KorelasiElfira F. Nasution

Rifqi F. Hasani

Korelasi adalah operasi yang digunakan dalam berbagai aplikasi dalam bidang pengolahan isyarat secara digital. Korelasi merupakan ukuran derajat kesamaan antara dua isyarat atau sekuens. Korelasi menentukan tingkat kesamaan dari dua buah sinyal. Bila kedua sinyal identik maka nilai korelasi adalah 1, bila kedua sinyal sangat berbeda maka korelasinya bernilai 0,Bila kedua sinyal identik tetapi berlawanan (sudut fasa 180º) maka nilai korelasinya adalah -1.

Jika diketahui x[n] dan y[n] dengan energi yang terbatas maka kros-korelasi antara x[n] dan y[n] didefinisikan sbb

Indeks l disebut parameter pergeseran. Jika y[n] = x[n] maka diperoleh autokorelasi dan dinyatakan sbg

Autokorelasi menyatakan ukuran kesamaan terhadap dirinya sendiri (antara beberapa penjajaran yang berbeda).

Konvolusi antara dua isyarat x[n] dan h[n] dinyatakan sbb :

Dengan membandingkan ketiga persamaan di atas, maka kros-korelasi dapat dinyatakan kembali dalam bentuk

Dan autokorelasi dapat dinyatakan dalam bentuk

Hal ini berarti bahwa korelasi dapat dihitung menggunnakan operasi konvolusi jika isyarat atau sekuens merupakan sekuens dengan durasi yang berhingga.

Korelasi itu sendiri terdiri dari Korelasi diri (autocorrelation) dan korelasi silang (crosscorrelation).

• Fungsi dari korelasi diri Bila y(n)=x(n) korelasi diri :

nn

xx nxnxnxnxr )()()()()(

• Fungsi korelasi silang

)()()()()(

)()()()()(

)()()()()(

yxrrr

nxnynxnyr

nynxnynxr

xyyxxy

nnyx

nnxy

Sifat-sifat korelasi diri dan korelasi silang

• Misalkan x(n) dan y(n) adalah dua buah sinyal energi (energinya terbatas)

)0()()0()( 22yy

nyxx

nx rnyErnxE

• Tinjau kombinasi linier dari keduanya :

)()()( nbynaxnf• a, b konstanta sembarang dan adalah pergeseran waktu tertentu

Fungsi korelasi pada sinyal periodik•Misalkan x(n) dan y(n) adalah dua buah sinyal periodik •Sinyal periodik adalah sinyal daya (dayanya terbatas)a •Korelasi diri dan korelasi silang didefinisikan sebagai :

)()(12

1)(

)()(12

1)(

lim

lim

nynxM

r

nxnxM

r

M

MnMxy

M

MnMxx

• Karena merupakan sinyal daya, maka :

)()(1

)(

)()(1

)(

1

0

1

0

nynxN

r

nxnxN

r

N

nxy

N

nxx

Hubungan Input-Output fungsi korelasi

• Misalkan x(n) adalah sinyal input dari suatu sistim dengan respon impuls h(n), maka outputnya adalah : )()()(*)()( knxkhnxnhny

k

• Korelasi silang dari input dan output :

)()()()()()(*)()( xxyx rhxxhxyr

• Korelasi silang adalah output dari sistem bila inputnya adalah korelasi diri

• Rentan terhadap ukuran yang tidak sama antara template dan obyek yang ada pada citra

• Rentan terhadap orientasi yang berbeda antara template dan obyek yang ada pada citra

Formula korelasi diatas mempunyai kelemahan:

Tentukan korelasi silang dari kedua sinyal berikut :

},0,0,5,2,1,4,2,2,1,1,0,0,{)(

},0,0,32,1,7,3,1,2,0,0,{)(

ny

nx

Jawab :

Perhitungan korelasi lebih sederhana dari konvolusi, yaitu tidak perlu dilipat, salah satu sinyal langsung digeser, dikalikan dan dijumlahkan

• Fungsi korelasi banyak diaplikasikan pada radar, sonar, geologi dan komunikasi digital

• Pada radar, sonar dan geologi digunakan untuk menentukan posisi obyek yang terdeteksi

• Teori Autokorelasi (Autocorrelation) dan korelasi silang (cross correlation) untuk menentukan :

• Jarak target dari station • Kecepatan target• Informasi tambahan (berdasarkan spektrum frekuensi)• Analisa percepatan gempa bumi (earthquake)

• Contoh perhitungan Jarak dan kecepatan target

Rumus menentukan jarak :2

tvd

d = jarak dari station ke targetv = kecepatan gelombang, tergantung jenis sumber t = waktu gelombang sampai di targetkarena bolak balik maka dibagi 2

misal kecepatan sumber v = 3x108m/s waktu t = 0.7 dt

Berdasarkan data :

maka jarak :

d = 3x108 (m/s)x(0.7:2)s=105000 km semakin besar frekuensi signal semakin kecil selisih waktu antara dua signal

• Misalkan x(n) adalah sinyal berupa gelombang yang ditransmisikan yang dapat dipandang sebagai sinyal acuan dan y (n) adalah sinyal yang diterima yang merupakan pantulan (echo) dari suatu target.

• Sinyal pantulan ini terdiri dari sinyal transmisi yang teratenuasi setelah melewati jarak tertentu (pergeseran waktu) dan sinyal gangguan (derau) :

2)(2 ss

tDcLtDcL

M

n

M

nyx

M

n

M

n

M

n

M

nyx

nxDnwnxnxaDr

nxnwnxDnxa

nxnwDnax

nxnyr

nwDnaxny

00

00

0

0

)()()()()(

)()()()(

)()]()([

)()()(

)()()(

• Suku pertama berharga maksimum dan suku kedua cenderung berharga kecil karena tidak ada korelasi antara sinyal transmisi dan sinyal derau.

• Posisi target dapat dihitung dari :2

)(2 ss

tDcLtDcL

• Fungsi korelasi diri dapat digunakan untuk menentukan perioda dari sinyal yang terbenam dalam derau

• Misalkan diperoleh sinyal diskrit yang berasal dari suatu fenomena fisis

Mnn

NMMnnwnxny

0,0

10),()()(

Korelasi adalah operasi yang digunakan dalam berbagai aplikasi dalam bidang pengolahan isyarat secara digital, Operasi korelasi merupakan salah satu teknik yang digunakan untuk menganalisis hubungan antara dua variabel atau lebih yang bersifat kuantitatif. Operasi matematik pada korelasi mirip dengan pada konvolusi. Fungsi korelasi digunakan untuk menentukan kemiripan antara dua buah sinyal .

Sekian dan Terima Kasih