KOMPLEKSITAS DAN

DECIDABILITY

Pada bab sebelumnya kita telah membahas sejumlah masalah tertentu bagijaringan petri Masalah-masalah ini konseern terhadap berbagai sifat dari strukturJaringan Petri dan prilaku yang, dalam konteks yang tepat, akan menarik bagipara pemakai Jaringan Petri. Terdapat dua teknik penyelesaian yang dibicarakan:pendekatan Reachability Tree dan pendekatan persamaan Matriks. Kedua teknikini berlaku untuk sifat-sifatsafeness, boundedness, conservation dan coverability.Juga, satu kondisi perlu untuk reachability telah ditentukan. Namun, semua teknikanalisa ini tidaklah cukup untuk menyelesaikanbeberapa masalah lain, khususnyaliveness,reachability dan equivalence. Pada bab ini kita eksplorasi semua masalahini untuk memdapatkan penyelesaian atau paling sedikit untuk mempelajari lebihlanjut tentang sifat-sifat dari Jaringan Petri.

5.1. KEMAMPU REDUKS/AN D/ANTARA MASALAH-MASALAHANAL/SA.

Satu konsep dasar yang kita pergunakan adalah Kemampureduksian, atauReducibility. Penyelesaian satu masalah adalah dengan mereduksikan masalahtersebut kedalam masalah lain yang telah kita ketahui cara untukmenyelesaikannya. Sebagai contoh ,masalah untuk menentukan apakah suatuJaringan Petri adalah conservative yaitu dengan mereduksikan masalah conserva-tive menjadi masalah untuk mencari penyelesaian dari persamaan- persamaantinier. Masalah untuk menyelesaikan himpunan-himpunan dari persamaan-persamaan linier ini direduksi lagi ke sederetan operasi-operasi aretmatik tertentu(penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan pembadingan). Jadi,dikarenakan operasi-operasi aritmatika sederhana tersebut dapat dihitung makaconservation dapat ditentukan.

Masalah lain yang menarik adalah masalah kesamaan (equality) dansubhimpunan dari himpunan-himpunan reachability.

Definisi 5.1. Masalah kesamaan.

Diketahui dua Jaringan Petri Bertanda C} = (PI'TI' 11'OJ) dengan markingawal ~} dan. Jaringan Petri Bertanda C2 =(P2,T2'12,02) dengan marking awal~. Apakah R(CI = R(C2,~) ?

Definisi 5.2. Masalah Subhimpunan.Diketahui dua Jaringan Petri Bertanda C} = (Pl,TI' 11'OJ) dengan marking

awal ~' danJaringan Petri Bertanda C2 = (P2,T2' 12, 02) dengan marking awal~. Apakah R(C} ,~}) ~ R(C2,~) ?

124

Kedua masalah diatas menjadi sangat penting jika Jaringan Petrinyadioptimalkan atau jika Jaringan Petd dari kedua sistem dibandingkan. Namun,ingat bahwa jika suatu penyelesaian terhadap masalah Subhimpunan dapatdiketemukan maka masalah Equality juga dapat diselesa~an. Jika kita inginmenentukan Apakah R(C1 ,f.ll) = R(C2,f.l2)'maka pertama-tama digunakanalgoritma masalah Subhimpunanuntuk menentukan apakah R(C1,f.ll)k; R(C2,~),dan kemudian gunakan algoritma yang sarna untuk menentukan ApakahR(C1 ,f.ll) k; R(C2,~). R(C1 ,f.ll) = R(C2,~)jika dan hanya jika R(C1 ,f.ll) k;R(C2,~) dan R(C2 ,~) k; R(Cl'f.lI)' Jadi, kita dapat mereduksikan masalahkesamaan ke masalah subset.

Pertimbangan-pertimbangan lain yang penting bila memandang masalah-masalah analisa dan reducibility. Pertama, dalam mencoba untuk menemukansuatu penyelesaian,kita harns memperhatikan kemungkinan bahwa suatu masalahtidak memiliki teknik penyelesaian, yang disebut undecidable atau tidak dapatdiputuskan.

Kedua, jika terdapat suatu teknik penyelesaian maka perlu untukmemperhatikan biayanya, yaitu berapa banyak waktu dan memory yangdiperlukan? Agar Jaringan Petri dapat dipergunakan secara luas dan umum makamasalah-masalah analisa harns dapat diselesaikan oleh algoritma-algoritma yangtidak terlampau mahal dari sisi waktu dan memori.

