SEMESTER II

1

Selasa, 30 Oktober 2012FAKULTAS EKONOMIPROGRAM STUDI MANAJEMENUNIVERSITAS ISLAM LABUHANBATU

PERKULIAHAN-2

Matematika ekonomiPenerapan Matriks Dalam Ekonomi

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUSSetelah mempelajari bab ini, anda diharapkan dapat :

1. Matriks transaksi

2. Analisis input-output model leontif

3. Model terbuka

4. Model tertutup

2

Deskripsi Singkat• Dalam perkuliahan ini, anda akan mempelajari tentang

transaksi matriks• Bagian selanjutan akan membahas tentang analisis matriks

input-output model leontif dan model terbuka• Bagian akhir perkuliahan akan membahas model tertutup

3

Bahan BacaanBuku Wajib• Dumariy, 2003, Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi,

Penerbit BPFE, Yogyakarta.• Habieb dan aziz, 2008, Matematika Ekonomi dan Bisnis, Penerbit

Ghalia Indonesia, Jakarta.

Buku Pelengkap• D. Sriyono, 2008, Matematika Ekonomi dan Keuangan, Penerbit

Andi, Yogyakarta.• Suprian Atmaja Saputra, 2002, Matematika Ekonomi 1, PT. Ghalia

Indonesia, Jakarta.

4

tugasPertanyaan :

1. Hitunglah masing-masing koefisien inputnya

2. Jika permintaan akhir terhadap sektor pertanian, industri dan jasa diharapkan masing-masing berubah jadi 25, 201 dan 45 berapa output total yang baru bagi masing-masing sektor tersebut

3. Hitunglah nilai tambah yang baru bagi masing-masing sektor

5

Pertanian Industri Jasa Demand Akhir Output Total

Pertanian IndustriJasa

1155

198937

14037

10106106

41240185

Nilai Tambah 20 95 107 21 243

Output Total 41 240 185 243 659

Matriks transaksiTeori Leontif Paradoks oleh Wassily Leontif (1953) • Mempersoalkan teori H-O : leontif menemukan AS, sebagai negara padat

modal juga mengekspor produk yang padat tenaga kerja (less capital intensive).

• H-O mengabaikan biaya transportasi.• Perbedaan selera juga tidak dibahas dalam teori perdagangan ini

Tabel 1

6

Pertanian Industri Jasa Demand Akhir Output Total

Pertanian IndustriJasa

201510

358050

56055

40135120

100290235

Nilai Tambah 55 125 115 70 365

Output Total 100 290 235 365 990

Keterangan :• Samping : dari seluruh output sektor pertanian senilai 100; 20 digunakan

untuk sektor sendiri sebagai input dan seterusnya, sedangkan sisanya senilai 40 dibeli oleh konsumen sebagai barang konsumsi.

• Bawah : dari seluruh output sektor pertanian senilai 100; 20 digunakan untuk sektor sendiri, 15 berupa input dari sektor industri, 10 berupa input dari sektor jasa, dan 55 berupa nilai tambah sektor pertanian tersebut atau disebut input primer.

Xij = output dari sektor i yang digunakan sebagai input oleh sektor j

Ui = permintaan akhir terhadap output sektor I

Yi = nilai tambah sektor j

Xj = output total dari sektor j

7

Matriks Transaksi

Pemakaian total oleh sektor i :

i = 1, 2 … m+1

Output total dari sektor j ;

j = 1, 2 … m+1

8

Distribusi Konsumsi Permintaan Akhir Output Total

Pertanian Industri

X11 X12 … X1m

X21 X22 … X2m

Xm1 Xm2 … Xmm

U1

U2

U3

X1

X2

Xm

Nilai Tambah Y1 Y2 … X12 Um+1 Xm+1

Output Total X1 X2 … Xm Um+1X

n

Xi ∑ Xij + U1

j = 1

n

Xj ∑ Xij + Y1

i = 1

• Jika nilai masing-masing unsur dalam matriks transaksi tersebut bagi

terhadap nilai jumlah baris dan kolom (misalnya X1j dibagi Xj atau X2j dibagi

Xj) maka diperoleh suatu rasio yang disebut koefisien input.

i = 1, 2 … m+1

j = 1, 2 … m+1

• Koefisien input aij adalah suatu rasio yang menjelaskan jumlah output sektor I yang diperlukan sebagai input untuk menghasilkan satu unit output

di sektor j. oleh karena aij = Xij maka Xij = aij . Xj

Xi

• Untuk kasus negara K dari tabel 4, hitunglah output total masing-masing sektor dan nilai tambahnya jika ditargetkan permintaan akhir terhadap sektor pertanian, industri dan jasa masing-masing 100, 300 dan 200. susunlah matriks transaksi yang baru ?

