1. PENGERTIAN MESIN TURING DAN CONTOH-CONTOH MESIN TURING

Mesin Turing adalah model yang sangat sederhana dari komputer. Secara esensial, mesin Turing adalah sebuah finite automaton yang miliki sebuah tape tunggal dengan panjang tak terhingga yang dapat membaca dan menulis data. Mesin Turing menggunakan notasi seperti ID-ID pada PDA untuk menyatakan konfigurasi dari komputasinya. Stack pada PDA memiliki keterbatasan akses. Elemen yang dapat diakses hanya elemen yang ada pada top stack. Pada Mesin Turing, memori akan berupa suatu tape yang pada dasarnya merupakan array dari sel-sel penyimpanan.Visualisasi dari sebuah mesin Turing diberikan oleh gambar berikut:

Mesin terdiri dari sebuah finite control, yang dapat berada dalam sebuah himpunan berhingga dari state. Terdapat sebuah tape yang dibagi ke dalam kotak-kotak atau sel-sel. Setiap sel dapat menampung sebuah dari sejumlah berhingga dari simbol. Pada awalnya, input yang merupakan string dari simbol dengan panjang berhingga dipilih dari input alphabet, ditempatkan pada tape. Sel-sel tape yang lain, perluasan secara infinite ke kiri dan ke kanan, pada awalnya menampung simbol khusus yang dinamakan blank. Blank bukan sebuah input symbol, dan mungkin terdapat simbol tape yang lain disamping input symbol dan blank. Terdapat sebuah tape head yang selalu ditempatkan pada salah satu dari sel-sel tape. Mesin turing dikatakan men-scan sel tersebut. Pada awalnya, tape head berada pada sel paling kiri yang menampung input. Sebuah pergerakan mesin Turing adalah sebuah fungsi dari state dari finite control dan tape symbol yang di-scan.Dalam satu pergerakan, mesin Turing akan:

Merubah state. Next state dapat sama dengan current state. Menulis sebuah tape symbol dalam sel yang di-scan. Tape symbol ini mengganti symbol apapun

yang ada dalam sel tersebut. Secara opsional, simbol yang dituliskan dapat sama dengan simbol yang sekarang ada dalam tape.

Memindahkan tape head ke kiri atau ke kanan.Notasi formal Mesin TuringMesin Turing dijelaskan oleh 7-tuple:M = (Q, S, G, d, q0, B, F)Komponen-komponennya adalah:

Q: Himpunan berhingga dari state dari finite control. S: himpunan berhingga dari simbol-simbol input. G: Himpunan dari tape symbol. S merupakan subset dari G.

d: Fungsi transisi. Argumen d(q, X) adalah sebuah state q dan sebuah tape symbol X. Nilai dari d(q, X), jika nilai tersebut didefinisikan, adalah triple (p, Y, D), dimana:

p adalah next state dalam Q Y adalah simbol, dalam G, ditulis dalam sel yang sedang di-scan, menggantikan simbol apapun

yang ada dalam sel tersebut. D adalah arah, berupa L atau R, berturut-turut menyatakan left atau right, dan menyatakan arah

dimana head bergerak.q0: start state, sebuah anggota dari Q, dimana pada saat awal finite control ditemukan.B: simbol blank. Simbol ini ada dalam G tapi tidak dalam S, yaitu B bukan sebuah simbol input.F: himpunan dari final state, subset dari Q.Deskripsi Instantaneous (ID) untuk Mesin Turing

ID digunakan untuk mengetahui apa yang mesin Turing kerjakan. ID direpresentasikan oleh string X1X2X3… Xi-1qXiXi+1 … Xn, dimana:– q adalah state dari TM – Tape head men-scan simbol ke-i dari kiri.– X1X2 …Xn adalah bagian dari tape di antara nonblank pada sel paling kiri dan paling kanan.Pergerakan TM M = (Q, S, G, d, q0, B, F) dinyatakan oleh notasi ├ atau ├. ├*

M atau ├* digunakan untuk menunjukkan nol, satu atau lebih pergerakan dari TM.Anggap d(q, Xi) = (p, Y, L), yaitu pergerakan selanjutnya adalah ke kiri. MakaX1X2… Xi-1qXiXi+1 … Xn

