Libro de Analisis Ing. Genaro

7/26/2019 Libro de Analisis Ing. Genaro

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ANLISIS ESTRUCTURAL I

Mg. Ing. Genaro Delgado Con treras

ANLISIS

ESTRUCTURAL I

MG. ING. GENARO DELGADO CONTRERAS

OCTUBRE 2014

A MI HIJA MARA ELENA,

CON TODO CARIO


2/267



Esta obra est dedicada a mis queridos alumnos de la escuela de Ingeniera Civil de la

UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO- SEDE PRINCIPAL TRUJILLO que gracias a su

entusiasmo y perseverancia hicieron posible esta gran obra maestra la cual presentare a

continuacin.


3/267



1. Calcular ?

2 0

0 400

400202 4000

400202 23 20

1600003


4/267



2. Calcular ?

2 0 500

1 0

200

2 5 125


5/267



500

1525

300200 1020 100

300 10 200102 100102 10010 125 52 116252


6/267



16 16 8

FLECHA MAXIMA

. . 12 4 2 23 2

. 348

2 2

4

4


7/267



3. Calcular , ,

DMF:

Deformada:

. 12 23 3

0


8/267



12 2

22


9/267



Ejemplo 3: Calcular ,

= 0 = 0

Barra 1-2Barra 2-3

0


10/267



2

3 2 2 23

3 3 2

43 Calculo del

* Por lo tanto: Calculo del

2

2

2 3

2


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EJEMPLO 4:

Calcular reacciones de las siguiente figura, , , , y flecha cuando 3

DMF POR PARTES:

DEFORMADA:


12/267



ECUACIN DE MOMENTO POR PARTES:

REACCION:

4 4(

CARGA AUMENTADA:

3 CARGA FICTICIA:

MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO:

4 : . 0 4 42 124 4 13 4 13 2 4

13 9

2 3 14 3

0 8 323 24 278 0 8 . (1)0 8 .. (1)Calculo de 0 4 12 4 4 13 13 92 3

0 4 8

6 9

2


13/267



0 4 8 . (2)0 4 8 . (2)Ecuaciones (1) y (2)

8 323

103

4 8 133 28 323 103 8 16 263

163 163

Reemplazando 3 en 2

4 8 133

4 8 133

2 1312 1112


14/267



Regresando a la imagen General

Calculo de la Flecha cuando 3 , (trabajamos de Derecha a Izquierda)

1112

11

12

0 0 2 0 422 4 4 1112

1112


15/267



Calculo de la Flecha cuando 3 , (trabajamos de Derecha a Izquierda) 1112

1112

1112

1112

1112

/ / 12 3 1112 2/ 1

6 11

24

/ 724


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EJEMPLO 5:Para el prtico Mostrado. Calcular el Desplazamiento en 2

/ / / /

/ / / /

PL3 1L PL3EI

Calculo de Reacciones

0 0

/

/


17/267



H T L

H PL3EI PL3EI L

EJEMPLO 6:Para el prtico mostrado calcular el H2 y el H4


18/267



t1/2 =

t3/2 =

2 = / 2 =

H2 = t1/2 +2 (L)

H2 = + H2 = Calculo del H4


19/267



EI t2/3 = (rea DMF)23 X2 3 =/

EI t2/3 =

(PL) (L) (

) 3 =

x

EI t2/3 = 3 = t2/3=

H4= H2+

3L

H4= + H4=

+

H4=


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EJEMPLO 7:Calcular el H3 y el 3

EI 13= (rea DMF)13

EI 13 =

2

+

-

2-

2

EI 13 = 2+ - - 13 =


21/267



EI tc/a= (rea DMF)31 X3

EI tc/a= 2

+

-

2-

2

EI tc/a = tc/a =

EJEMPLO 7:Calcular el v3 y el 3

-


22/267



EI t3/2 = (rea DMF)23 X3

EI t3/2 = 2 2 2 ) EI t3/2 = 2 t3/2 =

= v3

EI 13= (rea DMF)13

EI 13 = 22

EI 13=

13 =

= 3


23/267



EJEMPLO 8: calcular AB

1. Clculo de reacciones:

A = 0(RB) (3) - (300) (2) (2) = 0RB= 400 N

C = 0(300) (2) (1)RA (3) = 0RA = 200 N

2. Clculo de momentos:

M = 200x

M(0) = 0 M(3) = 600


24/267



M= -300x2 / 2

DMF

DEFORMADA

Calculo de A = tC/A/3

EI tC/A = (rea DMF)CA Xc

EI tC/A =(600)(3)(3) - (600)(2) ()

EI tC/A = 900-200

tC/A =

M(x=0) = 0 M(x=2) = -600


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A= /

Clculo B = tA/C/3

EI tA/C = (rea DMF)AC XA

EI tA/C =(600)(2)(3) - (600)(2) (1+(2))

EI tA/C =1200-1000

B = tA/C/3

EJEMPLO 9:Calcular giros

1. Clculos de reacciones: A = 0RB (6) =

(600) (3) (4)

A=

TA/C =

A=

RB= 600 RA= 300


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2. Clculo de momentos:

M = 300x

= h = 200x

M= -100x2(x/3)

Trabajamos de derecha a izquierda:

M= 600x

M(x=0) = 0 M(x=5) =1500

M(x=0) = 0 M(x=3) = -900

M(x=0) = 0 M(x=1) = 600


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DMF

DEFORMADA

Calculo de tD/AEI tD/A = (rea DMF)DA XD

EI tD/A =(1500)(5)(1+5)+ (600)(1) (1)-(900)(3)(1+3)

EI tD/A = 10000 + 200 - 1080

Clculo tA/D:

EI tA/D = (rea DMF)AD XA

EI tA/D=(1500)(5)(5)+ (600)(1) (5+)-(900)(3)(2+3)

TD/A =

tA/D= 11130/EI


28/267



EJEMPLO 10: Calcular la pendiente y la deflexin mxima en la viga en voladizo.

W

A B MC

L RC

Calculo de reacciones:

B = 0

=0

MB= (WL/2) (2L/3) RB=WL/2

Trabajando de derecha a izquierda

Mx= WL/2

Mx= WL2/3

B

= h= Wx/L

MB= WL2/3

M(x=0) = 0 M(x=L) = WL2/2


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Mx=-Wx2

/2L (x)Mx=-Wx2/6L

DMF:

L

A BWL2/2 +

-WL2/3 -

-WL2/6 -

DEFORMADA:

A B EI tA/B = (rea DMF)AB XA

EI tA/B =(WL2/2)(L)()(WL2/3) (L) - (WL2/6)(L)()

EI tA/B = WL4/12WL4/6WL4/120

Calculo de A

A= AB= (rea DMF)AB

A=(WL2/2)(L) - (WL2/3) - (WL2/6)(L)

A= WL3/4WL3/3WL3/24

TA/B = WL4

A= - WL3/8EI

M(x=0) = 0 M(x=L) = WL2/2


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EJEMPLO 11: Calcular las deflexiones en A y B.

150 N/m

A B C MC

2 m 2 m RC

1.- Clculo de reacciones:

C = 0(150) (2) (3)MC= 0

A = 0(RC) (4) - (150) (2) (1) - 900 = 0

150 N/m Mx = Mx 75

x/2 x/2

x

x Mx = x/2 x/2 7 5

Mx

150 N/m

MC = 900 N/m

RC= 300 N

M(0) = 0 M(4) = -1200

M(0) = 0 M(2) = 300


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Diagrama de momento flector:

2 m 2 m

150

A B +-

-1200

2 m 2 m

Deformada:

A B C


EI tA/C =(300)(2)(2+2) - (1200)(4) (4)

EI tA/C = 7004800

Para el clculo de solo usamos el rea de la figura (AB).Hacemos un nuevo DMF.