9

aij = Xij

Xj

P I J

Pertanian IndustriJasa

0,200,150,10

0,120,280,17

0,020,260,23

Nilai Tambah 0,55 0,43 0,49

Output Total 1,00 1,00 1,00

Jawab :

10

Pertanian IndustriJasa

P I J

= A0,200,150,10

0,120,280,17

0,020,260,23

Rumus : X = (1 – A)-1 U

X1

X2

X3 =

0,200,150,10

0,120,280,17

0,020,260,23

-1 100300200

|1 – A| = 0,38923

(I – A)-1 =adj (I – A)

=1,31080,36350,2505

0,24611,57750,3802

0,11710,54211,4336| I – A |

X1

X2

X3 = (I – A)-1

100300200

=228,33618,02425,83

• Jadi output total masing-masing sektor akan menjadi :

Pertanian = 228,33

Industri = 618, 02

Jasa = 425,83• Nilai tambah sektor :

Pertanian = 0,55 x 228,33 = 125,58

Industri = 0,43 x 618,02 = 265,75

Jasa = 0,49 x 425,83 = 208,66

11

Analisis matriks input-output model loentif

• Analisa leontif berhubungan dengan persoalan : berapa tingkat besar input seharusnya dari N industri supaya cukup memenuhi total demand produk ?

• Output suatu industri (industri baja) diperlukan sebagai input industri lain bahkan untuk industri itu sendiri. Input-output analisis sangat berguna dalam perencanaan produksi seperti perencanaan pengembangan suatu perusahaan.

Struktur Input-Output Model• Model input-output umumnya meliputi jumlah industri yang banyak maka

dibuat asumsi-asumsi untuk penyederhanaan problem sebagai berikut ;

1. Tiap industri hanya menghasilkan satu komoditi

2. Masing-masing industri menggunakan input rasio tertentu menghasilkan output

3. Produksi dalam industri adalah constant return to scale, sehingga perubahaan k kali dalam input akan mengakibatkan perubahan k kali dalam output.

12

• Dari asumsi diatas menunjukan bahwa untuk memproduksi masing-masing unit dari komoditi ke j input yang dibutuhkan dari komoditi ke I harus tertentu jumlahnya. Kita tunjukkan dengan aij, maka untuk memproduksi unit dari komoditi ke j dibutuhkan.

1. Jumlah aij dari komoditi ke 1

2. Jumlah a2j dari komoditi ke 2

3. Jumlah a3j dari komoditi ke 3

4. Jumlah anj dari komoditi ke n

aij i = menunjukan input

j = menunjukan output

13

Model terbuka• Jika selain dari n industri, model mempunyai sektor terbuka seperti rumah

tangga yang menentukan final demand (bukan input demand) bagi produk tiap industri dan yang mensuplai input primer (labour service) tidak dihasilkan oleh n industri.

(j = 1, 2, 3…n)

• Kemudian nilai input primer yang diperlukan untuk memprodusir 1 unit dari komoditi ke j adalah :

• Jika suatu industri harus mempunyai output sehingga tepat memenuhi kebutuhan n industri dan final demand dari sektor terbuka, output sebesar X1 harus memenuhi syarat sebagai berikut

• Untuk industri 1 :

X1 = a11 X1 + a12 x2 …+ a1n xn + d1

atau (1- a11) x1 = a12 x2 + a13 x13…+ a1n xn + d1

atau (1- a11) x1 - a12 x2 - a13 x13…- a1n xn + d1

d1 = menunjukan final demand untuk output x1 dan aij xj

14

n∑ aij < 1i = 1

n1 - ∑ aij i = 1

• Untuk industri 2 berlaku :

a21 X1 + (1 - a22) x2 …- a2n xn + d2

• Untuk seluruh sel dari n industri, output yang cocok dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan sebagai berikut.

