KONSEP NORM PADA RING [ ] DAN APLIKASINYA PADA PENYELESAIAN PERSAMAAN DIOPHANTINE NON LINEAR

TIGA VARIABEL

(Skripsi)

Oleh

SYIFA RAHMADONA FIRDAUZ

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2018

ABSTRAK

KONSEP NORM PADA RING , - DAN APLIKASINYA PADA PENYELESAIAN PERSAMAAN DIOPHANTINE NON LINEAR

TIGA VARIABEL

Oleh

SYIFA RAHMADONA FIRDAUZ

Himpunan bilangan bulat Gaussian merupakan himpunan bagian dari himpunan

bilangan kompleks yang dinotasikan dengan , - dimana , - * | +. Di , - suatu ukuran baik panjang maupun jarak dihitung dengan menggunakan norm. Norm pada , - merupakan suatu fungsi , - . Salah satu penggunaan konsep norm pada ring , - yaitu dapat menyelesaikan persamaan Diophantine non linear. Pada penelitian ini, konsep norm pada ring

, - digunakan pada persamaan Diophantine non linear tiga variabel untuk mengklasifikasikan solusi primitif persamaan tripel Pythagoras dan persamaan

Hasilnya menunjukkan bahwa diperoleh solusi primitif untuk persamaan tripel Pythagoras dengan ganjil memiliki bentuk dimana , ( ) dan Kemudian untuk persamaan dengan ( ) diperoleh solusi primitif dimana , ( ) dan .

Kata Kunci: norm, prima, bilangan bulat Gaussian , ring , -, persamaan Diophantine

ABSTRACT

THE CONCEPT OF NORM ON RING [ ] AND ITS APPLICATION ON

THREE VARIABLES NONLINEAR DIOPHANTINE EQUATIONS

By

SYIFA RAHMADONA FIRDAUZ

Gaussian integers are the subset of complex numbers, denoted by [ ] and defined by [ ] { | . In [ ] , size is measured by the norm. The function [ ] , called the norm. Application of norm on ring [ ] concept can be used to solve nonlinear Diophantine equations by applying the concept of

norm on ring [ ] into three variables nonlinear Diophantine equations. The applications will address the following issues: classification of (primitive)

Pythagorean triples and classification of (primitive) solutions to . The solutions are every primitive Pythagorean triple with is an odd number, and has the form where , and , and the solutions to with are described by the formula where , and .

Keywords: norm, prime, Gaussian integers , ring [ ], Diophantine equations.

KONSEP NORM PADA RING [ ] DAN APLIKASINYA PADA PENYELESAIAN PERSAMAAN DIOPHANTINE NON LINEAR

TIGA VARIABEL

(Skripsi)

Oleh

Syifa Rahmadona Firdauz

1417031116

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2018

I.00Z0686180119961_lH

|FHnlnr erl10x

1001111109009190,401

"I

0011000

Su,ISIWqI

Inri

ti:H:ulttH

911190II

IJ

uOSFtlnr

HN

EMSI'IPH

H

:Od11 1npnr

B10=IupI:ISdIBIs111Snin

100 1IS661 lOI61C1

TCISS

TIITIIpttWttHttn

'IS'n "IS.S'IptUS rrEIqnS : Eulgtulgural uE{ng

SHISS"

H'vc:sp0.IsI

,Is'|0sl,:| _|_9n31||||

lrnstI.lu

1

VOH

9[lICOI11dN7 1VOttII VN00VIIVtt V JI

8I0Z teretrnd $tr'Eurd'ateT repueg

811ndslISIOA:ufl ll1011lISIInuOd

I LIOpitt llllIuOW 101 1ul ISdlIISp 8o18=tX uosII1nOS

Iop lJIplloss u?oOd lIS IOp IUI ISdIIttS tillttCl uttI}KttouI Iul uSuOCI

:llI10I:

VA VOIVNON_NVIIdOIC IV5VSI=

NVIVS=AN

VCIVVASDIEVNv[r]z3ntt vcIIVI ION dISNOX:

usnlltf

:ilpnf

9111COII: `SISttl10AOdOttroN

zn7p:9)pltlllJItS iN

:rur rle,&q p ue8uel epuu1raq Eued edeg

VttLSISVHVIISdlttXS XYViVANid

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Ciamis, Jawa Barat pada tanggal 25 Januari 1997, sebagai

anak pertama dari tiga bersaudara, putri dari pasangan Bapak Iwan Farid

Siradjudin dan Ibu Sarinah.