4 m

A B C+ 600

-900 -

-300

EI tB/C = (rea DMF)BC BEI tB/C =

(600)(2)(2+

2) - (900)(2) (

)

=


32/267



EI tA/C = 4001800

EJEMPLO 12: Calcular las 2KN 4KN

A B C MC

1.5 m 1 m RC

1.- Clculo de reacciones: C = 0(2) (2.5) + (4)(1) - MC= 0

V = 0RC- 2 - 4 = 0

2 KN Mx = -2x KN.m

Mx

x

4 KN Mx = -4x KN.m

Mx

x

=

MC = KN/m

RC= 6 KN

M(0) = 0 M(2.5) = -5KN.m

M(0) = 0 M(1) = -4KN.m


33/267



Diagrama de momento flector:

- -4KN.m

A - -5KN.m. .

Deformada:

A B C


EI tA/C = (-5)(2.5)(2.5) - (4*1)(1.5 + )EI tA/C = . .

clculo de .EI tB/C = (rea DMF)BC BEI tB/C =-

(4)(1)(1) - (3)(1)() - (2)(1)(1)EI tA/C = -- -

= . .

=


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EJEMPLO 13.- Determinar la mxima deflexin para la figura.

Calculo de reacciones

2 0

2 34

3

8

TRANSFORMADO LA FIGURA:

Primermtodo


35/267



WX Mx =

x/2 x/2

x

x Mx =

x/2 x/2

WX

DMF


EI tA/C =(WL2/8)() (+ )(WL2/2) (L)

EI tA/C =

-

tA/C =

M(0)=0 M(L)=

M(0)= 0 M() =


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Segundomtodo

DMF

WL2/2 +

-3WL2/8 --WL2/8 -

M=

x

M(x=L)=

M= WX Mx =

x/2 x/2

x

Deformada

A B C

M(0)=0 M()=


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EI tA/C =(WL2/2)(L) - (

)(L)

(WL2/8)

EI tA/C = - - tA/C =

EJEMPLO 14.- calcular la deflexin y la pendiente en un punto x=2m.

CALCULO DE REACCIONES

0 12002 32 3600N.mCalculo de DMF

1800

0

5400

1800 36001200 3

h = 400x


38/267



200

200

3

0 1800

DMF por partes:

DEFORMADA

Calculo de cuando x=2m

/=

/= / /= 36002 2 360021 2 2/= 2400-7200-320/3/= = -


39/267



Calculo de la pendiente cuando x=2m=

=

= 36002 36002 2=36007200 =

EJEMPLO 15: Calcular la flecha mxima para la viga mostrada.

10011003300


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100

1 300DMF

DEFORMADA

tB/AB/A XB

tD/A

3003

1

8001

A / tD/A

A


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EIAC 100

A AC4003 50 2

tC/AC/A XCtC/A 100

Por relacin de tringulosmxtC/AtB/A 3 mx tB/AX3 tC/A

m x 4003EI 1.63 503EI 1.63

X 1 . 6 3

A

TC/A

mx 145.155


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EJEMPLO 16: Calcular la deflexin en el punto D.

A 03 5001 1004

3 0 0 C 03 5002 1001 300

X 300M (3) 900

M

X 500M (2) 1000


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M X

100

M

(1) 100DMF

DEFORMADA

1. Calculo de tA/CtA/CA/C XAt

A/C

9 0 0 3 3 100021 2tA/C2700 tA/C tA/C


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2. Por relacin de tringulos tenemos.

/

tA/C3 110033EI 11009

3. Calculo de tD/C

tD/CD/C XDtD/C 1001 1TD/C 4. Calculo de la deflexinen D (D).

tD/C

tD/C 11009 100

tD/C

11009


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46/267



1200560002.53000

30022.51875 57500

300221200

30020.57532700

DEFORMADA


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Solucin N 01tD/AD/A XD

tD/A

27003

3

60005

5

75005

5

12002

2

tE/A 750.5 0.5 30002.5 2.5 18752.5 2.5

Por relacin de tringulos tenemos.

tE/AtD/A 2.55 tD/A2.55 tE/A 11000 2.55 2150

Rpta.

Solucin N 02 (OTRA SOLUCIN)

Trazar una tangente en el punto E.

tA/E

tA/EA/EXAtA/E 750.5 2 0.5 30002.5 2.5 1875 2.5 2.5tA/E3350Rpta.

tD/A

tE/A

3350

tA/E


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EJEMPLO 18: Determinar el valor de de la viga

RC3 60021 Y 04001200

4001400

31200

30022 1200

RC=400N

RC 400

800


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DMF.

400

DEFORMADA

tA/CC/A XC

tA/C

12003

3

12002

2

tA/C1400

tB/CC/B XBtB/C 4001 1

Por relacin de tringulos tenemos. BtB/CtA/C 13

B /3 /

tA/C

tB/C


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B 14003 200

EJEMPLO 19: Obtener el valor de bajo las cargas concentradas.

A 0RB4 2001 5002

400 0 028001400

B 400

RB 300


51/267



200

0 0

1 200

300 0 02 600

DMF

DEFORMADA

tD/A

tD/AD/A XDtD/A 6002 2 8 0 0 2 2 2 2001 2 1t

D/A

8 0 0

tD/A 3


52/267



tC/A 8 0 0 2 2 2001 1

tC/A

tB/AB/A XBtB/A 4001 1

Calculo de flecha en C (relacin de tringulos deformada)CtA/CtD/A 24C 2tD/A4 tA/CC 24 2700 500EI

B 1tD/A4 tB/AB 14 2700 200EI

C 850EI

B 18253EI

TC/A

TB/A


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EJEMPLO 20:

Calcula el valor de la flecha bajo la carga concentrada de 100N.m

CALCULO DE LAS REACCIONES:

04 5001 100 100. 0

4 5003 100

400.

400 0 1200

5 0 0 N

M = 1 0 0 N . m

1 m 2 m 1 m

A B C D

R A = 4 0 0 N R B = 1 0 0 N


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500 0 1000

100 0 100

DMF:

DEFORMADA:

/ /

1 2 0 0

+

-

+

1 0 0

- 1 0 0 0

A B C

t C /D

s c

1 m 2 m 1 m

A B C

t A /D


55/267



/ 12 12003 23 3 12 100 1 3 13 1 12 10002 1 23 2

/ 3600 5003 70003 / 43003 / // 12 100113 1

/ 503

Por relacin de tringulos, decimos: // 14 /4 /

43003 14 503

10253


56/267



EJEMPLO 21:

Calcular la deflexin en el centro de la viga, x = 2m.


04 8 0 0 32 3 900

0

4 800 3

2 13 3

300 3000 0 4 12002 600

A B C

R A = 3 0 0 R B = 9 0 0

1 m 3 m

8 0 0 N /m


57/267



800 4 2 0 0 1003 0 0 1 1003 3 900DMF:

DEFORMADA:

/ /

/ 12 12004

13 4

14 900 3

15 3

D

s D

t D/A

6 0 0

t C/A

A CB

9 0 0

1 2 0 0

+

-

1 0 0 / 3

BA CD


58/267



/ 2795 / // 12 600 2 13 2 14 1003 2 15 2/ 11803 Por relacin de tringulos: /

/ 2

4

/2 / 27952 11803 60256

EJEMPLO 22En la viga mostrada determinar la deflexin en el punto donde se aplica el momento

Ma=0 Mc=0Rc (L)-M=0 Ra(L)-M=0

Rc=M/L Ra=M/L


59/267



TRAMO A-B:

X

V Mx

M/L

Mx (X)M0 0

ML M

Ma TRAMO B-C:

X

M Mx

M x M


60/267



DMF:

DEFORMADA:

EI t B/A= (AREA DMF)BAXB EI t C/A= (AREA DMF)C/AXC

EI t B/A=( EI t C/A =

EI t B/A= EI t C/A=

T B/A=

EI t C/A=

2


61/267



EI t C/A=+

EI t C/A= 3 63

t C/A=

2 63

t C/A= (3 2 6)Por relacin de tringulo:

/

/ 3 2 6x 3 2 6 ++

(

4

2

6

(2 3


62/267



EJEMPLO 23: calcular el valor de p de manera que la viga elstica es apoyo derecha sea

horizontal

Ma=0 Mb=0

Rb(3) = P+300(5) Ra(3) = 2P-600

Rb=+500 Ra= 200

TRAMO A ANTES DE LA CARGA

X

V Mx23 200Mx=(

200

M(3)= 2P-600


63/267



TRAMO B A LA IZQUIERDA

P

X

V Mx

Mx=-Px

M(2)=-2P

TRAMO C A LA IZQUIERDA

Mx 300NX

Mx

Mx=-300x

M(2)=-600

DMF:


64/267



DEFORMADA:

EI t A/B= CONDICION DEL PROBLEMA

EI t A/B=(AREA DMF)ABXB

0=

26003 3 221 2

0= 6p-1800 -2p()P=1350N


65/267




MX= -200X3/9

M(3)=-600

Mx=-200X

M(2)=-400

EJEMPLO 24:Calcule C

RA=50N RB=750N

200N

400N/m


66/267



DMF:

DEFORMADA:

200

-600

-


67/267



CALCULO DE REACCIONES:

Mx= - x2

M(2)= -4

EJEMPLO 25:Calcular la deflexin en el punto medio entre apoyos de


68/267



Mx= 2x

M(4)= 8

Mx=-x2

M(4)= -16

Mx= x2

M(2)= 4

DMF:

-

-


69/267



DEFORMADA TENTATIVA:


70/267



Como aqu vemos el resultado es negativo y la deformada anterior indica que tendraque ser positiva, entonces tenemos una nueva deformada.

Ver:


71/267



EJEMPLO 26:Calcule (Extremo izquierdo de la viga con voladizo)

DEFORMADA

DMF:


72/267



EJEMPLO 27: CalcularV3 y 4

PRtula

L/2 L/22L

1

2

3

4M1

R1=

R3= R4=

PL


73/267



DMF:

DEFORMADA:

2L

L/2

L/2

-

-

1

2

4

3


74/267



EJEMPLO 28: Calculas las reacciones, 2y 2

Problema hiperesttico:

*Calcular DMF por partes (Derecha a izquierda).

w

L

1 2


75/267



0 0

2

2

2

DMF:

M

R 2

x

w x

M

x

x /2 x /2

-W L2

2

(+ )

(- )

L


76/267



DEFORMADA:

Calculo de t 2/1 = 0 1/2 20 12 2 23 13 2 34

0 23 8 23 8

Calculo de

1 2 1 2 1 0 12 212 22 13 2

t 1 /2

0 2

L

1

2


77/267



12 12 38 6

123

16

6

12 48VIGA:

01 38 2 01 2 38

1

8

Calculo de R1

2 0 1 2 1 0

1 1

2

w

L

1 2

R 2 = 3 W L / 8


78/267



1 8 2

15

8

1 58 EJEMPLO 29:Calcular y

Empezamos a analizar de derecha a izquierda.

P

3 a

2 a

a

A B

x

P

M


79/267



0 0 3 2

DMF:

DEFORMADA:

-Linea Punteada marco original y proyecciones.

-Linea continua marco deformado.

P a

M x

P

M

x

P

P a

- 2 P a

2 a

a

2 a

aP a

-P a

-

-

+

+


80/267



/ / 12 3 12 22 23 2 / 6 143

/ 9

2

12 12 22

2 2

32 0

2

P

3 a

2 a

a

A B

CD

0 B

0B

0C

0D

0C

0B C

0B

V B

V B

H C

V B

0 c a


81/267



2 2 3 / 12 23

/

3

/ 2 22 / 2

Calculo del desplazamiento vertical en D

/ 92 2 3 163 Calculo del desplazamiento horizontal en C.

2 / 2 32 2


82/267



EJEMPLO 30.- Calcular ,

DMF por partes:

P

A B

RA =P

3

R B = 2 P

3

w

B C

R C =

M BR B =

2 P

3

M Xx

P

3

P

3

M Xx

P

M X

x

2 P

3

M Xw x

x

P

w

A rti c u la c i n

A B C

a b

2 a

3

a

3 1. Clculo de reacciones 0 0 2. Clculo de diagrama momentopor partes

Tramo A-B

0 0

0 0

0 0

0 0

+

-

1

2

P

3

P

3a

-

-

3

4

- 2 P

3

w b 2

2


83/267



Deformada:

? A

AB

t B /A

t B /C

CB

/

/ . / 12 23 23 13 2 34 / 29 8 / 29 8

Rpta.

/ .

/ 12 3 3 12 3 313 3

/ 18 162 / 481

+/

29 8 48


84/267



EJEMPLO 31.- Calcular

DMF

Deformada

+1

6 0

-2

-3

2 0

AB

C

8 0

4 m 2 m

AB C

t B /A =1 6 0

3 E I

4 m 2 m

Clculo de reacciones

0

4 402 205 45 04 402 205

45

/ 20 / 60

/ . / 12 604 23 413 80434 4 / 320320 / 0

12 604 13 804 403

M X

M X1 0x

x

15

M X1 0x

x

x

M x = 1 5 x

M (4 )= 6 0

M x = -5 x

M(4 )= -80

M x = -5 x

M(2 )= -20

1 0 m / m

A

B

4 m

RA = 1 5 T N

2 m

C

R B = 4 5 T N


85/267



2. Mtodo:

Por tringulos rectngulos tienen:

/ . / 13 202 34 2 / Rpta

/ . / 202 2 804 2 4 6042 4

/

Rpta

/ // 64/ 3/2 /

/ 32 1603 60

/ 20


86/267



EJEMPLO N 32: Calcular las deflexiones

I. Clculo de DMF por partes

0 0

2

2

0

2


87/267



DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR

DEFORMADA

II. Clculo de / / 2 2 4 12 23/ 38 3

/ 33688 3.883 / 323215


88/267



/ / / 2 4 12 2 4 12 2 2 23 . 2

/ 8 16 24 / 8 548 / 48 6 5

6448 636 53.88/ 2563

EJEMPLO N 33: Calcular las deflexiones ,

Calculamos las reacciones y momentos para graficar el DMF

020 200 5 120 15 140


89/267



020 120 5 200 15

180

1400 020 2800

1200 015 1800

100 0

10 1000Diagrama de momento flector


90/267



Se traza la deformada

I. / // 12 280020 13 .20 12 180015 13 .15 13 100010 14 .10

/ 5600003 67500 250003

/ 3325003

II. / / / 12 280020 23 .20 12 180015 5 23 .15

13 100010 10

34 .10

/ 11200003 202500 1750003 / 112500 Finalmente, realizamos el clculo de los giros

/20


91/267



11250020

5625

/20 33250060 166253

Para el clculo de mx


92/267



DF = D

DF = (rea DMF)DF

DF = 140 120 5 5DF= 70 60 5DF= 70 60 1 0 2 5DF = 70 60 6001500DF=

10 6001500

DF= 60150


93/267



EJEMPLO 34:Calcular el desplazamiento en B y la pendiente en A

I. Clculo de reacciones 02.5 85 23 1701.5 1 5 0 3

02.5 1 7 0 1 8 5 1 . 5 131500.5

II. Clculo de momentos por partes

0 0 1


94/267



0 0

1.5 4 5 7 853 0 0 1 853

85 0 0 1 85

150 0 0 2 300

Clculo de desplazamientos

/ / / 750.5 0.5

/ / /

/ / 12 3013 1 23 14 853 1 15 3019 1712

115312


95/267



/ / 12 4571.5 23 1.5 12 3013 11.5 13 138 5 10.5 34 14853 11.5 15 751.5 1.52 1

22251.5 2

31.5

13714 33116 42512 178 6758 6754 724712

Clculo de A

/2.5 7247122.5

724730

Clculode B

B /2.5 / B 724712 12.5 115312 B 872912 Rpta


96/267



EJEMPLO 35:Determinar la mxima deflexin:

. :

.

