KESEIMBANGAN BENDA TEGAR : TITIK BERATTelah dikatakan sebelumnya bahwa suatu benda tegar dapat mengalami gerak translasi (gerak lurus) dan gerak rotasi. Benda tegar akan melakukan gerak translasi apabila gaya yang diberikan pada benda tepat mengenai suatu titik yang yang disebut titik berat.

Benda akan seimbang jika pas diletakkan di titik beratnya

Titik berat merupakan titik dimana benda akan berada dalam keseimbangan rotasi (tidak mengalami rotasi). Pada saat benda tegar mengalami gerak translasi dan rotasi sekaligus, maka pada saat itu titik berat akan bertindak sebagai sumbu rotasi dan lintasan gerak dari titik berat ini menggambarkan lintasan gerak translasinya. Mari kita tinjau suatu benda tegar, misalnya tongkat pemukul kasti, kemudian kita lempar sambil sedikit berputar. Kalau kita perhatikan secara aeksama, gerakan tongkat pemukul tadi dapat kita gambarkan seperti membentuk suatu lintasan dari gerak translasi yang sedang dijalani dimana pada kasus ini lintasannya berbentuk parabola. Tongkat ini memang berputar pada porosnya, yaitu tepat di titik beratnya. Dan, secara keseluruhan benda bergerak dalam lintasan parabola. Lintasan ini merupakan lintasan dari posisi titik berat benda tersebut. Demikian halnya seorang peloncat indah yang sedang terjun ke kolam renang. Dia melakukan gerak berputar saat terjun. sebagaimana tongkat pada contoh di atas, peloncat indah itu juga menjalani gerak parabola yang bisa dilihat dari lintasan titik beratnya. Perhatikan gambar berikut ini.

seorang yang meloncat ke air dengan berputar

Jadi, lintasan gerak translasi dari benda tegar dapat ditinjau sebagai lintasan dari letak titik berat benda tersebut. Dari peristiwa ini tampak bahwa peranan titik berat begitu penting dalam menggambarkangerak benda tegar. Cara untuk mengetahui letak titik berat suatu benda tegar akan menjadi mudah untuk bendabenda yang memiliki simetri tertentu, misalnya segitiga, kubus, balok, bujur sangkar, bola dan lain-lain. Yaitu d sama dengan letak sumbu simetrinya. Hal ini jelas terlihat pada contoh diatas bahwa letak titik berat sama dengan sumbu rotasi yang tidak lain adalah sumbu simetrinya.

Orang ini berada dalam keseimbangan

Di sisi lain untuk benda-benda yang mempunyai bentuk sembarang letak titik berat dicari dengan perhitungan. Perhitungan didasarkan pada asumsi bahwa kita dapat mengambil beberapa titik dari benda yang ingin dihitung titik beratnya dikalikan dengan berat di masing-masing titik kemudian dijumlahkan dan dibagi dengan jumlah berat pada tiap-tiap titik. dikatakan titik berat juga merupakan pusat massa di dekat permukaan bumi, namun untuk tempat yang ketinggiannya tertentu di atas bumi titik berat dan pusat massa harus dibedakan.50 Comments | mekanika, Mekanika Benda Tegar | Tagged: benda teg, Benda Tegar, mekanika | Permalink Posted by duniakufisika

Rotasi Benda Tegar14 November 2008

Hukum dasar mekanika terbukti mampu menjelaskan berbagai fenomena yang berhubungan dengan sistem diskrit (partikel). Hukum dasar ini tercakup dalam formulasi Hukum Newton tentang gerak. Selain sistem diskrit di alam ini terdapat bentuk sistem lain yaitu sistem kontinyu yang mencakup benda tegar dan fluida. Pada bagian ini akan dibahas formulasi hukum mekanika pada benda tegar yang pada akhirnya akan diperoleh bahwa hukum-hukum yang berlaku pada sistem diskrit juga berlaku pada sistem kontinu ini. Perbedaan mendasar antara partikel dan benda tegar adalah bahwa suatu partikel hanya dapat mengalami gerak translasi (gerak lurus) saja, sedangkan benda tegar selain dapat mengalami gerak translasi juga dapat bergerak rotasi yaitu gerak mengelilingi suatu poros. Berbagai aspek dari gerak rotasi inilah yang akan menjadi pokok pembahasan pada bab ini. Baik fluida yang merupakan materi dalam wujud gas atau cair sangat berbeda dengan partikel maupun benda tegar yang berwujud padat, keduanya memiliki hukum dasar yang sama, yaitu hukum dasar mekanika. Rotasi Benda Tegar : Torsi Pengamatan terhadap alam di sekitar kita menunjukan kepada kita salah satu bentuk gerak berupa gerak berputar pada porosnya. Jenis gerak ini dinamakan gerak rotasi. Gerak bumi pada porosnya adalah salah satu contoh dari gerak rotasi. Gerak rotasi bumi memungkinkan terjadinya siang dan malam. Ketika kita membuka dan menutup pintu rumah kita, dorongan tangan kita menimbulkan gerak rotasi pintu terhadap engselnya.

Sekarang mari kita tinjau sebuah pintu. Apabila kita mendorong pintu tersebut, maka pintu akan berputar sesuai dengan arah dorongan gaya yang diberikan. Gaya dorong yang menyebabkan pintu berputar selalu berjarak tertentu dari poros putaran. Apabila kita beri gaya dorong tepat di poros, niscaya pintu itu tidak akan berputar. Jarak poros putaran dengan letak gaya dinamakan lengan momen. Jadi, bisa dikatakan perkalian gaya dan lengan momen ini yang menyebabkan benda berputar. Besaran ini dinamakan torsi atau momen gaya. Pengertian torsi dalam gerak rotasi serupa dengan gaya pada gerak translasi yaitu sebagai penyebab terjadinya gerak. Menurut hukum Newton, benda bergerak disebabkan oleh gaya. Prinsip ini juga berlaku pada gerak rotasi yang berarti benda bergerak rotasi disebabkan oleh torsi. Kita bisa mendefinisikan suatu besaran baru, yaitu momen inersia yang menyatakan kelembaman benda ketika benda bergerak rotasi. Momen inersia analogi dengan massa pada gerak translasi. Torsi atau momen gaya juga dihasilkan dari momen inersia dikalikan dengan percepatan rotasi (percepatan sudut). Ini merupakan analogi dari gaya sama dengan massa dikali percepatan yang merupakan bentuk hukum Newton kedua. Jadi, hukum Newton kedua juga berlaku dalam gerak rotasi. Penjelasan di atas mengungkapkan berlakunya hukum Newton pada gerak rotasi. Rotasi Benda Tegar : Momen Inersia Setiap benda memiliki kuantitas yang mewakili keadaan benda tersebut. Massa suatu benda mewakili kelembaman benda ketika benda bergerak translasi. Pada saat benda bergerak rotasi massa tidak lagi mewakili kelembaman benda, karena benda yang bergerak rotasi terikat dengan suatu poros tertentu yang mana keadaan ini tidak dapat diabaikan. Keadaan ini mengharuskan adanya suatu kuantitas baru yang mewakili kelembaman benda yang bergerak rotasi. Besaran yang mewakili

kelembaman benda yang bergerak rotasi dinamakan momen inersia (momen kelembaman) dan dilambangkan dengan I. Pernyataan untuk momen inersia muncul dari analogi hukum Newton kedua untuk gerak rotasi. momen inersia adalah perkalian massa dengan kuadrat jarak benda ke poros. Persamaan ini dapat diperluas untuk sistem benda yang berotasi maupun untuk benda dengan bentuk tertentu. Momen inersia untuk sistem dengan beberapa benda yang berputar bersama dapat ditinjau sebagai penjumlahan dari tiap-tiap massa tersebut. Adapun untuk benda-benda dengan bentuk tertentu perhitungan momen inersianya menjadi lebih menantang dan lebih mengarah persoalan matematis. Secara sederhana kita dapat menulis pada persamaan momen inersia untuk berbagai bentuk benda tegar sebagai integral kuadrat jari-jari terhadap massa. Tanda integrasi mewakili penjumlahan terhadap bagian-bagian kecil massa benda. Jadi, pada prinsipnya kedua rumus menyatakan besaran yang sama. Rotasi Benda Tegar : Momentum Sudut

Pernahkah kalian menyaksikan atlet ski es yang sedang melakukan atraksi berputar? Kalau kita amati dengan cermat putaran atlet ski tersebut akan semakin cepat apabila bentangan tangannya semakin kecil. Apa yang dapat kita pelajari dari peristiwa ini? Perlu kalian ketahui bahwa peristiwa ini berkaitan dengan momentum benda yang berotasi.

Setiap benda yang bergerak memiliki momentum. Benda yang bergerak translasi mempunyai momentum yang besarnya merupakan perkalian antara massa benda dengan kecepatannya. Demikian halnya pada gerak rotasi, kita dapat menuliskan pernyataan untuk momentum sebagai perkalian momen inersia dengan kecepatan sudutnya. Jadi dapat dituliskan Momentum sudut = momen inersia x kecepatan sudut Dengan L melambangkan momentum sudut rotasi. momentum sudut adalah hasil perkalian dari lengan momen dengan momentum linier. Contoh yang baik untuk meggambarkan momentum sudut rotasi, yaitu seseorang yang melakukan ski es (ice skating) ketika sedang mendemon-strasikan atraksi berputar. Kalau kita perhatikan, putaran atlet ski itu semakin cepat tatkala rentangan tangannya semakin pendek. Hal ini menunjukkan suatu fakta bawa pada setiap keadaan momentum sudut benda yang berputar selalu tetap walaupun mengalami perubahan kecepatan atau bentuk. Keadaan ini merupakan bentuk dari hukum kekekalan momentum sudut. Hukum kekekalan momentum sudut merupakan salah satu hukum dasar dalam fisika dan akan banyak digunakan untuk menyelesaikan berbagai persoalan yang berhubungan dengan gerak rotasi. Bola Menggelinding Pada bagian ini kita akan menyelidiki keadaan bola yang menggelinding di atas suatu bidang. Bola menggelinding merupakan representasi dari benda yang bergerak translasi sekaligus rotasi. Ini berarti bola tersebut berputar pada porosnya selain bergerak maju. Keadaan ini dilihat pada gambar. Gerak bola ini terdiri dari dua kecepatan yang dilakukan bola, yaitu kecepatan linier dan kecepatan sudut (anguler). Selain itu kita juga dapat menyatakan percepatan dari gerak bola menggelinding tersebut sebagai percepatan sudut. Ada baiknya kita memasukkan besaran energi untuk menggambarkan gerak bola menggelinding. karena bola menggelinding dalam keadaan bergerak maka energi yang terkandung dalam bola yang menggelinding tidak lain adalah energi kinetik. Energi kinetik benda terdiri dari energi kinetik translasi dan energi kinetik rotasi. Sehingga energi kinetik total dari bola menggelinding adalah Ek = Ek translasi + Ek rotasi2 Comments | Mekanika Benda Tegar | Tagged: Benda Tegar,Mekanika Benda Tegar | Permalink P

Dinamika Rotasi dan Keseimbangan Benda TegaryMenentukan koordinat titik berat suatu benda.

1. 1.Gerak Translasi dan Rotasi

Indikator : y Gerak translasi dan gerak rotasi dirumuskan secara kuantitatif Pengaruh torsi diformulasikan pada kasus pengaruh torsi pada benda dalam kaitannya dengan gerak rotasi benda tersebuty y

Dibuat analogi hukum II Newton tentang gerak translasi dan gerak

rotasi Pernahkah Anda melihat permainan roller coaster di pekan raya? Kereta meluncur dan berputar menurut sumbu putaran tertentu. Pernahkah Anda melihat katrol? Sebuah alat yang dapat berputar dan memberikan keuntungan mekanik. Benda yang berotasi pasti ada momen gaya yang bekerja pada benda itu.Gambar: Katrol