Menempuh pendidikan di Taman Kanak-Kanak (TK) Al-Azhar 4 Bandar

Lampung tahun pelajaran 2001/2002, Pendidikan Sekolah Dasar (SD) Al-Azhar 1

Perumnas Way Halim pada tahun 2002-2008, Sekolah Menengah Pertama (SMP)

Negeri 19 Bandar Lampung pada tahun 2008-2011, dan Sekolah Menengah Atas

(SMA) Negeri 5 Bandar Lampung pada tahun 2011-2014.

Tahun 2014 penulis terdaftar sebagai mahasiswi S1 Matematika, Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lampung melalui Jalur

SBMPTN (tes tertulis).

Pada awal tahun 2017 penulis melaksanakan Kerja Praktik (KP) di Indonesia Port

Corporation II (PT. Pelabuhan Indonesia II Cabang Panjang) dan pertengahan

tahun 2017 penulis melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Bandar

Dalam, Kecamatan Sidomulyo, Kabupaten Lampung Selatan, Provinsi Lampung.

PERSEMBAHAN

Dengan mengucap puji dan syukur kepada Allah SWT kupersembahkan karya

sederhana ini kepada :

Papah dan Mamah tercinta dengan segala doa, kasih sayang, motivasi, dan

pengorbanannya selama hidupku.

Adik-adikku tersayang, Nabila Qudratullah dan Anggara Mohammad Sahid

yang selalu memberi doa, serta berbagi suka, duka, canda dan tawa.

Keluarga Besarku tercinta yang selalu memberikan semangat untuk

menyelesaikan skripsi ini

Dosen-Dosen Pembimbing dan Penguji yang sangat berjasa serta selalu

memberikan masukan, motivasi dan semangat kepada penulis.

Sahabat-sahabatku tersayang yang selama ini menemaniku dalam setiap

kebersamaan yang penuh makna.

Almamaterku Universitas Lampung.

KATA INSPIRASI

Boleh jadi kamu membenci sesuatu, padahal ia amat baik bagimu,

dan boleh jadi (pula) kamu menyukai sesuatu, padahal ia amat buruk

bagimu. Allah mengetahui, sedang kamu tidak mengetahui.

(QS. Al-Baqarah :216)

Dunia itu hanya 3 hari saja. Yaitu, hari kemarin, sudah pergi

dengan segala isinya (tanpa bisa diulang kembali). Hari esok,

namun mungkin saja engkau tidak menjumpainya (lantaran ajal

menjemputmu) dan hari ini, itulah yang menjadi milikmu, maka

isilah dengan amalan.

(Al-Hasan Albashri)

SANWACANA

Alhamdulillah penulis ucapkan puji dan syukur atas kehadirat Allah SWT yang

telah melimpahkan rahmat, hidayah serta nikmat-Nya sehingga penulis dapat

menyelesaikan skripsi dengan judul Konsep Norm pada Ring [ ] dan

Aplikasinya Pada Penyelesaian Persamaan Diophantine Non Linear Tiga

Variabel. Penulisan skripsi ini tak lepas dari pengarahan, bimbingan, motivasi

serta dukungan dan kerjasamanya dari berbagai pihak. Oleh sebab itu, penulis

ingin mengucapan terima kasih kepada:

1. Bapak Amanto, S,Si., M,Si. selaku Dosen Pembimbing I, atas segala

bantuan dan waktunya untuk membimbing, memberi arahan, dan nasihat.

2. Bapak Dr. Aang Nuryaman, S.Si., M.Si. selaku Dosen Pembimbing II, atas

bimbingan, kritik dan sarannya yang membangun.

3. Bapak Subian Saidi S.Si., M.Si. selaku Dosen Pembahas atas saran, kritik

serta kesediaan untuk menguji selama proses penyelesaian skripsi ini.

4. Ibu Dr. Asmiati, S.Si., M.Si. selaku Dosen Pembimbing Akademik atas

bimbingan, saran serta pengarahan dalam pembelajaran selama proses

perkulian.

5. Ibu Prof. Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas

Lampung.

6. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D. selaku Dekan Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Lampung.

7. Seluruh Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Lampung atas pembelajaran serta

pengalaman yang telah diberikan selama ini.

8. Mamah, Papah, Bila, dan Angga atas doa yang tak henti-hentinya, kasih

sayang, cinta, semangat, dan pengorbanan yang luar biasa.

9. Atika Faradilla, Annisa Hevita GKS, Tri Wulandari, Yeti Rahmawati,

Indah, Vivi, Hizkia, Vanesha, Reka, Camel, Kiki Alen, Fauzia, serta

rekan-rekan Matematika 2014 atas perjuangan, canda, tawa serta

kebersamaan yang luar biasa selama ini.

10. Kim Namjoon, Kim Taehyung, Jeon Jungkook, Kim Seokjin, Min Yoongi,

Jung Hoseok, , Park Jimin atas motivasinya selama lima tahun terakhir.

