Life annuity
Click here to load reader
-
Upload
astrid-alfira -
Category
Education
-
view
74 -
download
1
Transcript of Life annuity
LIFE ANNUITY, LIFE INSURANCE AND NET PREMIUM
(Dosen : Azwir Arifin , Msc , FSAI , AAAIJ)
BAB III
LIFE ANNUITY
3.1 ANNUITY CERTAIN DAN LIFE ANNUITY
Pada Bab pembungaan telah kita kenal berbagai jenis pembayaran
berkala yang tidak ada kaitannya dengan hidup atau matinya
seseorang.
Pembayaran berkala tersebut kita namakan Annuity Certain.
Dalam Bab ini akan kita bahas “Life Annuity” yaitu pembayaran
berkalan yang pembayarannya dikaitkan dengan hidup atau matinya
seseorang.
Pada dasarnya jenis dan hubunngan life annuity ini serupa dengan
annuity certain yang telah diuraikan pada bab Pembungaan, dilihat
dari saat dan jangka waktu pembayarannya adalah sebagai berikut :
1). Annuity Due, Jika pembayaran dilakukan pada tiap awal
periode.
2). Annuity Forborne, Jika pembayarannya ditunda selama
jangka waktu tertentu.
1). Immediate Annuities, Jika pembayaran pertam adilakukan
segera.
2). Deferred Annuities, Jika pembayarannya ditunda selama
jangka waktu tertentu.
1). Limited Annuity (Temporary Annuities), Jika
pembayarannya dilakukan maksimum sampai batas waktu
tertentu.
2). Perpetuel Annuity (Whole Life Annuities), Jika
pembayarannya dilakukan selama hidup.
3.2 PURE ENDOWMENTS
Dalam teori kemungkinan, apabila adalah merupakan kemungkinan
seseorang untuk mendapatkan suatu pembayaran tertentu seharga ,
maka hasil perkalian dan yaitu disebut harapannya
(expectation). Sekarang jika pembayaran tersebut ditunda selama
tahun, maka Nilai Awal dari harapannya tersebut adalah
dimana adalah factor diskonto dengan suatu dasar bunga tertentu.
NILAI AWAL tahun
Kalau kita anggap bahwa akan menerima pembayaran
seharga pada akhir tahun jika dia hidup sampai saat tersebut,
maka situasi ini adalah sama dengan situasi tersebut diatas, hanya
dalam hal ini kemungkinan untuk mendapatkan tersebut adalah
kemungkinan hidup selama tahun, yaitu . Dengan demikian
Nilai Awal adalah .
Jenis pembayaran ditunda ini disebut tahun-pure endowment sebesar
.
Nilai Awal pada usia dari suatu tahun. Pure endowment sebesar 1,
symbol-nya ditulis , sehingga :
. ……………………………………. (3.1).
Nilainya dapat dihitung langsung dengan menggunakan daftar
mortalita dan daftar bunga.
Meskipun demikian dalam praktek agar perhitungan lebih mudah
dilaksanakan, lazimnya digunakan Commutation Coloumn yang
menunjukkan angka-angka sebagai hasil gabungan unsure mortalita
dan bunga. Untuk lebih jelasnya dapat diikuti uraian berikut ini.
Dari persamaan :
Jika ruang kanan kita kalikan dengan (nilainya =1) akan didapat
persamaan baru :
Commutation Symbol atau nilai pengganti untuk adalah ,
maka
= …………………………………………………………………….. (3.2)
Selanjutnya dapat kita tulis ………………………… (3.3)
Contoh Soal :
1. Berapa Nilai Awal dari uang sebesar $ 5.000,- yang akan diterima
seseorang yang sekarang berusia 20 tahun jika ybs. Hidup pada
usia 40 tahun. Dasar bunga adalah 3%, Daftar Mortalita yang
digunakan adalah 1958 CSP Table.
Diberikan : (1+0,03)20 = 1,8061.1123
1958 CSO Table 120 = 9.664.994
140 = 9.241.239
Perhitungan :
n – 20 tahun $.
5.000,-
x= 20 tahun x=40 tahun
5000. 20E20 =
=
Nilai Awal = US$ 2.647,00
2. Apabila , berapa Nilai Awal dari 15 tahun Pure
Endowment sebesar $.1.000,- bagi orang yang berusia 36 tahun
jika dasar bunga adalah 3%.
