Kuliah kedua mekanika bahan

8/11/2019 Kuliah kedua mekanika bahan

1/56

Kuliah 2 :

Perhitungan Besaran Penampang1. Luas Penampang2. Titik berat penampang3. Statis Momen


2/56

Sebagaimana telah diterangkan padabagian awal dari kuliah mekanika bahan :

Kemampuan elemen struktur dalam

menahan tegangan sangat ditentukan oleh1. Ukuran penampang struktur

2. Material yang digunakan sebagai bahandari elemen struktur


3/56


4/56


5/56

Tegangan yang terjadi padaelemen strukturberbanding lurus

denganGaya Dalam yang

terjadi pada elemenstruktur


6/56

penampang besaranbebantegangan

Dari dua definisi tentang tegangan di depan, makasecara umum hubungan antara tegangan, beban danbesaran penampang dapat dinyatakan dengan rumus

sebagai berikut :


7/56

penampang besaran

dalam gaya

tegangan

Gaya Dalam

Gaya Normal

Gaya Geser

Gaya Putar ( Momen Lentur)

Tegangan Normal

Tegangan Geser

Tegangan LenturTeganganNormal

Mencarigaya dalam

sudah

diterangkanpada kuliah

STATIKA


8/56

Tegangan Normalpenampang besaran

normal gaya normal tegangan

Tegangan Geserpenampang besaran

geser gaya geser tegangan

Tegangan Lentur penampang besaran lentur momen

lentur tegangan

A

N

'A

D

W

M


9/56

Satuan Tegangan : Satuan Gaya / Satuan Panjang 2 contoh :

kN/cm 2 , kN/m 2 , N/mm 2


10/56

penampang besaran

normal gaya normal tegangan

penampang besaran

geser gaya geser tegangan

penampang besaran

lentur momen lentur tegangan

A

N

'A

D

W

M

Memerlukan besaranpenampang

A : luas penampang

Memerlukan besaranpenampang

A : modifikasi luaspenampang

Memerlukan besaranpenampangW : momen tahanan

Pada ketiga rumus di atas ada dua besaran penampangyang diperlukan pada perhitungan tegangan yaitu luaspenampang A (atau A) dan momen tahanan W. Apa yang

dimaksud dengan W ?


11/56

Untuk melihat pengertian dasar tentang Wmari kita lihat pada contoh balok ditumpu

pada tumpuan jepit (balok kantilever /balok konsol) dan menderita beban

terpusat P di ujung balok, panjang Balok Ldan luas penampang A.

Pada contoh balok kantilever ini kita akanmelihat 3 contoh kasus balok dengan luas

penampang sama yaitu = A tetapi

mempunyai bentuk penampang yangberbeda


12/56

Pada kasus pertama penampang balokberupa empat persegi panjang dengan

lebar B dan tinggi H. B > HLuas penampang A = B * H

Pada kasus ketiga penampang balokberupa siku-siku dengan lebar B dan

tinggi H. B


13/56


14/56

Pada ketiga kasus di depan, ketiga penampang mempunyailuas sama.

Sebagai contoh jika luas penampang A = 600 cm 2

Penampang kasus 1 mempunyai B = 10 cm dan H = 60 cm


Penampang kasus 3 mempunyai B = 10 cm, H = 60 cm danberbentuk siku

Pada ketiga kasus di atas, apakah ketiga penampangmemiliki kemampuan menahan beban yang sama ?

Manakah penampang yang paling kuat menahanbeban di atas? dan kasus mana yang paling lemah?

Mengapa demikian?


15/56

Pada ketiga kasus di depan, ketiga penampang mempunyailuas sama.

Sebagai contoh jika luas penampang A = 600 cm 2



Penampang kasus 3 mempunyai B = 10 cm, H = 60 cm danberbentuk siku

Penampang kasus 1 mempunyai momen tahanan lebihbesar dari pada kasus 2 dan kasus 3. Penampang kasus 1

mempunyai momen tahanan terbesar diantara 3 kasus.

Penampang kasus 2 mempunyai momen tahanan lebih kecildari kasus 3. Penampang kasus 2 mempunyai momen

tahanan terkecil diantara 3 kasus penampang.

Sementara belum diajarkan cara menghitung momen tahanan


16/56

Dari uraian di depan maka terlihat bahwaluasan yang sama pada ketiga penampang

ternyata mempunyai momen tahanan yang berbeda.

Momen tahanan dapat didefinisikansebagai kemampuan sebuah penampang

menahan momen.