├ X1X2… Xi-2pXi-1 YXi+1 … Xn

Pergerakan ini menyatakan perubahan ke state p. Tape head sekarang diposisikan di sel i-1.Jika i = n dan Y = B maka simbol B yang ditulis pada Xn berhubungan dengan urutan tak hingga dari blank-blank yang mengikuti dan tidak muncul dalam ID selanjutnya. Dengan demikianX1X2 …Xn-1 q Xn├ X1X2… Xn-2p Xn-1Terdapat dua pengecualian:– Jika i=1, maka M bergerak ke blank ke bagian kiri dari X1. Dalam kasus ini,qX1X2 …Xn├ pBYX2… Xn

– Jika i = n dan Y = B maka simbol B yang ditulis pada Xn berhubungan dengan urutan tak hingga dari blank-blank yang mengikuti dan tidak muncul dalam ID selanjutnya. Dengan demikianX1X2 …Xn-1 q Xn├ X1X2… Xn-2p Xn-1

Anggap d(q, Xi) = (p, Y, R), yaitu pergerakan selanjutnya adalah ke kanan. MakaX1X2… Xi-1qXiXi+1 … Xn ├ X1X2… Xi-1 YpXi+1 … Xn

Tape head telah bergerak ke sel i+1. Terdapat dua pengecualian:– Jika i = n, maka sel ke-i+1 menampung sebuah blank, dan sel tersebut bukan bagian dari ID sebelumnya. Dengan demikianX1X2 … Xn-1 qXn├ X1 X2… Xn-1YpB– Jika i = 1 dan Y = B maka simbol B yang ditulis pada X1 berhubungan dengan urutan tak hingga dari blank-blank dan tidak muncul dalam ID selanjutnya. Dengan demikianqX1X2 …Xn├ pX2… Xn

Diagram Transisi untuk Mesin TuringDiagram transisi terdiri dari sebuah himpunan dari node-node yang menyatakan state-state dari Mesin Turing .sebuah arc dari state q ke state p diberi label oleh satu atau lebih item dengan bentuk X/Y D, dimana X dan Y adalah tape symbol, dan D adalah arah, kiri (L) atau kanan (R). Bahwa bila d(q, X) = (p, Y, D) diperoleh label X/Y D pada arc dari q ke p. Dalam diagram arah D dinyatakan dengan tanda ¬ untuk “left” dan ® untuk “right”. Start state ditandai dengan kata “start” dan sebuah panah yang masuk ke dalam state tersebut. Final state ditandai dengan putaran ganda.Contoh:Mesin Turing berikut menghitungan fungsi , yang dinamakan monus atau proper substraction. Fungsi ini didefinisikan oleh m n = max(m – n, 0). Bahwa, m n = m – n jika m ³ n dan 0 jika m < n. Mesin Turing yang melakukan operasi ini adalahM = ({q0, q1, … , q6}, {0, 1}, {0, 1, B}, d, q0, B)Aturan untuk fungsi transisi d:

Diagram transisi dari mesin Turing M:

Daftar PustakaJohn E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman. 2001. Introduction to Automata Theory, Languange, and Computation. Edisi ke-2. Addison-WesleyCONTOH-CONTOH MESIN TURING Stack (tumpukan) yang terdapat pada PDA memiliki keterbatasan kemampuan akses, yaitu hanya

mengakses data yang terdapat pada top / puncak dari stack. Untuk melakukan akses pada bagian yang lebih rendah dari puncak stack, harus memindahkan

bagian di atasnya (pop), yang mana akan menyebabkan bagian tersebut hilang. Pada mesin Turing, memori berupa suatu pita yang pada dasarnya berupa array (deretan) sel-sel

penyimpanan. Setiap sel mampu menyimpan sebuah simbol tunggal. Pita tersebut tidak mempunyai sel pertama dan sel terakhir. Pita dapat memuat informasi dalam

jumlah tak terbatas, dan dapat diakses bagian manapun dari pita dengan urutan bagaimanapun. Terdapat sebuah head yang menunjukkan posisi yang diakses pada pita. Head dapat bergerak ke

kanan atau ke kiri untuk membaca input dari pita dan sekaligus juga bisa melakukan penulisan pada pita/mengubah isi pita.

