Koreksi Boson Gauge SU(6) dalam AnomaliNuTeV

Skripsi

Diajukan sebagai salah satu syarat untuk meraih gelar Sarjana Sains

Ardy Mustofa0300020111

Departemen Fisika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan ALam

Universitas Indonesia

Depok2004

Lembar Persetujuan

Judul Skripsi : Koreksi Boson Gauge SU(6) dalam Anomali NuTeV

Nama : Ardy Mustofa

NPM : 0300020111

Skripsi ini telah diperiksa dan disetujui

Depok, 20 Oktober 2004

Mengesahkan

Pembimbing I Pembimbing II

Dr. L. T. Handoko Dr. Terry Mart

Penguji I Penguji II

Dr. Muhammad Hikam Dr. Anto Sulaksono

Kata Pengantar

Seiring dengan perkembangan teknologi, eksperimen-eksperimen dibidang par-

tikel mengalami peningkatan dalam hal skala energi. Diharapkan dengan pe-

ningkatan skala energi ini akan dapat ditemukan partikel-partikel yang sudah

diprediksi secara teoritik dalam teori Standard Model, serta meningkatkan keaku-

ratan dari nilai parameter-parameter yang telah diukur. Semakin akurat nilai

parameter-parameter yang telah kita ketahui akan semakin menguji kebenaran

dari teori tersebut.

Suatu hal yang menarik adalah apabila nilai parameter yang sama yang telah

kita ukur dengan eksperimen pada skala energi yang lebih tinggi memiliki ni-

lai yang berbeda (perbedaan yang cukup signifikan) dengan apa yang telah kita

dapatkan sebelumnya dengan skala energi yang lebih rendah (tentu dengan ekspe-

rimen yang berbeda). Hal inilah yang membuat para fisikawan teoritik berusaha

untuk mengkaji kembali teori yang dipakai atau membuat teori yang lebih umum

dari teori telah ada, sehingga dapat menjawab permasalahan-permasalahan yang

muncul pada skala energi yang lebih tinggi.

Penulis mengucapkan terima kasih kepada Pak Handoko yang telah membim-

bing penulis dengan sabar, penuh pengertian, dan juga selalu memberi semangat

untuk segera menyelesaikan tugas akhir ini. Penulis juga mengucapkan terima

kasih kepada Pak Terry, Pak Anto, Mas Haryo di Fermilab yang telah mem-

berikan ide, dorongan semangat, peminjaman buku, pemberian referensi paper,

serta jawaban dari pertanyaan yang saya tidak mengerti, dan untuk teman-teman

di Lab teori yang telah membantu saya dalam menulis tugas akhir dalam format

latex, Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak lain yang telah

membantu baik secara langsung maupun tidak langsung yang namanya tidak bisa

disebutkan satu-persatu.

iii

Hasil karya ini tidaklah sempurna. Penulis menerima saran dan kritikan yang

membangun dari para pembaca.

Ardy Mustofa

iv

Abstrak

Kolaborasi NuTeV telah melaporkan sebuah anomali sebesar ∼ 3σ dalam

perbandingan dari NC/CC untuk deep inelastic scattering νµ-nukleon. Kami

telah menghitung koreksi yang berasal dari boson gauge dalam teori SU(6) un-

tuk anomali NuTeV, dengan membandingkan hasilnya dengan hasil dari teori

Standard Model, untuk nilai a = 1.1 akan kita dapatkan nilai GN/GF berada

diantara 0.0331 dan 0.0818, sedangkan untuk nilai a = 1.5 akan kita dapatkan

nilai GN/GF berada diantara 0.0064 dan 0.0154.

Kata kunci: Kolaborasi NuTeV, deep inelastic scattering, boson gauge SU(6).

viii+30 hlm.; lamp.

Daftar Acuan: 34 (1961-2004)

Abstract

The NuTeV collaboration has reported a ∼ 3σ anomaly in the NC/CC ratio

of deep-inelastic νµ-nucleon scattering. We have evaluated correction from gauge

boson SU(6) Grand Unified Theories to the NuTeV anomaly, compared this result

with the Standard Model theory, for a = 1.1 we get the value for GN/GF between

0.0331 and 0.0818, otherwise, for a = 1.5 we get GN/GF between 0.0064 and

0.0154.

Keywords: NuTeV Collaboration, deep inelastic scattering, SU(6) gauge boson.

viii+30 pp.; appendices.

References: 34 (1961-2004)

v

Daftar Isi

Kata Pengantar iii

Abstrak v

Daftar Isi vi

Daftar Gambar viii

1 Pendahuluan 1

1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Tinjauan Pustaka 4

2.1 Teori Glashow-Weinberg-Salam (GWS) . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1 Massa Boson Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.2 Coupling dengan Fermion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.3 Massa Fermion dan Mixing pada Fermion . . . . . . . . . 9

2.2 Konsekuensi Eksperimen dari Teori GWS . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Gambaran Singkat Teori SU(6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Neutrino Deep Inelastic Scattering 16

3.1 Kinematik Deep Inelastic Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2 Cross Section Hamburan Neutrino-Nukleon . . . . . . . . . . . . . 18

3.3 Model Parton dari Hadron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

vi

4 Hasil dan Pembahasan 25

5 Kesimpulan dan Saran 30

A Notasi 31

B Perhitungan 32

Daftar Acuan 34

vii

Daftar Gambar

2.1 Beberapa proses yang melibatkan coupling antara weak boson de-

ngan fermion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1 Skema proses deep inelastic scattering dengan partikel datang beru-

pa lepton (e,µ,ν) dan target berupa nukleon. . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Diagram Feynman untuk CC dan NC hamburan neutrino-quark. . 22

4.1 Diagram Feynman untuk CC dan NC hamburan neutrino-quark

dalam teori SU(6). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2 Grafik Rν vs GN/GF untuk hasil yang diprediksi SM dengan global

fit, hasil eksperimen NuTeV dan hasil koreksi teori SU(6) untuk

nilai a = 1.1 dan a = 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3 Grafik Rν vs a untuk hasil yang diprediksi SM dengan global fit,

hasil eksperimen NuTeV dan hasil koreksi teori SU(6) untuk nilai

GN/GF = 0.01 dan GN/GF = 0.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

viii

Bab 1

Pendahuluan

1.1 Latar Belakang Masalah

Keingintahuan manusia tentang alam semesta ini telah membawa manusia kepada

suatu peradaban yang tinggi dengan majunya ilmu pengetahuan dan teknologi.

Yang menjadi pertanyaan mendasar yang membawa manusia kepada tingginya

peradaban tersebut adalah: “Apakah yang menjadi penyusun alam semesta ini?”,

dan “Bagaimanakah interaksinya?”. Hal inilah yang menjadi sebuah dasar dalam

perkembangan sains saat ini.

Hingga saat ini (sampai dengan skala eksperimen beberapa ratus GeV) telah

diketahui bahwa partikel dasar penyusun alam semesta ini terbagi menjadi dua

macam, yaitu fermion dan boson. Fermion yang menjadi partikel dasar terbagi

menjadi dua grup: quark dan lepton. Quark berinteraksi melalui gaya elektro-

magnetik, gaya kuat, dan gaya lemah. Lepton berinteraksi melalui gaya elektro-

magnetik dan gaya lemah. Quark dikatakan memiliki enam buah flavor, mereka

adalah up (u), down (d), charm (c), strange (s), top (t), dan bottom (b). Lepton

dikatakan memiliki tiga buah tipe, yaitu elektron (e) dan neutrinonya (νe), muon

(µ) dan neutrinonya (νµ), serta tau (τ) dan neutrinonya (ντ ). Sedangkan boson

yang menjadi partikel dasar adalah gluon yang menjadi mediasi dalam interaksi

kuat, photon yang menjadi mediasi dalam interaksi elektromagnetik, serta boson

W dan Z yang menjadi mediasi dalam interaksi lemah.