Serta almamaterku tercinta Universitas Lampung.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini terdapat banyak kekurangan. Karena itu,

penulis mengharapkan kritik dan saran demi perbaikan skripsi ini sehingga dapat

bermanfaat bagi penulis. Terimakasih.

Bandar Lampung, Maret 2018

Penulis

Syifa Rahmadona Firdauz

NPM. 1417031116

i

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR ISI .................................................................................................. i

DAFTAR SIMBOL ....................................................................................... iii

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang .................................................................................. 1

1.2 Tujuan Penelitian .............................................................................. 2

1.3 Manfaat Penelitian ............................................................................ 2

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Keterbagian ....................................................................................... 3

2.2 Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) ................................................. 5

2.3 Bilangan Prima ................................................................................. 8

2.4 Modulo ............................................................................................. 9

2.5 Persamaan Diophantine ................................................................... 14

2.6 Sistem Bilangan Kompleks .............................................................. 15

2.7 Ring .................................................................................................. 17

2.8 Daerah Integral ................................................................................. 21

2.9 Bilangan Bulat Gaussian .................................................................. 23

ii

2.10 Norm ................................................................................................ 27

2.11 Norm dan Unit dalam Ring [ ] ...................................................... 29

III. METODE PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ............................................................ 32

3.2 Metode Penelitian .............................................................................. 32

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Konsep Norm pada Ring [ ] ........................................................... 35

4.2 Penyelesaian Persamaan Diophantine Nonlinear .............................. 56

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan ........................................................................................ 63

5.2 Saran ................................................................................................. 63

DAFTAR PUSTAKA

iii

DAFTAR SIMBOL DAN SINGKATAN

: bilangan bulat

[ ] : bilangan bulat Gaussian

| : membagi habis

: tidak membagi habis

: lebih besar atau sama dengan

: lebih kecil atau sama dengan

: modulo

: berelasi kongruen dengan modulo

: Norm dari alpha

: anggota

: untuk setiap

: terdapat

[ ] : fungsi memetakan setiap elemen himpunan

[ ] kepada

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam bidang ilmu matematika, sering kali ditemukan berbagai macam

permasalahan. Contohnya adalah permasalahan yang dimodelkan kedalam

persamaan Diophantine, baik persamaan Diophantine linear maupun non linear.

Secara umum diketahui bahwa persamaan Diophantine adalah persamaan dengan

variabel-variabel tertentu sehingga solusi-solusinya merupakan bilangan bulat.

Persamaan Diophantine pertama kali dipelajari oleh seseorang yang bernama

Diophantus dari Alexandria yang dikenal dengan julukan bapak dari aljabar.

Koefisien dari persamaan Diophantine hanya melibatkan bilangan bulat. Tidak

ada bilangan pecahan di persamaan. Persaaman Diophantine linear paling

sederhana berbentuk . Dalam perkembangannya Persamaan

Diophantine tidak harus linear, dapat saja kuadrat ataupun kubik. Persamaan non

linear yang akan dibahas merupakan persamaan paling sederhana berbentuk

atau disebut persamaan tripel Pythagoras.

Persamaan tripel Pythagoras yang akan dibahas khususnya yaitu persamaan tripel

Pythagoras primitif. Persamaan ini memiliki beragam penyelesaian, baik dengan

2

menggunakan faktorisasi tunggal di maupun secara geometri dan yang akan

dibahas oleh penulis ialah dengan menggunakan konsep norm pada Ring [ ]

yang juga digunakan faktorisasi tunggal di [ ] dalam penyelesaiannya.

1.2 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah mengkaji konsep norm pada ring [ ]

dan aplikasinya untuk penyelesaian persamaan Diophantine non linear tiga

variabel.

1.3 Manfaat Penelitian

Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah:

1. Menambah pengetahuan dan pengalaman penulis agar dapat

mengembangkan ilmu yang diperoleh selama mengikuti perkuliahan di

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

2. Menambah wawasan tentang materi struktur aljabar, khususnya mengenai

konsep norm pada ring [ ].

3. Mempelajari lebih dalam lagi tentang metode ring [ ] dan aplikasinya

untuk penyelesaian persamaan Diophantine non linear tiga variabel

(terutama persamaan tripel Pythagoras primitif).

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Keterbagian

Definisi 2.1.1

Bilangan bulat a membagi habis bilangan bulat b (ditulis | ) jika dan hanya jika

ada bilangan bulat k sehingga . Jika a tidak membagi habis b maka

ditulis (Burton, 1980).

Istilah lain untuk | adalah a faktor dari pembagi b atau b kelipatan dari a.

Bila a pembagi b maka juga pembagi b, sehingga pembagi suatu bilangan

selalu terjadi berpasangan. Jadi dalam menentukan semua faktor dari suatu

bilangan bulat cukup ditentukan faktor-faktor positifnya saja, kemudian tinggal

menggabungkan faktor negatifnya.