Mesin Turing bisa dianalogikan seperti komputer sederhana, dengan sejumlah state sebagai memori, pita sebagai secondary storage, fungsi transisi sebagai program.

Sebuah mesin Turing secara formal dinyatakan dalam 7 tupel, yaitu M = (Q, Σ, Γ, δ, S, F, b) dimana :Q = himpunan stateΣ = himpunan simbol inputΓ = simbol pada pita (meliputi pula blank)δ = fungsi transisiS = state awal, S ∈ QF = himpunan state akhir, F⊆ Qb = simbol kosong (blank) �� bukan bagian dari Σ, b ∉ΣBagian dari pita yang belum ditulisi dianggap berisi simbol b (blank)

Contoh :

Misal terdapat mesin Turing :Q = {q1,q2}Σ = {a,b}Γ = {a,b, b)F = {q2}S = {q1}

Fungsi transisinya : Pergerakan mesin Turing : R = right(kanan), L = left (kiri)δ (q1,a) = (q1,a,R) �� pada state q1, head menunjuk karakter ‘a’ pada pita, menjadi state q1, headbergerak ke kananδ (q1,b) = (q1,a,R) �� pada state q1, head menunjuk karakter ‘b’ pada pita, menjadi state q1, headmenulis karakter ‘a’ lalu bergerak ke kananδ (q1, b ) = (q2, b ,L) �� pada state q1, head menunjuk karakter ‘ b ’ pada pita menjadi state q2,head bergerak ke kiriPerhatian : pada mesin Turingδ (q,x) = (q,y,G)bila x <> y, maka head akan menulis simbol y (menimpa x) sebelum bergerak sesuai G(kiri / kanan)Jadi berdasarkan fungsi transisi diatas, maka mesin Turing beroperasi seperti berikut :Head ditunjukkan dengan

1. Misal pita yang akan dibaca : ‘abbaa’abbaastate q1Fungsi transisi δ (q1,a) = (q1,a,R) menyebabkan head bergerak ke kanan

2.abbaastate q1Fungsi transisi δ (q1,b) = (q1,a,R) menyebabkan head menulis ‘a’ lalu bergerak ke kanan

3.aabaastate q1Fungsi transisi δ (q1,b) = (q1,a,R) menyebabkan head menulis ‘a’ lalu bergerak ke kanan

4.aaaaastate q1Fungsi transisi δ (q1,a) = (q1,a,R) menyebabkan head bergerak ke kanan

5.aaaaastate q1Fungsi transisi δ (q1,a) = (q1,a,R) menyebabkan head bergerak ke kanan6.aaaaabstate q1Head menunjuk b, karena bagian pita yang belum ditulisi dianggap berisi bFungsi transisi δ (q1, b ) = (q2, b ,L) menyebabkan head bergerak ke kiri7.aaaaabstate q2Tidak ada transisi lagi dari state q2, mesin Turing akan berhenti (halt state)Karena state q2 termasuk state akhir berarti input tersebut diterima

Contoh :Misal konfigurasi mesin Turing :Q = {q0,q1,q2,q3,q4}Σ = {0,1}Γ = {0,1,X,Y, b)F = {q4}S = {q0}Fungsi transisinya dalam bentuk tabel sebagai berikut :δ0

1XYbq0(q1,X,R)--(q3,Y,R)-q1(q1,0,R)(q2,Y,L)-(q1,Y,R)-q2(q2,0,L)-(q0,X,R)(q2,Y,L)-q3---(q3,Y,R)(q4, b ,L)q4----

1. Misal pita yang akan dibaca : ‘0011’0011state q0

2.X011state q1

3.X011state q1

4.X0Y1state q2

5.X0Y1state q2

6.X0Y1state q0

7.XXY1state q1

8.XXY1state q1

9.XXYYstate q2

10.XXYYstate q2

11.XXYYstate q0

12.XXYYstate q3

13.XXYYstate q3

14.XXYYbstate q4Tidak ada transisi lagi dari state q4, mesin Turing berhenti dan karena state q4 termasuk state akhir, maka input tersebut diterima.