Makin kecil momen tahanan yang dimilikioleh sebuah penampang, maka makinbesar tegangan yang diderita akibat

beban luar (atau gaya dalam M)


17/56

Pada ilmu mekanika teknik atau ilmu struktur,

cara terbaik yang diperlukan pada sebuah

penampang pada saat menahan beban luaradalah menempatkannya sedemikian rupasehingga penampang tersebut memiliki

kemampuan menahan momen atau momentahanan yang terbesar

Penampang harus ditempatkan sedemikian rupasehingga tegangan yang terjadi pada struktur

atau elemen struktur adalah sekecil atauseminimum mungkin.


18/56

Sumbu X dan Y adalah sumbu simetri penampang pada kasus 1


19/56

Sumbu X dan Y adalahsumbu simetri penampang

pada kasus 2


20/56

Sumbu X dan Y bukansumbu simetri penampang

pada kasus 3


21/56

Pada kasus 1 dan kasus 2 terdapat dua sumbu X dan Y yang

simetri terhadap penampang.

Pada kasus 3 sumbu X dan Y bukan sumbu simetripenampang.

Meskipun penampang 2 mempunyai momen tahanan lebihkecil dari penampang pada kasus 3 tetapi penampang

kasus 2 mempunyai sumbu simetri.

Pada saat menahan beban, penampang penampang yangmempunyai sumbu simetri relatif mempunyai kelebihan

dalam mengatasi persoalan perubahan bentuk akibat bebanluar yang bekerja padanya.


22/56

Untuk menghitung teganganyang terjadi pada penampangmaka persoalan pertama yang

harus diselesaikan adalahbagaimana mencari luaspenampang dan mencarisumbu berat penampang.


23/56

Menghitung luas penampang dan mencari

sumbu berat penampang


24/56

Menghitung luas penampang tunggal

A = B * H A = B * H

A = * B * H A = * B * H A = * * D 2


25/56

Menghitung luas penampang majemuk(tersusun)

A = B1* H1 + B2 * H2 + B3 * H3


26/56


A = B1*H1 + B2*H2 + B3*H3 + 4**B4*H4


27/56


28/56


l u b a n g

A = B1*H1 + B2*H2 + B3*H3 + 4**B4*H4 B5*H5


29/56


N

i i AA

1

N = jumlah penampang tunggal pada penampang tersusun

A i = luas penampang tunggal ke i


30/56

Mencari sumbu berat penampang tunggal


31/56


32/56

Mencari sumbu berat penampangtersusun

W1

Supaya batang tetap mendatar akibat beban W1dan W2 maka MOMEN M1 harus sama dengan M2

Momen M1 = W1 * L1Momen M2 = W2 * L2L1 = jarak W1 ke sumbu beratL2 = jarak W2 ke sumbu berat

M1 = 1*B1*H1*L*g*L1

M2 = 2*B2*H2*L*g*L2

Potongan I - I

W1

S u m

b u

b e r a

t


33/56


W1

M1 = M2W1*L1 = W2*L2

M1 = 1*B1*H1*L*g*L1M2 = 2*B2*H2*L*g*L2

Potongan I - IW1

S u m

b u

b e r a

t


34/56


W1

M1 = M2

W1*L1 = W2*L21*B1*H1* L*g*L1 = 2*B2*H2* L*g*L2

Jika 1 = 2, makaB1*H1*L1 = B2*H2*L2B1*H1*L1 = STATIS MOMEN benda 1B2*H2*L2 = STATIS MOMEN benda 2

Potongan I - I

S u m

b u

b e r a

t


35/56


W1

Karena 1 = 2 benda 1 dapat diwakili olehelemen luas 1 = B1*H1 dan benda 2 dapatdiwakili oleh elemen luas 2 = B2*H2

B1*H1*L1 = STATIS MOMEN benda 1

B2*H2*L2 = STATIS MOMEN benda 2

Potongan I - I

S u m

b u

b e r a

t


36/56


W1

Karena B1*H1 = elemen luas 1 dan B2*H2 =elemen luas 2, maka dapat disimpulkanbahwa STATIS MOMEN benda 1 = STATISMOMEN benda 2atau STATIS MOMEN elemen luas 1 = STATIS

MOMEN elemen luas 2

Potongan I - I

S u m

b u

b e r a

t


37/56

STATIS MOMEN adalah hasilperkalian antara luas elemen

dengan jarak titik beratelemen ke satu sumbu

tertentu (titik tertentu)


