Transformasi koordinatDIC 126 Kuliah 6Referensi: Mary L. Boas, Mathematical methods in the physical sciences, 2nd ed., John Wiley & Sons, New York, 1983 : Bab 3 hal 81 142

K. F. Riley, M. P. Hobson and S. J. Bence, Mathematical Methods for Physics and Engineering 3rd edition ,Cambridge University Press, 2006

Contoh transformasi koordinatKoordinat kartesian koordinat silinder

Koordinat kartesian koordinat polar bola

Sistem dua benda

(X,Y,Z) adalah posisi pusat massa dari sistem dan (x,y,z) adalah koordinat relatif4. Rotasi

1. Transformasi LinierTransformasi antara koordinat kartesian dan koordinat silinder atau antara koordinat kartesian dan koordinat bola adalah transformasi non-linier. Transformasi antara koordinat masing-masing partikel dan koordinat pusat massa dan koordinat relatif atau sistem koordinat rotasi adalah transformasi linierPada trasnformasi linier, variabel yang baru merupakan kombinasi linier dari variabel yang lama. Dalam dua dimensi, persamaan transformasi linier dinyatakan sebagai

dimana a, b, c adalah konstan atau

M adalah operator untuk mendapatkan komponen vektor relatif terhadap sumbu x dan y apabila kita mengetahui komponennya relatif terhadap sumbu x dan y

2. Transformasi Rotasi: Transformasi VektorSuatu rotasi secara geometri dapat diinterpretasikan sebagai perubahan sistem koordinat (bahasa geometri) atau perubahan variabel (bahasa aljabar)perubahan variabel

Perubahan sistem koordinatTransformasi koordinat biasanya dinyatakan sebagai perubahan sistem koordinat (perubahan basis)

Perubahan koordinat vs Perubahan variabel

3. Transformasi Linier Secara UmumSecara umum, sumbu-sumbu x dan y yang didapat dg transformasi linier

tidak saling tegak lurusApabila persamaan tersebut merupakan suatu rotasi dan a,b,c,d dapat dinyatakan dalam sudut rotasi maka persamaan tersebut menjadi

Transformasi yang seperti itu disebut transformasi ortogonal

4. Transformasi OrtogonalTransformasi ortogonal adalah transformasi linier dari x,y menjadi x,y sehinggaTransformasi tersebut tidak mengubah panjang vektor. Karena

Maka

Agar memenuhi maka harus dipenuhi

Matriks OrtogonalMatriks M dari suatu transformasi ortogonal disebut matriks ortogonal. Untuk suatu matriks ortogonal,

Jika

maka

Kasus 3 dimensi

Kasus N dimensi

Contoh Penerapan: