FUNGSI dan Limit*KONSEP FUNGSI: konsep dasar matematika, memp. peran penting dalam kalkulusDefinisi fungsi:Aturan korespondensi (padanan) yg menghubungkan setiap obyek x dlm satu himpunan (daerah asal) dg sebuah nilai f(x) dr suatu himpunan kedua, yg disebut daerah hasil fungsi

•

•

•

•

•

•

•

Sebuah fungsi

f

Daerah asal Daerah hasil

Contoh:Luas lingkaran bergantung pada jari-jari r dengan persamaan A = πr2, sehingga dikatakan “A fungsi dari r”.Sebagai contoh,y = 4x + 1 mendefinisikan y sebagai fungsi dari x sebab setiap nilai yang diberikan pada x menentukan tepat satu nilai y.y = f (x) (dibaca “y sama dengan f dari x”) menyatakan bahwa yadalah fungsi dari x. Besaran x pada persamaan di atas disebut peubah bebas dari f dan y peubah tak bebas dari f.

Contoh :

Jika f (x) = 3x – 4 maka• f (0) = 3.0 – 4 = - 4• f (1) = (3.1) – 4 = -1• f (2) = (3.2) – 4 = 2• f (-3) = (3.-3) – 4 = -13• f (√5) = (3.√5) – 4 = 3√5 – 4

PEMBALIKAN PERAN x DAN y• Sebagai contoh,

x = 4y5 – 2y3 + 7y – 5• merupakan bentuk x = g(y) ; yaitu x sebagai fungsi

dari y. y dipandang sebagai peubah bebas dan x sebagai peubah tak bebas.

• . Sebagai contoh, persamaan• 3x + 2y = 6• dapat ditulis• y = - 3 x + 3 atau x = - 2 y + 2 2 3• Pemilihan bentuk tergantung pada bagaimana

persamaan tersebut digunakan.

OPERAS I-OPERAS I PADA FUNGS IOPERAS I-OPERAS I PADA FUNGS I

• OPERASI-OPERASI ARITMATIK PADA FUNGSI

• Fungsi-fungsi dapat dijumlahkan, dikurangkan, digandakan dan dibagi. Sebagai contoh, jika

f(x) = x dan g(x) = x2, maka

f(x) + g(x) = x + x2

• Rumus ini mendefinisikan suatu fungsi baru yang disebut jumlah dari f dan g dan dituliskan dengan

• f + g. Jadi• (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x + x2

Definisi : Diketahui fungsi f dan g, maka rumus-rumus untuk jumlah f + g, selisih f – g, hasil kali

f . g dan hasil bagi f /g

• didefinisikan dengan;• (f + g)(x) = f(x) + g(x)• (f – g)(x) = f(x) – g(x)• (f . g)(x) = f(x) . g(x)• (f /g)(x) = f(x) /g(x)

• Contoh : Dimisalkan• f(x) = 1 + √x – 2 dan g(x) = x – 1 • Dapatkan (f + g)(x), (f – g)(x), (f . g)(x), (f /g)(x)

KOMPOSISI FUNGSI• Secara informal dinyatakan bahwa operasi

komposisi dibentuk dengan mensubstitusikan beberapa fungsi pada peubah bebas dari fungsi lainnya. Sebagai contoh, misalkan

f(x) = x2 dan g(x) = x + 1• Jika g(x) disubstitusikan pada x dalam rumus f,

diperoleh fungsi baru

f(g(x)) = (g(x))2 = (x + 1)2

• yang dituliskan dengan f o g. Jadi

f o g = f(g(x)) = (g(x))2 = (x + 1)2

Contoh :f(x) = x2 +3 dan g(x) = √x.

Dapatkan; a). (f o g)(x) b).(gof)(x)Penyelesaian (a) : f(g(x)) = (x)2 + 3 = (√x)2 + 3 =x+3

(b);g(f(x))=√(x)=√x2+3

SATU CONTOH DALAM KALKULUSContoh : Misalkan f(x) = x2 dan h adalah sebarang

bilangan riil tak nol. Dapatkan ; f(x + h) – f(x)

• h dan sederhanakan • Penyelesaian :• f(x + h) – f(x) = (x + h)2 – x2 = x2 + 2xh + h2 – x2

• h h h• = 2xh + h2 = h(2x + h)• h h• Dengan mencoret h dan dengan memperhatikan

pembatasan pada h, diperoleh• f(x + h) – f(x) = 2x + h, h ≠ 0

KLASIFIKASI FUNGSI• Fungsi yang paling sederhana disebut fungsi

konstan. Contohnya ; f(x) = 3 maka• f(-1) = 3, f(0) = 3, f(√2) = 3, f(9) = 3

• Fungsi dengan bentuk cxn, dimana c adalah suatu konstanta dan n adalah bilangan bulat tak negatif, disebut monomial dalam x.

• contoh 2x3, πx7, 4x0(= 4), -6x, x17• Fungsi-fungsi 4x1/2 dan x-3 bukan monomial sebab

pangkat dari x bukan bilangan bulat tak negatip.

polinomial dalam x. • Contoh :•

Rumus untuk polinomial dalam x adalah f(x) = a0 + a1 x + a2 x

2 +…+ an xn

atau f(x) = an x

n + an-1 xn-1 + an-2 x

n-2 +…+a0

x3 + 4x + 7, 3 – 2x3 + x17, 9, 17 – 2 x, x5 3

Polinomial-Polinomial derajat

Pertama, ke-dua, ke-tiga DESKRIPSI RUMUS UMUM

Polinomial linier Polinomial kuadratik Polinomial kubik

a0 + a1 x (a1 ≠ 0) a0 + a1 x + a2 x

2 (a2 ≠ 0) a0 + a1x + a2 x

2 + a3 x3 (a3 ≠ 0)

GRAFIK FUNGSI

• Definisi grafik fungsi• Grafik suatu fungsi f pada bidang xy didefinisikan

sebagai grafik dari persamaan y = f(x).• Contoh : Buatlah sketsa grafik f(x) = x + 2

• 2

-2

Menggambar fungsi dengan geseran (translasi)

Contoh : gambarkan grafik fungsi berikut ini ; y = x2 + 2 y = x2 – 2 y = (x+2)2 y = ( x – 2)2

L I M I T

• Kalkulus berpusat di sekitar dua permasalahan dasar ;

• Masalah garis singgung

y

x

P(x0, y0)

Garis singgung di P

y = f (x)

Masalah luas • Diberikan fungsi f, dapatkan luas antara grafik f

dan suatu selang [a, b] pada sumbu-x.• luas sebenarnya dibawah kurva tersebut sebagai

suatu nilai limit

y

x

a b

y = f (x)

Limit menggambarkan perilaku suatu fungsi jika peubah bebasnya bergerak menuju suatu nilai

tertentu. Contoh ; f(x) = sin x/x, dibuat tabel sbb ; x f(x) = sin x/x x f(x) = sinx/x 1,0 0,84147 -1,0 0,84147 0,9 0,87036 -0.9 0,87036 0,8 0,89670 -0,8 0,89670 0,7 0,92031 -0,7 0,92031 0,6 0,94107 -0,6 0,94107 0,5 0,95885 -0,5 0,95885 0,4 0,97355 -0,4 0,97355 0,3 0,98507 -0,3 0,98507 0,2 0,99335 -0,2 0,99335 0,1 0,99833 -0,1 0,99833 0 0,99998 0 0,99998

B e b e r a p a l im it d a s a r

Limit Contoh

lim k = k x a

lim 3 = 3 lim 3 = 3 x 2 x -2

lim k = k x +∞

lim 3 = 3 lim 0 = 0 x +∞ x +∞

lim k = k x -∞

lim 3 = 3 lim 0 = 0 x -∞ x -∞

lim x = a x a

lim x = 5 lim x = 0 lim x = -2 x 5 x 0 x -2

lim x = +∞ x +∞

lim x = -∞ x -∞

Teorema : Dimisalkan lim di sini berarti satu dari limit-limit lim , lim , lim , lim atau lim . Jika x a x a- x a+ x +∞ x -∞

L1 = lim f(x) dan L2 = lim g(x) keduanya ada, maka (a) lim [ f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x) = L1 + L2 (b) lim [ f(x) – g(x)] = lim f(x) – lim g(x) = L1 – L2 (c) lim [ f(x)g(x)] = lim f(x) lim g(x) = L1 L2

(d) lim f(x) = lim f(x) = L1 jika L2 ≠ 0 g(x) lim g(x) L2 (e) lim n√ f(x) = n√lim f(x) = n√L1 , untuk L1 ≥ 0

jika n genap.

Untuk sebarang fungsi yang banyaknya berhingga

lim [ f1(x) + f2(x) +…+ fn(x)] = lim f1(x) + lim f2(x) + …+ lim fn(x) lim [f1(x) f2(x)… fn(x)] = lim f1(x) lim f2(x)… lim fn(x) lim [ f(x)]n = [lim f(x)]n lim xn = [ lim x]n = an x a x a Contoh : lim x4 = 34 = 81 x 3

LIMIT DARI POLINOMIAL UNTUK x a

Contoh : Dapatkan lim x2 – 4x + 3 dan jelaskan x 5 setiap langkahnya. Penyelesaian : lim (x2 – 4x + 3) = lim x2 – lim 4x + lim 3 x 5 x 5 x 5 x 5

= lim x2 – 4 lim x + lim 3 x 5 x 5 x 5

= 52 – 4(5) + 3 = 8

Limit dari fungsi rasional untuk x→ a

Contoh : dapatkan ; lim 5x3 + 4 x→ 2 x - 3 Penyelesaian ; lim 5x3 + 4 = lim 5x3 + 4 = 5.23 + 4 = - 44 x→ 2 x - 3 x→ 2 2 – 3 lim x - 3 x→ 2

Limit pembilang dan penyebut mendekati nol

• Dapatkan ; lim x2 – 4

x→ 2 x – 2

• Lim x2 – 4 = lim (x – 2)(x + 2) = lim (x + 2) = 4 x→ 2 x – 2 x→ 2 x - 2 x→ 2

L im it y a n g m e m u a t 1/x

NILAI KESIMPULAN x

1/x

1 10 100 1000 10.000 …. 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 ….

Untuk x→ ∞ nilai dari 1/x turun menuju nol

x 1/x

-1 -10 -100 -1000 -10.000 …. -1 -0,1 -,001 -,001 -0,0001 …..

Untuk x→ - ∞ nilai dari 1/x bertambah/naik menuju nol

x 1/x

1 0,1 0,01 0,001 0,0001 …. 1 10 100 1000 10.000 ….

Untuk x→ o+ nilai dari 1/x naik menuju tanpa batas

x 1/x

-1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 … -1 -10 -100 -1000 -10.000 …

Untuk x→o- nilai dari 1/x turun menuju tanpa batas

y=1/x y=1/x

x x

Lim 1/x = +∞, lim 1/x =-∞ x→ o+

x→o-

lim 1/x =0, lim 1/x = 0 x→+ ∞ x→ - ∞

Lim 1/x = +∞, lim 1/x = -∞, lim 1/x =0, lim 1/x = 0 x→ o+

x→o- x→+ ∞ x→ - ∞

Limit dari Polinomial untuk x→ +∞ atau x → -∞

y y 8 8 y=x y=x2 x x -4 4 -4 +4 Lim x = + ∞, lim x2 = + ∞, x→ + ∞ x→ + ∞ Lim x = - ∞, lim x2 = + ∞, x→ - ∞ x→ - ∞ y y 8 8 y=x3 y=x4 x x -4 +4 -4 +4

Lim xn = +∞, untuk n = 1,2,3,4.......... x→ + ∞

lim xn = +∞, untuk n = 2,4,6........ x→ - ∞ = - ∞, untuk n = 1,3,5....... untuk perkalian xn bilangan real negatip menghasilkan tanda

berlawan. Tapi untuk perkalian xn bilangan real positip menghasilkan tanda sama.