DESKRIPSI SEKETIKA PADA MESIN TURING Tahapan transisi nomor (1) sampai (14) pada contoh diatas dapat dinyatakan dalam notasi yang

disebut deskripsi seketika (instantaneous description). Deskripsi seketika diperlukan untuk menyatakan secara formal konfigurasi mesin Turing pada

suatu saat. Perubahan dari suatu kondisi ke berikutnya dipisahkan dengan tanda ‘ | ‘ Untuk simbol head

ditulis dengan garis bawah ‘_’ Jadi tahapan no. 1 sampai 14 dapat dinyatakan sebagai berikut :

(q0,0011) | (q1,X011) (q1,X011) (q2,X0Y1) (q2,X0Y1) (q0,X0Y1) (q1,XXY1) (q1,XXY1) (q2,XXYY) (q2,XXYY) (q0,XXYY) (q3,XXYY) (q3,XXYY b) (q4,XXYY b)

Misal bila mendapat input 011 :(q0,011) (q1,X11) (q2,XY1) (q0,XY1) (q3,XY1)Tidak ada transisi (q3,1) maka mesin berhenti dan karena q3 tidak termasuk state akhir berarti input tersebut ditolak.

Sumber : http://a11461004511.blogspot.com/2010/06/mesin-turing.html

2. OTOMATA (AUTOMATA)Otomata (Automata)

Otomata adalah mesin abstrak yang dapat mengenali (recognize), menerima (accept), atau membangkitkan (generate) sebuah kalimat dalam bahasa tertentu.

Beberapa Pengertian Dasar :

Simbol adalah sebuah entitas abstrak (seperti halnya pengertian titik dalam geometri). Sebuah huruf atau sebuah angka adalah contoh simbol.

String adalah deretan terbatas (finite) simbol-simbol. Sebagai contoh, jika a, b, dan c adalah tiga buah simbol maka abcb adalah sebuah string yang dibangun dari ketiga simbol tersebut.

Jika w adalah sebuah string maka panjang string dinyatakan sebagai w dan didefinisikan sebagai cacahan (banyaknya) simbol yang menyusun string tersebut. Sebagai contoh, jika w = abcb maka w= 4.

String hampa adalah sebuah string dengan nol buah simbol. String hampa dinyatakan dengan simbol (atau ^) sehingga = 0. String hampa dapat dipandang sebagai simbol hampa karena keduanya tersusun dari nol buah simbol.

Alfabet adalah hinpunan hingga (finite set) simbol-simbolOperasi Dasar StringDiberikan dua string : x = abc, dan y = 123 Prefik string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan nol atau lebih

simbol-simbol paling belakang dari string w tersebut.Contoh : abc, ab, a, dan adalah semua Prefix(x)

ProperPrefix string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol paling belakang dari string w tersebut.Contoh : ab, a, dan adalah semua ProperPrefix(x)

Postfix (atau Sufix) string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol paling depan dari string w tersebut.Contoh : abc, bc, c, dan adalah semua Postfix(x)

ProperPostfix (atau PoperSufix) string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol paling depan dari string w tersebut.

Contoh : bc, c, dan adalah semua ProperPostfix(x) Head string w adalah simbol paling depan dari string w.

Contoh : a adalah Head(x)

Tail string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan simbol paling depan dari string w tersebut.Contoh : bc adalah Tail(x)

Substring string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol paling depan dan/atau simbol-simbol paling belakang dari string w tersebut.Contoh : abc, ab, bc, a, b, c, dan adalah semua Substring(x)

ProperSubstring string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol paling depan dan/atau simbol-simbol paling belakang dari string w tersebut.Contoh : ab, bc, a, b, c, dan adalah semua Substring(x)

Subsequence string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol dari string w tersebut.Contoh : abc, ab, bc, ac, a, b, c, dan adalah semua Subsequence(x)

ProperSubsequence string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol dari string w tersebut.Contoh : ab, bc, ac, a, b, c, dan adalah semua Subsequence(x)

Concatenation adalah penyambungan dua buah string. Operator concatenation adalah concate atau tanpa lambang apapun.Contoh : concate(xy) = xy = abc123

Alternation adalah pilihan satu di antara dua buah string. Operator alternation adalah alternate atau .Contoh : alternate(xy) = xy = abc atau 123