Diketahui bahwa v15 untuk adalah 0.6418.6195
Perhitungan :
Nilai Awal $.1.000,-
X = 36 n=15 tahun
x=51 thn
Nilai Awal = US$ 561,63
3.3 LIFE ANNUITIES DENGAN PEMBAYARAN TAHUNAN
Suatu pembayaran berkala yang dilakukan tiap tahun terus menerus
selama hidup dinamakan Whole Life Annuity. Jika pembayarannya
dilakukan tiap akhir tahun sebesar 1, maka Nilai Awal dari Whole Life
Annuity tersebut dinyatakan dengan Symbol : .
Nilai Awal dari Whole Life Annuity ini tidak lain adalah merupakan
jumlah Nilai Awal dari Pure Endowment ( dimulai sampai
dengan
Untuk lebih jelasnya dapat digambarkan sebagai berikut :
Dengan demikian maka :
………………………………………+
…………………………………………………………………… (3.4)
Menurut persamaan (3.3) :
Maka dapat dinyatakan pula dengan :
………………………………………………………………
(3.5)
Untuk memudahkan perhitungan sebagaimana halnya dengan
yang dinyatakan dengan Commutation Symbol , maka untuk :
atau juga dinyatakan
dengan Commutation Symbol tertentu, yaitu
Dengan demikian,
…………………………………………………
(3.6)
Dengan memasukkan persamaan (3.6) kedalam persamaan (3.5)
didapat persamaan :
(3.6)
(3.5)
………………………………………………………………………
(3.7)
Dari uraian diatas terlihat jelas bahwa dengan adanya Commutations
Symbol dan perhitungan Life Annuities dapat lebih dipermudah,
misalnya untuk menghitung Nilai Awal Whole Life Annuity tdak usah
menggunakan rumus :
Tetapi menggunakan rumus (3.7) yang lebih sederhana.
Commutation Symbol dan tersebut disusun dalam bentuk table
menurut usia dimulai dari 0 sampai yang tertua.
Untuk menyusun tabel tersebut digunakan rumus dimana
diambil dari Daftar Bunga dan dari Daftar Mortalita.
Untuk menyusun tabel diturunkan rumus :
…………………………………………(3.8)
Sebagai contoh dibawah ini digambarkan cara penyusunan tabel
dan untuk 1958 C.S.O Table dengan
X 1x Vx Dx=vx.1x Nx=Nx+1+Dx
0
1
2
3
4
5
.
.
.
95
96
97
98
99
10.000.000
9.929.200
9.911.725
9.896.659
9.882.210
9.868.375
97.165
63.037
37.787
19.331
6.415
1,0000.0000
0,9708.7379
0,9425.9591
0,9151.4166
0,8884.8705
0,8626.0878
0,0603.2032
0,0585.6342
0,0568.5769
0,0552.0164
0,0535.9383
10.000.000,0
9.640.000,0
9.342.751,4
9.056.844,9
8.780.215,6
8.512.546,9
5.861,0
3.691,7
2.148,5
1.067,1
343,8
288.963.016,7
278.963.016,7
269.323.016,7
259.980.265,3
250.923.420,4
242.143.204,8
12.112,1
7.251,1
3.559,4
1.410,9
343,8
Dalam penyusunan Tabel dengan menggunakan rumus
diatas, dapat dimulai dari usia muda ke usia tinggi ataupun sebaliknya,
tetapi untuk penyusunan Tabel dengan rumus
haruslah dimulai dari usia tua ke usia muda.
Contoh soal :
1. Nyatakan dengan 1 dan v
Penyelesaian :
2. Seseorang yang berusia 95 tahun mempunyai uang kontan
sekarang sebesar Rp. 1.000.000,-. Berapa dia akan mendapat
pembayaran tiap akhir tahun selama dia hidup jika uang tersebut
dibelikan Whole Life Annuity (gunakan tabel tersebut diatas).
Perhitungan :
Rp. 1.000.000,-
3. Buktikan :
Bukti :
(-)
Bentuk kedua dari Life Annuity adalah Temporary Life Annuity, yaitu
Whole Life Annuity yang pembayarannya terbatas maximum selama
jangka waktu tertentu. Dengan demikian, dapat pula kita katakana
bahwa suatu pembayarn berkala tahunan selama n tahun jika tetap
hidup adalah n-tahun Temporary Life Annuity.
Jika pembayaran tiap akhir tahun dan besarnya tiap pembayaran
adalah 1, maka Nilai Awalnya dinyatakan dengan Symbol :
Untuk mengetahui rumus dapat dilihat gambaran dibawah ini.
……………………………………………………………………………
…..(3.9)
Dengan menggunakan rumus
Maka : =
Kita lihat sekarang persamaan-persamaan sebagai berikut :
(-)
Rumus (3.10) =
=
Dengan dimasukkan persamaan diatas, akan didapat :
=
= ……………………………..(3.10)
Contoh soal :
Buktikan : = + .