38/56


W1

JikaB1*H1 = B2*H2, maka L1 harus samadengan L2JikaB1*H1 B2*H2, maka L1 L2

Potongan I - I

S u m

b u

b e r a

t

1*1

2*2

2

1

H B

H B

L

L


39/56


Jika D adalah jarak sumbu berat elemen 1 dan sumbu berat elemen 2 dannilainya tetap dan B1*H1 B2*H2 , supaya batang tetap mendatar makasumbu berat kedua elemen penampang harus digeser ke kiri atau ke

kanan sedemikian rupa sehinggaB1*H1*L1 = B2*H2*L2

1*1

2*2

2

1

H B

H B

L

L


40/56


41/56


Jika D = 200 cmB1*H1 = 5*2 cm 2 = 10 cm 2

B2*H2 = 5*3 cm 2 = 15 cm 2

L1 + L2 = D = 200 cmB1*H1*L1 = B2*H2*L2B1*H1*L1 = B2*H2*(D-L1)10*L1 = 15*(200-L1)10L1 = 3000 15L125L1 = 3000L1 = 120 cmL2 = 200 cm 120 cm = 80 cm


42/56


Dengan cara yang sama makauntuk mencari letak sumbu beratpada kasus elemen luas sepertiterlihat pada gambar di sampingdapat ditentukan denganpendekatan :

B1*H1*L1 + B3*H3*L3 = B2*H2*L2


43/56


Jika D = 200 cmB1=B2=B3 = 5 cmB1*H1 = 5*2 cm 2 = 10 cm 2

B2*H2 = 5*3 cm 2 = 15 cm 2

B3*H3 = 5*4 cm 2 = 20 cm 2

L1 + L2 = D = 200 cm

L3 = L1 B1 - B3B1*H1*L1 + B3*H3*L3 = B2*H2*L2B1*H1*L1 + B3*H3*(L1-B1-B3)=B2*H2*(D-L1)10*L1 + 20*(L1-B1-B3) = 15*(200-L1)10L1+20L1-20*2.5-20*2.5 = 3000 15L1

45L1 = 3000 + 50 + 5045L1 = 3100 cmL1 = 68.8889 cmL2 = 200 cm 68.889 cm = 131.1111 cmL3 = 68.8889 2.5 2.5 = 63.8889 cm

B1*H1*L1 + B3*H3*L3 = B2*H2*L210*68.8889 + 20*63.8889 = 15*131.1111688.889 + 1277.778 1966.66651966.667 1966.6665


44/56


Cara pendekatan lain untuk mencari posisisumbu berat dapat dilakukan denganmencari momen dari semua gaya ke ujungkanan balok (ingat teori keseimbanganmomen pada mata kuliah STATIKA)

W1*(L1+L2+B2) + W2*B2 = R*(L2+B2)

W1*(L1+L2+B2) + W2*B2 = (W1+W2)*(L2+B2)

W1*L1+W1*L2+(W1+W2)*B2 = (W1*L2 +W2*L2 + (W1+W2)*B2

W1*L1 = W2*L2

B1*H1*L1 = B2*H2*L2


45/56


Cara pendekatan yang sama juga dapatdilakukan dengan mencari momen keujung kiri balok

W2*(L1+L2+B1) + W1*B1 = R*(L1+B1)

W2*(L1+L2+B1) + W1*B1 = (W1+W2)*(L1+B1)

W2*L1+W2*L2+(W1+W2)*B1 = (W1*L1 +W2*L1 + (W1+W2)*B1W2*L2 = W1*L1

W1*L1 = W2*L2

B1*H1*L1 = B2*H2*L2


46/56


momen ke ujung kanan balok

W1*(L1+L2+B2) + W3*(L3+L2+B2) + W2*B2 =R*(L2+B2)

W1*L1+W1*L2+W1*B2 + W3*L3+W3*L2+W3*B2 +W2*B2 = (W1+W2+W3)*(L2+B2)

W1*L1+W1*L2+W1*B2 +W3*L3+W3*L2+W3*B2 + W2*B2 =W1*L2+W2*L2+W3*L2+W1*B2 +W2*B2 +

W3*B2

W1*L1+W3*L3 = W2*L2

D = 200 cm


47/56

B1=B2=B3 = 5 cmB1*H1 = 5*2 cm 2 = 10 cm 2

B2*H2 = 5*3 cm 2 = 15 cm 2

B3*H3 = 5*4 cm 2 = 20 cm 2

L1 + L2 = D = 200 cmL3 = L1 B1 - B3 = L1 - 5

B1*H1*(L1 +L2+B2) +B3*H3*(L3+L2+B2)+B2*H2*B2 =

(B1*H1+B2*H2+B3*H3 )*(L2+B2)