A. Momen Gaya

Momen gaya merupakan salah satu bentuk usaha dengan salah satu titik sebagai titik acuan. Misalnya anak yang bermain jungkat-jungkit, dengan titik acuan adalah poros jungkat-jungkit. Pada katrol yang berputar karena bergesekan dengan tali yang ditarik dan dihubungkan dengan beban. Momen gaya adalah hasil kali gaya dan jarak terpendek arah garis kerja terhadap titik tumpu. Momen gaya sering disebut dengan momen putar atau torsi, diberi lambang X (baca: tau).Gambar: Menarik beban menggunakan katrol

X=F.d Satuan dari momen gaya atau torsi ini adalah N.m yang setara dengan joule. Momen gaya yang menyebabkan putaran benda searah putaran jarum jam disebut momen gaya positif. Sedangkan yang menyebabkan putaran benda berlawanan arah putaran jarum jam disebut momen gaya negatif.Gambar: Skema permainan jungkat jungkit

Titik 0 sebagai titik poros atau titik acuan. Momen gaya oleh F1 adalah X1 = + F1 . d1 Momen gaya oleh F2 adalah X2 = F2 . d2 Pada sistem keseimbangan rotasi benda berlaku resultan momen gaya selalu bernilai nol, sehingga dirumuskan: X=0 Pada permainan jungkat-jungkit dapat diterapkan resultan momen gaya = nol. X=0 - F2 . d2 + F1 . d1 = 0 F 1 . d1 = F 2 . d2 Pada sistem keseimbangan translasi benda berlaku resultan gaya selalu bernilai nol, sehingga dirumuskan: F=0 Pada mekanika dinamika untuk translasi dan rotasi banyak kesamaankesamaan besaran yang dapat dibandingkan simbol besarannya. Perbandingan dinamika translasi dan rotasi

Translasi

Rotasi

Momentum linier

p = mv

Momentum sudut*

L = I[

Gaya

F = dp/dt

Torsi

X = dL/dt

Benda massa F = m(dv/dt) Konstan

Benda momen

X = I (d[/dt)inersia konstan*

Gaya tegak lurus F=[xp terhadap momentum

Torsi tegak lurus

X =;v Lmomentum sudut

Energi kinetik

Ek = mv 2

Energi kinetik

Ek = I[2

Daya

P=F .v

Daya

P=X .[

Analogi antara besaran translasi dan besaran rotasiKonsep Translasi Rotasi Catatan

Perubahan sudut

s

U [ = dU/dt E = d[/dt X X =0 [ = [0 + Et

s = r.U

Kecepatan

v = ds/dt

v = r.[

Percepatan

a = dv/dt

a = r.E

Gaya resultan, momen

F

X = F.r

Keseimbangan

F=0

v = v 0 + at

Percepatan konstan

s = v0t = at2

U = [0t + Et2 [2 = + 2UEI I = miri2

v2 = + 2as

Massa, momen kelembaman

m

Hukum kedua Newton

F = ma

X = IEW = X dU

Usaha

W = F ds

Daya

P = F.v

P=I[

Energi potensial

Ep = mgy

Energi kinetik

Ek = mv 2

Ek = I[2

Impuls

F dtP = mv

X dt

Momentum

L = I[

ContohF2 o

30

OA o

B 37 F

1

Dari gambar di atas, tentukan momen total terhadap poros O. Jarak OA = 4m dan OB = 8 m, gaya F1 = 10 N, dan F2 = 6 N. Jawab Pada sistem keseimbangan translasi benda berlaku resultan gaya selalu bernilai nol, Untuk gaya F1 r1 = OB = 8 mBesar momen gaya

X1 = F1 sin E1. r1

= 10 . sin 37r. 8 = 10 . 0,6 . 8

= 48 N.m Arah momen gaya X1 searah perputaran jarum jam Untuk gaya F2 r2 = OA = 4 mBesar momen gaya

X2 = F2 sin E2. r2

= 6 . sin 30r. 4 = 6 . 0,5 . 4 = 12 N.m Arah momen gaya X2 berlawanan arah perputaran jarum jam Momen gaya total adalah X = X 2 + X2 = 48 + 12 = 60 NmMomen Kopel

Kopel adalah pasangan dua buah gaya yang sejajar, sama besar dan berlawanan arah. Kopel yang bekerja pada sebuah benda akan menghasilkan momen kopel yang mengakibatkan benda berotasi. Momen kopel disimbolkan MFFF +