Bukti = + .
= + .
= +
=
=
3. Nilai Awal pada usia 30 tahun dari 5 tahun Temporary Life Annuity
Forborne adalah sebesar Rp. 500.000,-
Nyatakan pembayarn tiap akhir tahun tersebut dengan
Commutation Symbol D.
Perhitungan :
Pembayaran tiap akhir tahun =
Bentuk ketiga dari Life Annuity adalah n-tahun deferred life annuity.
Ini adalah suatu Life Annuity yang pembayaran pertamanya
ditangguhkan n tahun. Dengan demikian suatu n-tahun Deferred
Life Annuity untuk (x) yang pembayarannya akhir tahunan,
pembayaran pertamanya akan dilakukan pada usia .
Nilai Awalnya dinyatakan dengan Symbol , gambarannya
adalah :
=
=
………………………………………………………………(3.11)
Rumus (3.11) tersebut dapat dinyatakan pula dalam Commutation
Symbol.
=
=
=
Sedangkan,
Maka, …………………………………………………………….
(3.12)
Kalau diperhatikan ternyata bahwa n-tahun deferred life annuity
merupakan selisih antara Whole Life Annuity dan n-tahun
Temporary Life Annuity, hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut :
- =
= ……………………………………………………………
(3.13)
Lebih lanjut dapat dibuktikan pula bahwa n-tahun deferred life
annuity adalah merupakan nilai awal dari n-tahun Pure Endowment
sebesar , atau dapat pula disebut sebagai Nilai Awal dari
pada usia (x); Pembuktiannya dapat diperhatikan uraian dibawah
ini :
= ………………………………………………………
(3.14)
Suatu deretan pembayaran akhir tahunan pada (x) yang akan
dimulai pada usia x+n+1 dan berlangsung selama m tahun jika x
masih hidup disebut n-tahun deferred m-tahun Temporary Life
Annuity.
Nilai Awalnya dinyatakan dengan Symbol :
=
……………………………………………………………………..(3.15)
Selanjutnya dapat kita tulis,
=
(-)
-
…………………………………….
(3.16)
Contoh Soal :
Seseorang yang pada saat ini berusia 30 tahun, mendapat
pembayaran sebesar Rp. 1.000,- tiap akhir tahun, pembayaran
pertama dimulai pada saat dia berusia 35 tahun. Lamanya
pembayaran adalah 15 tahun jika dia masih hidup pada saat itu.
Berapa Nilai Awal pembayaran tersebut pada saat ini?
Nyatakan jawabannya dalam Commutation Symbol D dan N.
Perhitungan :
N=4 thn m=15 thn 1000,-
1000,-1000,-………..
30 34 35 49
x = 30 )
n = 4 )
m = 15 )
P = Rp. 1.000,- )
Whole Life Annuity, Temporary Life Annuity dan Deferred Life
Annuity yang telah diuraikan diatas adalah “ Life Annuity Forborne”
yaitu yang pembayarannya dilakukan tiap akhir tahun, Nilai
Awalnya dinyatakan dengan symbol :
Berikut ini akan kita bahas Life Annuity yang pembayarannya
dilakukan tiap awal tahun yaitu Life Annuity Due. Nilai Awalnya
lazim ditulis : .
Untuk jelasnya dapat digambarkan sebagai berikut :
………………………………………………………………..
(3.17)
Selanjutnya dari (3.17) dapat diuraikan,
=
…………………………………………………………..
(3.18)
Nilai Awal n-tahun Temporary Life Annuity Due :
…………………………………………………………….(3.19)
(-)
-
………………………………………………………..(3.20)
Nilai Awal n-tahun Deferred Life Annuity Due :
=
=
…………………………………………………………(3.21)
=
= …………………………………………..
(3.22)
Nilai Awal n-tahun Deferred m-tahun Temporary Life Annuity Due :
=
=
………………………………………………………………(3.23)
Kita lihat,
(-)
……………………………………………………..
(3.24)
Contoh soal :
Buktikan :
1.
2.
3.
4.
Bukti :
1.
2.
3.
4.
=
LIFE ANNUITY DENGAN INSTALLMENTS (Pembayarannya lebih dari
satu kali tiap tahun)
Dalam praktek sering kali pembayaran berkala dilakukan tiap
setengah tahunan, kwartalan dan bulanan.