10*(L1 +L2+2.5) + 20*(L3+L2+2.5)+15*2.5=(10+15+20)*(L2+2.5)

10*(L1 +L2+2.5) + 20*(L1-5+L2+2.5)+37.5=45*(L2+2.5)

10*(L1 +L2)+10*2.5 + 20*(L1+L2) 20*2.5)+37.5= 45*(L2+2.5)2000+25+4000-50+37.5 = 45L2+112.5L2 = 131.1111

L1 = 68.8889 cmL2 = 131.1111 cmL3 = 63.8889 cm

Mencari sumbu beratpenampang tersusun Luas total =B1*H1+

B2*H2 +B3*H3

Contoh 1 Sumbu X dan Y adalah sumbu berat


48/56

Contoh 1 Sumbu X dan Y adalah sumbu beratpenampang. Untuk menghitung lokasisumbu X dilakukan dengan perhitunganstatis momen ke sisi penampang paling

bawah. Untuk menghitung lokasi sumbu Ydilakukan dengan perhitungan statismomen ke sisi penampang paling kiri.

A1 = 30*10 = 300 cm 2

A2 = 60*15 = 900 cm 2

A3 = 30*10 = 300 cm 2

A = A1 + A2 + A3 = 1500 cm 2

A1*75 + A2*40 + A3*5 = A * YY = (300*75 + 900*40 + 300*5)/1500

Y = (22500 + 36000 + 1500)/1500Y = 40 cm

A1*15 + A2*15 + A3*15 = A*XX = (300*15 + 900*15 + 300*15)/1500X = 15 cm

Contoh 1 Y = 40 cm


49/56

Contoh 1 Y = 40 cmX = 15 cm

Statis momen bagian atas =(30*10*(75-40)+30*15*30/2)17250 cm 3

Statis momen bagian bawah =(30*10*(40-5)+30*15*30/2)17250 cm 3

Contoh 2


50/56

Contoh 2

A1 = 30*10 = 300 cm 2

A2 = 60*15 = 900 cm 2

A3 = 30*10 = 300 cm 2

A = A1 + A2 + A3 = 1500 cm 2

A1*75 + A2*40 + A3*5 = A * YY = (300*75 + 900*40 + 300*5)/1500

Y = (22500 + 36000 + 1500)/1500Y = 40 cm

A1*30 + A2*22.5 + 30*15 = A*XX = (300*30 + 900*22.5 + 300*15)/1500

X = 22.5 cm

Contoh 2


51/56

Contoh 2Y = 40 cmX = 22.5 cm

Statis momen bagian kiri =(30*10*(30-22.5)+60*15*(22.5-22.5))2250 cm 3

Statis momen bagian kanan =(30*10*(22.5-15)+60*15*(22.5-22.5))2250 cm 3

Contoh 3


52/56

A1 = 30*10 = 300 cm 2

A2 = 60*15 = 900 cm 2

A3 = 30*10 = 300 cm 2

A4 = 50 * 10 = 500 cm 2

A = A1 + A2 + A3 A4 = 1000 cm 2

A1*75 + A2*40 + A3*5 A4 * 40= A * Y

Y = (300*75+900*40+300*5-500*40)/1000Y = (22500 + 36000 + 1500 - 20000)/1000Y = 40 cm

A1*15 + A2*15 + A3*15 A4*15= A*X

X = (300*15+900*15+300*15-500*15)/1000X = 15 cm

Contoh 4


53/56

Dimanakah letaksumbu berat X danY pada penampangdi samping ?

Contoh 4 A = A1 + A2 + A3 A4 = 300 + 900 + 300 600 = 900 cm


54/56

1

2

3

4

A2 = 60 * 15 = 900 cm 2

A3 = 30 * 10 = 300 cm 2

A4 = 60 * 10 = 600 cm 2A1 = 30 * 10 = 300 cm 2


55/56

Contoh 4 Y = 36 6667 cm


56/56

Y = 36.6667 cmX = 15 cm

Statis momen bagian atas =(30*10*(75-36.6667)+33.3333*15*33.3333/2 -38.3333*10*38.3333/2 )12486.09722 cm 3

Statis momen bagian bawah =(30*10*(36.6667-5)+26.6667*15*26.6667/2 -21.6667*10*21.6667/2 )12486.12722 cm 3

Kuliah kedua mekanika bahan

Documents

Transcript of Kuliah kedua mekanika bahan