Trans Koordinat

Fisika Matematika I

TRANSFORMASI KOORDINAT

Di dalam fisika transformasi koordinat diperlukan untukmenyederhanakan penyelesaian kasus. Contoh, tinjau kasussebuah bola yang bergerak di atas bidang miring, sbb:

Gaya gravitasi F, dapatdinyatakan dalam duakomponen, yaitu komponentegak lurus bidang dankomponen sejajar bidang.

sin|| mgF

cosmgF

Fisika Matematika I


Untuk menganalisa gerakan bola, diperlukan kerangkaacuan atau koordinat. Misal diambil acuan sbb:

Persamaan gerak bola, dapat dinyatakan sbb:

Hukum Newton II

Fisika Matematika I


Alternatif lain diambil acuan sbb:

Contoh tersebut menunjukkan bahwa pemilihan koordinat yang tepat pada penyelesaian kasus fisika dapat menyederhanakanperhitungan.

Fisika Matematika I


Bagaimana mengubah-ubah koordinat pada kasus yang lebihumum?

Mengubah koordinat dapat dilakukan dengantransformasi koordinat

Translasi

Transformasi koordinatdasar adalah sbb:

Fisika Matematika I


Tinjau titik P pada sistem koordinart x-y-z, sbb:

r = (x, y, z)

Fisika Matematika I


Sistem koordinat O (x, y, x) digeser manjadi sistemkoordinat O’ (x’, y’, z’)

Vektor transformasinyaadalah sbb:

Fisika Matematika I


Aturan sistem transformasi koordinat secara translasi adalahsbb:

Contoh:Posisi titik P di dalam sistem koordinat (x, y,z) adalah r = (5,2,3). Sistem koordinat digeser sehingga titik O berubahmenjadi di posisi r0 = (2, -3, 7)

Titik P pada sistemkoordinat O’ (x’, y’, z’) berubah menjadi:

r’ = (3, 5, -4)

Fisika Matematika I


Rotasi

Vektor posisi r dalam sistem koordinat x-y adalah: r = xi + yj, dirotasikan sebesar ke posisi baru. Posisi baru dinyatakansebagai koordinat dengan simbol x’ dan y’ dan vektor satuani’ dan j’.

Fisika Matematika I


Di dalam sistem koordinat x’-y’, vektor satuan r dinyatakansbb:

Hubungan antara koordinat x-y dengan koordinat x’-y’

Vektor r dalam sistem koordinat awal adalah:

Vektor r dalam sistem koordinat baru adalah:

Fisika Matematika I


Hubungan antara koordinat x-y dengan koordinat x’-y’

Hubungan sebaliknyadiperoleh dengan memutarbalik koordinat sebesar -, sehingga diperolehhubungan:

Fisika Matematika I


Diketahui vektor P dengan posisi r =(2,2) di dalam sistemkoordinat x-y. Jika sistem koordinat diputar sebesar 45, makatitik P dinyatakan dalam sistem koordinat baru adalah:

Contoh:

Fisika Matematika I


Hubungan sistem vektor rotasi koordinat dalam bentukmatrik

Contoh: Matrik rotasikoordinat sebesar 90adalah sbb:

Persamaan transformasi koordinatnya adalah sbb:

Fisika Matematika I


Jika koordinat dirotasikan dua kali, dari x,y ke x’,y’ kemudianke x”, y”,maka persamaan transformasinya adalah sbb:

Dapat disederhanakanmenjadi sbb:

Fisika Matematika I


Secara umum transfomasi koordinat dalam bentuk matrikdapat dinyatakan sbb:

AXY Y dan X adalah sistemkoordinat dan A adalah matriktransformasi

nnnnnn

nn

nn

xaxaxay

xaxaxay

xaxaxay

......

..............................................

......

......

2211

22221212

12121111

Fisika Matematika I


Contoh:

Vektor posisi P di dalam sistem koordinat X adalah [2, 0, 5], jika ditransformasi ke koordinat Y dengan matriktransformasi A, maka vektor posisi P dalam sistemkoordinat Y adalah:

331

521

211

A

17

27

12

5

0

2

331

521

211

Y

Jadi titik P dalam sistemkoordinat baru (Y) adalah: [12, 27, 17]

Fisika Matematika I


Titik [2, 0, 5] pada koordinat Y jika ditransformasi ke koordinatX adalah:

5

0

2

331

521

211

3

2

1

x

x

x

5

0

2

331

521

2111

3

2

1

x

x

x

X = [13/5, 11/5, -7/5]

Matrik Transformasi Koordinat dari Bola ke Kartesian

𝑎 = 𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗 + 𝑎𝑧 𝑘

𝑎 = 𝑎𝑅 𝑒𝑅 + 𝑎𝜌 𝑒𝜌 + 𝑎𝜙 𝑒𝜙

Kartesian

Bola

Fisika Matematika I


Fisika Matematika I


Fisika Matematika I


Matrik Transformasi Koordinat dari Silinder ke Kartesian

𝑎 = 𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗 + 𝑎𝑧 𝑘

𝑎 = 𝑎𝑟 𝑒𝑟 + 𝑎𝜙 𝑒𝜙 + 𝑎𝑧 𝑒𝑧

Kartesian

Silinder

Latihan

Diketahui matriks transformasi A dan Wsebagai berikut:

231

121

311

A

121

112

111

W

a. Diketahui X = [3, 0, 2], nyatakan X dalam basis koordinat A (XA), dan basis koordinat W (XW)

b. Diketahui XA = [1, 3, 4], nyatakan XA dalam basis koordinat W (XW)

c. Diketahui XW = [-1, 2, 5], nyatakan XW dalam basis koordinat awal X

Fisika Matematika I


Fisika Matematika I

TUGAS

323

112

231

A

Diketahui matriks transformasi A sebagai berikut:

Persamaan transformasi linearnyaadalah sbb:

AXY

a. Diketahui tiga posisi pada koordinat X adalah X1= [1, 1, 1], X2= [3, -1, 4], dan X3= [4, 0, 5]. Nyatakan titik-titik tersebut dalam sistem koordinat Y

b. Diketahui tiga posisi pada koordinat Y adalah Y1= [2, 0, -1], Y2= [4, 1, -4], dan Y3= [5, -1, -2]. Nyatakan titik-titik tersebut dalam sistem koordinat X

Carilah contoh transformasi koordinat dari kartesian keBola dan ke Silinder, gunakan matriks transformasi

1.

2.

Trans Koordinat

Documents

Transcript of Trans Koordinat