Sedangkan terdapat empat buah interaksi yang terjadi di alam semesta yang

masih diyakini hingga saat ini, keempat buah interaksi tersebut adalah interaksi

kuat, interaksi elektromagnetik, interaksi lemah, dan interaksi gravitasi. Diantara

1

keempat buah interaksi ini, interaksi elektromagnetik-lah yang pertamakali dapat

dimengerti dengan baik dan dapat dijelaskan dengan sangat baik oleh teori Quan-

tum ElectroDynamics (QED), kemudian dibuat sebuah teori yang dapat menje-

laskan interaksi kuat yang prototype-nya diambil dari teori QED yang diberi nama

teori Quantum ChromoDynamics (QCD), walaupun perhitungan secara anali-

tiknya sangat rumit (sehingga sering digunakan metode numerik) tapi teori ini

dapat cukup baik menjelaskan fenomena interaksi kuat. Setelah itu S.L. Glashow,

S. Weinberg, dan A. Salam mencoba menjelaskan fenomena interaksi elektromag-

netik dan interaksi lemah dengan sebuah teori yang disebut teori Electroweak atau

sering juga disebut dengan teori Glashow-Weinberg-Salam, walaupun tidak sebaik

QED namun teori ini dapat menjelaskan fenomena interaksi lemah dengan cukup

baik. QCD bersama dengan teori Electroweak tergabung menjadi teori Standard

Model (SM), sedangkan fenomena interaksi gravitasi belum dapat dijelaskan

hingga saat ini. SM inilah yang menjadi kerangka dasar berfikir fisikawan teori-

tik saat ini untuk menjelaskan fenomena-fenomena yang terjadi di alam semesta

ini.

1.2 Perumusan Masalah

Salah satu parameter yang muncul dalam SM adalah weak mixing angle (θw).

Menentukan nilai dari parameter ini dengan berbagai macam eksperimen adalah

salah satu usaha untuk membuktikan kebenaran teori SM. Eksperimen NuTeV

merupakan salah satu eksperimen yang dilakukan untuk menentukan nilai dari

parameter ini (biasanya dihitung dalam sin2 θw), eksperimen ini adalah proses

hamburan neutrino-nukleon pada skala energi tinggi (neutrino berenergi tinggi).

Suatu hal menarik yang dilaporkan oleh kolaborator NuTeV setelah memfit

data dari eksperimen dengan menggunakan teori SM adalah didapatkannya ni-

lai sin2 θw sebesar 0,2277 ± 0,0013 (stat) ± 0,0009 (syst) [1], jika dibandingkan

dengan nilai yang diprediksi oleh SM dengan memfit data yang dihasilkan oleh

eksperimen yang lain didapat nilai sin2 θw sebesar 0,2227 ± 0,0004 [2,3]. Nilai

yang diperoleh oleh kolaborator NuTeV memiliki anomali sebesar ∼ 3σ dengan

2

nilai yang telah diprediksi oleh SM.

Hal ini telah mendorong para fisikawan teoritik di bidang partikel untuk men-

coba menjelaskan masalah ini. Sebelum adanya kemungkinan dari teori diluar

SM (new physics), mereka telah melihat kemungkinan koreksi yang berasal dari

SM, yaitu electroweak radiative corrections, koreksi dari pengaruh next-to-leading

order dalam teori QCD, dan ketidakpastian yang terkait dengan parton distribu-

tion functions (PDFs). Namun ternyata hal ini belum dapat menjelaskan masalah

yang terjadi, sehingga mereka mulai mencari-cari teori diluar SM (new physics).

Sampai sekarang, hal ini menjadi salah satu permasalahan dalam High Energy

Physics (HEP) yang berusaha untuk dijelaskan.

1.3 Metode Penelitian

Penelitian ini bersifat teoritik. Kerangka dasar teoritik yang digunakan adalah

teori electroweak yang dikenalkan oleh S.L. Glashow, S. Weinberg, dan A. Salam

[4,5,6]. Berdasarkan teori ini anomali NuTeV belum dapat dijelaskan dengan

baik, sehingga dibutuhkan teori-teori baru diluar SM yang sering disebut sebagai

new physics, yang dapat menjelaskan secara lebih baik dari hasil yang didapat

oleh SM. Dalam hal ini penulis menggunakan teori SU(6) yang menjadi kandidat

baru sebagai Grand Unified Theory (GUT).

1.4 Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk melihat sejauh mana koreksi dari boson gauge

SU(6) dapat menjelaskan anomali NuTeV, sekaligus untuk memberikan batasan

(constraint) dalam teori SU(6) sebagai Grand Unified Theory (GUT).

3

Bab 2

Tinjauan Pustaka

Pada bab ini penulis akan memberikan gambaran secara singkat dari teori yang

dikenalkan oleh S.L. Glashow, S. Weinberg, dan A. Salam untuk menjelaskan

tentang interaksi lemah. Hal ini disebabkan karena hamburan νµ-nukleon meru-

pakan salah satu fenomena dalam interaksi lemah. Disini juga akan diberikan

gambaran singkat teori SU(6) terkait dengan penelitian yang dilakukan.

2.1 Teori Glashow-Weinberg-Salam (GWS)

Dalam teori medan kuantum dipelajari bahwa setiap teori yang dibangun berdasar-

kan suatu simetri tertentu maka teori tersebut haruslah invariant terhadap trans-

formasi lokal atau transformasi gauge dari simetri yang dibangun. Jika teori

tersebut invariant maka besaran-besaran fisis yang dihasilkan, nilainya tidak

bergantung pada kerangka acuan inersia dimana besaran tersebut diukur. Teori

GWS yang dapat dikatakan cukup berhasil dalam menjelaskan fenomena interaksi

lemah dibangun berdasarkan simetri terhadap SU(2)L × U(1)Y , dengan trans-

formasi gauge yang berbentuk

φ→ eiαaτaeiβ/2φ, (2.1)

disini kita telah memasukkan sebuah muatan +1/2 terhadap simetri U(1)Y , dan

nilai τ a = 12σa dengan σa adalah matriks Pauli 2× 2.

Agar teori GWS ini invariant, maka covariant derivative dari φ harus berben-

tuk

Dµφ = (∂µ − igW aµ τ

a − i12g′Bµ)φ, (2.2)

4

dengan W aµ dan Bµ adalah boson gauge dari SU(2)L dan U(1)Y . Sedangkan g

dan g′ merupakan konstanta coupling dari SU(2)L dan U(1)Y .

2.1.1 Massa Boson Gauge

Suku massa dari boson gauge dapat diperoleh dengan cara mengkuadratkan

pers.(2.2) dengan memasukkan φ sebagai medan Higgs Φ (cara ini disebut se-

bagai mekanisme Higgs) yang berbentuk

Φ =1√2

(0v

), (2.3)

maka akan kita dapatkan suku massa dari boson gauge yang berbentuk

Lmassa boson gauge =1

2

v2

4

[g2(W 1

µ)2 + g2(W 2µ)2 + (−gW 3

µ + g′Bµ)2]. (2.4)

Dari persamaan diatas akan muncul tiga buah boson bermassa dan sebuah boson

yang tidak bermassa sebagai berikut

W±µ =

1√2

(W 1µ ∓ iW 2

µ ) dengan massa mW = gv

2;

Z0µ =

1√g2 + g′2

(gW 3µ − g′Bµ) dengan massa mZ =

√g2 + g′2

v

2;

Aµ =1√

g2 + g′2(g′W 3

µ + gBµ) dengan massa mA = 0. (2.5)

Dua buah boson baru yang bermassa yang muncul pada persamaan diatas, yaitu

boson W dan Z disebut sebagai weak boson, adalah boson yang muncul dari

interaksi lemah. Sedangkan boson yang tidak bermassa pada persamaan diatas

telah muncul sebelumnya dalam teori QED yang dikenal sebagai photon, adalah

boson yang muncul dari interaksi elektromagnetik.

