KONSEP DASAR KONSEP DASAR PROBABILITASPROBABILITAS

Pertemuan 4

1

Pengantar :Pengantar :Banyak kejadian dalam kehidupan sehari-

hari yang sulit diketahui dengan pasti, terutama kejadian yang akan datang.

Meskipun kejadian-kejadian tersebut tidak pasti, tetapi kita bisa melihat fakta-fakta yang ada untuk menuju derajat kepastian atau derajat keyakinan bahwa sesuatu akan terjadi.

Derajat / tingkat kepastian atau keyakinan dari munculnya hasil percobaan statistik disebut Probabilitas (Peluang), yang dinyatakan dengan P.

2

Konsep dan definisi dasarKonsep dan definisi dasarEksperimen/percobaan probabilitas

adalah segala kegiatan dimana suatu hasil (outcome) diperoleh.

Ruang sampel adalah himpunan seluruh kemungkinan outcome dari suatu eksperimen/percobaan. Biasanya dinyatakan dengan S. Banyaknya outcome dinyatakan dengan n(S).

Peristiwa/kejadian adalah himpunan bagian dari outcome dalam suatu ruang sampel.

3

Contoh :Contoh :Dilakukan eksperimen, yaitu diperiksa 3

buah sikring satu persatu secara berurutan dan mencatat kondisi sikring tersebut dengan memberi notasi B untuk sikring yang baik dan R untuk sikring yang rusak.

Maka ruang sampel pada eksperimen probabilitas pemeriksaan tersebut adalah S = {BBB, BBR, BRB, RBB, BRR, RBR, RRB, RRR}. Jumlah outcome dalam ruang sampel S adalah n(S) = 23 = 8.

Jika A menyatakan peristiwa diperoleh satu sikring yang rusak, maka A = {BBR, BRB, RBB}. Jumlah outcome dalam ruang peristiwa adalah n(A) = 3.

4

Definisi probabilitasDefinisi probabilitasBila kejadian A terjadi dalam m cara dari seluruh

n cara yang mungkin terjadi dan masing-masing n cara itu mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul, maka probabilitas kejadian A, ditulis P(A), dapat dituliskan :

5

n

m

Sn

AnAP

)(

)()(

Sifat-sifat probabilitas Sifat-sifat probabilitas kejadian A :kejadian A :

0 P(A) 1 , artinya nilai probabilitas kejadian A selalu terletak antara 0 dan 1

P(A) = 0, artinya dalam hal kejadian A tidak terjadi (himpunan kosong), maka probabilitas kejadian A adalah 0. Dapat dikatakan bahwa kejadian A mustahil untuk terjadi.

P(A) = 1, artinya dalam hal kejadian A, maka probabilitas kejadian A adalah 1. Dapat dikatakan bahwa kejadian A pasti terjadi.

6

Contoh (1):Contoh (1):Pelemparan dua buah coin. Berapakah

probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu Muka?

Jawab :Misal M = Muka , B = BelakangRuang sampel untuk percobaan ini adalah S =

{MM, MB, BM, BB}Kejadian A = muncul paling sedikit satu Muka

adalah A = {MM, MB, BM}Jadi,Probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu

Muka adalah

74

3

)(

)()(

Sn

AnAP

Contoh (2):Contoh (2):

8

Contoh :Hitung probabilitas memperoleh kartu hati bila sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge yang lengkap!Jawab:Jumlah seluruh kartu = 52Jumlah kartu hati = 13Misal A adalah kejadian munculnya kartu hati, maka :

52

13

)(

)()(

Sn

AnAP

Contoh (3):Contoh (3):Suatu campuran kembang gula berisi 6 mint, 4

coffee, dan 3 coklat. Bila seseorang membuat suatu pemilihan acak dari salah satu kembang gula ini, carilah probabilitas untuk mendapatkan : (a) mint, dan (b) coffee atau coklat.

Jawab :Misal, M = mint , C = coffee , T = coklat(a). Probabilitas mendapatkan mint = (b). Probabilitas mendapatkan coffee atau coklat =

9

13

6

)(

)()(

Sn

MnMP

13

7

13

034

)(

)()()(

)(

)()(

Sn

TCnTnCn

Sn

TCnTCP

Contoh (4):Contoh (4):

10

Latihan :Pada pelemparan dua buah dadu :a. Tentukan ruang sampelnya!b. Bila A menyatakan kejadian munculnya

dua dadu dengan muka sama, tentukan P(A)!

c. Bila B menyatakan kejadian munculnya jumlah muka dua dadu kurang dari 5, tentukan P(B)!

d. Bila C menyatakan kejadian munculnya jumlah muka dua dadu lebih dari sama dengan 7, tentukan P(C)!