12 32 31 12 . 2 13 . 2 13 2 1 14

94 23 24 3724

:

12 2 12 2 1 1 4 4 2 1 4 4 2 4 2 4 3772 2 4

3772 2 14 2 5572 5536

. : 0

3 2 1 2.5

:

3 3724 13 3772


97/267



.:

12 2 23 12 2 1 1 1 23 1

655

36

455

36 1 55

36 1 1 2

355

361

6 5536 4 3611296 7354 0.57 0.57 . 0.57


98/267



EJEMPLO 36:Calcular las reacciones:

. EI t 0EI t 0 12 5 5 23 5 12 3

4

52

5 33

55 2 432 4

5 52 2 3 5 23 30 1253 1292 252 344 0 6376 894 315

6376 894 3 1 5 Ie las ecuaciones I Y II

6376 894 315 1274

267 89

4 13

2 45

6376 894 315 6376 8281267 1911089 93611069 892589

11.45.III

0=

5 5 3 4 5 3 3030 252 394 5 32 45

894 132 4 5 I I

Reemplazando en III en I)

5.36


99/267



EJEMPLO 37: Calcular las reacciones de la siguiente figura. 1 .

EI

0 33 3 22 0 3 2 3

.

0 3 2 : 3

. 1936 :

56 . 76

.

. . 12 56 3 1936 2 12 11 13

536 1972 6


100/267



0.14 .. 0.14

.

. . 12 56 23 1936 2 12 23

. 518 1972 2 23

. 0.14 . 0 12 56 1936 12 0 512 1936 2 2 0 512 1936 2 2

0 112 1736 2 0 112 1736 2 4.25733 1.409332709


101/267



VIGA CONJUGADA

Se trabaja con diagrama de momentos reducidas:

La cortante de la viga conjugada es el giro en la viga real.

El momento de la viga conjugada es la flecha en la viga real.

Un apoyo de rtula viga real viga conjugada es un apoyo fijo.

Un empotramiento viga real viga conjugada es un voladizo.

1. Resolver por viga conjugada:

Partimos de la viga en 2 (parte izquierda y parte derecha).

Trazamos DMF reducidos.

Calculamos Momentos (parte izquierda, parte derecha y luego lo igualamos

para calcular la cortante en la rtula).

Reemplazamos en la ecuacin de momentos se obtiene la flecha.:


102/267



M 12 23 12 2 2 23 2

3 524

12 23 13 2 2 2 23 2 3 548

:

. 3 524 3 548 23 548

532

. 3 524 532 3 524

532


103/267



38) Calcular el giro y la flecha en B y desplazamiento en el rodillo. EI= 84 ton x m 2


104/267



Calculo de reacciones en C y rtula

Parte derecha:

0

3 63 6 036636/3

12

Calculo de t b/c 12 183 23 3 54

| /| | /| 54 3375116 423916

Clculo de 4239163

141316

Clculo 12183 27

27 141316


105/267



98116 84

9811684

0.734.5 141316 4.5 84

1271732 4.73Clculo /

12 305 23 5 12 7.52.5 2.5 23 2.5

2 5 0 625

16

337516 3375 1684 2.51 1

2 305 1

2 7.52.5

5258 525 884 0.78


106/267



40) hallar,


107/267



0

2 0 2 32


108/267



2 0

/2 2 2


109/267



EJEMPLO 41: Calcular , y ,

I. t EI EI B/A XB EI EI


110/267



II.- Clculo EI EI

D/E

XD EI

EI

III.- Calculo desplazamiento en la rtula de:

EI

C/A

XC

EI


111/267



I. Clculo de EI B/A XBEI

II. Clculo

EI EI 0

III. Clculo de EI

EI EI


112/267



EJEMPLO 42:Calcular


113/267



I. Calcular t EI B/A XBEI

4004 4

II. Calcular

EI D/B XDEI 400 4 400 2

EI C/BXCEI 200 2


114/267



+

=

2

2 Por ultimo

|| ||

EJEMPLO 43:Calcular las reacciones


115/267



0 0

214.5

13

5

2

EI 0EI B/A XBEI 55 5 55 5 85 195 105 5

0

125 425

5 85 (1) (25= 425 7225 EI 0EI C/BXCEI 200 2


116/267



0 5 52 8 23 5 12 1313 23 13 313 132 12 2613 23 13

0 425

3 2197

3 30509

6

425 2197 (2)(-85) 425 7225

425 2197 5028 7472

De (3) en (2)

425 219718681259 103093

425 171.02

169419


117/267



EJEMPLO 44: Calcular ; Por mtodo de rea de Momentos

0 04 8

Deformada: 8 0 825 8


118/267



I. Calculo de t 12 82.5 2.5 23 2.5 12 82.5 2.53

1253 253

II. Clculo 10 10 0 0 0

III. Clculo de EI

EI 8

5

0 IV. Clculo t

85 52

100 20 80


119/267



V. Clculo 8

4 4

4 32 4 6563 4Respuesta:

4 3

EJEMPLO 45:Calcular las reacciones y los momentos:

Anlisis de la parte derechadel marco

0 2 0

2

32


120/267



0 0 2

Calculo del momento del empotramiento:Se hace sumatoria de momentos de todo el marco:

0 2 32 2 2 02 3 2 0 3

2 2

72


121/267


122/267



.3Reemplazando (3) en (2) Reemplazando (2) en (1)

416 416 416


123/267



MTODO VIGA CONJUGADA

EJEMPLO 46-1:Calcular el desplazamiento vertical punto B

01 6 0 32 13 3 6 0 12 13 1 3 0

90 10 3

80 3 803


124/267


125/267



EJEMPLO 47: Calcular momento de empotramiento en A y flecha X=3a

Por simetra decimos que

Por rea de momentos:

EI 0EI B/AXB0 44 42 3

0 8 8


126/267



Calculo

con X = 3a

13 2 1112 12 6 1112 2 = = 3 6 11312 32

= = 512

13 2 4 1112 2 12 3

24 11

24

6


127/267



=

= =

EJEMPLO 48:calcular la flecha en el punto A y B.

0 8 8 4 4 4

+ 0= 8 4=

=


128/267



Clculo de flechas en el punto A

= = = =

EJEMPLO 49:Calcular Momento punto B. As como el giro en A

0 6 6 6 6 4 2 4 0

0


129/267



Viga original 0

1 2 3 6 4 6

.Clculo de R

+ 0 6 6 3 6 6 2 4 4 0 1 7 0

EJEMPLO 50:Determinar los momentos de empotramiento y la deflexin en elcentro.


130/267


131/267



2 2

EJEMPLO 51: El empotramiento B ha tenido un asentamiento vertical. De valor

comprobar que M B M A

E I t

. AB

0

EI 12 3 2 0 EI 36 22 0 12 EI 236 22 0 22 EI 23 22 EI

12

6

2

2 MA 6EI 2


132/267


133/267


134/267



MTODO DE 3 MOMENTOS

1. Trazar DFC Y DMF

12 2 21 6.

Tramo ABC

5 Tn 3 Tn 4 Tn

6 Tn.m 2 Tn/m 2 Tn/m

A B C D

3 m 3 m 2 m 3 m 5 m


135/267



Tramo BCD

. .