Mulai sekarang akan lebih baik jika kita menuliskan semua persamaan dalam

hubungannya dengan mass eigenstates, karena bentuk inilah yang memiliki arti

fisis yang diukur oleh orang eksperimen. Untuk fermion dalam representasi umum

SU(2), dengan muatan U(1) adalah Y , covariant derivative-nya akan berbentuk

Dµ = ∂µ − igW aµT

a − ig′Y Bµ. (2.6)

5

dalam hubungannya dengan mass eigenstates persamaan diatas akan menjadi

Dµ = ∂µ − ig√2

(W+µ T

+ +W−µ T

−)− i 1√g2 + g′2

Zµ(g2T 3 − g′2Y )

−i gg′√g2 + g′2

Aµ(T 3 + Y ), (2.7)

dengan T± = (T 1 ± iT 2). Normalisasi dipilih sedemikianrupa sehingga

T± =1

2(σ1 ± iσ2) = σ±. (2.8)

Agar pers.(2.7) menjadi persamaan yang memiliki bentuk yang terkait dengan

interaksi elektromagnetik, maka kita perlu mendefinisikan sebuah koefisien dari

interaksi elektromagnetik sebagai muatan elektron e,

e =gg′√g2 + g′2

, (2.9)

dan mendefinisikan bilangan kuantum muatan listrik sebagai

Q = T 3 + Y. (2.10)

Untuk menyederhanakan pers.(2.7), akan kita definisikan weak mixing angle,

θw, sebagai sudut yang muncul dalam perubahan basis dari gauge eigenstates

(W 3µ , Bµ) menjadi mass eigenstates (Z0

µ, Aµ):

(Z0µ

Aµ

)=

(cos θw − sin θwsin θw cos θw

)(W 3µ

Bµ

), (2.11)

sehingga

cos θw =g√

g2 + g′2, sin θw =

g′√g2 + g′2

, (2.12)

maka kita dapat menulis pers.(2.7) dalam bentuk

Dµ = ∂µ − ig√2

(W+µ T

+ +W−µ T

−)− i g

cos θwZµ(T 3 − sin2 θwQ)

−ieAµQ, (2.13)

dengan

g =e

sin θw. (2.14)

6

Dapat kita lihat disini bahwa semua pasangan (coupling) dari weak boson

dideskripsikan oleh dua buah parameter: muatan elektron e dan sebuah parame-

ter baru θw. Sedangkan massa boson W dan Z memiliki hubungan berdasarkan

pers.(2.5) adalah sebagai berikut

mW = mZ cos θW (2.15)

Semua proses yang melibatkan pertukaran boson W dan Z, setidaknya pada

perhitungan tree level, dapat dituliskan dalam tiga buah parameter dasar e, θw,

dan mW .

2.1.2 Coupling dengan Fermion

Bentuk covariant derivative pada pers.(2.13) secara unik dapat menentukan cou-

pling boson W dan Z dengan fermion, segera setelah bilangan kuantum dari

fermion ditentukan. Sebelum kita menentukan bilangan kuantum dari fermion,

kita perlu melihat suku kinetik dari persamaan Dirac berikut ini

ψi∂/ψ = ψLi∂/ψL + ψRi∂/ψR. (2.16)

pada persamaan diatas kita telah memisahkan medan fermion yang left-handed

dengan yang right-handed. Dalam representasi SU(2)L fermion left-handed memi-

liki bentuk doublet, sedangkan fermion right-handed memiliki bentuk singlet se-

bagai berikut

QL ≡(uiLdiL

)dan QR ≡ uiR, d

iR,

LL ≡(νiL`iL

)dan LR ≡ `iR, (2.17)

dengan ui berarti untuk up, charm, dan top; di untuk down, strange, dan bottom;

`i untuk elektron, muon, dan tau; νi untuk νe, νµ, dan ντ . Setelah kita dapat

menentukan nilai T 3 untuk setiap medan fermion, nilai Y dapat kita tentukan

dari pers.(2.10). Hal ini berarti bahwa cara menentukan nilai Y akan berbeda

untuk komponen left-handed dan right-handed dari quark dan lepton. Untuk

medan fermion right-handed, T 3 = 0, sehingga nilai Y akan sama dengan muatan

7

listriknya. Sebagai contoh untuk uR, Y = +2/3; untuk e−R, Y = −1. Untuk

medan fermion left-handed, contohnya

EL =

(νee−

)

L

, QL =

(ud

)

L

, (2.18)

ditentukan nilai Y = −1/2 dan Y = +1/6, sedemikian rupa sehingga jika diga-

bung dengan T 3 = ±1/2 akan menghasilkan muatan listrik yang sesuai.

Disini kita tidak akan membahas massa dari fermion, kita anggap fermion

tidak bermassa. Deskripsi ini akan cukup berguna bila kita menganalisa feno-

mena interaksi lemah pada energi tinggi, dimana massa quark dan lepton dapat

diabaikan.

Jika kita mengabaikan suku massa fermion, maka Lagrangian suku kinetik

dari interaksi lemah untuk quark dan lepton sesuai dengan penyusunan muatan

seperti yang telah dijelaskan diatas adalah

Lkinetik = LL(iD/)LL + `i

R(iD/)`iR +QL(iD/)QL + uiR(iD/)uiR + di

R(iD/)diR. (2.19)

untuk setiap suku diatas, bentuk covariant derivative-nya sesuai dengan pers.(2.6),

dengan nilai T a dan Y tergantung dari komponen medan fermion, sebagai contoh

QL(iD/)QL = QLiγµ(∂µ − igAaµT a − i

1

6g′Bµ)QL. (2.20)

Untuk membangun konsekuensi fisis dari coupling fermion-boson vektor, kita

harus menuliskan pers.(2.19) dalam hubungannya dengan mass eigenstates dari

boson vektor, dengan menggunakan bentuk covariant derivative pada pers.(2.13).

Sehingga pers.(2.19) akan menjadi

Lkinetik = LL(i∂/)LL + `i

R(i∂/)`iR +QL(i∂/)QL + uiR(i∂/)uiR + di

R(i∂/)diR

+g(W+µ J

µ+W +W−

µ Jµ−W + Z0

µJµZ) + eAµJ

µEM , (2.21)

dengan

Jµ+W =

1√2

(νLiγµ`iL + uL

iγµdiL),

Jµ−W =1√2

(`LiγµνiL + dL

iγµuiL),

JµZ =1

cos θw

[νL

i(

12

)γµνiL + `L

iγµ(−1

2+ sin2 θw

)`iL + `R

iγµ(sin2 θw)`iR

8

+ uLiγµ(1

2− 2

3sin2 θw)uiL + uR

iγµ(−23

sin2 θw)uiR

+ dLiγµ(−1

2+ 1

3sin2 θw)diL + dR

iγµ(1

3sin2 θw)diR

],

JµEM = `iγµ(−1)`i + uiγµ(2

3)ui + d

iγµ(−1

3)di. (2.22)

2.1.3 Massa Fermion dan Mixing pada Fermion

Pada subbab diatas kita telah melihat bagaimana weak boson ter-couple dengan

fermion. Sekarang kita ingin melihat bagaimana pengaruh dari massa fermion

pada persamaan diatas. Sebelumnya kita akan terlebih dahulu membuat massa

fermion.

Prinsip mekanisme Higgs yang kita lakukan untuk mendapatkan massa dari

boson gauge, dapat juga kita gunakan untuk mendapatkan massa fermion. Agar

diperoleh massa fermion, maka suku massa harus diperkenalkan pada lagrangian,

yang berbentuk interaksi antara partikel dengan antipartikel-nya:

Lmassa = mψψ. (2.23)

Disini m merupakan parameter sembarang, yang belum tentu berarti massa. Jika

ditulis dalam komponen left-handed dan right-handed, maka pers.(2.23) menjadi

Lmassa = mψψ = m(ψLψR + ψRψL). (2.24)

Jika kita mengingat kembali pers.(2.17) yang menuliskan komponen left-handed

dalam bentuk doublet dan komponen right-handed dalam bentuk singlet, maka

dalam pers.(2.24) diatas tidak dapat dilakukan operasi perkalian. Disinilah kita

kembali menggunakan mekanisme Higgs, yaitu dengan cara memasukkan medan

Higgs Φ diantara fermion. Sehingga sekarang Lagrangian suku massa mengan-

dung medan boson Higgs dan fermion, yang dituliskan sebagai

LHF = −f iju QiLΦujR − f ijd Q

iLΦdjR − f ij` `

i

LΦ`jR

= −f iju (uiLφ0ujR + d

i

Lφ−ujR + vuiLu

jR)

−f ijd (uiLφ+djR + d

i

Lφ0djR + vd

i

LdjR)

−f ij` (νiLφ+`jR + `

i

Lφ0`jR + v`

i

L`jR), (2.25)

dengan

Φ = iτ2Φ?. (2.26)

9

Disini terdapat besaran coupling baru, yaitu fu, fd, dan f` yang menandakan

adanya interaksi fermion dengan boson Higgs yang dikenal dengan nama in-

teraksi Yukawa. Sedangkan interaksi partikel dengan antipartikel-nya akan

memberikan suku massa pada Lagrangian diatas sebagai berikut

Lmassa = −uiLvf iju ujR − di

Lvfijd d

jR − `

i

Lvfij` `

jR. (2.27)

Namun karena konstanta coupling fu, fd, dan f` secara umum tidak diagonal,

massa fermion yang memiliki arti fisis belum didapatkan. Agar mendapatkan

massa fermion yang memiliki arti fisis, maka pada pers.(2.27) diatas harus di-

lakukan diagonalisasi sebagai barikut

Lmassa = −u′kL (U †)kivf iju Ujlu′jR − d

′kL (V †)kivf ijd V

jld′jR − `′kL (S†)kivf ij` S

jl`′jR

= −ukmklu δ

klul − dkmkld δ

kldl − `kmkl` δ

kl`l, (2.28)

dengan

mklu = (U †)kivf iju U

jl, mkld = (V †)kivf ijd V

jl, dan mkl` = (S†)kivf ij` S

jl. (2.29)

Disini medan fermion telah teredefinisi menjadi

ui = U iju′j, di = V ijd′j, dan `i = Sij`′j, (2.30)

dengan U , V , dan S merupakan matriks satuan yang memenuhi

U †U = V †V = S†S = 1. (2.31)

keadaan fermion yang mengandung tanda (’) merupakan mass eigenstate.