Teorema 2.1.1

Untuk setiap berlaku pernyataan berikut:

1. | jika dan hanya jika t u .

2. Jika | dan | maka | .

3. Jika | dan | maka | .

4. | dan | jika dan hanya jika t u .

4

5. Jika | dan maka | | | |.

6. Jika | dan | , maka | untuk sebarang bilangan bulat x dan y

(Sukirman, 1997).

Bukti

1. Jika , maka jelas bahwa | , sesuai penjelasan sebelumnya.

Sebaliknya, diketahui | berarti ada sehinga 1 = ka. Persamaan ini

hanya dipenuhi oleh dua kemungkinan berikut: k = 1, a = 1 atau

. Jadi berlaku jika | t u . Jadi terbukti

| t u ,

2. Diketahui | dan | yaitu ada sehingga dan

Dengan mengalikan kedua persamaan tersebut diperoleh :

yaitu | .

3. Diketahui | dan | , maka terdapat sehingga

(2.1)

dan

(2.2)

Persamaan (2.1) disubstitusikan ke persamaan (2.2), sehingga diperoleh

.

4. Diketahui

(2.3)

dan

(2.4)

5

Persamaan (2.3) dikalikan persamaan (2.4), diperoleh .

Diperoleh , yakni atau , jadi terbukti

t u .

5. Diberikan b = ac untuk suatu Diambil nilai mutlaknya | | | |

| || |. Karena maka | | . Sehingga diperoleh | | | || | | |.

6. Diketahui | dan | , maka terdapat sedemikian sehingga

dan . Untuk sebarang berlaku

yang berarti |

2.2 Faktor Persekutuan Terbesar ( FPB )

Definisi 2.2.1

Misalkan a atau b dua bilangan bulat dengan minimal salah satunya tidak nol.

Faktor persekutuan terbesar (FPB) atau greatest common divisor (gcd) dari a dan

b adalah bilangan bulat d yang memenuhi:

(i) | dan | , dan

(ii) jika | dan | maka c

Dari Definisi 2.2.1, syarat (i) menyatakan bahwa d adalah faktor persekutuan dari

a dan b. Sedangkan syarat (ii) menyatakan bahwa d adalah faktor persekutuan

terbesar. Selanjutnya, jika d faktor persekutuan terbesar dari a dan b akan ditulis

(Sukirman,1997).

6

Teorema 2.2.1 (Algoritma Pembagian)

Diberikan bilangan bulat dan dengan 0a maka ada tepat satu

pasang bilangan-bilangan dan sehingga:

dengan

Algoritma pembagian adalah suatu cara atau prosedur yang dapat dipakai untuk

mendapatkan faktor persekutuan terbesar. Ilustrasinya adalah :

Diberikan dua bilangan bulat dan dengan , maka dapat

dicari dengan mengulang algoritma pembagian.

Maka , sisa terakhir dari pembagian di atas yang bukan nol merupakan

(Graham, 1975).

Teorema 2.2.2

Jika dan dua bilangan bulat yang keduanya tak nol maka terdapat bilangan

bulat dan sehingga

(2.5)

Persamaan (2.5) disebut dengan identitas Bezout (Sukirman, 1997).

Contoh

7

Identitas Benzout menyatakan bahwa dapat disajikan dalam bentuk

kombinasi linear atas a dan b. Ekspresi ruas kanan pada (2.5) disebut kombinasi

linear dari a dan b. Pada teorema ini keberadaan x dan y tidak harus tunggal.

Bukti

Bentuk S himpunan semua kombinasi linear positif dari a dan b sebagai berikut

{ | }

Perhatikan bahwa, jika maka | | , yaitu dengan

mengambil bila positif atau bila negatif. Jadi, himpunan

tak kosong. Menurut sifat urutan, terjamin memiliki anggota terkecil, katakan

saja . Selanjutnya, dibuktikan . Karena maka terdapat

sehingga . Dengan menerapkan algoritma pembagian pada

dan maka terdapat dan sehingga , dengan

Selanjutnya ditunjukkan , sehingga diperoleh | . Jika maka dapat

ditulis

Faktanya sedangkan syaratnya ini bertentangan dengan pernyataan

bahwa elemen terkecil sehingga disimpulkan atau | . Argumen yang

sama dapat dipakai dengan menerapkan algoritma pembagian pada dan untuk

menunjukkan | . Jadi, terbukti bahwa adalah faktor persekutuan dari dan .

Selanjutnya ditunjukkan faktor persekutuan ini adalah yang terbesar. Misalkan

adalah bilangan bulat positif dengan | dan | maka | yaitu | . Jadi

, karena tidak mungkin pembagi lebih besar dari bilangan yang dibagi.