MFdddd FF

F

(a) (b) (c)

Gambar (a) menunjukkan sebuah kopel bekerja pada suatu benda. Untuk

gambar (b) menunjukkan bahwa kopel bertanda positif jika putarannyase arah dengan perputaran jarum jam, tetapi jika perputaran kopel berlawanande ngan arah perputaran jarum jam, maka kopel bertanda negatif sepertiga mbar (c). Jika pada benda bekerja beberapa kopel maka resultan momen kopel total benda tersebut adalah M = M1 + M2 + M3 + ContohF4 F 1

+ Mn

P

1m 2m 1m

Q F3 F2

Jawab:

Batang PQ panjangnya 4m. Pada batang tersebut bekerja empat buah gaya F = F = 5 N, dan F = F = 8 N, seperti tampak pada gambar di samping. Tentukan besar dan arah momen kopel pada batang PQ tersebut.1 3 2 4

Gaya F dan F yang berjarak d = 3m membentuk kopel yang arahnya searah perputaran jarum jam (+) dan besarnya:1 3

M1

= F x d = 5 x 3 = 15 N m

Gaya F2 dan F4 yang berjarak d = 3 m membentuk kopel yang arahnya berlawanan arah perputaran jarum jam (-) dan besarnya:M2

= F x d = 8 x 3 = 24 N m

Resultan momen kopel adalah:

M = M1 + M2

= 15 + ( 24) =9Nm Tanda negatif (-), menunjukkan bahwa momen kopel resultan arahnya berlawanan dengan arah perputaran jarum jam.Koordinat Titik Tangkap Gaya Resultan

Jika terdapat beberapa gaya yang bekerja pada bidang XY, maka setiap gaya tersebut dapat diuraikan atas komponen-komponennya pada sumbu-X dan sumbu-Y. Misalkan, komponen-komponen gaya pada sumbu-X adalah F1x, F2x,F3x, ,Fnx, yang jaraknya masing-masing terhadap sumbu-X adalah y1,y , y , ,y . 2 3 n Sedangkan komponen-

komponen gaya pada sumbu-Y yang jaraknya masing-masing terhadap sumbu-Y adalah x1, x2, x3, ,xn . Semua komponen gaya pada sumbu-X dapat digantikan oleh sebuah gaya resultan F x yang jaraknya yo dari sumbu-X, demikian juga semua komponen gaya pada sumbu-Y dapat digantikan oleh sebuah gaya resultan F y yang jaraknya xodari sumbu-Y. adalah F1 y , F 2y , F 3y , ,Fny ,Koordinat titik tangkap dapat ditentukan dengan persamaan sebagai berikut.

xo = = yo = = Jadi koornitat titik tangkap (xo,yo)ContohY F 2=5N F 3=7NX

Dari gambar di samping, tentukan besar, arah, dan letak titik tangkap resultan.-3 -1 0

2

3

F 1=-3NF =-2N 4

Jawab Semua gaya sejajar sumbu-Y, gaya ke atas positif dan ke bawah negatif, resultan gaya adalah: Fy = F1 + F2 + F3 + F4 = -3 + 5 + 7 2 = 7 N (arah ke atas)Letak titik tangkap gaya resultan adalah:

xo = xo = xo = 1.Momen Inersia Benda Tegar

Benda tegar adalah benda padat yang tidak berubah bentuk apabila dikenai gaya luar. Dalam dinamika, bila suatu benda tegar berotasi, maka semua partikel di dalam benda tegar tersebut memiliki percepatan sudut E yang sama. Momen gaya atau gaya resultan gerak rotasi X didefinisikan sebagai berikut. Apabila sebuah benda tegar diputar terhadap suatu sumbu tetap, maka resultan gaya putar (torque, baca torsi) luar terhadap sumbu itu sama dengan hasil kali momen inersia benda itu terhadap sumbu dengan percepatan sudut . Dirumuskan sebagai berikut. =X 7 Fi Ri Sin Ui atau X = ( 7 mi R2 i ) . E

