝑟 ⊨ −𝑝

e. ℎ ∧ 𝑎 ⟹ 𝑏; 𝑏 ⟹ −𝑝; 𝑎 ∧ 𝑝 ⊨ −ℎ

f. 𝑎 ⟹ 𝑏; − 𝑏 ∨ 𝑐 ⊨ −𝑎

Untuk menyingkat penulisan pernyataan-pernyataan majemuk diberi simbol

dengan huruf kapital.

Teorema 1.

I) 𝐴 ⊨ 𝑄 suatu argumen yang absah jika dan hanya jika 𝐴 ⟹ 𝑄 suatu tautologi.

II) 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … , 𝐴𝑚 ⊨ 𝑄 suatu argumen yang absah jika dan hanya jika

𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … , 𝐴𝑚 ⟹ 𝑄 suatu tautologi.

Teorema 2.

𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … , 𝐴𝑚−1, 𝐴𝑚 ⊨ 𝑄 suatu argumen yang absah jika dan hanya jika

𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … , 𝐴𝑚−1 ⊨ 𝐴𝑚 ⟹ 𝑄 argumen yang absah.

Teorema 3.

I) 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … , 𝐴𝑚 ⊨ 𝐴𝑖 untuk i=1,2,3,....,m adalah suatu argumen yang absah

II) Jika 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … , 𝐴𝑚 ⊨ 𝑄𝑗 untuk j=1,2,3,....,p dan 𝑄1, 𝑄2, 𝑄3, … , 𝑄𝑝 ⊨ 𝐶,

maka 𝐴1, 𝐴2 , 𝐴3, … , 𝐴𝑚 ⊨ 𝐶 adalah suatu argumen yang absah.

Cp: the rule of conditional proof

Soal:

Konstruksikan penurunan kesimpulan dalam argumen berikut

1. Jika Agus juara ketiga (p), maka jika Budi juara kedua (q) maka Ceri akan

menjadi juara keempat (r). Dedi tidak akan menjadi juara pertama (s) atau

Agus akan menjadi juara ketiga (p). Kenyataan, Budi juara kedua (q).

Kesimpulan: Jika Dedi juara pertama (-s) maka Ceri akan menjadi juara

keempat (r).

𝑝 ⟹ 𝑞 ⟹ 𝑟 , 𝑠 ∨ 𝑝, 𝑞 ⊨ −𝑠 ⟹ 𝑟

2. Jika harga barang di toko itu rendah (a), maka banyak pembelinya (b).

Toko itu terletak di tengah pemukiman penduduk (c) atau tidak banyak

pembelinya (-b). Toko itu tidak terletak di tengah pemukiman penduduk

(-c). Kesimpulannya: harga barang di toko itu tidak rendah (-a).

3. Jika orang lulus ujian saringan, maka ia diterima di Universitas. Jika

orang menjadi mahasiswa, maka ia wajib membayar SPP. Apabila orang

tidak lulus ujian saringan, maka ia tidak wajib membayar SPP.

Kesimpulan: jika orang menjadi mahasiswa, maka ia diterima di

Universitas.

4. 𝑎 ∨ 𝑒;𝑎 ⟹ 𝑐; 𝑒 ⟹ 𝑑 ⊨ 𝑐 ∨ 𝑑

5. −𝑎 ∨ 𝑏; 𝑐 ⟹ −𝑏 ⊨ −𝑎 ∨ −𝑐

6. 𝑎 ⟹ 𝑐 ⟹ 𝑏 ;−𝑑 ∨ 𝑎; 𝑐 ⊨ 𝑑 ⟹ 𝑏

7. 𝑝 ⟹ − 𝑞 ∧ 𝑟 ;−𝑞 ∨ −𝑟 ⟹ −𝑠; 𝑡 ∨ 𝑠 ⊨ −𝑝 ∨ 𝑡

8. 𝑎 ⟹ 𝑏 ∨ 𝑐; 𝑏 ⟹ −𝑎; 𝑑 ⟹ −𝑐 ⊨ 𝑎 ⟹ −𝑑

9. 𝑎 ⟹ 𝑏 ∧ 𝑐 ⟹ 𝑑 ; 𝑏 ⟹ 𝑒 ∧ 𝑑 ⟹ 𝑓 ;− 𝑒 ∧ 𝑓 ; 𝑎 ⟹ 𝑐 ⊨ −𝑎