Terbukti bahwa

8

2.3 Bilangan Prima

Definisi 2.3.1

Sebuah bilangan bulat disebut bilangan prima, jika dan hanya jika habis

dibagi dengan 1 dan bilangan sendiri (Burton,1980).

Definisi 2.3.2

Bilangan bulat dan dikatakan coprima atau relatif prima jika

(Burton, 1980).

Teorema 2.3.1

Bilangan dan relatif prima jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat

sehingga .

Bukti

Karena dan relatif prima maka fpb . Identitas Bezout menjamin

adanya bilangan bulat sehingga . Sebaliknya, misalkan ada

bilangan bulat . Dibuktikan fpb . Karena | dan |

maka | jadi | . Karena itu disimpulkan .

Teorema 2.3.2

Jika fpb , maka berlaku pernyataan berikut

1. Jika | dan | maka |

2. Jika | maka |

9

Bukti

1. Diketahui | dan | . Artinya terdapat sedemikian sehingga

. Berdasarkan hipotesis, fpb . Oleh karena itu dapat

dituliskan untuk suatu bilangan bulat x dan y. Akibatnya

Karena terdapat bilangan bulat sedemikian sehingga

| . Terbukti bahwa, jika | dan | maka | .

2. Diketahui | , fpb . Oleh karena itu dapat dituliskan

untuk suatu bilangan bulat x, y. Akibatnya

Karena diketahui | dan faktanya | maka | . Karena

, sehingga terbukti |

2.4 Modulo

Definisi 2.4.1

Misalkan bilangan bulat. Operasi (d b c modulo )

memberikan sisa jika dibagi dengan . Notasi: sedemikian

sehingga , dengan . Bilangan disebut modulo, dan

hasil aritmatika modulo terletak di dalam himpunan { } (Grillet,

2007).

10

Definisi 2.4.2 (Relasi Kongruensi)

Misalkan dan adalah bilangan bulat dan , dikatakan kongruen

dengan modulo atau ditulis jika habis membagi .

Jika tidak kongruen dengan dalam modulo , maka ditulis

(Grillet, 2007).

Kekongruenan dapat pula dituliskan dalam hubungan

yang dalam hal ini adalah bilangan bulat.

Contoh

dapat ditulis sebagai .

Sehingga , dapat dituliskan sebagai .

Teorema 2.4.1

Misalkan adalah bilangan bulat positif.

1. Jika dan adalah sebarang bilangan bulat maka

(i)

(ii)

(iii) untuk suatu bilangan bulat tak negatif .

2. Jika dan , maka

(i) )

(ii)

(Grillet, 2007).

11

Bukti

1. (i) berarti dengan , diperoleh

d

(ii) berarti:

, dengan

(iii) berarti dengan .

{ }

(

) (

) (

)

{( ) (

) (

)

}

d

2. (i)

Jadi,

12

(ii) , untuk suatu

, untuk suatu

d

Teorema 2.4.2

Jika adalah bilangan prima dan adalah bilangan bulat positif dimana ,

maka (Burton, 1980).

Bukti

Diasumsikan bilangan positif pertama kelipatan dari , yaitu bilangan

bulat. Sehingga terdapat barisan sebagai berikut:

(2.6)

Tidak ada satu pun suatu bilangan dari barisan di atas yang habis dibagi , karena

barisan tersebut terbentuk dengan pola dimana . Oleh karena

dan , maka . Kemudian, dari barisan tersebut tidak ada dua

bilangan yang kongruen . Dengan kata lain, jika bilangan-bilangan

tersebut dibagi dengan , maka sisa pembagiannya akan selalu berbeda satu sama

lain. Diasumsikan bahwa ada dua bilangan kongruen , yaitu dan

sehingga untuk .

Karena , maka diperoleh

(2.7)

13

Karena dan harus lebih besar dan harus lebih kecil dari , maka ini

menyatakan . Persamaan (2.7) kontradiksi dengan asumsi awal bahwa

dan harus berbeda. Oleh karena itu, himpunan barisan pada (2.6) harus

kongruen terhadap . Selanjutnya jika himpunan tersebut

dikalikan dan dikenai modulo, maka diperoleh :

Sehingga,

Karena gcd ( ) , maka

Contoh

Tunjukkan bahwa sisa pembagian oleh adalah .

Untuk menunjukkan hal di atas, dengan menggunakan relasi kongruensi cukup

ditunjukan bahwa .

Bukti

14

2.5 Persamaan Diophantine

Definisi 2.5.1

Persamaan Diophantine adalah persamaan suku banyak atas bilangan bulat

dalam variable dengan solusi bilangan bulat, ditulis sebagai

, dengan adalah fungsi variabel dengan (Burton, 1980).