Akibat meredefinisi medan pada suku massa, maka secara umum eigenstates

pada Lagrangian yang gauge invariant (biasa disebut sebagai weak eigenstates)

juga harus diredefinisi. Sekarang kita harus meredefinisi semua eigenstate dari

Lagrangian suku kinetik pada pers.(2.21) sehingga memiliki arti fisis. Proses re-

definisi akan saling menghilangkan pada interaksi yang melibatkan pertukaran

boson Z dan photon, sedangkan untuk interaksi yang melibatkan pertukaran bo-

son W akan menjadi

Jµ+W =

1√2

(νiLγµ`iL + uiLγ

µdiL)

=1√2

(νiLγµSij`′jL + u′iLγ

µ(U †)ikV kjd′jL)

=1√2

(ν ′iLγµ`′jL + u′iLγ

µV ijCKMd

′jL) (2.32)

10

Jµ−W =1√2

(`i

LγµνiL + d

i

LγµuiL)

=1√2

(`′iLγ

µ(S†)ijνjL + d′iLγ

µ(V †)ikUkju′jL)

=1√2

(`′iLγ

µν ′iL + d′iLγ

µV ijCKMu

′jL) (2.33)

dengan VCKM adalah matriks Cabibbo-Kobayashi-Maskawa [7,8], yang berbentuk

VCKM =

Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb

≈

0.9739− 0.9751 0.221− 0.227 0.0029− 0.00450.221− 0.227 0.9730− 0.9744 0.039− 0.0440.0048− 0.014 0.037− 0.043 0.9990− 0.9992

.

(2.34)

2.2 Konsekuensi Eksperimen dari Teori GWS

Sekarang kita telah memiliki teori dasar untuk proses yang melibatkan coupling

antara boson W dan Z dengan fermion, dari teori ini kita akan melihat konsekuen-

si eksperimen untuk proses yang dimediasi oleh weak bosons. Hasil analisis ini

akan mereproduksi gambaran Lagrangian efektif dari interaksi lemah yang akan

kita gunakan dalam hamburan netrino-nukleon seperti pada anomali NuTeV.

Pada eksperimen yang dilakukan dengan energi yang lebih rendah dari massa

boson vektor, coupling dari weak bosons memiliki pengaruh yang dominan pada

proses yang melibatkan pertukaran weak bosons. Proses ini ditunjukkan pada Gb.

2.1. Propagator dari boson W dan Z diberikan oleh persamaan berikut

〈W µ+(p)W ν−(−p)〉 =−igµν

p2 −m2W

, 〈Zµ(p)Zν(−p)〉 =−igµνp2 −m2

Z

. (2.35)

Agar lebih sederhana, kita akan melihat diagram proses yang melibatkan per-

tukaran boson W seperti yang kita lihat pada Gb.2.1 dalam batas energi yang

lebih rendah dari massa W , sehingga kita dapat mengabaikan suku p2 pada penye-

but dari propagator W dalam pers.(2.35). Dengan menggunakan coupling W pa-

da pers.(2.21), kita dapatkan bahwa diagram tersebut dapat digambarkan oleh

Lagrangian efektif

∆LW =g2

m2W

Jµ−W J+µW

=g2

2m2W

(`′iLγ

µν ′iL + d′iLγ

µV ijCKMu

′jL)(ν ′iLγµ`

′iL + u′iLγµV

ijCKMd

′jL). (2.36)

11

W Z

u

ν

l ν

d

u-

ν u

Gambar 2.1: Beberapa proses yang melibatkan coupling antara weak boson denganfermion.

koefisiennya sering dituliskan dalam hubungannya dengan konstanta Fermi

GF√2

=g2

8m2W

. (2.37)

karena interaksi diantara lepton-lepton dan quark-quark ini dimediasi oleh per-

tukaran boson vektor yang bermuatan, maka interaksi ini dinamakan interaksi

charge-current (CC).

Dengan cara yang sama, kita dapat mengerjakan Lagrangian efektif dari per-

tukaran boson Z. Kita dapatkan

∆LZ =g2

2m2Z

JµZJµZ

=4GF√

2

∑

f

fγµ(T 3 − sin2 θwQ)f

2

, (2.38)

dengan penjumlahan terhadap seluruh komponen left-handed dan right-handed,

disini kita juga telah menggunakan pers.(2.15). Kita katakan bahwa Lagrangian

efektif diatas memediasi proses interaksi lemah neutral-current (NC).

Lagrangian efektif untuk neutral current dalam pers.(2.38) mengandung suku

yang memasangkan secara bersama semua jenis quark dan lepton. Suku ini

melanggar paritas, sehingga membedakan interaksi lemah dengan interaksi kuat

dan elektromagnetik. Sebagai contoh, pers.(2.38) memprediksi keberadaan dari

proses deep inelastic scattering untuk kasus neutral current, dimana neutrino

12

berenergi tinggi menghamburkan nukleon tetapi tidak mengubah keadaan akhir

neutrino menjadi muon atau elektron. Sama halnya, interaksi neutral current

memprediksi kemunculan dari pengaruh pelanggaran paritas dalam electron deep

inelastic scattering. Interaksi neutral current juga memprediksi pelanggaran pa-

ritas dalam interaksi antara elektron-nukleon yang seharusnya mencampur level-

level energi atom, hal ini juga berlaku untuk interaksi antara nukleon-nukleon.

Dalam teori GWS, seberapa besar kuatnya pengaruh ini diprediksi di dalam kons-

tanta Fermi dan sebuah parameter tambahan, yaitu nilai sin2 θw. Jadi, teori

GWS dapat diuji dengan cara mengamati tiap masing-masing pengaruh ini dan

mendapatkan sebuah nilai tunggal dari parameter ini untuk setiap proses yang

berbeda-beda.

Karena interaksi lemah untuk neutral current memiliki begitu banyak manifes-

tasi yang berbeda (misalnya: perbandingan total cross section NC terhadap CC

dalam neutrino-nukleon deep inelastic scattering, polarization asymmetry dalam

peluruhan Z0 → ff , total cross section dari neutrino-elektron elastic scatter-

ing, dll), teori GWS untuk interaksi lemah dapat dilakukan serangkaian uji coba

dengan cara membandingkan nilai parameter sin2 θw yang dihitung untuk seti-

ap proses yang berbeda. Tabel 2.1 [9] menunjukkan nilai sin2 θw yang didapat

dari berbagai macam proses. Untuk semua kasus, koreksi radiatif one-loop harus

dimasukkan untuk menganalisis eksperimen pada tingkat keakuratan yang lebih

tinggi. Koreksi radiatif ini menyimpan sesuatu yang tersembunyi didalamnya.

Pertama, awalnya kita harus mengambil sebuah skema renormalisasi yang

mendefinisikan sin2 θw dan menggunakannya secara konsisten dalam semua per-

hitungan yang kita lakukan. Dalam tabel 2.1 ditunjukkan sebuah skema renor-

malisasi. Pada skema tersebut, nilai objek yang kita amati dalam interaksi lemah

dituliskan dalam fungsi α, GF , dan sebuah parameter bebas. Pada kolom pertama

parameter ini adalah perbandingan mW/mZ, dan dari pers.(2.15) kita gunakan

perbandingan ini untuk mendefinisikan sebuah nilai terenormalisasi dari sin2 θw:

s2W ≡ 1− m2

W

m2Z

. (2.39)

skema ini dikenal dengan nama skema on-shell.