De Ecuacion (1) y (2):

. .Para calcular las reacciones de nuevo se ahislan los tramos:

MA=6 Tn

MB=-3.84

Mc=-3.85

1 Tn

2 Tn/m

6 Tn.m

2 m

Ra= 5Tn

M1=02 Ra = (2 x 2 x 1)+6Ra = 5 Tn

3 Tn

2 Tn/m

6 Tn/m 3.84 Tn/m

RAB=3.36 Tn RBA=5.64 Tn

6RBA = (3x3) + (6x4.5)6 + 3.84RBA = 5.64 Tn

Fy = 0RAB = 3 + 65.64RAB = 3.36 Tn


136/267



RA= 5 + 3.36 = 8.36 T

RB= 5.64 + 2.40 = 8.04T

2 8

RC= 1.60 + 5.77 = 7.37T

RD= 4.23T


137/267



1- TRAMO A*- A : 0 2V= 1- 2x Mx= -

2.- TRAMO A* - AB: 2 5V= -14 + 8 .36 Mx= - x4(x-1)+ 8.36(x-

2)V= 3.36

3.- TRAMO A* - AB: 5 8

V= -14 + 8.3632xV= 0.362(x-5)

Mx= - x4(x-1)+8.36(x-2)-3(x-5)-(x-5

V(0)= -1 M(0) = 0

V(2)= -5 M(0) = -6

V(2)= 3.36 M(2) = -6

V(5)= 3.36 M5) = 4.08

V(5)= 0.36 M(5) = 4.08

V(8)= -5.64 M(8) = -3.84


138/267



4.- De derecha a izquierda:

D-C: 0 5 V= 2x4.23Mx= 4.23 -

V= 2x4.23X= 2.45 ( MOMENTO MXIMO)

Mmax= 4.23(2.45)(2.45

Mmax= 4.56

5.- TRAMO DCB: 5 8V= -4.23 + 107.37V= -1.6

Mx=4.2310(x - 2.5) + 7.37(x-5)

V(0)= -4.23 M(0) = 0

V(5)= 5.77 M(5) = -3.85

V(5)= -1.6 M(5) = -3.85

V(8)= -1.6 M(8) = 0.95


139/267


140/267




141/267


142/267



2. En el sistema mostrado, calcular los momentos en los apoyos y eldesplazamiento vertical en B ( 2x10t/m2)

4T

3T

3T

A B C D1.5m 1.5m 1m 1m 1m 4mI600cm I800cm I1000cm

4T 3T 3TA B C D E

1.5m 1.5m 1m 1m 1m 4m L 0 mI 600cm I 800cm I 1000cm I I 6x10m I 8x10m I 1x10m

FORMULA GENERAL DESPLAZAMIENTO

M LI 2 M LI LI M LI 6.I 6z.I 6EhL 6EhL TramoAAB M 0(Debido a que la rotula no genera momento)M 0I 2 M 080 3I M 3I 60I 6 4 x 316 x I 6 x E x 00 6E3

6MI 272I 2E

A

I

L 0 m


143/267



6M 272 2EI 6 M 272 22x106x106M 6M 246M 2413,5.1

Tramo BCD

M 3I 2 M 3I 4I M 4I 6 31 3 12 x I 6 0I 6E 3 6E0 4 2M M 22x101,55 x 10M 0,4 x 10M 2,25 x 10 4 x 101,55 M 0,4 M 2,2541,55 M 4 0,4 M 2,252

Tramo CDE

M 4I

M 4I

0

M 0

60 604MI 8MI 04M 8M 0 . 3

De 1, 2, 3 tenemos:6M 24 13,5 M

41,55M

0,4M

2,25

M

0

4M 8M 0 M M


144/267


145/267


Mg. Ing . Genaro Delgado Con treras

1

2

1 >1

2

2 22 12 2

4 23 2 12 2


146/267



4 2 12

2 24 23 2

2

2

2

2 8 12 2 624

14 24 2 15 2 1920

24


147/267


148/267



192 2 1920

384

1920

480


149/267


150/267



8 2 2

8 2 2 2 2 2

0

08 2 8 2 8 8

8 22 8 88

48 48


151/267


152/267


153/267



DMF:


154/267



2. Encontrar todos los momentos de la viga mostrada en la figura usando elmtodo de pendientedeflexin. EI = 7

SOLUCIN:

122.5

122.5 2 122.522 0 122.5 22 122.522 155.17 .


155/267



122.5 22 122.522 155.17 . 122.5 22 122.522 114.31 .

22

2 2

114.31 .

22 2 2 0ECUACIONES:

1. 0122.54 2 122.54 2 02 8 2 0 . 1 2. 0122.54 2 360049 4 2 02 8 2 480598 . 2 3. 0

4 2 122.5.3

4. 04 2 480049 . 4 [k] [] [F]

2 8 2 00 2 8 240 20 02 04

(

04805

98122.5480049 )


156/267



56259

197 253349

Graficando diagrama de fuerza cortante y momento flector:

Barra A-B:

82.8330

82.8315

082.83 0 07 127.17 7155.17082.8330 2.761 114.352.761Barra B-C:

110.8430

110.8415

155.17

0110.84 0 155.177 99.16 7 114.310110.8430 3.69467 49.593.69467

Esto se reemplaza en cada una

de las ecuaciones de cada

momento respectivamente.


157/267



Barra C-D: 59.19100 59.19100 4 114.31059.19

0 114.31

7 40.81 7122.457 0

DFC:

DMF:

DEFORMACIN:


158/267



3. Encuentre los momentos de la viga si el soporte en B se asienta 6mm.

753 3 0.0063 0.006

7 5 2

32

0.006

752

3 284.378

56.25

0.006 0 7 5 23 2 0.006 75 23 256.25 84.378 0.006 56.248 23 2 0.006 23 256.25 28.122 0.006 56.248 23 2 0.006 23 228.122 56.25 0.006 0ECUACIONES:

023 43 20.0063 7 5 43 23 20.0063 023 83 23 751 043 23 75.0042 0

23 43 0.0043


159/267



A BC D

23 83 2343 23 0

0 23 43

7575.0040.004

84.378 56.25 28.122

4.- Calcular los asentamientos de la viga si los asentamientos en los apoyos son:

32

62

70 28 210 210 000 000 KN/ 8 0 0 1 0 8 0 0 1 0 110 8 1 0

210 000 000 8 10 180 000 KN/

8

3 0 0 68 225 2 0 0 68 150

200 KN

3m


160/267


161/267



2. 0112 000 56 000 615 112 000 56 000 3 7 4 056 000 224 000 56 000 9 8 9 2 3. 0150 56 000 2 0.004 225 56 000 2 0.021074 112 000 56 000 951 112 000 56 000 056 000 224 000 56 000 87734. 0225 56 000 2 0.021

225 112 000 56 000 1 1 7 6 0112 000 56 000 1401

112 000 56 000 0 056 000 224 000 56 000 00 56 000 224 000 56 0000 0 56 000 112 000

10659878771401

0.0081 0.00810079 0.0028 0.00281627 0.0017 0.00170516 0.01117 0.01165635


162/267


163/267



2. 010 2 4 0 . 2 Resolviendo (1) y (2):

13 110110 15 6840

De la cual resolviendo de obtiene:

288017 196017

Remplazando en las ecuaciones de los momentos obtenemos:


164/267


165/267



5.- Trazar el DFC y DMF

De los momentos:

12 2412 8312 2512 254 8 248 1

3 Tn/m

2 Tn

2Tn/m

5 m

1

2 3

4

4m


166/267



83 24 2 34 0

83 24 2 34 8992

254 25 2 8992 254 25 2 101592 1 24 2 34 101592 1 24 2 34 0

Ecuaciones de equilibrio:

1 0 83 24 2 34 0 24 616 83 . 1 2 083 24 2 34 254 25 2 024 95 25 616 4312 . 2 3 0254 25 2 1 24 2 34 02

5 9

5 2

4 6

16 214 . 3

4 01 24 2 34 024 616 1


167/267



5 6 1 1 3

14 14 3

14 3 14 83 24 616 83 24 616 1 24 616 1 24 616 3

14 32 32 1216 32 32 1216 3 38 38 38 38 38 3En resumen tenemos la siguiente matriz:

[

1 24 0 0 3824

95

25 0

380 25 95 24 380 0 24 1 38 38 38 38 38 38 ]

[

8343122141 ]

Resolviendo tenemos:

2849138 18523 4523 92146 1763


168/267



Se calcula lo siguiente:

Calculamos datos para los diagramas:

1561368 20 1561368 4 1383368

0

0 1561368 2 1561736


169/267



1561368 0 0 1561

7364.498 4 89

92

5110 30 5110 5 9910 0

0 5110 3

1.7 0

5110 32 89920 8992 1.7 5.30


170/267



647368 2

0 647368 1383368

647368 2 20 0 2 647169 4 101592

De los datos obtenidos se dibujan los siguientes diagramas:


171/267



DFC

DMF

51/10

1383/368

-99/100

647/368

-1383/368

1561/368


172/267


173/267



6.- Trazar el DFC Y DMF, para la estructura mostrada:

Momentos derechos cambian de signo:

2 3 97110 97110 2 2 3 3455 3455

2 2 3

19110 19110 2 2 3 1855 1855 2 2 1855 1855

P

2L

L

A

B

C F

D

E2P

L


174/267


175/267



2. 02 2 3 2 2 1855 0

4 2 6 4 2 0

2 8 2 6 0 . 2 3. 0 2 2 2 2 3 04

2

4

2

6

02 2 8 6 0 . 3 4. 0

2 2 2 2 3 2 2 3 04

2

4

6

4

2

6 0

2 12 2 6 6 0 . . 4

1 4 2 6 4 2 6 4 2 6 4 2

6

1 6 6 6 6 24 6 6 6 6 24 5


176/267



3 1 2 6 4 6 2 6 4 6 3 6 6 24 3 6

EI

12 2 2 0 6 62 8 0 2 0 62 0 12 2 6 60 2 2 8 0 66 0 6 0 24 06 6 6 6 6 24

[

00003 ]

3 55

29

220

29 220

21 100 89 660


177/267



DMF

97110

19110

97110 87110

3455 1955 3455 87110

1855 18

55

1855

12355 97110

32 97110

3455 19110

21855

1855 3655 3655 1855

87110

1855 19110

22 8755 8755 8755 32

32 3455 97110

97110 12355

32 A

B

C

D

E

F

2

32 32

1855 +

+

+

+

-

-

--

-

-

12355


178/267



DFC: DEFORMADA:

7. Determinar los momentos flectores y fuerzas cortantes

Incgnitas: , Momento carga distribuida 1.

12 32

12 1 .

MOMENTO DERECHO CAMBIA DE SIGNO

1 1 313 1613 1613 1 2 1 2 313 713 713 23 2 23 2 313 326 313 313 23 2 23 2 326 313 0 0

2

2

32 8755

36

55

+

+

+

-

-

+

1

2 3

4

3Tn/m

2m 3m

3m


179/267



23 2 23 2 313 413 413 23 23 313 213 213Las ecuaciones de equilibrio esttico son:

a) 012 43 23 43 0143 23 1

b) 023

43

0


180/267


181/267



.635 713 DFC:

DMF:

-+

+

+

8726

2 13

6926

1 13

1613


182/267



DEFORMADA:

8. Determinar DFC y DMF para la siguiente estructura

2304.60 2 13 . 13 . 2 5 2 . 2 0 2304.60 6.3 . 6.3 . 13 . Ecuaciones: 0

13 600

23 0 1323600 299600

2 0 3 02.2m 4.6m

5T

2Tm32

1

13 13 6.55 5 4.24

9.244.24


183/267



DFC:

4.2413 13. 6.50 4 . 2 4 1 3 3.07DMF:

DEFORMADA:

4.24

- -

+

-

+

5

4.24

4.24


184/267


185/267


186/267



[ 3 10 1 20 1 1001 20 1 5 1 1601 100 1 160 19 16000 ]

43.439.263 25

40775 137 20622 137 525560 137

31.503

39.02939.02916.46416.464

9.482

2.939

9.0912.939

19.694

31.503

2.9392.93939.029

31.503

39.0297.709

0.619.694

2.939

2.939

16.96460

11.201

2.939

7.709

9.091

=9.091

-

-

+

+

+

+

+

+

-

-

- -

-


187/267


188/267


189/267

6 6 24 32 3

[ ]

9160

11160

332


190/267

14380 710 0 7/102 31160

1780 9780 1380 1780 2

2 9160

1120


191/267

deformada


192/267


193/267

13.-Resolver el siguiente problema

pbaL

4 4

12

163 M12 = M21 =

M23 = 2 M32=

2 0Ecuaciones de equilibrio esttico

1.- M21 + M23 = 0 2.- M32 = 0 0 2117 27 208147 1


194/267

Resolviendo (1) y (2):

4

105 542

105Reemplazando valores en

Ecuaciones de momentos 55970 4 55970

4561

70

559280 55970 18635 2

0 18635 559280 2.6574 18835


195/267

14. Resolver la siguiente estructura: Trazar DFC y DMF:


196/267

0.909 +0.909 Tm 2 2.340 -2.34 Tm

2 2.340

-2.340 Tm

256 25 2 4.389 4.389 2 32 4.389 4.389 32 3.236 3.236

Ecuaciones:

1. 0 38 256 45 25 098 25 68 256 1


197/267

2.

0

256 45 25 2 32 025 145 32 256 2

3. 3

14 2 38 38 12 2 32 32 3

8 332 4 332 34 2 34 3 38 32 2716 3 3

Resolviendo (1), (2) y (3):

389136


198/267

883766 518373 518373


199/267


200/267

METODO VIGA CONJUGADA

1.- Determinar la deflexin en B

2.- Calcular A Y C

E 2 x x 2 10 I40002 1410044

I 4 x 1 0

2 2 3 2 70 0 3 6 7 63 6 7 6 10 0


201/267

*Clculo del desplazamiento 0 3X42 95 157 0.045 4.5

Calculo giro en A RA= A

+ 0 12 6 38 3 45 12 6 32 7 2 6 0 1 810 15TnEI 15Tn2 1 0 4 1 0


202/267

3.-Determinar la deflexin en B.

EI =420Tm2

Parte izquierda de la viga

02 0 1

= 4 2= 2 0

12 2 2 23 2 12 3 32 13 8 2 1 34 2 2 083 9 403 2 56


203/267


204/267

4 m I I

A D E

4 m 3m 3m

Momentos derechos cambian de signos

. . MAB =

70 MAB =13.58 Kg.m 13.58MBC = 2 140 MBA= 27.16 Kg.m -27.16MBC = 2 160 80 MBC= -27.16 -27.16

MCB= 2 160 80 MCB = 30.36

- 30.36

MCD= 2 112 56 MCD = -15.18

- 15.18

MDC= 2 112 56 MCD = 0 0


205/267

MCE= 2 112 56 MCD = -15.18 -

15.18

MEC= 2 112 56 MEC = 0 0

Ecuaciones de Equilibrio:

1. MBA + MBC = 0140 43.75160 80 0300 80 43.75. (1)2. MCB + MCD+ MCE = 0

43.75160 80 112 56 112 56 0

80 384 56 56 43.75. (2)3. MDC = 056 112 (3)4. MEC = 0

56

112 (4)


206/267


207/267

DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR

DEFORMADO


208/267


209/267

12 8 4 12 8 24 6412 348 6424 5 5

12

8 2

12

8

48 64

12 34

8 64

4811.5

Ecuaciones de equilibrio: 08 4 12 8 4 04 12

96

Donde: 0 2

1 2 6 1 2 6 5.50 12 0 5.52 0 2 6.5


210/267


211/267


212/267

17.-Trazar el DFC y DMF para la siguiente viga mostrada:

Del grafico:

Ecuaciones de momentos:

Momento de la derecha cambian designo:

1 0 28 10.6 10.6 1 0 48 8.8 8.8 7.2 46 8.8 8.8 10.8 26 10 10

20 10.8 .30 7.21 .

8 10 .

8 10 .

A B C

8 m 6 m

10 KN 6 KN/m


213/267

Ecuaciones de equilibrio:

010 48 7 . 2 46 076 2.8 2.4 0 4

5.22510.64 10.3

0 6

5 . 8 2

00 5 . 8 2 3.406 5 . 8 2 8.80 8.8


214/267

3.406 4.3696 10

De los clculos obtenemos:

DFC:

DMF:

5.225

-4.775

-4.775

-12.2


215/267

DEFORMADA

18. Trazar DFC y DMF de la siguiente viga ocurriendo un desplazamiento de 10 mm en el

punto B [EI= 40000T.m2 ]

-10.6

10.3

-

4.396

-10


216/267


217/267


218/267

DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE

0 < 4

13.618. 0 0.