Kleene Closure : x* = xxxxxx… = xx x … Positive Closure : x = xxxxxx… = xx x …Beberapa Sifat Operasi Tidak selalu berlaku : x = Prefix(x)Postfix(x) Selalu berlaku : x = Head(x)Tail(x) Tidak selalu berlaku : Prefix(x) = Postfix(x) atau Prefix(x) Postfix(x) Selalu berlaku : ProperPrefix(x) ProperPostfix(x) Selalu berlaku : Head(x) Tail(x) Setiap Prefix(x), ProperPrefix(x), Postfix(x), ProperPostfix(x), Head(x), dan Tail(x) adalah Substring(x),

tetapi tidak sebaliknya Setiap Substring(x) adalah Subsequence(x), tetapi tidak sebaliknya Dua sifat aljabar concatenation :

Operasi concatenation bersifat asosiatif : x(yz) = (xy)z Elemen identitas operasi concatenation adalah : x = x = x

Tiga sifat aljabar alternation : Operasi alternation bersifat komutatif : xy = yx Operasi alternation bersifat asosiatif : x(yz) = (xy)z Elemen identitas operasi alternation adalah dirinya sendiri : xx = x

Sifat distributif concatenation terhadap alternation : x (yz) = xyxz Beberapa kesamaan :

Kesamaan ke-1 : (x*)* = x*

Kesamaan ke-2 : x = x = x* Kesamaan ke-3 : (xy)* = xyxxyyxyyx… = semua string yang merupakan concatenation

dari nol atau lebih x, y, atau keduanya.

GRAMMAR DAN BAHASA

Konsep Dasar

Anggota alfabet dinamakan simbol terminal.

Kalimat adalah deretan hingga simbol-simbol terminal.

Bahasa adalah himpunan kalimat-kalimat. Anggota bahasa bisa tak hingga kalimat.

Simbol-simbol berikut adalah simbol terminal : huruf kecil, misalnya : a, b, c, 0, 1, .. simbol operator, misalnya : +, , dan simbol tanda baca, misalnya : (, ), dan ; string yang tercetak tebal, misalnya : if, then, dan else.

Simbol-simbol berikut adalah simbol non terminal /Variabel : huruf besar, misalnya : A, B, C huruf S sebagai simbol awal string yang tercetak miring, misalnya : expr

Huruf yunani melambangkan string yang tersusun atas simbol-simbol terminal atau simbol-simbol non terminal atau campuran keduanya, misalnya : , , dan .

Sebuah produksi dilambangkan sebagai , artinya : dalam sebuah derivasi dapat dilakukan penggantian simbol dengan simbol .

Derivasi adalah proses pembentukan sebuah kalimat atau sentensial. Sebuah derivasi dilambangkan sebagai : .

Sentensial adalah string yang tersusun atas simbol-simbol terminal atau simbol-simbol non terminal atau campuran keduanya.

Kalimat adalah string yang tersusun atas simbol-simbol terminal. Kalimat adalah merupakan sentensial, sebaliknya belum tentu..

Grammar :

Grammar G didefinisikan sebagai pasangan 4 tuple : V , V , S, dan P, dan dituliskan sebagai G(V , V , S, P), dimana :

V : himpunan simbol-simbol terminal (alfabet) kamus

V : himpunan simbol-simbol non terminal

SV : simbol awal (atau simbol start)P : himpunan produksi

Contoh :

1. G1 : VT = {I, Love, Miss, You}, V = {S,A,B,C}, P = {S ABC, A I, B Love | Miss, C You}

S ABC IloveYou

L(G1)={IloveYou, IMissYou}

2. . G2 : VT = {a}, V = {S}, P = {S aSa}

S aS aaS aaa L(G2) ={an n ≥ 1}

L(G2)={a, aa, aaa, aaaa,…}

Klasifikasi Chomsky

Berdasarkan komposisi bentuk ruas kiri dan ruas kanan produksinya ( ), Noam Chomsky mengklasifikasikan 4 tipe grammar :

1. Grammar tipe ke-0 : Unrestricted Grammar (UG)Ciri : , (V V )*, > 0

2. Grammar tipe ke-1 : Context Sensitive Grammar (CSG)Ciri : , (V V ) *, 0 <

3. Grammar tipe ke-2 : Context Free Grammar (CFG)Ciri : V , (V V )*

4. Grammar tipe ke-3 : Regular Grammar (RG)Ciri : V , {V , V V } atau V , {V , V V }

Tipe sebuah grammar (atau bahasa) ditentukan dengan aturan sebagai berikut :

A language is said to be type-i (i = 0, 1, 2, 3) language if it can be specified by a type-i grammar but can’t be specified any type-(i+1) grammar.

