Definisi 5.3

Di berikan kurva mulus C : F ( t )=x ( t ) i+ y (t ) j , a≤t ≤b , jika z=M (x , y ) permukaan terbatas

pada C, maka :

∫c

❑

M ( x , y )dx= lim|∆|→0

∑i=1

n

M ( x ( t1 ) , x ' (t i ))∆ t i

¿∫c

❑

M ¿¿

∫c

❑

M ( x , y )dx= lim|∆|→0

∑i=1

n

M ( x (t 1' ) , y ( ti' ) )∆ x i

¿∫c

❑

M ¿¿

Apabila lintasan integral yang di berikan bukan dalam bentuk parameter, tetapi berbentuk y =

f(x) dan x = g(y) dengan titik awal (a,b) dan titik akhir (c,d), maka dengan substitusi di

peroleh :

( i )∫c

❑

M ( x , y )dx=∫a

c

M (x , f ( x ) )dx=∫b

d

M (g ( y ) , y ) g' ( y )dy

( ii )∫c

❑

M ( x , y )dx=∫b

d

M (g ( y ) , y )dy=∫a

c

M ( x , f ( x ) ) f ' (x )dx

SIFAT – SIFAT ∫c

❑

M (x , y)dx :

1. C tetap, integral M dipandang sebagai variabel

(a). Jika M kontinu dan C terbatas maka ∫c

❑

M (x , y)dx ada.

(b). ∫c

❑

[M ( x , y )dx+N (x , y)¿]dx=∫c

❑

M ( x , y )dx+∫c

❑

N (x , y)dx ¿

(c). ∫c

❑

kM ( x , y )dx=k∫c

❑

M (x , y)dx , k∈R

2. M tetap, C dipandang sebagai variabel

Misalkan kurva mulus C : F (t )=x ( t ) i+ y (t ) j , a≤t ≤b, maka :

(a). (x(a), y(a)) titik pangkal dari C dan (x(b), y(b)) titik ujung dari C. Perubahan t dari

a ke b menghasilkan orientasi dari C. Perubahan t dari b ke a, akan diperoleh

kurva yang sama dengan orientasi yang berlawanan.

(b). Jika C1 : F ( t )=x1 (t ) I+ y1 (t ) j , a1≤ t ≤b1 dan

C2 : F (t )=x2 ( t ) I+ y2 (t ) j , a2≤ t ≤b2

Dengan (x1(b1), y1(b1)) = (x2(b2), y2(b2)) maka C = C1 + C2

Secara sama didefinisikan C=∑i=1

n

C1

(c). ∫c

❑

M (x , y)dx=−∫c

❑

M (x , y)dx

(d). ∫C1+C2

❑

M ( x , y )dx=∫C1

❑

M ( x , y )dx+∫C2

❑

M (x , y )dx

3. jika M kontinu, |M (x , y)|≤k untuk setiap (x,y) ∈ C, C terbatas dan |C| adalah

panjang kurva C, maka |∫c

❑

M (x , y)dx|≤k|C|.