Kedua, yang menjadi sesuatu yang tersembunyi dalam koreksi radiatif one-

13

Tabel 2.1: Nilai dari s2W untuk berbagai macam pengamatan. Terkecuali jika

disebutkan dalam tabel, massa top quark mt = 177.9 ± 4.4 GeV. Angka yangberada didalam kurung adalah nilai simpangan baku dalam digit terakhir

Data s2W

All data 0.2228(4)

All indirect (no mt) 0.2229(4)

Z pole (no mt) 0.2231(6)

LEP 1 (no mt) 0.2237(7)

SLD + MZ 0.2217(6)

A(b,c)F B + MZ 0.2244(8)

MW + MZ 0.2221(8)

MZ 0.2227(5)

QW (APV) 0.2207(19)

DIS (isoscalar) 0.2274(21)

SLAC eD 0.213(19)

polarized Moller 0.2207(43)

elastic νµ(νµ)e 0.2220(77)

elastic νµ(νµ)p 0.203(33)

14

loop untuk proses weak neutral current adalah kebergantungan terhadap massa

top quark (mt) dan juga massa Higgs (MH).

2.3 Gambaran Singkat Teori SU(6)

Teori SU(6) yang akan dijelaskan disini hanyalah merupakan bagian kecil dari

teori yang sebenarnya [10]. Disini penulis hanya akan memberikan penjelasan

singkat bagaimana dalam teori SU(6) akan kita dapatkan tambahan boson gauge

baru yang akan memberikan koreksi dalam teori SM untuk menjelaskan anomali

NuTeV.

Teori SU(6) adalah penyatuan teori GWS dengan teori QCD. Perusakan

Simetri (symmetry breaking) dari teori SU(6) ini adalah sebagai berikut:

SU(6)

⇓SU(3)C ⊗ SU(3)DW ⊗ U(1)B

SU(3)C sebagaimana yang telah kita ketahui adalah simetri gauge untuk teori

QCD. Selanjutnya SU (3 )DW ter-breaking menjadi:

SU(3)DW

⇓SU(2)⊗ U(1)C

SU(2), U(1)B, dan U(1)C harus dapat mereproduksi teori GWS dalam skala elec-

troweak.

Untuk setiap simetri gauge yang terbentuk, maka akan muncul boson gauge-

baru, boson gauge yang tidak muncul dalam teori SM inilah yang akan digunakan

untuk memberikan koreksi dalam teori SM.

15

Bab 3

Neutrino Deep Inelastic Scattering

Dalam bab ini akan diberikan kinematik dari proses deep inelastic scattering

(DIS) yang akan digunakan dalam perhitungan cross section hamburan neutrino-

nukleon, serta nilai cross section hamburan neutrino-nukleon dalam teori SM.

3.1 Kinematik Deep Inelastic Scattering

Anomali NuTeV yang merupakan salah satu fenomena interaksi lemah, meli-

batkan proses yang disebut deep inelastic scattering. Dalam eksperimen NuTeV,

neutrino dapat menghamburkan nukleon dengan hamburan inelastik. Dalam sub-

bab ini akan diperkenalkan variabel yang terkait dengan proses deep inelastic scat-

tering (DIS). Gb.2.2 akan menunjukkan diagram proses deep inelastic scattering

yang prosesnya ditunjukkan sebagai berikut

l(k) + p(p)→ l(k′) +X(p′). (3.1)

lepton yang datang dapat berupa elektron, muon, neutrino; boson vektor yang

dipertukarkan dapat berupa photon, W±, atau Z0. Lepton menghamburkan nuk-

leon, yang berupa proton atau neutron, dengan hamburan inelastik, sehingga

menghasilkan keadaan akhir yang berupa lepton serta hadron-hadron yang ber-

asal dari pecahan-pecahan nukleon. Nukleon yang tersusun atas quark dan gluon,

dengan cepat membentuk hadron-hadron sehingga muncul sebagai hujan hadron.

X dalam pers.(3.1) menandakan keadaan hadron yang kompleks.

Sekarang kita akan melihat kasus untuk neutrino deep inelastic scattering.

Momentum empat dimensi dari neutrino yang datang (k), muon (neutrino) yang

16

W (q=k-k')Z,γ,

l (k) l (k')

p (P) X (p+q)

Gambar 3.1: Skema proses deep inelastic scattering dengan partikel datang beru-pa lepton (e,µ,ν) dan target berupa nukleon.

keluar (k′) untuk interaksi CC (NC), boson W (Z) yang dipertukarkan (q) un-

tuk interaksi CC (NC), nukleon target (p), dan keadaan akhir hadron (p′) dalam

kerangka acuan lab adalah sebagai berikut

k = (E,k), (3.2)

k′ = (E ′,k′), (3.3)

p = (M, 0, 0, 0), (3.4)

q = (ν,q), (3.5)

p′ = p+ q = p+ (k − k′). (3.6)

dengan E adalah energi neutrino yang datang, E ′ untuk energi muon (neutrino)

yang keluar, M adalah massa nukleon, k adalah momentum ruang dari neutrino

yang datang, k′ untuk momentum ruang dari muon (neutrino) yang keluar, dan ν

adalah energi transfer ke nukleon. Disini kita tidak mengabaikan massa neutrino.

Digunakan juga beberapa variabel yang lain, yaitu

• Q2 = momentum dari boson yang dipertukarkan yang mendefinisikan skala

energi interaksi; yaitu momentum transfer “space-like” antara lepton de-

ngan hadron:

Q2 = −q2 = −(k − k′)2 = 2(EE ′ − k · k′)−m2 −m′2, (3.7)

17

dengan m adalah massa neutrino yang datang dan m′ adalah massa muon

(neutrino) yang keluar untuk kasus CC (NC).

• ν = energi yang ditransfer dari lepton ke sistem hadron:

ν =p · qM

= E − E ′. (3.8)

• W 2 = massa invariant dari sistem hadron:

W 2 = (q + p)2 = M2 + 2Mν −Q2. (3.9)

dan ditambah dengan dua buah variabel tidak berdimensi, yang kita definisikan

sebagai:

• y = inelasticity, fraksi dari energi total lepton yang ditransfer ke sistem

hadron dalam kerangka acuan lab:

y =p · qp · k =

ν

E. (3.10)

• x = the Bjorken scaling variable, fraksi dari momentum total yang dibawa

oleh quark yang terlepas:

x =−q2

2p · q =Q2

2Mν=

Q2

2MEy. (3.11)

3.2 Cross Section Hamburan Neutrino-Nukleon

Nilai cross section dari kasus deep inelastic neutrino-nucleon scattering yang pro-

sesnya adalah sebagai berikut

νµ(νµ) +N → µ−(µ+) +X (3.12)

νµ(νµ) +N → νµ(νµ) +X (3.13)

dalam orde terendah (lowest order) dituliskan sebagai perkalian sebuah tensor

leptonik Lµν dan sebuah tensor hadronik W µν yang menggambarkan interaksi

leptonik dan hadronik :

d2σν,ν

dxdy=G2F y

16π

1

(1 +Q2/M2W,Z)2

LµνWµνλ, (3.14)

18

dengan MW adalah massa boson vektor untuk interaksi CC dan MZ untuk in-

teraksi NC, GF adalah konstanta Fermi, dan sebuah parameter baru λ(Q2, x, y)

yang muncul jika kita tidak mengabaikan massa lepton, yang memiliki bentuk:

λ =2E2

Q2(1− y)

1(1− 4m2M2x2y2

Q4

)

2(

1− M2x2y2

Q2(1−y)

)−(

1− 2m2M2x2y2

Q4(1−y)

−2m′2M2x2y2

Q4(1−y)− 2M2x2y2

Q2(1−y)

)

(1(

1− 4m2M2x2y2

Q4

) + 1(1− 4m′2M2x2y2

Q4(1−y)2

))

, (3.15)

suku λ ini akan bernilai 1 jika kita membuat nilai m = m′ = 0, sehingga akan di-

dapatkan hasil seperti pada referensi [11]. Sedangkan bentuk dari tensor leptonik

adalah sebagai berikut:

Lµν = 2Tr[(k′/+m′)γµ(1− γ5)k/γν] (3.16)

dengan m′ = mµ untuk kasus CC dan m′ = mν untuk kasus NC. Bentuk yang pa-

ling umum dalam menuliskan tensor hadronik adalah dengan menghubungkannya

dengan fungsi skalar Wi, yang menggambarkan struktur nukleon. Untuk kasus

CC tensor hadroniknya memiliki bentuk:

W µν = − gµν W1(x,Q2) +pµpν

M2W2(x,Q2) + iεµνλσ

pλqσ2M2

W3(x,Q2)

+qµqν

M2W4(x,Q2) +

(pµqν + pνqµ)

2M2W5(x,Q2) , (3.17)

sedangkan untuk kasus NC tensor hadroniknya berbentuk:

W µν = − gµν (g2L + g2

R)W1(x,Q2) +pµpν

M2(g2L + g2

R)W2(x,Q2)

+ iεµνλσpλqσ2M2

(g2L − g2

R)W3(x,Q2) +qµqν

M2(g2L + g2

R)W4(x,Q2)

+(pµqν + pνqµ)

2M2(g2L + g2

R)W5(x,Q2) , (3.18)

dengan nilai gL dan gR seperti yang ditunjukkan dalam tabel 3.1. Selanjutnya kita

akan mengganti fungsi Wi kedalam oleh fungsi struktur yang tidak berdimensi

Fi, yang memiliki sebuah representasi yang sederhana dalam quark parton model:

F1(x,Q2) = W1(x,Q2) (3.19)

F2(x,Q2) =ν

MW2(x,Q2) (3.20)

19

Tabel 3.1: Fermion dalam SM dan coupling Z-nya.

coupling Z gL gRνe, νµ, ντ

12

0

e, µ, τ −12

+ sin2 θw sin2 θw

u, c, t 12− 2

3sin2 θw −2

3sin2 θw

d, s, b −12

+ 13

sin2 θw13

sin2 θw

F3(x,Q2) =ν

MW3(x,Q2) (3.21)

F4(x,Q2) =ν

MW4(x,Q2) (3.22)

F5(x,Q2) =ν

MW5(x,Q2) (3.23)

Kontraksi antara tensor leptonik dan hadronik dalam kasus CC akan meng-

hasilkan nilai differential cross section dari neutrino-nukleon deep inelastic scat-

tering adalah sebagai berikut:

d2σν,ν

dx dy=

G2FMEλ

π(1 +Q2/M2W )2

(y2

2+ m′2y

4MEx+ m2y

4MEx

)2xF1(x,Q2)

+(1− y − Mxy

2E− m′2

4E2 − m2

4E2

)F2(x,Q2)

±(y(1− y

2)− m′2y

4MEx+ m2y

4MEx

)xF3(x,Q2)

+(m′2xy2ME

+ m2xy2ME

− m2m′22M2E2 + m′4

4M2E2 + m4

4M2E2

)F4(x,Q2)

+(m2(1−y)2MEx

− m′22MEx

)xF5(x,Q2)

,

(3.24)

dari Ward-Takahashi Identity :

qµWµν = qνW

µν = 0, (3.25)

akan didapatkan hubungan

W5 = −2p · qq2

W2, (3.26)

W4 =M2

q2W1 +

(p · qq2

)2W2, (3.27)

dengan memasukkan pers.(3.4), (3.5), (3.12), dan mengubah bentuk Wi kedalam

bentuk Fi, pers.(3.28) dan (3.29) diatas akan menjadi

F5 =1

xF2, (3.28)

20

F4 =1

4x2F2 −

1

2xF1. (3.29)

Jika kita memasukkan pers.(3.30), dan (3.31) diatas kedalam pers.(3.26) maka

akan kita dapatkan

d2σν,ν

dx dy=

G2FMEλ

π(1 +Q2/M2W )2

(y2

2+ m′2y

4MEx+ m2y

4MEx− m′2y

8MEx− m2y

8MEx

+ m2m′28M2E2x2 − m′4

16M2E2x2 − m4

16M2E2x2

)2xF1(x,Q2)

+(1− y − Mxy

2E− m′2

4E2 − m2

4E2 + m′2y8MEx

+ m2y8MEx

− m2m′28M2E2x2 + m′4

16M2E2x2 + m4

16M2E2x2

+ m2

2MEx− m2y

2MEx− m′2

2MEx

)F2(x,Q2)

±(y(1− y

2)− m′2y

4MEx+ m2y

4MEx

)xF3(x,Q2)

.

(3.30)

dengan tanda +(−) pada suku terakhir mengacu untuk kasus hamburan neutri-

no (antineutrino). Fungsi struktur Fi(x,Q2) dalam persamaan diatas bergantung

pada tipe interaksi dan target yang ditumbuk pada proses hamburan tersebut. Ji-

ka menggunakan asumsi dari quark parton model, fungsi struktur dapat dituliskan

dalam kaitannya dengan komposisi quark dalam nukleon target.

3.3 Model Parton dari Hadron

Dalam asumsi model parton, digambarkan proses hamburan neutrino-nukleon da-

lam kaitannya dengan terhamburnya penyusun-penyusun nukleon, seperti yang

digambarkan pada Gb.3.1.

Dalam quark parton model, nukleon tersusun atas parton (quark dan gluon),

yang berlaku sebagai partikel titik. Dengan perhitungan kasar, setengah dari

momentum nukleon berasal dari gluon yang mengikat quark-quark tetapi tidak

berinteraksi melalui gaya lemah. Setengah dari momentum yang tersisa ber-

asal dari quark-quark, yaitu valence quark dan sea quark. valence quark menen-

tukan muatan dan spin dari nukleon. Proton misalnya, tersusun atas dua buah

u valence quark dan sebuah d valence quark. Neutron tersusun atas sebuah u

valence quark dan dua buah d valence quark. Dalam teori QCD, quark-quark

berinteraksi dengan cara menukarkan gluon yang menyebabkan adanya fluktuasi

membentuk pasangan-pasangan quark-antiquark, yang secara umum pasangan

quark-antiquark ini disebut sea quark.

21

Z

qq

µνµν

q'q

−µµν

W

Gambar 3.2: Diagram Feynman untuk CC dan NC hamburan neutrino-quark.

Quark parton model mengasumsikan sebuah kerangka Lorentz dengan

|p| m,M (3.31)

sehingga semua massa dapat diabaikan. Dalam kerangka ini, momentum nukleon

bahkan diasumsikan jauh lebih besar dibandingkan dengan momentum transfer

terkait dengan interaksi kuat antara quark. Oleh karena itu, hamburan neutrino-

nukleon dapat digambarkan sebagai hamburan elastis dari sebuah parton tunggal

yang tidak saling berinteraksi dengan parton lainnya. Karena parton diasumsikan

bebas, fungsi struktur nukleon Fi dapat dituliskan sebagai jumlah probabilitas

hamburan dari parton tunggal.

Disini kita akan menuliskan 2xF1 dan xF3 sebagai:

2xF1(x,Q2) = 2∑

i=u,d,···xqi(x) + xqi(x)

xF3(x,Q2) = 2∑

i=u,d,···xqi(x)− xqi(x) (3.32)

dengan penjumlahan terhadap seluruh jenis parton. Setiap parton membawa

sebuah fraksi x = Q2/2Mν dari momentum nukleon, sehingga q(x) merupakan

probabilitas menemukan parton yang memiliki fraksi momentum (x). Sedangkan

F2 memiliki hubungan dengan F1 adalah sebagai berikut:

F2(x,Q2) = 2xF1(x,Q2). (3.33)

22

relasi ini dalam quark parton model dikenal dengan nama Callan-Gross relation

[12].