Contoh ; lim 2x5 = +∞ lim 2x5 = -∞ x→ + ∞ x→ - ∞

lim -7x6 = -∞ lim -7x6 = -∞ x→ + ∞ x→ - ∞

lim nx

1 = (limx

1 )n = 0,

x→ + ∞ x→ +∞

Limit Fungsi Rasionaluntuk x→ +∞ atau x → -∞

• -pembilang dan penyebut dibagi dengan pangkat tertinggi dari penyebut ;

• Contoh :• Dapatkan ; lim • x +∞→ • Penyelesaian : bagi dengan x untuk pembilang dan

penyebut• Lim = lim 3 + lim 5/x = lim 3 + 5 lim 1/x • x +∞ → x +∞ x +∞→ → x +∞→ x +∞→ = 1/2• lim 6 + lim 8/x lim 6 + 8 lim 1/x

86

53

−+

x

x

86

53

−+

x

x

Metode cepatLimit Fungsi Rasional

untuk x→ +∞ atau x → -∞ • Limit fungsi rasional untuk

x→ +∞ atau x → -∞ , tidak terpengaruh jika semua suku dlm pembilang dan penyebut dihilangkan kecuali suku pangkat tertinggi

• Lim = lim • x→ +∞ x→ +∞

m

m

nnx

xdxdd

xccc

++++++

...

...

10

10

mm

nn

xd

xc

m

m

nn

xd

xc

Untuk contoh berikut gunakan rumus tersebut ;

• Selesaikan limit berikut ini :

• 1. lim• x→ +∞

• 2. lim • x→ +∞

• 3. lim • x→ +∞

52

43

2

−−

x

xx

1

23 4

+−x

x

LIMIT YANG MEMUAT AKAR

• CONTOH , DAPATKAN ;limit• x→ +∞

• Penyelesaian ;

• Limit = = • x→ +∞

86

53lim3

−+

∞→ x

x

x

it

86

533

−+

x

x

86

533

−+

x

x

2

13

Bentuk limit akar lainnya ;• Selesaikan ;

• A. limit B.limit• x→ +∞ x→ -∞

• Penyelesain ;• dengan cara manipuasi fungsi dengan membagi

pembilang dan penyebut dengan|x| • Dimana |x| = √x2

63

22

−+

x

x

63

22

−+

x

x

Soal-soal 21. Diberikan f(x) = { ,

1

x x>3

2x, x ≤3 dapatkan ; (a) f(-4) b) f(4) f(t2 + 5)

2. Misalkan f(x) = 3/x dapatkan ;

a). f)(

11

xfx+ b.). f(x2) + f2(x)

3. Dapatkan : f o g dan g o f dari pers.berikut ini ; a. f(x) = sin2x , g(x) = cos x

b. f(x) = 21 x

x

+, g(x) =

x

1

4. Buat sketsa grafik fungsinya dari ;

a). f(x) = 2 sin x b). g(x) = {x2, x ± 4 0 , x = 4

Soal-soal 5. a. lim 133 −− xx b. lim

1

22

+−

x

xx

x 5 x 3

6. a.lim 6

442

2

−++−

xx

xx b. lim

4

162

−−

x

x

x 2 x 4

7. a. lim 3

67 5

+−x

x b. lim

xx

x

−+

2

2

3

75

x ∞ x ∞

8. a. Lim 3

25 2

+−

x

x b. lim

267

2

y

y

+

−

x -∞ x +∞

9. lim 12

437

57

+−

s

ss b. lim

37

63

3

+−

t

t

s +∞ s +∞

Kontinuitas• Definisi ;• Suatu fungsi f dikatakan kontinu di titik c,

jika syarat-syarat berikut dipenuhi ;• 1. f(c) terdefinisi• 2. lim f (x) ada• x c

• 3. lim f(x) = f(c)• x c

• Jika salah satu tidak terpenuhi, maka fungsi disebut : diskontinu

Contoh diskontinuitas

y = f(x)

y = f(x)y = f(x)

c c

c

y = f(x)

c

Pada gambar diatas terjadi lubang pada titik c

Karena fs f tidak terdifinisi di ttk tsb

(a)

Pada gb diatas terjadi patahan pd grafiknya, fs f terdifinisi di c, tapi lim f(x) tdk ada

x c

(b)

Sama seperti gambar (b) Pada gambar diatas, fs f terdifinisi di c dan lim f(x)

ada, tetapi ada patahan pd ttk c, lim f(x) ≠f(c)

Contoh Kontinu dan diskontinu

• 1.

• 2. g(x) =

2

4)(

2

−−=

x

xxf

2

42

−−

x

x

3

, x ≠ 2

, x = 2