Contoh

1. , dengan dan bilangan bulat

2. , dengan dan bilangan bulat

3. , dengan dan bilangan bulat positif

Persamaan Diophantine dapat berbentuk linear (contoh 1) maupun non linear

(contoh 2 dan 3).

Teorema 2.5.1

Persamaan linear Diophantine mempunyai penyelesaian jika dan

hanya jika | dimana (Burton, 1980).

Bukti

dan |

| ada bulat sehingga .

| ada bilangan bulat dan sehingga :

15

berarti dan

Teorema 2.5.2

Jika dan penyelesaian persamaan Diophantine

, maka penyelesaian umum persamaan tersebut adalah

dan

dengan parameter bilangan bulat (Burton, 1980).

2.6 Sistem Bilangan Kompleks

Definisi 2.6.1

Sistem bilangan kompleks adalah bilangan kompleks yang dilengkapi oleh

operasi penjumlahan ( ) dan perkalian ( ) yang memenuhi aksioma atas

lapangan (Churchill, 1999).

Teorema 2.6.1

Untuk semua bilangan kompleks berlaku sifat aditif dan asosiatif terhadap

penjumlahan.

(2.8)

(2.9)

Bukti.

Misal dan maka :

16

Teorema 2.6.2

1. Perkalian bilangan-bilangan kompleks bersifat komutatif.

(2.10)

2. Perkalian bilangan-bilangan kompleks bersifat asosiatif.

(2.11)

3. Perkalian bilangan-bilangan kompleks bersifat distributif terhadap

penjumlahan.

(2.12)

Bukti

Misal dan maka :

1.

17

2.

( )

3.

2.7 Ring

Definisi 2.7.1

Suatu grup adalah himpunan yang diperlengkapi dengan operasi biner

pada yang memenuhi aksioma-aksioma berikut:

1. Operasi biner asosiatif, yaitu berlaku

18

2. Terdapat elemen identitas untuk pada G, yaitu terdapat sedemikian

hingga

3. Untuk setiap mempunyai invers , yaitu terdapat

sedemikian hingga

(Dummit and Foote, 2004).

Definisi 2.7.2

Suatu grup dikatakan abelian (komutatif) jika operasi biner pada adalah

komutatif, yaitu maka

Contoh

Didefinisikan himpunan { | }. Selanjutnya didefinisikan pada

, dengan . Tunjukkan grup komutatif!

Harus dipenuhi aksioma grup berikut:

1. Tertutup, yaitu

Bukti :

Diketahui . Akan dibuktikan dengan kontradiksi.

Andaikan

19

, kontradiksi.

Jadi pengandaian salah, yang benar

Dengan kata lain

2. Asosiatif, yaitu

Bukti :

3. Terdapat elemen netral / identitas, yaitu

Bukti :

Misal elemen netral untuk dari , maka :

tidak mungkin, sebab .

Oleh karena itu, satusatunya penyelesaian persamaan di atas adalah

yang merupakan elemen netral pada .

4. Terdapat invers, yaitu

20

Bukti :

apakah ? atau ?

Andaikan , maka

, kontradiksi.

Jadi yang benar , dengan kata lain

5. Komutatif, yaitu

Bukti :

Berdasarkan (i) sd (v), maka disimpulkan grup komutatif .

Definisi 2.7.3

Himpunan R dengan dua operasi biner + (penjumlahan) dan (perkalian) atau

ditulis merupakan ring jika memenuhi aksioma berikut:

21

1. merupakan grup komutatif;

2. Opersi perkaliannya bersifat asosiatif, yaitu untuk

setiap ;

3. Hukum distributif terpenuhi di R, yaitu untuk setiap

dan

(Dummit and Foote, 2004).

Contoh

Didefinisikan himpunan { | }. Selanjutnya didefinisikan dua

operasi pada S, yaitu dan dengan definisi :

i.

ii.

Pasangan membentuk ring.

2.8 Daerah Integral

Definisi 2.8.1

Jika dan elemen tak nol dari ring sedemikian sehingga , maka dan

adalah pembagi nol. Dengan kata lain adalah pembagi nol (Fraleigh, 2000).

Teorema 2.8.1

Dalam ring pembagi nol adalah elemen elemen yang tidak relatif prima

terhadap n (Fraleigh, 2000 ).

22

Akibat 2.8.2

Jika sebuah bilangan prima, maka tidak mempunyai pembagi nol.

Definisi 2.8.2

Ring komutatif dengan elemen satuan yang tak memuat pembagi nol disebut

daerah integral (Fraleigh, 2000).