Probabilitas kejadian Probabilitas kejadian majemuk (1):majemuk (1):Bila A dan B kejadian sembarang pada

ruang sampel S, maka probabilitas gabungan kejadian A dan B adalah kumpulan semua titik sampel yang ada pada A atau B atau pada keduanya.

11

)()()()( BAPBPAPBAP

Bila A, B, dan C kejadian sembarang pada ruang sampel S, maka probabilitas gabungan kejadian A, B, dan C adalah :

12

)()()(

)()()()()(

CBAPCBPCAP

BAPCPBPAPCBAP

Probabilitas kejadian Probabilitas kejadian majemuk (2):majemuk (2):

Contoh (1) :Contoh (1) :Kemungkinan bahwa Ari lulus ujian

matematika adalah 2/3 dan kemungkinan ia lulus bahasa inggris adalah 4/9. Bila probabilitas lulus keduanya adalah 1/4, berapakah probabilitas Ari dapat paling tidak lulus salah satu dari kedua pelajaran tersebut?

Jawab :Bila M adalah kejadian lulus matematika, dan

B adalah kejadian lulus bahasa inggris, maka :Probabilitas Ari lulus salah satu pelajaran tersebut adalah :P(M B) = P(M) + P(B) – P(M B)

= 2/3 + 4/9 – 1/4 = 31/36

13

Contoh (2):Contoh (2):

14

Contoh 1 :Diambil satu kartu acak dari satu set kartu bridge yang lengkap. Bila A adalah kejadian terpilihnya kartu As dan B adalah kejadian terpilihnya kartu wajik, maka hitunglah P(AB) Jawab :

13

4

52

16

52

1

52

13

52

4

BAPBPAP BAP Maka

wajik)As(kartu 52

1 BAP ,

52

13 BP ,

52

4 AP

Dua kejadian saling lepas Dua kejadian saling lepas ((disjoint events atau disjoint events atau mutually exclusive):mutually exclusive):Bila A dan B dua kejadian saling

lepas, maka berlaku :

)()()( BPAPBAP

)()()()( CPBPAPCBAP

15

Bila A, B, dan C tiga kejadian saling lepas, maka berlaku :

Contoh :Contoh :Berapakah probabilitas mendapatkan

total 7 atau 11 bila sepasang dadu dilemparkan?

Jawab :Bila A adalah kejadian diperoleh total 7,

maka A = {(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)}

Bila B adalah kejadian diperoleh total 11, maka B = {(5,6), (6,5)}

Sehingga probabilitas mendapatkan total 7 atau 11 adalah :P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

= 6/36 + 2/36 – 0= 8/36

16

Dua kejadian saling Dua kejadian saling komplementer:komplementer:Bila A dan A’ dua kejadian dalam S

yang saling komplementer, maka berlaku :

)(1)'( APAP

17

Contoh:Contoh: Pada pelemparan dua dadu, jika A adalah

kejadian munculnya muka dadu sama, hitunglah probabilitas munculnya muka dua dadu yang tidak sama.

Jawab : Misal A = kejadian munculnya muka dua

dadu yang sama= {(1,1), (2,2) , (3,3), (4,4), (5,5),

(6,6)}maka P(A) = 6/36

Sehingga,Probabilitas munculnya muka dua dadu yang tidak sama = P(A’) adalah: P(A’) = 1 – P(A)

= 1 – 6/36= 30/36

18

Dua kejadian saling bebas Dua kejadian saling bebas (independent):(independent):Dikatakan saling bebas artinya kejadian itu tidak

saling mempengaruhi.Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S

dikatakan saling bebas, jika kejadian A tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya kejadian B dan sebaliknya kejadian B tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya kejadian A.

Bila A dan B dua kejadian saling bebas, berlaku :

)(.)()( BPAPBAP

19

Contoh (1):Contoh (1): Pada pelemparan dua uang logam secara sekaligus, apakah

kejadian munculnya muka dari uang logam pertama dan uang logam kedua saling bebas?

Jawab : Ruang sampel S = {(m,m), (m,b), (b,m), (b,b)} Misalkan, A = kejadian muncul muka dari uang logam 1 P(A)

= 2/4 = ½

= {(m,m), (m,b)}

B = kejadian muncul muka dari uang logam 2 P(B) = 2/4 = ½

= {(m,m), (b,m)}

A B = kejadian muncul dua muka dari uang logam 1 dan 2

= {(m,m)} P(A B) = ¼ Bila A dan B saling bebas berlaku : P(A B) = P(A). P(B)

¼ = ½ . ½

¼ = ¼

Jadi, A dan B saling bebas. 20

Contoh (2):Contoh (2):

21

Contoh :Pada pelemparan dua buah dadu, apakah kejadian munculnya muka X 3 dadu I dan kejadian munculnya muka Y 5 dadu II saling bebas?Jawab :A= kejadian munculnya muka X 3 dadu IB= kejadian munculnya muka Y 5 dadu IIDari ruang sampel diperoleh :A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5), (2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)}B={(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(1,6),(2,6),(3,6), (4,6),(5,6),(6,6)}

Maka diperoleh P(A) = 18/36 = ½ dan P(B) = 12/36 = 1/3Tetapi juga berlaku

maka A dan B saling bebas.

(3,6)}(2,6),,(3,5)(1,6)(2,5),{(1,5), BA

6

1

36

6 BAP

B.PAP3

1.

2

1

6

1BAP

Probabilitas bersyarat Probabilitas bersyarat (conditional probability):(conditional probability):Adalah probabilitas suatu kejadian

B terjadi dengan syarat kejadian A lebih dulu terjadi atau akan terjadi atau diketahui terjadi.

Ditunjukkan dengan P(BA) yang dibaca “probabilitas dimana B terjadi karena A terjadi”

22

0)(,)(

)()(

APjika

AP

BAPABP

Contoh (1) :Contoh (1) : Berdasarkan hasil 100 angket yang dilakukan untuk

mengetahui respon konsumen terhadap pasta gigi rasa jeruk (J) dan pasta gigi rasa strawbery (S), diperoleh informasi sebagai berikut : 20 pria menyukai rasa jeruk, 30 wanita menyukai rasa jeruk, 40 pria menyukai rasa strawbery, dan 10 wanita menyukai rasa strawbery.

Apabila kita bertemu dengan seorang pria, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa strawbery?

Apabila kita bertemu dengan seorang wanita, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa jeruk?

Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa jeruk, berapa probabilitas ia adalah pria?

Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa strawbery, berapa probabilitas ia adalah wanita?

23

Jawab:Jawab:

Misal W = Wanita, R = Pria, S = pasta gigi rasa Strawbery, dan J = pasta gigi rasa jeruk.

Jadi, Apabila kita bertemu dengan seorang pria, berapa probabilitas ia

menyukai pasta gigi rasa strawbery adalah

Apabila kita bertemu dengan seorang wanita, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa jeruk adalah

Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi

rasa jeruk, berapa probabilitas ia adalah pria adalah

Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa strawbery, berapa probabilitas ia adalah wanita adalah

24

Responsen

J S Jumlah

R 20 40 60

W 30 10 40

Jumlah 50 50 100

67.060

40

10060

10040

)(

)()(

RP

RSPRSP

75.040

30

10040

10030

)(

)()(

WP

WJPWJP

40.050

20

10050

10020

)(

)()(

JP

JRPJRP

20.050

10

10050

10010

)(

)()(

SP

SWPSWP

Contoh (2) :Contoh (2) :

25

Contoh :Diberikan populasi sarjana disuatu kota yang dibagi menurut jenis kelamin dan status pekerjaan sebagai berikut :

Akan diambil seorang dari mereka untuk ditugaskan melakukan promosi barang. Ternyata yang terpilih adalah dalam status bekerja, berapakah probabilitasnya bahwa dia :a. Laki-laki b. wanita

BekerjaBekerja MenganggurMenganggur JumlahJumlah

Laki-lakiLaki-laki

WanitaWanita

460460

140140

4040

260260

500500

400400

JumlahJumlah 600600 300300 900900

Aturan Bayes :Aturan Bayes :Misalkan A1, A2, dan A3 adalah tiga

kejadian saling lepas dalam ruang sampel S.

B adalah kejadian sembarang lainnya dalam S.

