ALJABAR VEKTORALJABAR VEKTOR

• Notasi Vektor

• Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

• Perkalian Vektor:

•“Dot” atau scalar Product•“Cross” atau vector Product

Vektor-vektor satuanVektor-vektor satuan

Biasa digunakan untuk menyatakan arah (direction)Biasanya ditulis dengan “topi”:

Besar vektor ditulis |v| atau v

Sehingga vektor ditulis

Dalam koordinat Kartesian

vektor-vektor satuan , x, y, z atau i, j, ki, j, k .

Menyatakan titik-titik dalam arah sumbu x, y and z

vv

y

z

x

jj

kk

ii

Vektor satuan Vektor satuan merupakan vektor yang mempunyai panjang 1 satuan

v^v^

^ ^ ^

vvv ˆ

^ ^ ^

Vektor-vektor satuanVektor-vektor satuan

Contoh: Nyatakan vektor yang dibentuk oleh titik (0,0,0) ke (3,4,1) dalam bentuk besar dan vektor satuan:

|a| = =

Vektor satuan a = (3i + 4j + k) y

z

x

jj

kk

ii

1169

^26

1

(3,4,1)

k j4 i3 a

^ ^ ^

Penjumlahan VektorPenjumlahan Vektor

Vektor a = 2 i

Vektor b = i + j

Resultan vektor dari

(i) penjumlahan a+b

(ii) pengurangan a-b

adalah?

NOTES

JawabanJawaban

c = a + b = (axi + ayj + azk) + (bxi + byj + bzk)

= (ax + bx)i + (ay + by)j + (az + bz)k

= (2 + 1 )i + (0 + 1 )j = 3 i + 1 j

a = 2 i

b = i + j

c = a - b =(axi + ayj + azk) - (bxi + byj + bzk)

= (ax - bx)i + (ay - by)j + (az - bz)k

= (2 - 1 )i + (0 - 1 )j = i - j

Perkalian Vektor:Perkalian Vektor:

Skalar x vektor

Trivial2 a = 2 x vektor a

Another vector in the same direction but twice as long.

Perkalian VektorPerkalian Vektor

vektor x vektor - 2 kemungkinan:

1. Scalar atau dot product a•b ... dibaca ‘a dot b’Hasil skalar didapatkan dari perkalian dua vektor.

2. Vector or cross product a x b ... dibaca ‘a cross b’Hasil vektor didapatkan dari perkalian dua vektor.

Perkalian Vektor: dot productPerkalian Vektor: dot product

Dot Product

a•b = |a| |b| cos

Contoh; Usaha = F•d = Fd cos

skalar vektor

F

d

Catatan cos(90°) = 0, sehingga dua vektor saling tegak lurus memiliki “dot product” nol.

Sudut diukur berlawanan jarum jam dari sumbu x positif

a

b

““dot product”dot product”

Sifat-sifat:

1. a•b = b•a

2. a•a = a2

3. a•b = 0 a tegak lurus terhadap b

Untuk koordinat Kartesian i•i =1, i•j = 0

Perkalian “dot” dua vektor biasa dinyatakan:

a = axi+ayj+azk dan b = bxi+byj+bzk adalah a•b = axbx+ayby+azbz

(cos 0° = 1)

y

z

x

jj

kk

ii

Dot ProductDot Product

Vektor a = 2 i Vektor b = i + j

Berapa nilai a•b ?

NOTES

JawabanJawaban

(i) a•b = ab cos

Besar (panjang) vektor diperoleh dengan teorema Pythagoras:

j y

b

a45 °

1

1i

x 2

a = 2 i

b = i + j

(ii) Produk skalar dari dua vektor:

a = axi+ayj+azk and b = bxi+byj+bzk is a•b = axbx+ayby+azbz

Sehingga a•b = 2

22

1)2()2(

2

1)45cos(2 |b|2 |a|

ba

Skalar : besaran yang hanya memiliki besar atau magnitude

Vektor : Besaran yang memiliki magnitude DAN arah

Vektor biasanya ditulis v (bold face)v (bold face) or v

Magnitude secara sederhana dinyatakan v atau |v| dan bernilai positif

Vektor satuan: vektor yang memiliki panjang 1 dan tak bersatuan:

Vektor-vektor satuan Kartesian dinyatakan: i, j, ki, j, k .

