Latihan 3 anreal

Latihan 3.1 Analisis Real (Burtlle Jilid 3)

1. Barisan didefinisikan oleh rumus untuk suku ke-n di bawah ini. Tulis 5 suku pertama

pada setiap kasus.

a.

Jawab:

b.

Jawab:

c.

Jawab:

d.

Jawab:

2. Beberapa suku pertama barisan diberikan seperti dibawah. Asumsikan bahwa “suku

bilangan asli” ditandai oleh suku di bawah ini. Tentukan rumus untuk suku ke-n dari

a. 5,7,9,11,... Jawab

b.

Jawab

c.

Jawab

d. Jawab

3. Daftarkan lima suku pertama dari barisan yang didefinisikan di bawah ini:

a. ,

Jawab:

b. ,

Jawab:

c. , ,

Jawab:

d. , ,

Jawab:

4. Untuk setiap buktikan bahwa

.

Jawab:

Bukti:

Pilih

, sehingga berlaku:

Terbukti.

5. Gunakan definisi limit untuk menunjukkan nilai limit di bawah ini:

a.

.

Jawab:

Pilih

, sehingga berlaku:

Terbukti.

b.

.

Jawab:

Pilih

, sehingga berlaku:

Terbukti.

c.

Jawab:

Pilih

, sehingga berlaku:

Terbukti

d.

Jawab:

Pilih

, sehingga berlaku:

Terbukti

6. Buktikan bahwa

a.

Jawab:

Pilih

, sehingga berlaku:

Terbukti.

b.

Jawab:

Pilih

, sehingga berlaku:

Terbukti.

c.

Jawab:

Pilih

, sehingga berlaku:

Terbukti.

d.

Jawab:

Pilih

, sehingga berlaku:

Terbukti.

7. Buktikan bahwa jika dan hanya jika . Berikan sebuah contoh

bahwa bahwa jika tidak selalu menyebabkan konvergen.

Jawab:

Bukti:

Akan dibuktikan dari kiri ke kanan.

,

Pilih sehingga berlaku:

Akan dibuktikan dari kanan ke kiri.

,

Pilih sehingga berlaku:

Terbukti.

Contoh:

Perhatikan bahwa tidak konvergen dan konvergen

8. Buktikan bahwa jika untuk setiap dan , maka

Jawab:

, berarti

,

Pilih , sehingga berlaku

9. Buktikan bahwa jika dan jika , maka ada bilangan asli sedemikian

sehingga untuk setiap .

Jawab:

, berarti

Pilih , dan pilih sehingga berlaku

10. Perlihatkan bahwa

Jawab:

Pilih

, sedemikian sehingga berlaku

Terbukti.

11. Perlihatkan bahwa

Jawab:

Pilih

, sehingga berlaku:

12. Misal memenuhi . Perlihatkan bahwa

Jawab:

Kasus I.

, didapatkan:

(Karena

Pilih

Akibanya,

Kasus II.

, didapatkan:

, untuk , (Dapat dibuktikan dengan PIM)

Pilih

Terbukti.

13. Tunjukkana bahwa

!

Jawab:

Pilih

Misalkan:

, dimana

(Dengan menggunakan teorema Bernoulli)

Terbukti.

14. Tunjukkan bahwa

Jawab:

Klaim bahwa:

Untuk

Bukti:

Untuk

, merupakan pernyataan yang benar.






Sekarang akan dibuktikan bahwa:

, untuk

Perhatikan bahwa:

Sehingga berlaku:

,

untuk .

Dapat disimpulkan bahwa

Bukti:

Pilih

, sehingga berlaku:

Terbukti.

15. Tunjukkan bahwa

Bukti:

Perhatikan bahwa:

(Coba buktikan), Untuk

Sehingga

Pilih

Sehingga berlaku:

(Terbukti)

Latihan 3 anreal

Documents

Transcript of Latihan 3 anreal