Selanjutnya dapat kita cari Nilai Awal pada usia x dari Whole Life
Annuity sebesar 1 yang akan diangsur m kali tiap tahun. Jika
suatu pembayaran sebesar akan dilakukan tiap tahun
kepada x sepanjang yang bersangkutan hidup dan pembayaran
pertama dimulai pada usia , maka Nilai Awalnya ditulis
dengan Symbol : , rumusnya dapat kita turunkan sebagai
berikut :
=
=
Batas tertinggi lazimnya ditulis sebagai suatu batas
tertinggi dari fungsi hidup.
Dengan demikian maka,
= …………………………………………………….
(3.25)
Selanjutnya dapat diuraikan,
=
=
………………………………………………(3.26)
Dari rumus diatas kita ambil potongan tahun ke , maka akan
didapat Commutation Function
Apabila Commutation Function tersebut kita anggap sebagai
fungsi linier, maka dengan interpolasi linier akan didapat
gambaran perhitungan seperti dibawah ini :
Dari gambar diatas dapat dilihat,
Dimana,
Maka,
Identik dengan perhitungan ini akan didapt pula nilai dst.
Selanjutnya ,
(+)
Jumlah
Apabila kita ambil t=0,1,2………………………pada persamaan diatas
dan kita tulis kembali persamaan,
Akan didapat,
=
………………………………………………………………..
(3.27)
Nilai Awal dari n-tahun Deferred Life Annuity Forborne sebesar 1, yang
pembayarannya dangsur m kali setahun, symbol ditulis : .
Rumusnya dapat diturunkan dengan menggunakan persamaan,
Yang identik pula dengan,
…………………………………………………..
(3.28)
Dengan demikian maka,
…………………………………..(3.29)
Demikian pula Nilai Awal dari n-tahun Temporary Life Annuity Forborne
sebesar 1, yang pembayarannya diangsur m kali setahun, dapat
diturunkan dengan menggunakkan persamaan,
Yang identik dengan,
………………………………………………
(3.30)
Maka Nilai Awalnya adalah,
=
…………………………..(3.31)
Untuk mengetahui Nilai Awal dari n-tahun Whole Life Annuity Due
sebesar1,
Yang pembayarannya diangsur m kali tiap tahun dapat kita uraikan
sebagai berikut :
Nilai Awal ………………………………..(3.32)
t=0 menunjukkan bahwa pembayaran sebesar 1/m telah dilakukan
pada awal periode yaitu pada usia x, maka
…………………………………………………….
(3.33)
………………………………………………………..(3.34)
maka
………………………………………………………(3.35)
Kita ketahui bahwa,
Maka,
………………………………………………………..(3.36)
Selanjutnya n-tahun Deferred Life Annuity Due sebesar 1, yang
pembayarannya diangsur m kali tiap tahun, Nilai Awalnya dinyatakan
dengan . Nilai Awal ini dapat kita hitung dengan menggunakkan
rumus :
Yang identik dengan
Maka,
………………………………………………..
(3.37)
Nilai Awal n-tahun Temporary Life Annuity Due sebesar 1, yang
pembayarannya diangsur m kali setahun, symbolnya ditulis .
Dengan menggunakkan rumus,
Yang identik dengan,
Maka,
………………………………………
(3.38)
Rumus-rumus diatas dapat pula dinyatakan dalam D dan N seperti
dibawah ini :
Life Annuity Forborne.
………………………………………………………(3.39)
……………………………………………….(3.40)
……………………………(3.41)
Life Annuity Due
………………………………………………………(3.42)
………………………………………………..(3.43)
……………………………..(3.44)
Contoh Soal :
1. Hitung Nilai Awal suatu Life Annuity yang pembayarannya
sebesar Rp. 500,- tiap akhir 3 bulan selama A yang sekarang
berusia 50 tahun masih hidup. Nyatakan dalam N dan D.
Perhitungan : x=50 tahun; m=4; P= Rp. 500,- x 4= Rp.
2.000,-
Nilai Awal
2. Nyatakan dengan D dan N, Nilai Awal suatu Annuity sebesar
Rp. 10,- tiap akhir bulan untuk usia 30, pembayaran pertama
pada usia 40 dan pembayaran dilakukan bulanan selama 10
tahun.
Perhitungan :
30 40 41 50
10 10
120
Nilai Awal
Variable Annuity
Suatu pembayaran berkala yang berubah jumlah pembayarannya
selama masa pembayaran disebut Variable Annuity.
Suatu pembayaran berkala akhir tahunan dimana pembayaran
pertamanya adalah 1 dan bertambah dengan 1 tiap tahun pada
tahun berikutnya sepanjang (x) hidup, yaitu 1 untuk usia x+1, 2
untuk usia x+2, 3 untuk usia x+3 dst………, disebut Increasing
Life Annuity Forborne.