26

S

A1 A2 A3

B

probabilitas kejadian B adalah :probabilitas kejadian B adalah :

27

P(B) = P(BA1). P(A1) + P(BA2). P(A2) + P(BA3). P(A3)

=

3

1

)().(i

ii APABP

disebut Hukum Probabilitas Total

Secara umum, bila A1, A2, A3, …, An kejadian saling lepas dalam ruang sampel S dan B kejadian lain yang sembarang dalam S, maka probabilitas kejadian bersyarat AiB dirumuskan sebagai berikut :

28

n

iii

iiii

APABP

APABP

BP

ABPBAP

1

)().(

)().(

)(

)()(

disebut Rumus Bayes (Aturan Bayes).

Contoh:Contoh:Misalkan ada tiga kotak masing-masing

berisi 2 bola. Kotak 1 berisi 2 bola merah, kotak 2 berisi 1 bola merah dan 1 bola putih, dan kotak 3 berisi 2 bola putih. Dengan mata tertutup Anda diminta mengambil satu kotak secara acak dan kemudian mengambil 1 bola secara acak dari kotak yang terambil itu..

Berapakah peluang bola yang terambil berwarna merah?

Berapakah peluang bola tersebut terambil dari kotak 2?

29

JawabJawabP(bola yang terambil berwarna

merah) =

P(bola merah tersebut terambil dari kotak 2) =

30

)3().3()2().2()1().1()( MPPMPPMPPMP

5.06

3

6

120.

3

1

2

1.

3

1

2

2.

3

1

33.03

1

63

61

63

21.3

1

)(

)2().2()2(

MP

MPPMP

Latihan (1):Latihan (1):3 anggota koperasi dicalonkan menjadi ketua. Peluang Pak Ali terpilih menjadi ketua adalah 0.3. Peluang Pak Badu terpilih menjadi ketua adalah 0.5. Sedangkan peluang Pak Cokro terpilih adalah 0.2. Jika Pak Ali terpilih, maka peluang/probabilitas kenaikan iuran koperasi adalah 0.8. Jika Pak Badu terpilih, maka maka peluang kenaikan iuran koperasi adalah 0.1. Dan jika Pak Cokro yang terpilih, maka peluang kenaikan iuran koperasi adalah 0.4.

a.Hitung peluang iuran akan naik !

b.Berapa probabilitas iuran tidak naik

c.Jika seseorang merencanakan masuk jadi anggota koperasi tsb, tetapi menundanya beberapa minggu, dan kemudian mengetahui bahwa iuran telah naik, berapakah peluang Pak Cokro terpilih menjadi ketua koperasi

d.Jika seseorang mendaftar dan ternyata iuran tidak naik, berapa probabilitas Pak Badu yang menjadi ketua?

31

Latihan (2):Latihan (2):Seorang pegawai mempunyai dua mobil, satu sedan dan satu lagi Toyota Kijang. Untuk pergi bekerja dia menggunakan sedang 75% dan Kijang 25%. Bila dia menggunakan sedan biasanya dia tiba kembali di rumah 17.30 sebanyak 75% (75 dari 100 kali) sedangkan bila menggunakan Kijang dia tiba pukul 17.30 kira-kira 60% (tapi dia merasa lebih tenang memakai Kijang karena tidak terlalu khawatir diserempet mobil lain). Bila dia tiba di rumah pukul 17.30, berapakah peluangnya dia memakai sedan? Dan berapakah peluang dia tidak tiba di rumah pukul 17.30?

32

Latihan (3):Latihan (3):

Peluang bahwa seorang pria akan hidup selama 25 tahun adalah 3/5 dan peluang bahwa istrinya akan hidup selama 25 tahun adalah 2/3. Tentukan peluang bahwa:a.Keduanya akan hidup selama 25 tahunb.Paling sedikit salah satu dari mereka (suami/istri) yang hidup selama 25 tahun

33

Latihan (4):Latihan (4):Ada 3 kotak, yaitu 1,2, dan 3 yang masing-masing berisi bola merah dan putih sbb:

Mula-mula satu kotak dipilih secara acak, kemudian dari kotak yang terpilih diambil satu bola juga secara acak. Tiap kotak mempunyai kesempatan yang sama untuk terpilih.

a.Berapa peluang bahwa bola itu merah

b.Berapa peluang bahwa bola itu putih

c.Bola terpilih merah, berapa peluang bahwa bola tersebut dari kotak 1?

d.Bola terpilih putih, berapa peluang bahwa bola tersebut dari kotak 2?

34

  Kotak 1 Kotak 2 Kotak 3 Jumlah

Bola Merah 5 7 8 20

Bola Putih 4 3 6 13

Jumlah 9 10 14 33