Contoh Analisa Penentuan Type Grammar

1. Grammar G dengan P = {S aB, B bB, B b}.

Ruas kiri semua produksinya terdiri dari sebuah V maka G kemungkinan tipe CFG atau RG.

Selanjutnya karena semua ruas kanannya terdiri dari sebuah V atau string V V maka G adalah RG(3).

2. Grammar G dengan P = {S Ba, B Bb, B b}.

Ruas kiri semua produksinya terdiri dari sebuah V maka G kemungkinan tipe CFG atau RG.

Selanjutnya karena semua ruas kanannya terdiri dari sebuah V atau string V V maka G adalah RG(3).

3. Grammar G dengan P = {S Ba, B bB, B b}.

Ruas kiri semua produksinya terdiri dari sebuah V maka G kemungkinan tipe CFG atau RG.

Selanjutnya karena ruas kanannya mengandung string V V (yaitu bB) dan juga string V V (Ba) maka

G bukan RG, dengan kata lain G adalah CFG(2).

4. Grammar G dengan P = {S aAb, B aB}.

Ruas kiri semua produksinya terdiri dari sebuah V maka G kemungkinan tipe CFG atau RG.

Selanjutnya karena ruas kanannya mengandung string yang panjangnya lebih dari 2 (yaitu aAb) maka G

bukan RG, dengan kata lain G adalah CFG.

5. Grammar G dengan P = {S aA, S aB, aAb aBCb}.

Ruas kirinya mengandung string yang panjangnya lebih dari 1 (yaitu aAb) maka G kemungkinan tipe CSG atau UG. Selanjutnya karena semua ruas kirinya lebih pendek atau sama dengan ruas kananya maka G adalah CSG.

6. Grammar G dengan P = {aS ab, SAc bc}.

Ruas kirinya mengandung string yang panjangnya lebih dari 1 maka G kemungkinan tipe CSG atau UG.

Selanjutnya karena terdapat ruas kirinya yang lebih panjang daripada ruas kananya (yaitu SAc) maka G adalah UG.

Derivasi Kalimat dan Penentuan Bahasa

Tentukan bahasa dari masing-masing gramar berikut :

1. G dengan P = {1. S aAa, 2. A aAa, 3. A b}.

Jawab :Derivasi kalimat terpendek : Derivasi kalimat umum :S aAa (1) S aAa (1) aba (3) aaAaa (2)

a Aa (2) a ba (3)

Dari pola kedua kalimat disimpulkan : L (G ) = { a ba n 1}

2. G dengan

P = {1. S aS, 2. S aB, 3. B bC, 4. C aC, 5. C a}.

Jawab :

Derivasi kalimat terpendek : Derivasi kalimat umum :S aB (2) S aS (1)

abC (3) aba (5) a S (1)

a B (2) a bC (3) a baC (4) a ba C (4) a ba (5)

Dari pola kedua kalimat disimpulkan : L (G )={a ba n 1, m1}

3. G dengan

P = {1. S aSBC, 2. S abC, 3. bB bb, 4. bC bc, 5. CB BC, 6. cC cc}.