4 54.472DIARAMA DE MOMENTO FLECTOR

30.303 2 30.3032

V0 30.303V6 48.303cuando V 0 > Mmax030.303 7 . 7 8

68.94530.303 6 0 68.9456 148.873


219/267


220/267

2. 1 2 04.52 . 1 2 0

283.5 {143 11 2} 104.583.5 15.06 34.22

DMF:

DEFORMADA:


221/267

19. Trazar DFC y DMF para la sgt. Figura

3 0 763 302 1183

3 6 23 2 1483 3 6 23 2 0Ecuaciones de equilibrio estatico

1. 0302 43 43 3 6 1 0 0103

23

42. 036 43 23 023 43 36

10/3 2/32/3 4/3 436 = =

AB 30KNBC

M= 36


222/267


223/267


224/267


225/267

21.- Trazar los DFC y DMF en el marco mostrado. Donde en el nodo C tiene unaarticulacin y empotrado perfecto en A y D

Una sola flecha

Hay uno por la izquierda

Dos giros diferentes

Otro por la derecha

M 1.875 15.9375M 5.625 2EI4 2 34 5.625

M 2EI3 2 5.625

1.875 5.625

3 m

10 KN

Articulacin

4 m


226/267

M 2EI3 2 0

M

2EI

4 2

34 0

M 2EI4 34 8.4375Ecuaciones de equilibrio esttico

1.- 05.625 0

7 3 2 13 6 16 5.6251

2.- 02 3 4 13 0 2 3.- 02 0 (3)4.- 7.5 1.875 5.625 2 7 . 5 14 3 2 3 22 3 2 3.757.5

38 328 38 13516


227/267


228/267


229/267

22.- Trazar el DFC y DMF

5 24 34 12.992 5 24 2 34 2.603 24 2 3 3 4 4 2.603 24 2 3 3 4 4 0

25 2 3 5 5 4 0

24 2 3 5 5 4 2.953

5 24 34 12.992

5 24 2 34 2.603


230/267

24 2 3 3 4 4 2.603 2

42 3 3

4 4 0

25 2 3 5 5 4 0 24 2 3 5 5 4 2.953ECUACIONES DE EQUILIBRIO ESTTICO

1. 0 5 616 24 1864 02 24 332 5 . . 1 2. 0 24 932 0 . . 2 3. 0 45 310 0 . 3


231/267

PARA EL ANALISIS DE FUERZAS HOTIZONTALES 10

ANALIZAMOS EL NODO C

01 4 5 1 45 4 5 35

1 54

14

325

1 516 320


232/267

021 5 2 1 35 5 45 2 516 320 35 5 452 316 9100 425 2 316 4 2 14 34


233/267

Cuarta condicin

0 4 5 0

4 14 34 5

14 34 5 4 32 34 34 32 32 916 65 35 5 4 32 34 98 98 2764 65 35 5

4 38 98 65 567320 5

332 932 620 5671280 5

Resolviendo (1), (2), (3) y (4)

2 2/4 0 3/32

2/4 1 0 9/320 0 4/5 3/103/32 9/32 3/10 567/1280

5005 145657 4850657

3565657

14331728


234/267

Aplicando estos resultados en la ecuacin de momentos tenemos.

12. 2.603 2.603 0 0

2.953


235/267

Diagrama de fuerza cortante

Diagrama de momento flector.


236/267

Deformada.


237/267

23.-Trazar DFC y DMF

1 5 3

33 53.918 .

1 5 3 2 33 16.559 . 2 2 16.559 .

2 2 0

2 2 34 0 2 34 26.031ECUACION DE EQUILIBRIO ESTATICO

1:_

015 1 2 0 2 15(1)2:_ 02 4 0 (2)

3:_ 0

Articulacin

3m

3

4mA

B

D

C

2 I

3 I

4 I


238/267


239/267

DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE

16.55

16.55

MA= 53.918

5.520 5.520 5.520 5.520 6.508

6.508

6.508

26.031

RMA= 6.508 KN

53.918

6.508

53.492

20Tn/m

RVA= 5.520KN

RVD= 5.520KN

20 X

x

53.918

2.6746

-5.520

-

6.508

+6.508

53.492 V

M x

Barra A-B

V= 53.492

20 X

V(0)= 53.492

V(3)= 6.508

0= 53.492 20

max. aestaMx= 53.492X 10X2-

53.918

M(0)= -53.918Mmax (x=2.6746) =

17.617


240/267

DIAGRAMA MOMENTO FLECTOR

17.617

+16.559

+16.559 +

+B

++B

+C2

-C1

Deformada


241/267

24.-Trazar DFC Y DMF para la siguiente viga continua

MAB = - 36 +

.

MBA = 36 + .

MBC = -156 + .

MCB = 156 + .

MCD = -32 +

.

MDC = 16 + Ecuaciones de equilibrio esttico

1. MBA+ MBC = O

36 + .

2. MCB+ MCD = 0

.

3. MDC+ MDE = O

3 km/m2 km/m

20 km 18 km 6 km

12m 12m 12m 4m 8m 3 m

3 I 10I 2 2 E


242/267

TRAZO DEDIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE

8/3 8/6 0

5/6 7/3 1/3

0 1/3 7/3

120 = -124 2

3 kn/m

M=0.18 KN.m9.045 9.045

26.955

KN

0.18 KN.m 107.639 KN.m 107.639 73.623 73.623 18 18

6KN

6

KN

1.365

KN

16.63

5KN

16.635

KN

32.583

KN

32.58

3KN

32.417

KN

32.417

K

N

26.955

KN

2 kn/m

20 kn

RA=9.045 KN RB=62.372 KN RB=49.218 KN RB=6.365 KN

6

KN

18

9.045 KN

-26.955 KN

35.417 KN

-8.583 KN

-32.583 KN

16.635 KN

-1.365 KN

6 KN


243/267

24 KN/m

IB C

4 m1.5m

12 KN1.5m

1.5m

B

I

A

TRAZO DE DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR

2.5. Trazar DFC y DMF

. .

Ecuaciones de equilibrio Esttico

1. . .

-107.639 KN

173.369 KN

-0.18 KN

13.455 KN

-73.623 KN

-18 KN

-7.082 KN - ---

+++

--


244/267

10 KN

B

15

1010 5151112 5151112

37314 24 KN/m5601112

97128 5601112

CR 677 KNM 97128 KN.mR 5601112 KN16314 67

7

177 12

A

.R 6271112

Reemplazando en Ecuaciones de Momentos.


245/267

DFC:

10 560112

DMF: 15

17.4232.714

1714


246/267

Deformada:

26. Se traza la deformada de fuerza cortante. Momento flector y bosquejar ladeformada.

10

1.5

12

1.5

4 1.5 3 2 24 97128 3 2 24 2 37314


247/267

4.5 23 2 16314 4 . 5 23 1314

Ecuaciones de equilibrio esttico: 1 5 032 4. 5 43 23 1 5 0

24/ 15 10 9.571 45.991 10 50.009 50.009 45.991 109.571 122.429

2.429 55.991


248/267

Diagrama Momento Flector

.

.

1314 Diagrama de Fuerza Cortante

.

.9.571

.