Nilai Awalnya ditulis dengan Symbol :
Gambarnya adalah sebagai berikut :
Jenis lain dari Increasing Life Annuity, adalah suatu pembayaran
berkala yang jumlah tiap pembayarannya bertambah 1 selama n
tahun pertama, tetapi setelah masa n tahun tersebut dilewati,
jumlah tiap pembayaran adalah masa yaitu n-tiap tahun.
Jika pembayarannya dilakukan akhir tahunan selama x hidup,
maka Nilai Awalnya adalah :
Dengan jelas dapat kita lihat bahwa :
……………………………………………
.(3.50)
Kalau kita uraikan lebih lanjut maka,
………………………………………………………..
(3.51)
Nilai Awal suatu pembayaran berkala akhir tahunan yang jumlah
pembayaran pertamanya adalah n, tetapi menurun sebesar 1 tiap
tahun sampai akhir tahun ke-n jika x hidup, symbolnya adalah :
= ………………………………………
(3.52)
Contoh soal :
Carilah Nilai Awal dari :
1. Increasing Life Annuity Due
2. n-tahun Temporary Increasing Life Annuity Due
3. Pembayaran berkala Awal Tahunan yang jumlah pembayarannya
bertambah 1 selama n tahun pertama, tetapi setelah masa n tahun
jumlah pembayarannya adalh n tiap tahun.
Catatan : Halaman ini adalah tambahan untuk halaman 22,
sebelum Contoh Soal.
Nilai Awal Whole Life Annuity Forborne untuk (x) dalam mana jumlah
pembayaran pertama adalah n, dan berkurang dengan 1 tiap tahun
sampai mencapai 1, dan setelah itu pembayaran berkala berlangsung
dengan jumlah sebesar 1 tiap tahun, Nilai Awalnya adalah
Kita dapatkan bahwa,
……………………………………………..(3.53)
Selanjutnya dari (3.53) kita peroleh,
…………………………………..
(3.54)
4. n-tahun Temporary Decreasing Life Annuity Due
5. Whole Life Annuity Due untuk (x) dalam mana jumlah pembayaran
pertama adalah n, dan berkurang dengan 1 tiap tahun sampai
mencapai 1, dan setelah itu pembayaran berkala berlangsung
dengan jumlah sebesar 1 tiap tahun. .
Dan nyatakan dalam Commutation Symbol D,N dan S.
JAWABAN
1.
2.
3.
4.
5.
SOAL-SOAL LIFE ANNUITY
1. Buktikan bahwa :
Bukti :
2. Buktikan bahwa :
Bukti :
3. Buktikan bahwa :
4. Buktikan bahwa :
Bukti :
+
===================
5. Tulis Symbol Nilai Awal dari Life Annuity dibawah ini :
a. Nilai Awal pada usia 35 dari Annuity sebesar 1 per annum,
pembayaran pertama pada usia 42.
b. Nilai Awal pada usia 35 dari 15 tahun temporary life annuity
due sebesar 10 tiap bulan.
c. Nilai Awal pada usia 40 dari Life Annuity sebesar 1 yang akan
dibayarkan tiap 6 bulan, pembayaran pertama pada akhir 3
bulan.
Jawaban :
a.
b.
c.
6. Hitung Nilai awal dari suatu pembayaran pada usia 34 sebesar Rp.
100,- tiap tahun selama 26 tahun, dan selanjutnya sebesar Rp.
200,- tiap tahun selama 4 tahun, pembayaran pertama dilakukan
akhir tahun.
Nyatakan dalam Commutation Symbol
Jawaban :
34 60 61 64
100 100 200
26 4
Nilai Awal :
7. Seseorang yang berusia 30tahun akan menerima Rp. 10.000,-
apabila dia hidup sampai usia 40 tahun. Dia ingin menukar
pembayaran tersebut dengan life Annuity yang dimulai pada usia
65. Nyatakan dalam Commutation Symbol jumlah yang akan dia
terima tiap tahun dari Life Annuity tersebut.
Jawaban
8. Nyatakan dalam Commutation Symbol Nilai Awal pada usia x dari
25 pembayaran berkala dimulai pada usiax sebesar 1 dan
bertambah tiap tahun sebesar 0,1 selama 5 tahun, pembayaran
keenam dan seterusnya adalah sama.
Jawaban :
X x+1 x+5 x+6 x+24
1 1 1 1 1
0,1………………………………… 0,5 0,5
0,5
1
Nilai Awal