Definisi 2.8.3

Misalkan adalah Daerah Integral dan 1 adalah elemen satuan di ,

merupakan unit jika dan hanya jika u membagi 1 sedemikian sehingga

untuk suatu . Dengan kata lain, mempunyai invers

terhadap operasi perkalian pada (Dummit and Foote, 2004).

Contoh

Elemen unit di adalah dari . karena | dan karena |

( )

Definisi 2.8.4

Misalkan dan bukan unit di daerah integral . dikatakan irreducible

jika di , maka unit atau unit di (Dummit and Foote, 2004).

23

2.9 Bilangan Bulat Gaussian

Definisi 2.9.1

Bilangan bulat Gaussian adalah bilangan kompleks yang bagian real dan bagian

imajinernya adalah bilangan bulat. Dengan operasi penjumlahan dan perkalian

bilangan kompleks, himpunan bilangan bulat Gaussian membentuk ring yang

dinotasikan dengan dan dituliskan dengan

{ | }

(Andreescu dkk, 2010).

Berikut ini akan dibuktikan bahwa himpunan semua bilangan bulat Gaussian

dengan operasi penjumlahan dan perkalian membentuk ring.

Teorema 2.9.1

Jika diberikan himpunan semua bilangan bulat Gaussian :

{ | }

Pada didefinisikan dua operasi :

(i) Operasi penjumlahan ( + ), yaitu :

(ii) Operasi perkalian ( ), yaitu :

maka, membentuk ring (Andresescu dkk, 2010).

24

Bukti

a. Harus dibuktikan grup komutatif.

(i) Diberikan sebarang , maka diperoleh:

Karena dan , maka .

Jadi operasi tertutup pada

(ii) Diberikan sebarang maka diperoleh:

Jadi operasi bersifat assosiatif pada .

(iii) Diberikan sebarang , maka terdapat

sehingga,

Dari persamaan

dan

Maka dan

Jadi merupakan elemen netral pada

(iv) Untuk setiap , terdapat sehingga,

25

Dari persamaan

dan

Maka dan

Jadi merupakan invers pada

(v) Diberikan sebarang , maka diperoleh :

Jadi operasi komutatif.

Dari (i), (ii), (iii), (iv), dan (v) disimpulkan < grup komutatif.

b. Terhadap per s per l () rus d bu t :

(i) Diberikan sebarang maka

karena dan , maka

J d per s tertutup p d .

(ii) Assosiatif

Diberikan sebarang , maka diperoleh:

26

( )

c. Terhadap operasi d rus d pe u

(i) Distributif kiri

Diberikan sebarang maka diperoleh:

(ii) Distributif kanan

Diberikan sebarang maka diperoleh:

27

Teorema 2.9.2

Ring merupakan daerah integral (Andresescu dkk, 2010).

Bukti

Untuk membuktikan ring daerah integral cukup dibuktikan.

( i ) Ring komutatif

Diberikan sebarang , maka diperoleh:

( ii ) Ring tidak memuat pembagi nol

Ring tidak memuat pembagi nol, sebab jika diambil sebarang

maka

2.10 Norm

Definisi 2.10.1

(a) Diberikan ruang linier . Fungsi yang memenuhi :

(i) untuk setiap dan

jika dan hanya jika

(ii) | | untuk setiap skalar dan

(iii) untuk setiap,

disebut norm.

28

(b) Ruang linier yang diperlengkapi dengan suatu norm seperti Definisi

2.10.1 (a) disebut ruang bernorm dan dituliskan dengan ( )

(Royden,2010).

Definisi 2.10.2

Misal untuk dan dengan

Diberikan fungsi yang memenuhi:

1. (i) untuk setiap .

(ii) jika dan hanya jika .

2. untuk setiap dan konstanta.

3. untuk setiap .

disebut sebagai norm.

Bukti

1. (i)

jelas.

(ii)

dengan dan .

Sehingga .

2.

29

Sehingga

3.

( )

( )

dengan .

Sehingga

2.11 Norm dan Unit dalam Ring Z[i]

Definisi 2.11.1

Norm pada merupakan fungsi :

Untuk . Maka, norm dari , disimbolkan dengan ,

terdefinisikan sebagai

.

Norm di atas menyatakan ukuran besaran dari elemen . Norm juga digunakan

untuk pembuktian eksistansi (keberadaan) unit dan keprimaan dalam ring .

Selain itu, norm juga digunakan untuk mengukur sisa keterbagian pada ring

30

Teorema 2.11.1

Fungsi norm bersifat multiplikatif, yaitu :

)) = N()N( ), (Andresescu dkk, 2010).

Bukti

Diberikan sebarang dengan dan , maka

diperoleh :

Akan dihitung dan N :

dan

Karena kedua hasil sama, jadi

Sifat multiplikatif norm N pada ini juga dapat digunakan untuk

menghubungkan struktur multiplikatif pada dengan struktur multiplikatif pada

, dan juga dapat untuk menghubungkan keterbagian, keprimaan pada

dengan keterbagian serta keprimaan dalam ring

Definisi 2.11.2

Misalkan . Bilangan bulat Gaussian dikatakan unit dari jika dan

hanya jika N

31

Sehingga unit dari adalah 1, -1, i,-i. Unit-unit tersebut dapat dicari dengan

cara berikut:

Diberikan sebarang , sebagai unit. Maka terdapat elemen lain

sedemikian sehingga,

( )

N (

Karena bilangan bulat, maka

Maka diperoleh solusi dan Dalam ring ,

maka solusi tersebut menjadi dan

III. METODE PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat

Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Lampung pada semester ganjil tahun ajaran

2016/2017.

3.2 Metode Penelitian

Langkah-langkah yang dilakukan pada penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Membangun konsep-konsep pada ring bilangan bulat Gaussian [ ], dengan

langkahlangkah sebagai berikut :

a. Mendefinisikan norm pada bilangan bulat Gaussian [ ]

b. Membangun sifat-sifat keterbagian pada bilangan bulat Gaussian [ ].

c. Mendefinisikan pengertian prima dalam ring [ ] dan sifat-sifatnya serta

memperumum teorema faktorisasi tungggal dari ke ring [ ]

2. Menggunakan konsep norm pada ring bilangan bulat Gaussian [ ] untuk

penyelesaian persamaan Diophantine non linear tiga variabel, dengan batasan

masalah pada persamaan-persamaan:

, ,

33

dengan langkah-langkah sebagai berikut:

a. Mengubah persamaan awal ke dalam bentuk persamaan yang memuat

bilangan bulat Gaussian.

b. Menunjukkan bahwa dan merupakan relatif prima di [ ]

dengan a,

c. Menunjukkan bahwa merupakan suatu kuadrat (atau kubik) atau

kelipatan suatu kuadrat (atau kubik) di [ ].

d. Menentukan solusi dari persamaan tersebut.

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Persamaan Diophantine adalah persamaan dengan variabel variabel tertentu

sehingga solusinya merupakan bilangan bulat. Berdasarkan penelitian yang telah

dilakukan, persamaan Diophantine non linear dapat diselesaikan dengan metode

ring [ ], dengan syarat persamaan tersebut dapat difaktorkan menjadi bilangan

bulat Gaussian [ ]. Penyelesaian tersebut menggunakan norm serta sifat sifat

faktorisasi tunggal dalam ring [ ] yang merupakan perumuman sifat-sifat

faktorisasi tunggal pada bilangan bulat . Dengan menjabarkan persamaan

Diophantine menjadi perkalian elemenelemen prima dalam ring [ ], akan

diperoleh solusi bilangan bulat yang memenuhi.

5.2 Saran

Pada penelitian ini hanya dibahas persamaan Diophantine non linear 3 variabel

dengan metode ring bilangan bulat Gaussian [ ]. Disarankan pada penelitian

selanjutnya untuk membahas persamaan Diophantine menggunakan bilangan

bulat Gaussian pada [ ] dengan lebih dari 3 variabel.

DAFTAR PUSTAKA

Andreescu, T., Andrica, D., Cucurezeanu, I. 2010. An Introduction to Diophantine

Equation. Birkhauser. New York.

Burton, D.M. 1980. Elementary Number Theory. University Of New

Hampshire.United State of America.

Churchill, R., 1999. Complex Variable and Applications. McGraw-Hill. New

York.

Dummit, D.S., Foote, R.M. 2004. Abstract Algebra . Third Edition. Y&Y. United

States of America.

Fraleigh, J.B. 2000. A First Course In Abstract Algebra. Sixth Edition. Addison

Wesley Publishing Company, Inc. Philippines

Graham, M. 1975. Modern Elementary Mathematics. Harcort Brace Jonanovich,

inc. New York.

Grillet, P.A. 2007. Graduate Text In Mathematics. Second Edition. Springer. New

York

Royden, H. 2010. Real Analysis. Forth Edition. Pearson. United States of

America.

Sukirman, M. P. 1997. Ilmu Bilangan. Universitas Terbuka. Jakarta.

1. COVER.pdf2. ABSTRAK.pdf2.5 ABSTRACT.pdf3. COVER DALAM.pdf4.pdf5.pdf6.pdf7 RIWAYAT HIDUP.pdf8 PERSEMBAHAN.pdf8.5 KATA INSPIRASI.pdf9 SANWACANA.pdf10. DAFTAR ISI.pdf11 DAFTAR SIMBOL DAN SINGKATAN.pdfBAB I.pdfBAB II.pdfBAB III.pdfBAB V.pdfDAFTAR PUSTAKA.pdf