Kuswanto-2013

Teori Peluang

Peluang

Peluang atau probabilitas merupakan ukuran ketidakpastian dari suatu kejadian. Segala sesuatu yang ada di dunia ini mengandung ketidakpastian, seperti cuaca, hasil panen, keadaan ekonomi, harga pupuk, nilai tukar rupiah, dsb. Yang pasti hanyalah ketidakpastian itu sendiri.

Ruang contoh

Ruang contoh adalah semua kemungkinan hasil suatu percobaan. Beberapa percobaan suatu fenomena, akan menyusun variasi dalam hasil atau outcomenya. Setiap kemungkinan hasil dari suatu ruang contoh disebut unsur, anggota ruang contoh atau titik contoh.

Kejadian

Kejadian (event) adalah sebaran himpunan bagian dari ruang contoh. Kejadian sederhana, bila dapat dinyatakan sebagai sebuah himpunan yang terdiri dari satu titik contoh, sedang kejadian majemuk merupakan gabungan beberapa kejadian sederhana.

Contoh kejadian

peristiwa bertemunya kita dengan seorang petani di desa Jatirejomakin tinggi frekuensi, makin besar peluang untuk bertemu dengan satu orang dari kelas ituHubungan antara kejadian dan ruang contohnya dapat digambarkan dengan Diagram Venn.

Diagram Venn : kejadian dan ruang contoh

B

C

A

S

Operasi Himpunan

Gabungan (Union)AUB = { x I x anggota A atau x angota B}

Irisan (intersepsi)A∩B = { x I x Є A dan x Є B

KomplemenAC = { x I x bukan anggota A}

D

Operasi himpunan

B CAS S

A

AUB A∩B

AC

Mencacah titik contohRuang contoh berisi titik-titik contoh. Kita akan dapat memecahkan masalah peluang dengan mencacah banyaknya titik dalam ruang contoh tanpa mendaftar dulu unsur-unsurnya. Seringkali kita mempunyai ruang contoh yang unsurnya adalah semua kemungkinan susunan kelompok benda. Atau mungkin kita bertanya berapa banyak urutan yang mungkin, bila kita mengambil 2 kupon lotre dari 20 kupon. Suatu susunan yang dibentuk oleh keseluruhan atau sebagian dari sekumpulan benda disebut permutasi.

Permutasi Banyaknya permutasi n benda adalah n! (n

faktorial)Contoh : huruf a, b, c mempunyai (3) (2) (1) = 6

permutasi Huruf a, b, c, d mempunyai 4! = 4.3.2.1 = 24

Banyaknya permutasi akibat pengambilan r benda dari n benda berbeda adalah n!

nPr = -------------- (n - r)!

Contoh Seorang penyuluh pertanian

lapangan, ingin menjadwal 3 kali kunjungan ke 3 desa terpencil. Dia hanya mempunyai 5 hari kerja untuk itu, senin sampai jumat. Berapa banyak cara yang mungkin?

Jawab : Dari soal tersebut n = 5 (senin, selasa, rabu, kamis, jumat) dan r = 3 (kunjungan ke desa 1, 2 dan 3),maka

5P3 = 5!/(5-3)! = 5.4.3 = 60.

Contoh permutasi

Banyaknya permutasi n benda yang berbeda yang disusun dalam suatu lingkaran adalah (n - 1)!Contoh, berapa kemungkinan 5 tanaman cemara kipas dapat ditanam melingkar? Jawab (5-1)! = 24 cara.

Kombinasi Dalam banyak masalah kita ingin

mengetahui banyaknya cara mengambil r benda dari n benda tanpa memperhatikan urutannya.

Pengambilan demikian disebut kombinasi.

Kombinasi membuat sekatan dengan 2 sel. Satu sel berisi r benda yang dipilih dan sel yang lain berisi n - r benda yang tidak terpilih.

Banyaknya kombinasi r benda dari n benda yang berbeda, adalah n!C(n r) = --------------- r! (n - r)!

Peluang Suatu Kejadian

Peluang suatu kejadian diperoleh dari frekuensi tiap kelas dibagi dengan total frekuensi. Peluang merupakan ukuran besarnya kemungkinan terjadinya suatu kejadian dan karenanya juga disebut frekuensi nisbi (relatif) ingat distribusi frekuensi

Contoh peluang

Misal : n buah benda dapat diambil dengan peluang yang sama besar dan a buah benda dapat menimbulkan kejadian A, maka peluang terjadinya A.–P(A) = a/n – yaitu banyaknya benda yang

menimbulkan kejadian A dibagi banyaknya semua benda yang mungkin terambil

Contoh peluang

Dalam satu kantong terdapat 2 kelereng hitam (H), 3 kelereng putih (P) dan 5 kelereng merah (M). A adalah kejadian terambil kelereng, H/P/M. Peluang terambil kelereng hitam : P(H) = 2/10 Peluang terambil kelereng putih : P(P) = 3/10 Peluang terambil kelereng merah : P(M) = 5/10