Jika relasi-relasi diatas kita masukkan kedalam pers.(3.30) dengan mengabaikan

suku massa lepton dan proton, serta mengabaikan faktor dari propagator, ma-

ka akan kita dapatkan nilai cross section dari hamburan neutrino-nukleon untuk

kasus charge current adalah

d2σνCCdx dy

=2G2

FME

π[xq(x) + (1− y)2xq(x)]

d2σνCCdx dy

=2G2

FME

π[xq(x) + (1− y)2xq(x)], (3.34)

Sedangkan nilai cross section hamburan neutrino-nukleon untuk kasus NC memi-

liki bentuk sebagai berikut:

d2σνNCdx dy

=2G2

FME

π

[g2L[xq(x) + (1− y)2xq(x)]+g2R[xq(x) + (1− y)2xq(x)]

](3.35)

d2σνNCdx dy

=2G2

FME

π

[g2L[xq(x) + (1− y)2xq(x)]+g2R[xq(x) + (1− y)2xq(x)]

], (3.36)

dengan g2L dan g2

R adalah komponen left handed dan right handed dari weak neutral

current.

isoscalar coupling, g2L dan g2

R didefinisikan sebagai jumlah dari kuadrat coupling

quark, dari tabel 3.1 kita dapatkan nilai:

g2L = u2

L + d2L =

1

2− sin2 θw +

5

9sin4 θw (3.37)

g2R = u2

R + d2R =

5

9sin4 θw. (3.38)

Dengan mensubstitusi pers.(3.34), (3.37), dan (3.38) kedalam pers.(3.35) dan

(3.36), maka akan didapat

d2σνNCdx dy

=(

1

2− sin2 θw +

5

9sin4 θw

)· d

2σνCCdx dy

+5

9sin4 θw ·

d2σνCCdx dy

d2σνNCdx dy

=(

1

2− sin2 θw +

5

9sin4 θw

)· d

2σνCCdx dy

+5

9sin4 θw ·

d2σνCCdx dy

. (3.39)

Jika kita membandingkan nilai cross section untuk kasus neutral current dan

charge current, maka akan kita dapatkan hubungan langsung dengan nilai sin2 θw

23

sebagai berikut:

Rν ≡ σ(νµN → νµX)

σ(νµN → µ−X)=

σνNCσνCC

= g2L + rg2

R

=1

2− sin2 θw +

5

9(1 + r) sin4 θw , (3.40)

Rν ≡ σ(νµN → νµX)

σ(νµN → µ+X)=

σνNCσνCC

= g2L +

1

rg2R

=1

2− sin2 θw +

5

9

(1 +

1

r

)sin4 θw , (3.41)

dengan

r =σ(νµN → µ+X)

σ(νµN → µ−X)=σνCCσνCC

. (3.42)

24

Bab 4

Hasil dan Pembahasan

Koreksi yang akan kita lakukan dengan menggunakan teori SU(6) adalah dengan

menambah boson gauge baru kedalam interaksi neutral current (boson N) dan

interaksi charge current (boson C), tanpa merubah interaksi boson gauge didalam

teori SM; seperti yang terlihat dalam Gb.4.1. Dalam gambar tersebut kita telah

menambahkan boson N untuk yang dimediasi boson Z, sedangkan untuk yang

dimediasi boson W kita tambahkan boson C, inilah yang kita sebut sebagai ko-

reksi boson gauge SU(6) dalam anomali NuTeV.

Didalam teori SM nilai amplitude invariant dari suatu proses hamburan neutrino-

nukleon dituliskan sebagai berikut:

−iM(νN → µX) = −iGF√2

1

(1 +Q2/M2W )

[µγµ(1− γ5)ν]∫d4x eiq·x〈X|Jµ(x)|P 〉 ,

(4.1)

untuk interaksi charge current, dan

−iM(νN → νX) = −iGF√2

1

(1 +Q2/M2Z)

[νγµ(1− γ5)ν]∫d4x eiq·x〈X|Jν(x)|P 〉 ,

(4.2)

untuk interaksi neutral current (disini kita telah menggunakan nilai GN = GF

untuk perhitungan dalam orde terendah). Koreksi boson gauge SU(6) akan di-

tambahkan dalam amplitude invariant diatas tanpa mengubah interaksi boson

gauge dalam teori SM, maka jika kita melakukan hal tersebut akan kita dapatkan

amplitude invariant dalam teori SU(6) adalah sebagai berikut:

−iMSU(6)(νN → µX) = −i 1√2

(GF

(1 +Q2/M2W )

+GC

(1 +Q2/M2C )

)

[µγµ(1− γ5)ν]∫d4x eiq·x〈X|Jµ(x)|P 〉 ,

25

++

N

q'qqq

WZ

q q'q q

µµνν µµν

µµνµνµν

C

Gambar 4.1: Diagram Feynman untuk CC dan NC hamburan neutrino-quarkdalam teori SU(6).

= −i 1√2

GF

(1 +Q2/M2W )

(1 +

GCGF

(1 +Q2/M2W )

(1 +Q2/M2C )

)

[µγµ(1− γ5)ν]∫d4x eiq·x〈X|Jµ(x)|P 〉 , (4.3)

dengan GC dan MC adalah konstanta coupling dan massa dari boson gauge SU(6)

untuk interaksi charge current. Sedangkan untuk interaksi neutral current, am-

plitude invariant-nya berbentuk:

−iMSU(6)(νN → νX) = −i 1√2

(GF

(1 +Q2/M2Z)

+GN

(1 +Q2/M2N )

)

[νγµ(1− γ5)ν]∫d4x eiq·x〈X|Jν(x)|P 〉 ,

= −i 1√2

GF

(1 +Q2/M2W )

(1 +

GNGF

(1 +Q2/M2Z)

(1 +Q2/M2N )

)

[νγµ(1− γ5)ν]∫d4x eiq·x〈X|Jν(x)|P 〉 , (4.4)

dengan GN dan MN adalah konstanta coupling dan massa dari boson gauge SU(6)

untuk interaksi neutral current. Kedua buah persamaan diatas dapat dituliskan

dalam kaitannya dengan amplitude invariant teori SM sebagai berikut:

−iMSU(6)(νN → µX) =

(1 +

GCGF

(1 +Q2/M2W )

(1 +Q2/M2C )

)(−iMSM(νN → µX)) ,

(4.5)

−iMSU(6)(νN → νX) =

(1 +

GNGF

(1 +Q2/M2Z)

(1 +Q2/M2N )

)(− iMSM(νN → νX)

),

(4.6)

26

sehingga nilai |M|2 untuk setiap proses diatas adalah

|M|2SU(6)(νN → µX) =

(1 +

GCGF

(1 +Q2/M2W )

(1 +Q2/M2C )

)2

|M|2SM(νN → µX) , (4.7)

|M|2SU(6)(νN → νX) =

(1 +

GNGF

(1 +Q2/M2Z)

(1 +Q2/M2N )

)2

|M|2SM(νN → νX) . (4.8)

Jika kita mengabaikan faktor dari propagator maka persamaan diatas menjadi

|M|2SU(6)(νN → µX) =(

1 +GCGF

)2

|M|2SM(νN → µX) , (4.9)

|M|2SU(6)(νN → νX) =(

1 +GNGF

)2

|M|2SM(νN → νX) . (4.10)

Selanjutnya kita akan mengaitkan konstanta coupling GN dengan GC.

GC = a GN . (4.11)

Dengan menggunakan relasi diatas maka akan kita dapatkan perbandingan nilai

RνSU(6) dalam hubungannya dengan nilai Rν

SM adalah sebagai berikut:

RνSU(6) =

1 + GN

GF

1 + aGNGF

2

RνSM . (4.12)

Jika kita membuat plot grafik Rν terhadap GN/GF untuk hasil yang telah kita

peroleh diatas, maka akan kita peroleh grafik seperti dalam Gb.4.2.

Dari grafik tersebut kita dapatkan bahwa untuk nilai a = 1.1 akan kita dap-

atkan range nilai 0.0331 < GN/GF < 0.0818, sedangkan untuk nilai a = 1.5 akan

kita peroleh range nilai 0.0064 < GN/GF < 0.0154. Dari hasil tersebut dapat kita

simpulkan bahwa untuk nilai a yang semakin besar, akan kita peroleh range un-

tuk nilai GN/GF semakin sempit, bahkan untuk nilai a 1, akan kita dapatkan

nilai GN/GF ≈ 0. Ini berarti jika semakin besar konstanta coupling C diband-

ingkan dengan konstanta coupling N, maka semakin lemah interaksi dari boson

gauge SU(6) dibandingkan dengan interaksi dalam teori SM. Hal ini memang

sudah dapat diprediksi bahwa interaksi dalam teori SU(6) untuk skala energi di-

atas electroweak scale harus lebih lemah dibandingkan interaksi dalam teori SM.

Dari grafik diatas juga dihasilkan bahwa nilai a harus lebih besar dari 1 agar

teori SU(6) dapat menjelaskan anomali NuTeV. Ini artinya dalam teori SU(6)

27

0 0.05 0.1 0.15 0.2GN/GF

0.308

0.309

0.31

0.311

0.312

0.313

0.314

0.315

Rν

RSU(6) ; a=1.1RSU(6) ; a=1.5RSMRNuTeV

Gambar 4.2: Grafik Rν vs GN/GF untuk hasil yang diprediksi SM dengan globalfit, hasil eksperimen NuTeV dan hasil koreksi teori SU(6) untuk nilai a = 1.1dan a = 1.5 .

interaksi charge current lebih kuat jika dibandingkan dengan interaksi neutral

current-nya, hal ini berbeda dengan teori SM dimana interaksi neutral current

lebih kuat dibandingkan dengan interaksi charge current-nya.