Reducibility berperan pada kedua masalah ini. Reducibilitydiantara masalah-masalah, umum'dipergunakan untuk membuktikan bahwa suatu masalah adalahdecidable a~au undecidable. Pendekatan kita keteori decidability terntamadidasarkan pada model komputasi yang disebut Mesin Turing. hal penting darimesin turing ini adalah bahwa mesin terssebu't mernpakan suatu representasiyang layak dari suatu mesin komputasi yang terbatas dan dapat dibuktikan bahwatidak terdapat algoritma yang dapat menyelesaikanmasalah-masalahmesin turingtertentu, khususnya masalah halting. Berdasarkan hal ini maka sekumpulanundecidable telah dapat ditemukan. Kepentingan dari teori ini adalah tidaklahmungkin menghasilkan program komputer yang dapat menyelesaikan masalah-masalah ini. Jadi, untuk analisa secara praktis, masalah-masalah undecidableharns dihilangkan, atau pertanyaan-pertanyaan dari analisa tersebut tidak dapatdijawab. Perbedaan yang penting disini adalah bahwa masalah masalahundecidable menghasilkan pertanyaan-pertanyaan yang tidak mudah untuk tidakterjawab tetapi unaswerable.

Beberapa pertanyaan dapat tidak terjawab hanya masih dapat .dijawab, halini berarti belum seorangpun telah menemukan suatu jawaban dari pertanyaantersebut tetapi jawabannya ada. Contoh paling terkenal adalah Teorema da,ri

125

FERMATyang terahir. Apakah persamaan xn + yn =zn memilikipenyelesaianuntuk n>2 dan interger nontrivial x, y dan z ? Pertanyaan ini hingga sekarangbelum terjawab, tetapi sebenarnya memiliki jawab. Suatu cara untuk menjawabpertanyaan tersebut diatas adalah dengan menghasilkan bilangan-bilangan x, ydan z sertan yang memenuhi teorema.Cara yang lain adalah dengan membuktikan(mendeduksi secara logika) bahwa tidak ada nilai untuk x, y dan z serta n yangmemenuhi. Hingga saat ini belum ada seorangpun yang melakukan hal sepertidiatas.

Asumsikan bahwa masalah tersebut adalah undecidable. Karenanya tidaklahmungkin untuk memutuskan bahwa nilai-nilai x, y dan z serta n ada sebagaijawaban dari persamaan. Hal ini berarti bahwa kita tidak dapat mendeduksikansecara logika ketidak-berada dari aksioma-aksioma matematika dan kita tidakdapat menghasilkan x, y, z dan n dari persamaan tersebut diatas. maka nilai-nilaitersebut harns tidak ada. Jika nilai-nilai tersebut ada maka kita tak dapat mensetsuatu komputer untuk mensearching mereka dan pada akhimya, kita dapatmenemukannya. Akan tetapi jika X, y, z dan n tidak ada maka jawaban daripertanyaan tersebut tidak ada, dan kita dapat memutuskannya. Hal ini kontrakdisidengan asumsi kita bahwa pertanyaan tersebut, sehingga pertanyaan tersebutadalah decidable.

Sekarang asumsikan bahwa terdapat suatu masalah yang dapat direduksikanke masalah B: Suatu bentuk dari masalah A dapat ditransfopmasikan ke suatubentuk masalah B. Jika masalah B adalah decidable maka masalah A decidable

dan algoritma untuk masalah B dapat dipergunakan untuk menyelesaikanmasalahA. Satu bentuk dari masalah A dapat diselesaikan dengan mentransformasikannyakesuatu bentuk dari masalah B dan menggunakan algoritma tersebut-ke masalahB untuk menentukan solusi tersebut. Jadi, jika masalah A dapat direduksikan kemasalah B dan masalah B decidable maka masalah A decidable.

Kontra positinya juga benar : jika masalah A dapat direduksi ke masalah Bdan masalah A undecidable maka masalah B undecidable: Jika masalah Bundecidable maka prosedurdiatas merupakan suatu teknik decisionuntuk masalahA, Kontradiksi dengan undecidability nya. Kedua fakta ini merupakan pusat bagibanyak teknik decidability. Untuk membuktikan bahwa suatu masalah adalahdecidable maka reduksikan masalah tersebut ke suatu masalah yang diketahuisebagai decidable; untuk membuktikan bahwa suatu masalah undecidable makareduksikanmasalah tersebut ke suatu masalah yang diketahui sebagai undecidable.

Kita akan menggunakan pendekatan yang baik ini untuk mereduksi jumlahpekerjaan yang harns dilakukan. Sebagai contoh, karena masalah equality untukhimpunan-himpunan reachability dapat direduksi kemasalah subhimpunan maka

126

kita berkeiginan untuk mengembangkan salah satu dari dua hal berikut ini:

(1) prosedur penyelesaian untuk masalah subhimpunan tersebut, atau

(2) bukti bahwa masalah kesamaan tersebut adalah undecidable.

Jika kita dapat membuktikan (1) maka kita memiliki satu teknik solusi untukkedua masalah, jika kita buktikan (2) maka kita tahu bahwa kedua masalahadalah undecidable.

Pada banyak kasus, kita mungkin dapat melakukan yang lebih baik. Duamasalah adalah equivalen jika keduanya adalah mutually reducible, yaitu masalahA equivalen dengan masalah B jika masalah A dapat direduksi kemasalah B danmasalah B dapat direduksi ke masalah A. Dalam kasus ini, satu dari keduamasalah adalah decidable atau undecibable, dan kita dapat bekerja dengan salahsatu cara.

Pertimbangan kedua untuk menginvestigasi masalah-masalah analisa adalahjika suatu teknik solusi ada maka teknik tersebut harus cukup efisien. Hal iniberarti bahwa jumlah waktu dan memori yang dibutuhkan oleh suatu algoritmauntuk menyelesaikan suatu bentuk masalah tidaklah berlebihan. Study tentangbiaya eksekusi suatu algoritma merupakan bagian dari teori kompleksitas. Teoriini membicarakan tentang jumlah waktu dan memori yang dibutuhkan untukmenyelesaikan suatu masalah. Jelas bahwa jumlah waktu dan memori tidaklahkonstan tetapi akan berbeda-beda sesuai dengan ukuran dari masalah yang akandiselesaikan. Untuk Jaringan Petri, waktu dan memori kebutuhanya mungkinmerupakan suatu fungsi dari jumlah place dan transisinya. Faktor- faktor lainyang dapat mempengaruhi adalah jumlah token pada marking awal atau jumlahinput dan output untuk setiaptransisidan place(jumlaharkusdalam graph tersebut).

Waktu dan memeori yang dibutuhkan akan berbeda-beda sesuai denganbentuk masalah yang akan diselesaikan. Karenanya, hasil dari kompleksitas dapatberbentuk suatu kasus terbaik(batas bawah) atau suatu kasus terjelek(batas atas)untuk suatu algorima. Karena kita tidak dapat menerka apakah suatu bentukadalah kasus terjelek atau kasus terbaik maka kasus terjeleklah yang umumdiasumsikan, dan kompleksitas dari suatu algoritma adalah kebutuhan waktu danmemorinya tergolong kasus terjelek, sebagai suatu "fungsidari ukuran input.

Analisa kompleksitas terutama menggaris-bawahi masalah kompleksitas dantidak tertarik dengan implementasi secara rinci dari suatu algoritma khusus. Jadi,teori kompleksitas menggabaikan faktor-faktor konstan. Kompleksitas dari suatumasalah berukuran n ditentukan menjadi berorder n2 atau e2 atau n log n yangmembolehkan suku-suku terkecil dan faktor-faktor konstan. Secara khusus dua

127

kelas yang umum dari algoritma adalah penting: algoritma dengan kompleksitaspolinomial (n, n2, n log n, n8, dan sebagainya) dan kompleksitas nonpolinomial(khusus eksponensial, 2n, dan faktorial n )

Analisa kompleksitas umumnya dipakai ke algoritma-algoritmakhusus tetapijuga dapat dipakai ke masalah-masalah umum. Pada kasus ini, suatu batas bawahpada kompleksitas dari semua algoritmauntuk menyelesaikanmasalah ditentukan.Hal ini memberikan suatu kompleksitasyang bebas algoritma. Ini juga bermanfaatdalam membuktikan bahwa suatu algoritma khusus adalah optimal dan biladikerjakan lebih lanjut akan menghasilkan suatu algoritma yang arnat baik untukmenyelesaikan suatu masalah. Sebagai contoh, telah diketahui dengan baik bahwasorting n bilangan kompleksitasnya adalah n log n. Jadi algoritma dengankompleksitas n log n tidak dapat dibuktikan secara berarti.

Reducability dapat bermanfaat dalam menentukan kompleksitas. Jika suatumasalah A dapat direduksi kesuatu masalah B dan B memiliki kompleksitasfB(n),maka kompleksitasdari A paling besar adalah kompleksitasdari B ditarnbahdengan biaya mentransformasikan A ke B. Kompleksitas dari transfomasi-transformasi umumnya adalah konstan atau linier sehingga sering diabaikan. Jadimereduksi masalah A ke masalah B memberikan suatu batas atas untukkompleksitas dari A (jika kompleksitas dari B diketahui), atau suatu batas bawahuntuk kompleksitas dari B (jika kompleksitasdari A diketahui). Sekali lagi denganmenggunakan suatu contoh masalah-masalahkesarnaandan subhimpunan,jumlahpekerjaan yang dibutuhkan untuk menyelesaikan masalah kesarnaan tidak lebihbesar dua kali jumlah pekerjaan untuk masalah subhimpunan. Karena ini adalahsuatu faktor konstan maka kompleksitas dari masalah subset harns sarna sepertikompleksitas dari masalah kesamaan.

Kedua sifat dari sifat-sifat analisa Jaringan Petri - decedability dankompleksitas merupakan perhatian utama untuk penggunaan dari Jaringan Petri.Pada bab ini kita berikan beberapa hasil yang telah dipeoleh. Salah satu teknikyang digunakan adalah dengan mereduksi masalah Jaringan Petri ke masalahlain.

5.2. MASALAH REACHABILITY

Masalah reachability merupakan 'salah satu masalah yang sangat pentinguntuk analisa- analisa Jaringan Petri.

128

Definisi 5-3. Masalah Reachability.

Diketahui ~', apakah ~' E R(C,~) ?

Definisi 5-4. Masalah Reachability Submarking

Untuk Suatu himpunan bagian P' ~ P dan suatU marking ~' , Apakah terdapat~" E R(C,~) demikian sehingga ~"(Pt) = ~(Pt)untuk semua Pt E P' ?

Definisi 5-5. Masalah Zero-Reachability

Apakah ~" E R(C,~) dengan ~"(Pt) = 0 untuk semua Pt E P ? [ Apakah 0E R(C,~)?]?

Definisi 5-6. Masalah Zero-Reachabilitypada Single place

Diketahui suatu place Pt E P, apakah terdapat ~' E R(C,~) dengan ~'(Pt)= O?

Masalah Reachability submarking membatasi masalah Reachability danganhanya memperhatikan suatu subhimpunan dari place-place dan tidakmemperdulikan marking-marking dari place-place lainnya. Masalah Zero-Reachability menanyakan apakah marking tertentu dimana token token berharganol pada semua place dapat dicapai. Masalah zero-reachability pada single placemenanyakan jika dimungkinkan untuk mengosongkan semua token-token kecualipada suatu place tertentu.

Walaupun semua dari empat masalah tersebut adalah berbeda-beda tetapisemuanya ekivalen. Masalah Zero-reachability dapat direduksi kedalam masalahreachability, dengan mudah kita set ~'=O untuk masalah reachability tersebut.Dengan cara yang sarna Masalah Reachability dapat direduksi menjadi masalahReachability submarking, dengan menset himpunan bagian P' = P. MasalahZero-Reachability Single-Place dapat direduksi menjadi Masalah ReachabilitySubmarking dengan menset P' = {Pi} dan ~' = O. Yang lebih sulit adalaJimembuktikan bahwa Masalah Reachability Submarking dapat direduksi menjadiMasalah Zero-Reachability dan bahwa Masalah Zero-Reachability tersebut dapat

129

direduksi menjadi Masalah Zero-Reachability Single-Place. Seluruh himpunandari hubungan-hubungan ini dapat digambarkan pada gambar 5-1.

Masalah Reachability

Masalah Zero-Reachability

Masalah Reachability Submarking

Masalah Zero-Reachability Single Place

Gambar 5-1. Reducibility Diantara masalah-masalahReachability. Suatuarkus dari suatu masalah ke masalah yang lain menunjukanbahwa yang pertama dapat direduksi ke yang kedua.

Pertama, kita buktikan bahwa masalah Masalah Reachability Submarkingdapat direduksi menjadi Masalah Zero-Reachability. Asumsikan bahwa d.iketabuisuatu Jaringan Petri C) = (PI'TI' II' 0) dengan marking awal ~)' suatusubhimpunan dari place-place P' !;; PI' dan suatu marking ~'. Kita ingin tabuapakah terdapat ~" e (CI'~I') dengan ~'(Pt)=~"(Pi)untuk semua Pt e P'.Pendekatan kita adalah menciptakan suatu Jaringan Petri bam C2 =(P2,T2, 12,02) dengan marking awal ~ demikian sehingga terdapat~" e R(C),~I') dengan~'(p)=~"(Pi) untuk semua Pt e P' jika dan hanya jika 0 e R(C2, ~2)'

Pembentukan C2 dari C) cukup mudah. Kita mulai dengan C2 yang sarnadengan C) Untuk membolehkan suatu place Pi' yang tidak ada di P', agar menjadikosong maka kita tambahkansuatu transisi ti' dengan input {Pi} dan outputkosong. Transisi ini dapat ditembak bilamana terdapat suatu token di Pi untukmen"drain off' token-token yang bisa berada diplace ini. Hal ini membolehkankita untuk mengabaikanplace-place ini, dengan memastikan bahwa mereka selaludapat mencapai suatu marking DOl.

130

Untuk place-place Pi di P', kita harns memastikan bahwa secara tepat J,1'(Pi)token berada di place Pi' Untuk memastikan ini, kita menciptakan suatu placebarn pi' untuk setiap Pi E P' dengan suatu marking awal J,1'(Pi)token dan satutransisi p/ dengan input {Pi'Pi'} dan output kosong. Jika secara tepat terdapatJ,1'(Pi)token di Pi' maka transisi ini secara tepat dapat ditembak J,1'(Pi)kali,mereduksi marking-marking dari pi dan Pi' ke nol. Jika jumlah dari token-tokendi pi tidak sarna dengan di J,1'(Pi)maka transisi ti' hanya dapat ditembak mini-mum dari dua marking tersebut, sehingga token akan tersisa Pi dan Pi', denganmencegah marking nol menjadi tercapai.

Garnbar 5-2 mengilustrasikan kedua jenis transisi yang dibicarakan diatas.Secara formal kita defmisikan C2 sebagai :

OrilinalPetrinet P"P'

Gambar 5-2. Suatu Jaringan Petri yang menunjukan bahwa masalahReachability Submarking dapat direduksi ke masalah Zero-Reachability. Subhimpunan dari place-place P' akanmemiliki marking J.1 pada Jaringan Petri aslijika dan hanyajika Zero marking dapat dicapai pada Jaringan Petri sepertiyang dimodifikasi disini.

131

Secara formal kita defmisikan C2 sebagai :

P2

T2

12(9

Ilt/)

°2(9

°l9

= PI U {P'i IPi E P'}

= T1 U {t' i I Pi E PI}

= 11(9 untuk tj e T1

= {Pi} untuk Pi E P'

= {Pi,Pi} untuk Pi E P'

= ° 1(tj) untuk tj E T1

= {} untuk Pi E PI

dengan marking awal :

~(Pi) = III (Pi)' Pi E PI

~(P/) = III '(Pi),Pl E P'

Teorema 5-1.

Masalah Reachability Submarking dapat direduksi ke Masalah Zero-Reachability

Buld; :

Kita buktikan bahwa untuk jaringan Petri C2 diatas terbentuk dari C1, 0 ER(C, Il) jika dan hanya jika Il" E R(Cl' Ill) dengan 1l"(Pi)= Il'(Pi) untuk semuaPi E P'. Untuk membuktikan bahwa 0 E R(C2, ~) jika dan hanya jika terdapatsuatu Il" E R(Cl' Ill) dengan 1l"(Pi) =Il '(Pi) untuk semua Pi E P', pe.rtarna-tamaasumsikanbahwa Il" ada di R(C1,Ill). Kemudianpada C2kita juga dapat mencapaimarking Il" pada place-place Pi E PI

dengan hanya menembak transisi-transisi dari T1. Sekarang untuk setiap Pi EP', kita dapat menembak t/ secara tepat (re(pi)kali mereduksi pi dan pi' ke no1.Kemudian kita dapat fire ti' untuk setiap Pi E P' sejumlah yang diperlukan untukmenjadikan jumlah tokennya sarna dengan nol, sehingga 0 E R(C2, ~).

132

Sekarang asumsikan 0 E R(C2, ~) ; maka terdapat satu barisan dari transisi-transisi yang ditembak cr yang berasal dari ~ ke o. Barisan ini secara tepat akanberisi 1l'(Pi) penembakan dari ti' untuk Pi E P'(untuk menghilangkan token-token dari Pi') dan beberapa kali penembakan ti' untuk Pi E P'. Ingat bahwatransisi- transisi ini ditembakan hanya menghilangkan token-token dari CI, dan

karena ~(Il', t) didefinisikan bila ~(Il', 9 terdefinisi untuk 11' ;:::11, barisan crdengan semua penembakan t/ yang dihilangkan juga legal dan akan membawake suatu marking 11"secaratepat 1l'(Pj) token di Pi untuk Pi E P'. Jadi, jika 0 ER(C2, ~), maka 11" E R(CI, IlI).dengan 1l"(Pi) = 1l"(Pi) untuk semua Pi E P'.

Tugas kita berikutnya adalah membuktikan apakah Masalah Zero-Reachabilitydapat direduksi menjadi Masalah Zero-Reachability Single-Place. Pembuktiari

ini sekali lagi melibatkan pembentukan. Diketahui suatu aringan Petri CI =(PI'TI,lI,OI) dengan marking awallll' kita ingin menentukan apakah 0 E R(CI'Ill).. Dari Cl' kita bentuk suatu Jaringan Petri barn C2 dengan place tambahans (P2= PI U {s}) sedemikian sehingga terdapat suatu marking 11' E R(C2, ~).

deng.an Il'(s) =0 jika dan hanya jika 0 E R(CI' Ill).

Pembentukan dari C2 mendefinisikan s sehingga pada setiap saat jumlahtoken di s sarna dengan penjumlahan dari token-token di place-place dari CI.Jadi jika 1l1(s) = 0 maka terdapat token-token nol pada semua place di CI dansebaliknya. Kita definisikan marking awal f.12sebagai berikut :

~(Pi) = ll(Pi) untuk Pi E PI

~(s) = L III (Pi)pieR

Sekarang untuk setiap transisi 1E TI transisi yang sarna berada di C2 tetapiditambah dengan arkus-arkus ke place-place s. didefinisikan :

d. = ~ #(p.,O(t.) - #(p.,l(t.»J £.. 1 J 1JpieR

Maka dj adalah perubahan jumlah token yang merupakan hasil daripenembakan transisi t.. Sekarang jika dj > 0 maka dj token harns ditambahkanke place s, sehingga kita tambahkan dj arkus dari tj ke s ; jika dj < 0 maka kitahilangkan - dj token dari s dengan - dj arkus dari s ke tj"

133

Jika dj > 0, maka #(s, I(tj» = 0 ; # (s, O(tj)) = dj"

Jika dj < 0, maka #(s, I(tj)) =- tj ; # (s, OCt}) =O.

Jika dj = 0, maka#(s, I(tj))= 0 ; # (s, O(tj))= O.

Dengan pembentukan ini, suatu barisan dari transisi-transisi yang ditembakyang membawa C1 ke marking 0 akan membawa C2 ke suatu marking J,l'dengan J,l'(s) =0 [u'(Pj)= 0 juga] dan sebaliknya.

Teorema 5-2.

Masalah Zero-Reachability dapat direduksi menjadi Masalah Zero-Reachability Single-Place.

Untuk pembuktiannya diserahkan kepada para pembaca.

Dengan kedua teorema ini, kita dapat simpulkan berikut ini:

Teorema 5-3.

Masalah-masalah Reachability berikut ini adalah Ekivalen;

1. Masalah Reachability

2. Masalah Zero-Reachability

3. Masalah Submarking-Reachability

4. Masalah Zero-Reachability Single-Place

5-3. LIVENESS DAN REACHABILITY

Reachability merupakan masalah penting, akan tetapi bukan hanya satu-satunya masalah yang terdapat pada Jaringan Petri. Disamping itu, terdapat jugamasalah lainnya, yaitu Liveness, yang menjadi perhatian dari beberapa literaturtentang Jaringan I:'etri.Seperti yang telah diterangkan sebelumnyabahwa Livenessberkaitan dengan masalah Deadclock. Dua masalah liveness untuk suatu Jaringan

134

Petri C =(P, T, I, 0) dengan marking awal (yang akan dibicarakan disini. Suatu

Jaringan Petri adalah live jika setiap transisinya adalah live. Suatu transisi tjadalah live pada suatu marking~,jika untuk setiap ~' E R(C, ~) terdapat sebarisan

a demikian sehingga tj enabled d.i O(~', a). Suatu transisi tj adalah dead padasuatu marking ~ jika tidak terdapat suatu marking yang dapat dicapai pada manatransisi tersebut dapat tire.

Definisi 5-7. Masalah liveness.

Untuk semua transisi tj E T, apakah tj adalah live?

Definisi 5-8. Masalah liveness pada transisi-tunggal.

Diketahui tj E T, apakah tj adalah live?

Masalah liveness jelas dapat direduksi kedalam masalah liveness transisi-tunggal. Untuk menyelesaikan masalah liveness ini, dengan mudah kita

menyelesaikan masalah liveness transisi-tunggal untuk setiap tj E T; jika ITI =m maka kita harns menyelesaikan m masalah livene.ss-transisitunggal. MasalahReachability juga dapat direduksikankedalam masalah liveness,karena bermacammasalah reachability adalah ekuivalen, maka kita gun~an masalah MasalahZero-Reachability Single-Place. Jika kita memilih satu dari masalah~masalahreachability yang lain, maka masalah-masalahtersebut dapat direduksi ke masalahZero-Reachability Single-Placeseperti yang ditunjukan pada bagian 5-2. Sekarangjika kita ingin menentukan apakah place pi bisa nol pada suatu marking yangdapat dicapai untuk suatu Jaringan Petri CI = (PI' TI' 11' °1) dengan marking

awal ~I' kita bentuk suatu Jaringan Petri CI =(PI' TI' II' °1) dengan markingawalll2, yang adalah live jika dan hanya jika marking nol tidak dapat dicapaidari ~I'

Jaringan Petri Cz dibentuk dari Jaringan Petri CI dengan penambahan duaplace, rl dan rz' dan tiga transisi sl' Sz dan s3' Pertama-tama kita moditikasisemua transisi dari TI untuk mencakup rI sebagai suatu input dan suatu uotput.Marking awal ~2 akan mencakup satu token di rl . Place r I merupakan suatuplace "run"; sepanjangtokentersebuttetapberadadi rI ' transisi dari T l' dapatditembak secara normal. Jadi suatu marking yang dapat dicapai pada place-placedari PI di CI juga dapt dicapai di Cz. Transisj sl didetinisikan untuk memiliki

135

rl sebagai inputnya dan satu uotput kosong. lni membolehkan token di rl untukdihilangkan,mendisablesemuatransisi-transisidi T1dan membekukanmarkingdari PI' (Ingat bahwa semua transisi dari T1adalah konflik dan, tidak lebih darisatu transisi dapat ditembak pada satu saat).

Place rl dan transisi sl membolehkan Jaringan Petri CI untuk mencapaisuatu marking yang dapat dicapai dan kemudian untuk sl untuk ditembak danmembekukan Jaringan Petri pada marking tersebut. Sekarang kita perlu untukmelihat apakah place p. adalah nol. Kita perkenalkan satu place baru r2 dan satu1 .transisi s2 yang memiliki Pi sebagai inputnya dan r2 sebagai outputnya. Jika Pidapat menjadi nol, maka transisi ini tidak live; kenyataannya seluruh JaringanPetri adalah dead jika transisi sl ditembak pada marking tersebut.

Disini jika Pi dapat menjadi nol maka s2 selalu dapat ditembak, denganmeletakkan satu token di r2. Pada kasus ini kita harns meletakan satu tokenkembali pada rl dan menjarnin bahwa semua transisi di C2 adalah live, kita harnspasti bahwa C2 adalah live walaupun jika CI tidak live. lni diselesaikan padasatu transisi s3 yang membanjiri Jaringan Petri C2 dengan beberapa token,menjamin bahwa setiap transisi adalah live jika satu token tidak pemah diletakandi r2.. Transisi s3 memiliki r2 sebagai inputnya dan setiap place dari C2 (semuaPi di CI dan rl dan r2) sebagai output. Pembentukan ini diilustrasikan padagambar 5-6.

Sekarang, jika suatu marking Il dapat dicapai di R(CI, Ill) dengan Il(pi) =0, maka Jaringan Petri C2 juga dapat mencapai marking ini pada placedari PIdengan mengeksekusi barisan yang sarna dari transisi-transisi yang ditembak.Kemudian sl dapat ditembak dan membekukan subhimpunan CI karena Il(Pi)=0, transisi s2tidak dapat ditembak dan C2adalah mati. Jadi, jika pi dapat menjadinol maka C2 adalah tidak live.

Sebaliknya, jika C2 tidak live maka suatu marking Il harns dapat dicapaidalam mana ll(r2) =° dan tidakada statayangdapatdicapaidiman~r2memilikisatu token. {jika r2 memiliki satu token, s3 enabled dan s3 dapat ditembaksecaraberulang seperlunyauntuk mengenablekansatu atau semua transisi sehinggaJaringan Petri live }. Jika r2 tidak memiliki token dan tidak dapat meng;ambilsatupun maka marking dari Pi juga harns nol. Jadi, jika C2 tidak live maka satumarking dapat dicapai dimana marking dari Pi adalah nol.

Berdasarkan pembentukan ini, kita dapat memiliki berikut ini.

136

Teorema 5-5.

Masalah reachability dapat direduksi menjadi masalah liveness

Sekarang kita perlu buktikan berikut ini.

Teorema 5-6.

Masalah Liveness transisi-tunggal dapat direduksikan menjadi masalahReachability .

Bukti bahwa masalah liveness transisi tunggal dapat direduksi menjadimasalah reachability tinggal menguji reachability dari suatu himpunan berhingga

dari submarking-submarking tj - dead yang maksimal. Suatu Jaringan Petritidakliveuntuksuatutransisi~ jlka danhanyajikabeberapamarkingyangdapatdicapai dalam mana transisi tj tldak dapat ditembak dan tidak akan dapat ditembak.Marking yang seperti ini disebut sebagai tj - dead. Untuk suatu marking J.Lkitadapat menguji apakah marking tersebut merupakan tj - dead dengan membentukpohon reachabilitynya dengan J.Lsebagai root dan menguji apakah transisi tjdapat ditembak dimana saja pada pohon terseut. Jika tidak dapat maka J.Ladalah

1.- dead. Kemudian pemeriksaan terhadap liveness dari tj hany~ dilakukan denganti.emeriksa apakah marking tj - dead dapat dicapai.

Sebagai contoh, perhatikan Jaringan Petri pada ganbar 5-3. Markipg-mark-ing (2, 0), (1, 0), (0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), adalah ~ -dead, tetapi marking-marking tersebut dapat dinyatakkan secara berhingga oleh himpunan {(2,0), (1,0), (0, ro}.

Gambar 5-3. Suatu Jaringan Petri untuk Illengilustrasikanmarking-mark-ing t. - dead.J

137

Hack [1974c ; 1975c]telah membuktikan bahwa untuk suatu Jaringan PetriC terdapat suatu himpunan berhingga Dt dari marking-marking sehingga Cadalah live jika dan hanya jika tidak ada marking di Dt yang dapat dicapai. JikasuatumarkingdariDtberisico, makasubmarkingyangdapatdicapaiterlaksana.

Lebih lanjut, Dt secara efektif dapat dihitung. Kar~na Dt adalah berhinggamaka komponen non-codari marking-marking memiliki satu batas atas b. Batasb ini dicirikan sebagai nilai terkecil demikian sehingga untuk suatu marking ~dengan ~(Pi) =:;b + 1 untuk semua pi, jika ~ adalah tj - dead maka submarking~' dengan ~'(Pi) =~(Pi) j~a ~(Pi) =:;b dan ~'(Pi) =cojika ~'(Pi) =b + I, adalahtj - dead. Denagkarakterisitikdari b ini kita dapat membentukDt berikutini.1. Menghitung b. Mulai dengan b = 0, dan menaikkan b hingga b yang pertama

ditemukan yang memenuhi karakterisasi dari batas yang didefinisikan diatas.Pengujian untuk b membutuhkan pemeriksaan semua (b + 2n)n markingdengan komponen-komp(:menyang lebih kecil atau sarna dengan b + I.

2. Menghitung Dt dengan menguji semua marking dan submarking yangkomponen-komponennya lebih kecil atau sarna dengan b atau sarna dengan

co.Dt adalah himpunan marking-marking tj -dead dari himpunan (b + 2n)0.

Setelah kita membentukDt' kita kemudianmenggunakanmasalah reachabilitysubmarking untuk setiap elemen dari Dt' Jika suatu elemen dari Dt dapat dicapaidari marking awal, maka Jaringan Petri tersebut adalah tidak live; jika tidak adaelemen di Dt yang'dapat dicapai maka Jaringan Petri tersebut adalah, live.

Dari kedua teorema, 5-5 dan 5-6, diatas kita memperoleh berikut ini.

Teorema 5-7.

I. MasalahReachability.

2. Masalahliveness.

3. Masalahlivenesstransisitunggal.

138