Rumus-rumus PeluangPeluang (A atau B) = P(AUB) = P(A) + P(B), A dan B saling asingP(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B), A dan B tidak saling asing

Contoh P(A) = 1/3, P(B) = ½ A∩B = { } hitunglah berapa P(B∩AC)??– Karena B∩AC= B, maka P(B∩AC) = P(B) = ½

Peluang BersyaratPeluang bersyarat terjadi karena adanya informasi tambahan. Sebagai contoh, kita melihat peluang seorang mahasiswa mendapat nilai A dalam ujian statistika. Bila diketahui bahwa seseorang yang kita lihat adalah laki-laki, mungkin peluang untuk mendapat nilai tersebut bisa bertambah atau berkurang.

Rumus peluang bersyaratUmumnya : P(B/A) ≠ P(B) dan P(A/B) ≠ P(A)Dalam hal P(B/A) = P(B) dan P(A/B) = P(A), maka A dan B disebut independen (saling bebas)Dua kejadian A dan B disebut independen, bila– P(A/B) = P(A) atau– P(B/A) = P(B) atau– P(A∩B) = P(A) . P(B)

Jadi : P(A∩B) = P(A) . P(B) independen P(A∩B) = P(A) . P(A/B) dependen

Contoh Hubungan bobot buah mangga dan kandungan vitamin C dinyatakan dalam Tabel 5.1, dimana A adalah kandungan vitamin C dan B adalah bobot buah mangga.

Mangga terlalu tua

Mangga tua

Mangga muda

Total peluang

Vit C tinggi 0,10 0,08 0,02 0,20Vit C rendah 0,15 0,45 0,20 0,80Total peluang 0,25 0,53 0,22 1,00

Diketahui bahwa peluang vitamin C tinggi = 0,2P(A/B) = peluang kandungan vitamin C tinggi dengan syarat mangga terlalu tua. Dalam hal ini kita hanya memperhatikan sub populasiyang terjadi dari kelompok mangga yang terlalu tua

Latihan dan diskusi1. Match the proposed probability of A with the correct

verbal description (the latter may usedmore than once)

No Probability Verbal description

1 0 1. Very like happen

2 -0,3 ii. As much chance of occurring as not

3 0,9 iii. May occur but by no means certain

4 0,5 iv. An incorrect assignment

5 10.0 v. Very little chance of happening

6 0,05 vi. No chance of happening

7 0,3

2. Probabaility and odds. The probability of an event is oftenexpressed in term of odds. Specifially, when we say that the odds are k to w that an event will occur, we mean that probabilityof the event is k/(k+w). For instance, “the odds are 4 to 1 that candidate purple corn will win” mean that P(purple corn win) = 4/5 = 0,8. Express the following statement in term of probability :– The odds are 2 to 1 that there will be fair weather tomorrow– The odds are 5 to 2 that the city council will delay the funding of new

sports arena

3. Berapa banyak permutasi yang berbeda yang dapat disusun dari huruf-huruf dalam kata cantik? handsome? Berapa banyak di antara permutasi itu yang dimulai dengan huruf "n"?

4. Berapa banyak susunan yang dapat dibuat bila 5 pohon yang berbeda ditanam membentuk melingkar?

5. Berapa banyak cara menanam 3 pohon mangga, 4 jambu dan 2 nangka sepanjang batas kebun apabila kita tidak membedakan antara tanaman-tanaman yang sejenis.

6. Dari 4 apel manalagi, 5 rome beauty, dan 6 anna, berapa banyak kemungkinan terambil masing-masing jenis apel?

7. Suppose the sample space of an experiment has 6 flower colour outcomes. Two events are given as A = {k1,k5,k6} and B = {k2, k4, k5}.– Draw a Venn Diagram and exhibit the events A and B– Determine the compositions of the following events : Ac, AB, AUB, ABc

and AcB

8. Suppose the sample space of an experiment has 6 flower colour outcomes. Two events are given as A = {k1,k5,k6} and B = {k2, k4, k5}.– Draw a Venn Diagram and exhibit the events A and B– Determine the compositions of the following events :

Ac, AB, AUB, ABc and AcB

9. Referring to a Venn Diagram verify the following statement :– The event AUB includes the event AB– (AB) U (ABc) = A– AUAc = S

10.For two exeriment field events A and B, the following probabilities are given : P(A : find insect) = 0,5, P(B : temperature 20oC) = 0,25 and P(A/B) = 0,8. Use the appropriate law of probability to calculate :– P(Ac)– P(AB)– P(AUB)

11.Of the yardlong bean experiment reporting that the leave symptoms of mosaic and aphid attack, 25% have mosaic symptom, 50% have aphid and 10% have both.– What is the probability that a plant selected a random has

either mosaic symptom, aphid attack or both of them? – Are the events “mosaic symptom” and “aphid attack”,

independent?