Penjumlahan/pengurangan vektor: c = a + b = (axi + ayj + azk) + (bxi + byj + bzk)

= (ax + bx)i + (ay + by)j + (az + bz)j

Rangkuman: Aljabar Rangkuman: Aljabar VEKTORVEKTOR

(I) Skalar atau dot product a•b - hasil skalar.

a•b = |a| |b| cos Untuk vektor-vektor saling tegak lurus, = 90°, a•b = 0

• Perkalian vektor:

cosB

A Bproj A A

B

(II) Cross product: a x b

Sifat-sifat

Metode umum

Metode determinan

Contoh-contoh

ALJABAR VEKTOR (Part 2)ALJABAR VEKTOR (Part 2)

Perkalian vector: vector productPerkalian vector: vector product

Vector or cross product a x b - hasil vector

c = a x b

Magnitude c = |c| =|a x b| = a b sin

c mempunyai ARAH terhadap a dan b

Aturan tangan kanan atau majunya skrup

Vector atau cross product: a x b

c = a x b

a

b

Sifat-sifat vektor/cross Sifat-sifat vektor/cross productproduct

1. a x b = - b x a

a x b = 0; a sejajar b

2. Vector product vektor dengan dirinya sendiri = 0

a x a =0

Sehingga i x i = 0, j x j = 0, k x k = 0

3. Magnitude dari cross product dua vektor saling tegak lurus a dan b

(|a x b| = a b sin

4. Kartesian

i x j = k

j x k = i

k x i = j

j x i = -k

k x j = -i

i x k = -j

“Cyclic permutations”

“Anticyclic permutations”

y

z

xjj

kk

ii

y

z

xjj

-k-kii

Sifat-sifat vektor/cross Sifat-sifat vektor/cross productproduct

Vector/cross Vector/cross productproduct::

Metode umum

a x b = (aybz – azby)i + (azbx – axbz)j + (axby – aybx)k

Metode Determinan

a x b = b b b

a a a

zyx

zyx

kji

Vektor/Vektor/crosscross productproduct: Metode Determinan: Metode Determinan

b b b

a a a

zyx

zyx

kjia x b =

zyx

zyx

kji

bbb

aaaUntuk i:

= (aybz – azby)i

Metode Determinan: Lanjutan1Metode Determinan: Lanjutan1

Untuk j: = - (axbz – azbx)j

x y z

x y z

a a a

b b b

i j k

=

zyx

zyx

kji

bbb

aaaUntuk k:= = (axby – aybx)k

Metode Determinan: Lanjutan2Metode Determinan: Lanjutan2

a x b = (aybz – azby)i - (axbz -azbx)j + (axby – aybx)k

Vector/Cross ProductVector/Cross Product

Vektor a = 2 i Vektor b = i + j

Tentukan a x b ?

NOTES

JawabanJawaban

(i) Magnitude: a x b = ab sin

Arah: kSehingga a x b = 2 k

y

z

xbb

c c == a a x x bb

aa

= 45°

a = 2 i

b = i + j

(ii) Vector product dari dua buah vektor

a x b = 2 i x (i + j) = 2 (i x i) + 2 (i x j) = 0 + 2 k

= 0 = kSehingga a x b = 2 k

22

1)2()2(

2

1)45sin(2 |b|2 |a|

ba

Contoh 2Contoh 2

Vektor a = 2 i + j + 3 k Vektor b = j + 2 k

Dengan metode determinan, tentukan a x b

NOTES

Jawaban 2Jawaban 2

sehingga 2 1 30 1 2

= i (2-3) - j (4-0) + k ( 2-0) = -i - 4j + 2k

a = 2 i + j + 3 k

b = j + 2 k

a

b

Representasi geometricRepresentasi geometric

Luas area yang dibentuk dua vektor

|a x b | = a b sin

Volume parallelepiped:

V= a•(b x c) - triple scalar product

Dot dan cross product 3 vektor: a, b, and c

a

b

c

Contoh dari vector/cross products dalam fisikaContoh dari vector/cross products dalam fisika

MEKANIKA:

a) Torka

= r x F

b) Momentum sudutL = r x p (p=mv)

ELECTROMAGNETISM:

c) Gaya pada partikel bermuatan dalam medan magnet

F = q (v x B) v = velocity, B = magnetic field