249/267

Deformada


250/267

27.- Trazar DFC y DMF para el siguiente Marco EI=Constante

1000KN 1000

B

B C 1m 3m

VAB VDC 4m

A D

1m 3m

MAB= 2EI/4 (B - 3/4) = 98.214MBA= 2EI/4 (2B - 3/4) = 276.786

MBC= -562.5 + 2EI/4 (2B+C) = -276.786

MCB= 187.5 + 2EI/4 (2C+B) = 223.214

MCD= 2EI/4 (2C- 3/4) = -223.214

MDC= 2EI/4 (C - 3/4) = -151.786

Ecuaciones Equilibrio Esttico. 4.- De las ecuaciones (1)(2)y(3)

1.- MBA + MBC= 0 2 1/2 -3/8 B 362.5

EIB 562.5 + EIB + EIC/2 3EI/8 1/2 2 -3/8 C -187.5

2EIB + EIC/2 3EI/8 = 562.5......(1) -3/8 -3/8 3/8 BC O

2.- MCB + MCD = 0

187.5 + EIC + EIB/2 +EIC 3EI/8 = 0 B= 2500/7EI

EIB/2 + 2EIC 3EI/8 = -187.5 (2) C= -1000/7EI

3.- VAB + VBC = 0 BC= 1500/7EI

-1/4(MAB+ MBC) -1/4(MCD + MDC)= 0

-1/4(EIB/2 -3EI/8 +4EIB/4 3EI/8 + 4EIC/4 3EI/8+2EIC/43EI/8)=0

-1/4(3EIB/2 +3EIC/2 -3EI/2) = 0

-3EIB/8 -3EIC/8 +3EI/8 = 0


251/267


252/267

28. Trazar Diagrama de Fuerza Cortante y Diagrama de Momento Flector

MAB 12 2 B1 5 516 MAB 12 2 2B2 3 0

MAB 2 2B2 3 0

MAB 2 B 3 316 ANA LISIS EQUILIBR IO ESTTICO

1. MAB 0 12

42

B1 6EI

0

MAB 42 B1 6EI 12 1 2. MBC 0

MAB 42 B2 6EI 0 2 12 MAB MBA

1 MBC MCB

2

12 6 B1 12A 12 6 B2 12A 2 6 B1 12A 6 B2 12A 2 6 B1 6 B2 24A 2


253/267

0 6 B1 0

2

B2 = 0

6 2

B1 796 B 2 332

416


254/267

13wl

/16

3wl/

16

3wl/

16

3wl/

16Rb=0

3wl/

16 3wl/

16

Rc = 3wl/16

DIAGRAMA FUERZA CORTANTE13wl

/16

-3WLl/16

-3wl/16

DIAGRAMA MOMENTO FLECTOR-5wl 2/16

9wl2/

512

3wl2/16

DEFORMADA

B1 -B2

5wl2/16

13wl

/16

Mx

X

W

V

Cuando v=0 mximo

M (l)=0 0

13wl

/16


255/267

L

W

L

L

4

32

1

1 2

W

2 2

2 11

1 1

11

2 22

M

Calcular H4

4 1

2 22 Ldx 4 1 22 22 Dx 4 1 224 36 /0 4 1 44 46

4 412

MTODO ENERGTICO

1

2) Calcular Para clculo de giro en B

M m

1-2 0 x

2-3 L

0 L-x


256/267

1

20Kg

A B Para clculo de flecha en B 1

201

20

10/ / 3

P A B 1 A B A 1

B

l/2 l/2 l

X X X X X X

1

A B

X X

Barras longitudVB

M m1 m1

BA 020 -20X -1 -X


257/267

/ / /

/

/

// / / / 48

3.- Calcular el desplazamiento horizontal en el punto 2

Barras longitud M m1 m2 m3

A - 1 0l/2 2 1 x) 1 2B - 1 0l/2 2 1 2 1 2


258/267

Viga con cargas reales. Viga con carga unitaria.

H2=

H2=

H2=

H2=

H2=

LP

L

0

L


259/267

4. - Calcular v en D

vD= EI vD=

EI vD= / / EI vD= 2 2 EI vD= / EI vD= 9 3vD=

5.- Calcular el Vc de la estructura mostrada

EIVc= 4 EIVc=

/ 4/ / EIVc=

4 EIVc=

6.- Calcular el V

Tramo Longitud M mC-B 0-2a -Px -xB-A 0-a -2Pa -2aD-A 0-2a Px XE-A 0-a 0 0

A 3a

P

B

P

CD

CD

1

1

Pa

Pa

P

P

Pa

A

B

C

D E

P P2P 2a

11 2a

2a aA

B

R1=pA

R2=pA

R1=1A

R1=0A

a2a

2a

aa


260/267

6 0

2 2

52

P/2

P/2 P/2

P/2

P

2 1

51

3l

l l

l

1/2

1/2 1/2

1/2

1

2 1

51

3l

l l

l

7.- Calcular Hz

2R = 5l

3R = 31 l

R = 21 l

31

1

l

l

2l

R = 1

1

R = 11

R = 11

31

1

7.- Calcular el VE, HEy E de la siguiente estructura

Tramo Longitud M m12 0l 0 023 0l

2

2

53 0l 0 043 0l 2 2


261/267

1) Estructura real 2)VE (carga unitaria)

2a

a

a

a

aa

A

R = P/2A R = 3P/2F

P

F

ED

CB

P/2 P/2

Pa

2a

a

a

a

aa

A

R =A 1/2 R = 3/2F

1

F

ED

CB

1/2 1/2

a

3) HE(carga unitaria) 4)EManchounitaria

2a

a

a

a

aa

A

R = 1/2A

R =1HA

R = 1/2F

1

F

ED

CB

1/2 1/21

2a a

2a

a

a

a

A

R = 1/2aA R = 1/2aF

1

F

ED

CB

1/2a 1/2a

1

3) Calculo de Giro en E (E)


262/267

EIE= EIE= 1 1 EIE= EIE=

EIE= EIE=

E=

8. Calcular .,, CCC HV


263/267

Barra Longitud M

CB 0a M 0 X -1

BA 0 - a M -x 0 -1

1. Calculo deC

V 3. Clculo de

.C

EI MxdxVC

EI a

C MxdxV0

EI

a

C

MxV

0

2

2

a

C

MxV

0

2

2

EI

MaV

C

2

2

EI

MaV

C

2

2

2. Clculo deC

H .

EI MxdxH C

EI aa

C MaMxdxH

00

EI a

a

C Max

MxH

0

0

2

2

EI 2

2

2Ma

MaH

C

EI

MaH

C

2

3 2

9. Calcular el , y .


264/267

1) Viga Real

1) Calcula EI= 0+ 2EI= + 2 2EI

=

a

a

PaxPaxPax 2

0

2

2

0

2

2

2

EI= 333 442 PaPaPa = EI

Pa 3

2 =

EI

Pa 3

2

2. Calcular = dxxaPxPadxaPadxxPx aaa 20200 ))(())(())((

=

a

a

a

PxPaxPaxxPaxPa

Px

2

0

322

22

0

2

0

3

3223

=3

82222

3

3

3333

3Pa

PaPaPaPaPa

= EI

Pa 3

3

3. Calcular = a a a dxPxPadxPadxPx0 20 20 )1)(()1)(()1)(( =

a

aa

a

PxPaxPax

Px

2

0

2

2

0

2

0

0

2

22

= 2222 2222

PaPaPaPa

=EI

Pa

2

5 2

=EI

Pa

2

5 2

10.- Calcular V,H, 135


265/267

B

2a 5a

4qa 4qa

9

8qa 8qa

16qa

5

A D

C

B

2a 5a

1

1

1

4a

5a

35

A D

C

Viga Real VUnitario

B

2a 5a

1

1

1

4a 4a

45

A D

C

B

2a 5a

1

1

1

A D

C

HUnitario Unitario

Tramo Longitud M DC 04a 2 0 X - 1CB 05a - 8 - x 4a - 1BA 05a

1658

-

5 4a - - 1Viga Real Nodo B VUnitario Nodo B

N1

4qa

N2

B

N1

1

N2

B

1) Calculo de V

4cos 4 ) 165

1 35


266/267

EIV= 8 8 5 EIV= 8 1640 EI

V= 4 8 40 EIV= 100 80 60 200 200V=

2) Calculo de H

EIH= 32 32 EIH= 32 32 EIH= 32 160 160 160 80H=

H=

3) Calculo de

EI= 1 81 8 1 EI= 8 81 EI=

8 8 EI=

40 40 40=


267/267

3.- Calculo de D

EI D=

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