Jawab :Derivasi kalimat terpendek 1: Derivasi kalimat terpendek 3 :S abC (2) S aSBC (1) abc (4) aaSBCBC (1)Derivasi kalimat terpendek 2 : aaabCBCBC (2)S aSBC (1) aaabBCCBC (5) aabCBC(2) aaabBCBCC (5) aabBCC(5) aabcBC (4) aaabBBCCC (5) aabbCC (3) aaabbBCCC (3) aabbcC (4) aaabbbCCC (3) aabbcc (6) aaabbbcCC (4)

aaabbbccC (6) aaabbbccc (6)

Dari pola ketiga kalimat disimpulkan : L (G ) = { a b c n 1}

Menentukan Grammar Sebuah Bahasa

1. Tentukan sebuah gramar regular untuk bahasa L = { a n 1}

Jawab :

P (L ) = {S aSa}

2. Tentukan sebuah gramar bebas konteks untuk bahasa : L : himpunan bilangan bulat non negatif ganjil

Jawab :

Langkah kunci : digit terakhir bilangan harus ganjil.

Vt={0,1,2,..9} Vn ={S, G,J}P={SHT|JT|J; TGT|JT|J; H2|4|6|8; G0|2|4|6|8;J1|3|5|7|9}

P={SGS|JS|J; G0|2|4|6|8;J1|3|5|7|9}

Buat dua buah himpunan bilangan terpisah : genap (G) dan ganjil (J)P (L ) = {S JGSJS, G 02468, J 13579}

3. Tentukan sebuah gramar bebas konteks untuk bahasa :A. L = himpunan semua identifier yang sah menurut bahasa pemrograman Pascal dengan

batasan : terdiri dari simbol huruf kecil dan angka, panjang identifier boleh lebih dari 8 karakter

Jawab :

Langkah kunci : karakter pertama identifier harus huruf. Buat dua himpunan bilangan terpisah : huruf (H) dan angka (A)

SHT|H;THT|AT|H|A; Ha|..|z; A0|..|9

P (L ) = {S HHT, T ATHTHA, H abc…, A 012…}

4. Tentukan gramar bebas konteks untuk bahasa L (G ) = {a b n,m 1, n m}

Jawab :

Langkah kunci : sulit untuk mendefinisikan L (G ) secara langsung. Jalan keluarnya adalah dengan mengingat bahwa x y berarti x > y atau x < y.L = L L , L ={a b n > m 1}, L = {a b 1 n < m}.

P (L ) = {A aAaC, C aCbab}, Q(L ) = {B BbDb, D aDbab}

P (L ) = {S AB, A aAaC, C aCbab, B BbDb, D aDbab}

5. Tentukan sebuah gramar bebas konteks untuk bahasa :L = bilangan bulat non negatif genap. Jika bilangan tersebut terdiri dari dua digit atau lebih maka nol tidak boleh muncul sebagai digit pertama.

Jawab :

Langkah kunci : Digit terakhir bilangan harus genap. Digit pertama tidak boleh nol. Buat tiga himpunan terpisah : bilangan genap tanpa nol (G), bilangan genap dengan nol (N), serta bilangan ganjil (J).P (L ) = {S NGAJA, A NNAJA, G 2468, N 02468, J 13579}

B. Mesin Pengenal Bahasa

Untuk setiap kelas bahasa Chomsky, terdapat sebuah mesin pengenal bahasa. Masing-masing mesin tersebut adalah :

Kelas Bahasa Mesin Pengenal BahasaUnrestricted Grammar (UG) Mesin Turing (Turing Machine), TMContext Sensitive Grammar (CSG) Linear Bounded Automata, LBAContext Free Gammar (CFG) Pushdown Automata, PDARegular Grammar, RG Finite State Automata, FSA

FINITE STATE AUTOMATA (FSA)

FSA didefinisikan sebagai pasangan 5 tupel : (Q, ∑, δ, S, F).

Q : himpunan hingga state ∑ : himpunan hingga simbol input (alfabet)δ : fungsi transisi, menggambarkan transisi state FSA akibat pembacaan simbol input. Fungsi transisi ini biasanya diberikan dalam bentuk tabel.S Q : state AWALF Q : himpunan state AKHIR

Contoh : FSA untuk mengecek parity ganjil Q ={Gnp, Gjl} diagram transisi∑ = {0,1}

tabel transisiδ 0 1

Gnp Gnp Gjl

Gjl Gjl Gnp

S = Gnp, F = {Gjl}

Ada dua jenis FSA :

Deterministic finite automata (DFA) Non deterministik finite automata.(NFA)

- DFA : transisi state FSA akibat pembacaan sebuah simbol bersifat tertentu. δ : Q ∑ Q

- NFA : transisi state FSA akibat pembacaan sebuah simbol bersifat tak tentu. δ : Q ∑ 2Q

DFA :

Q = {q0, q1, q2} δ diberikan dalam tabel berikut :

a b a

q0 q1 q2 b

a b

Kalimat yang diterima oleh DFA : a, b, aa, ab, ba, aba, bab, abab, babaKalimat yang dittolak oleh DFA : bb, abb, abba

DFA ini menerima semua kalimat yang tersusun dari simbol a dan b yang tidak mengandung substring bb.