Jika kita membuat plot grafik Rν terhadap nilai a, maka akan kita dapatkan

grafik seperti dalam Gb.4.3. Dari grafik tersebut dapat kita lihat bahwa untuk

nilai GN/GF = 0.01 akan kita peroleh range untuk nilai 1.3234 < a < 1.7637,

sedangkan untuk nilai GN/GF = 0.05 maka akan kita dapatkan range nilai

1.0672 < a < 1.1588.

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2a

0.31Rν

RSU(6) ; GN/GF=0.05RSU(6) ; GN/GF=0.01RSMRNuTeV

Gambar 4.3: Grafik Rν vs a untuk hasil yang diprediksi SM dengan global fit,hasil eksperimen NuTeV dan hasil koreksi teori SU(6) untuk nilai GN/GF = 0.01dan GN/GF = 0.05 .

28

Bab 5

Kesimpulan dan Saran

Setelah dilakukan perhitungan dan hasilnya ditunjukkan oleh grafik, maka anoma-

li NuTeV dapat dijelaskan dengan teori SU(6) -dengan cara menambahkan gauge

boson baru yang tidak muncul dalam teori SM - untuk nilai a = 1.1 maka di-

dapatkan range nilai 0.0331 < GN/GF < 0.0818, sedangkan untuk nilai a = 1.5

maka akan kita dapatkan range nilai 0.0064 < GN/GF < 0.0154. Nilai a pada

perhitungan diatas harus lebih besar dari satu (a > 1) agar dapat menjelaskan

anomali NuTeV. Sebaliknya jika kita memfit nilai GN/GF = 0.01 akan kita da-

patkan range nilai 1.3234 < a < 1.7637, sedangkan untuk nilai GN/GF = 0.05

akan kita dapatkan range nilai 1.0672 < a < 1.1588.

Saran untuk penelitian lebih lanjut adalah menerapkan teori SU(6) untuk

eksperimen-eksperimen lain yang belum dapat dijelaskan oleh teori SM, misalnya

untuk menjelaskan peluruhan proton. Hal ini akan memberikan batasan (con-

straint) untuk nilai GN/GF serta nilai a, sehingga akan dapat nilai GN/GF dan

a yang lebih akurat.

29

Lampiran A

Notasi

Sistem satuan yang digunakan dalam perhitungan ini adalah sistem satuan alami

(natural system of units), di mana didefinisikan h = c = 1 dan tidak berdimensi.

Energi, massa, dan momentum, seluruhnya berdimensi energi, yakni dengan sa-

tuan MeV. Dengan demikian, dimensi panjang dan luas masing-masing menjadi

energi−1 dan energi−2. Untuk mendapatkan nilai dan mengembalikan dimensi

besaran yang ingin diketahui, digunakan konversi berikut [14]:

h = 6.58212233(49)× 10−22 MeV s (A.1)

hc = 197.327053(59) MeV fm (A.2)

(hc)2 = 0.38937966(23) GeV2 mbarn (A.3)

30

Lampiran B

Perhitungan

Pers.(3.15) dapat diperoleh dengan cara berikut:

dσ =1

4((k · p)2 −m2M2

)1/2|M|2 d3k′

2E ′ (2π)3, (B.1)

dengan

−iM(νN → µX) = −iGF√2

1

(1 +Q2/M2W )

[µγµ(1− γ5)ν]∫d4x eiq·x〈X|Jµ(x)|P 〉,

(B.2)

−iM(νN → νX) = −iGN√2

1

(1 +Q2/M2Z)

[νγµ(1− γ5)ν]∫d4x eiq·x〈X|Jν(x)|P 〉,

(B.3)

dalam perhitungan orde terendah nilai GN = GF . Jµ dalam pers.(B.2) adalah

quark charge current, sedangkan J ν dalam pers.(B.3) adalah quark neutral cur-

rent, sehingga akan didapatkan nilai

|M|2 =G2F

2

1

(1 +Q2/MW,Z)2LµνW

µν4π, (B.4)

faktor 4π berasal dari normalisasi W µν, untuk nilai

W µνCC =

1

4π

∑

N

(1

2

∑

s

) ∫ N∏

n=1

(d3p′n

2E ′n(2π)3

)

∑

sn

〈p, s|Jµ†|X〉〈X|Jµ|p, s〉(2π)4δ(4)(p+ q −∑

n

p′n), (B.5)

W µνNC =

1

4π

∑

N

(1

2

∑

s

) ∫ N∏

n=1

(d3p′n

2E ′n(2π)3

)

∑

sn

〈p, s|Jν†|X〉〈X|Jν|p, s〉(2π)4δ(4)(p+ q −∑

n

p′n), (B.6)

31

Selanjutnya dengan menggunakan pers.(3.2) dan (3.4) kita dapatkan

dσ =1

4M(E2 −m2)1/2|M|2 |k

′|2 dk′ dΩ

2E ′ (2π)3, (B.7)

dengan menggunakan relasi momentum-energi relativistik, kita dapatkan

dσ =1

64π3M|M|2 (E

′2 −m′2)1/2

(E2 −m2)1/2dE ′ dΩ, (B.8)

dengan menggunakan pers.(3.7) dan (3.8), kita mengubah dE ′ dΩ kedalam bentuk

dν dQ2 dengan relasi berikut:

dE ′ dΩ =2π

Q2

1(1− 4m2M2x2y2

Q4

)1/2(1− 4m′2M2x2y2

Q4(1−y)2

)1/2

[2

(1− M2x2y2

Q2(1− y)

)

−(

1− 2m2M2x2y2

Q4(1− y)− 2m

′2M2x2y2

Q4(1− y)− 2M2x2y2

Q2(1− y)

)

× 1(

1− 4m2M2x2y2

Q4

) +1(

1− 4m′2M2x2y2

Q4(1−y)2

)

dν dQ2, (B.9)

kemudian kita mengubah dν dQ2 kedalam bentuk dx dy dengan menggunakan

pers.(3.10) dan (3.12), sehingga akan didapatkan relasi:

dν dQ2 = 2ME2y dx dy, (B.10)

langkah terakhir adalah dengan cara mengubah suku ketiga dari pers.(B.8) kedalam

kaitannya dengan x dan y sebagai berikut:

(E′2 −m′2)1/2

(E2 −m2)1/2=

(1− y)(1− 4m

′2M2x2y2

Q4(1−y)2

)1/2

(1− 4m2M2x2y2

Q4

)1/2, (B.11)

langkah terakhir adalah mensubstitusi pers.(B.4), (B.9), (B.10), dan (B.11) kedalam

pers.(B.8), maka akan didapatkan pers.(3.15).

32

Daftar Acuan

[1] NuTeV: G. P. Zeller et. al., Phys. Rev. Lett. 88, (2002) 091802.

[2] V. A. Uvarov et. al., “A Combination of Preliminary Electroweak Mea-

surements and Constraint on the Standard Model”, CERN-EP/2001-98,hep-

ex/0112021.

[3] M. Gruenewald, private communication, for the fit of Ref.[2] without

neutrino-nucleon scattering data included.

[4] S. L. Glashow, Nucl. Phys. 22, (1961) 579.

[5] S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 19, (1967) 1264.

[6] A. Salam, in Elementary Particle Theory, (edited by N. Svartholm),

Almquist and Forlag, Stokcholm, 1968.

[7] M. Kobayashi dan T. Maskawa, Prog. Theor. Phys. 49, (1973) 652.

[8] N. Cabibbo, Phys. Rev. Lett. 10, (1963) 531

[9] Particle Data Group, Review of Particle Physics, Phys. Lett. B, (2004) 592

[10] A. Hartanto dan L.T. Handoko, Physics Journal of the Indonesian Physical

Society C8, (2004) 0502.

[11] R. P. Feynman dan M. Gell-Mann, Phys. Rev. 109 (2002) 193.

[12] C. G. Callan dan D. G. Gross, Phys. Rev. Lett 22, (1969) 156.

[13] F. Halzen dan A. D. Martin, Quarks and Leptons: An Introductory Course

in Modern Particle Physics, Wiley, New York, 1984.

33

[14] M. E. Peskin dan D. V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field The-

ory, Westview, USA, 1995.

[15] G. P. Zeller, A Precise Measurement of the Weak Mixing Angle in Neutrino-

Nucleon Scattering, Ph.D Thesis, Northwestern University, 2002.

34