(1- a11) x1 - a12 x2…- a1n xn + d1

- a21 x1 + (1 – a22) x2…- a2n xn + d2

…………………………………………..

an1 x1 + (1 - ann) x2…- (1 - ann) xn + dn

(1 – a11) -a21 -a13 …a1n x1 d1

-a21 (1 - a22) -a23 …a2n x2 d2

………………………………

-an1 -an2 -an3 …(1 - ann) xn dn atau

1 0 0 …0 a11 a12 …a1n x1 d1

0 1 0 …0 a21 a22 …a2n x2 d2

0 0 1 …0 - a31 a32 …a3n x3 = d3

………………………………

0 0 0 …1 an1 an2…ann xn dn atau

15

(I – A)X = d; X = variabel vektor

d = final demand vektor

(I – A) nonsingular; maka dapat dicari (I – A)-1 dan X = (I – A)-1 d

Tingkat Perubahan Input-Output Model Terbuka

Ҳ = (I - A)-1d = Bd

Apabila B = (I - A)-1

• Lengkapnya untuk 3 industri :

x1 b11 b12 b13 d1 b11d1 + b12d2 + b13d3

x2 = b21 b22 b23 d2 b21d2 + b22d2 + b23d3

x3 b31 b32 b33 d3 = b31d3 + b32d2 + b33d3

• Turunan parsial terhadap d1

әx1 = b11; әx2 = b12; әx3 = b13

әd1 әd2 әd3

• Turunan parsial terhadap d2

әx1 = b11; әx2 = b12; әx3 = b13

әd1 әd2 әd3

16

• Atau dapat ditulis sebagai berikut ;

…dan seterusnya

• Jadi apabila x = Bd, maka

17

Əx

=

b11

b21

b31

b12

b22

b32

b13

b23

b33= BƏd

Ə

=

x1

x2

X3

= b12

b22

b32=

Əx

Əd2 Əd2

Ə

=

x1

x2

X3

= b11

b21

b31=

Əx

Əd1 Əd1

Model tertutup• Jika sektor luar dari input output model terbuka dianggap sebagai industri

lain, sistem menjadi model tertutup; dalam model ini final demand input primer tidak ada. Secara matematis akan terjadi sistem persamaan yang homogen. Misalnya ada 4 industri termasuk yang baru subscript 0, tingkat output yang cocok akan memenuhi sistem persamaan adalah; (I – A)x = 0 atau,

• Bentuk sistem persamaan tersebut akan mempunyai solusi apabila |I-A| = 0 -> nontrivial solution. Syarat ini dipenuhi oleh sistem persamaan di atas. Karena jumlah kolom pada input-output matriks A tepat = 1, atau

a0j + a1j + a2j + a3j = 1, atau

a0j = 1- a1j - a2j - a3j = 1- a11 – a21 – a31

maka : 1 – a0j = a1j + a2j + a3j, matriks diatas menjadi :

18

(1-a00)-a10

-a20

-a30

-a01

(1-a11)-a21

-a31

-a02

-a12

(1-a22)-a32

-a03

-a13

-a23

(1-a33)

X0

X1

X2

x3

=

0000

• Baris ke 1 ditambah baris ke 2, 3 dan 4 matriks diatas menjadi :

Rank matriks (I-A) = 3 jadi |I-A| = 0, • Jawaban sistem diatas memberikan banyak jawaban output yang cocok

(nontrivial solution).

19

0-a10

-a20

-a30

0(1-a11)

-a21

-a31

0-a12

(1-a22)-a32

0-a13

-a23

(1-a33)

X0

X1

X2

x3

=

0000

(I – A) x = 0

(a10 + a20 + a30)-a10

-a20

-a30

(-1 + a11 + a21 + a31)(1-a11)

-a21

-a31

(-1 + a12 + a22 + a32)-a12

(1-a22)-a32

(-1 + a13 + a23 + a33)-a13

-a23

(1-a33)

X0

X1

X2

X3

20

Terima kasih, Semoga Bermanfaat