Contoh :

∑= {a, b} δ a bS = q0 q0 q0 q1F = {q0, q1} q1 q0 q2

q2 q2 q2

Telusurilah, apakah kalimat-kalimat berikut diterima DFA di atas :

abababaa diterima aaaabab diterimaaaabbaba ditolak

Jawab :

i) δ (q0,abababaa) δ (q0,bababaa) δ (q1,ababaa) δ (q0,babaa) δ (q1,abaa) δ (q0,baa) δ (q1,aa) δ (q0,a) q0

Tracing berakhir di q0 (state AKHIR) kalimat abababaa diterima

ii) δ (q0, aaaabab) δ (q0,aaabab) δ (q0,aabab) δ (q0,abab) δ (q0,bab) δ (q1,ab) δ (q0,b) q1

Tracing berakhir di q1 (state AKHIR) kalimat aaaababa diterima

iii) δ (q0, aaabbaba) δ (q0, aabbaba) δ (q0, abbaba) δ (q0, bbaba) δ (q1,baba) δ (q2,aba) δ (q2,ba) δ (q2,a) q2

Tracing berakhir di q2 (bukan state AKHIR) kalimat aaabbaba ditolak

Kesimpulan :

sebuah kalimat diterima oleh DFA di atas jika tracingnya berakhir di salah satu state AKHIR.

NFA :

Berikut ini sebuah contoh NFA (Q, ∑, δ, S, F). dimana :Q = {q , q , q ,q , q } δ diberikan dalam tabel berikut :∑= {a, b,c} δ a b cS = q q {q , q } {q , q } {q , q }F = {q } q {q , q } {q } {q }

q {q } {q , q } {q }q {q } {q } {q , q }q

Ilustrasi graf untuk NFA adalah sebagai berikut :

a, b, c a, b, c

aq q

c b a

bq q q

a, b, c a, b, c

c

kalimat yang diterima NFA di atas : aa, bb, cc, aaa, abb, bcc, cbbkalimat yang tidak diterima NFA di atas : a, b, c, ab, ba, ac, bc

Sebuah kalimat di terima NFA jika :

salah satu tracing-nya berakhir di state AKHIR, atau himpunan state setelah membaca string tersebut mengandung state AKHIR

Contoh :

Telusurilah, apakah kalimat-kalimat berikut diterima NFA di atas : ab, abc, aabc, aabb

Jawab :

1. δ(q ,ab) δ(q ,b) δ(q ,b) {q , q } {q } = {q , q , q }Himpunan state TIDAK mengandung state AKHIR kalimat ab tidak diterima

2. δ(q ,abc) δ(q ,bc) δ(q ,bc) { δ(q ,c) δ(q ,c)}δ(q , c){{ q , q }{ q }}{ q } = {q , q , q ,q }

Himpunan state TIDAK mengandung state AKHIR kalimat abc tidak diterima

3. δ(q ,aabc) δ(q ,abc) δ(q ,abc){ δ(q ,bc) δ(q ,bc)} δ (q ,bc) {{ δ(q , c) δ(q ,c)} δ(q , c)} δ(q , c)

{{{ q , q } { q }} {q }} {q } = {q , q , q ,q }Himpunan state TIDAK mengandung state AKHIR kalimat aabc tidak diterima

4. δ(q ,aabb) δ(q ,abb) δ(q ,abb) { δ(q ,bb) δ(q ,bb)} δ (q ,bb) {{ δ(q , b) δ(q ,b)} δ(q , b)} δ(q , b)

{{{ q , q } { q , q }} {q }} {q } = {q , q , q , q }Himpunan state mengandung state AKHIR kalimat aabb diterima