m7i Ri2 disebut momen inersia atau momen kelembaman benda terhadap sumbu putar, yaitu penjumlahan hasil kali massa tiap partikel dalam suatu benda tegar dengan kuadrat jaraknya dari sumbu. Dirumuskan: I = 7 mi . Ri2 Definisi lain dari momen inersia adalah perbandingan gaya resultan (momen) terhadap percepatan sudut. Dirumuskan: I= maka X = I . E = IX Karena X = 7F . R dan X = I . E maka 7 F . R = I . E Percepatan tangensial adalah juga percepatan linier a, yaitu percepatan singgung tepi roda. a=E.R E= persamaan menjadi : 7F.R=I. Momen inersia harus dinyatakan sebagai hasil kali satuan massa dan kuadrat satuan jarak. Untuk menghitungnya harus diperhatikan bentuk geometri dari benda tegar homogen. Tabel berikut menunjukkan momen inersia beberapa benda homogen.

Momen inersia berbagai benda yang umum dikenalI = M (R1 + R2 ) I = 1/3 MR I = MR I = 2/5 MR I = 2/3 MR2 2 2 2 2 2

Contoh:

1. Empat buah partikel seperti ditunjukkan pada gambar dihubungkan oleh sebuah batang kaku ringan yang massanya dapat diabaikan. Tentukan momen inersia sistem partikel terhadap proses: 1. 1. sumbu AA1, 2. s AB 1 kg 2 kg 1 kg 3 kg 2m2m2m A1 B1 umbu BB1!Penyelesaian:

1.

I=

mi . Ri2

= m1 R12 + m2 . R22 + m3 R32 + m4 R42 = 1 . 02 + 2 . 22 + 1 . 42 + 3 . 62 = 0 + 8 + 16 + 108 I = 132 kg m2 1. I= mi Ri2

= m1 R12 + m2 R22 + m3 R32 + m4 R42 = 1 . 42 + 2 . 22 + 1 . 02 + 3 . 22 = 16 + 8 + 0 + 12 I = 36 kg m2

1. Empat buah partikel massanya 1kg, 2 kg, 2 kg, 3 kg seperti ditunjukkan pada gambar, dihubungkan oleh rangka melingkar ringan jari-jari 2 meter yang massanya dapat diabaikan. 1. Tentukan momen inersia sistem terhadap poros melalui pusat lingkaran dan tegak lurus pada bidang kertas! A A 1. Berapa besar momen gaya harus dikerjakan pada sistem untuk memberikan suatu percepatan w terhadap poros ini (w = 4 )? 2. Ulangi pertanyaan (a) dan (b) untuk poros AA1! Penyelesaian: 1. I = mi Ri2 = m1 R12 + m2 R22 + m3 R32 + m4 R42 = 3 . 22 + 2 . 22 + 1 . 22 + 2 . 22 = 12 + 8 + 4 + 8 = 32 kg m2 1. 2. = I . w = 32 . 4 = 128 N.m I = m2 R12 + m2 R22 + m2 R22 + m3 R32 + m4R42

1. Sebuah benda sistem yang terdiri atas dua bola dengan massa masing- masing 5 kg dihubungkan oleh sebuah batang kaku yang panjangnya 1 m. Bola dapat diperlakukan sebagai partikel dan massa batang 2 kg. Tentukan momen inersia sistem terhadap sumbu yang tegak lurus batang dan melalui 1. 1. 2. L=1m Penyelesaian: 1. I= mi Ri2 pusat 0, O salah satu bola!

I = mA . RA2 + m B . RB2 + 1/12 m . L2 I = 5 . (0,5)2 + 5 . (0,5)2 + 1/12 . 2 . 12 I = 5 . 0,25 + 5 . 0,25 + 1/6 I = 2,5 + 1/6 I = 5/2 + 1/6 = = 16/6 I = 8/3 kg m2 b. I = mi Ri2

I = mA.RA2 + Mb.RB2 + 1/3 .m.l2 I = 0 + 5 . 12 + 1/3 . 2.12 I = 5 + 2/3 I = 5 kg m2y

Uji Kompetensi I

1. Seorang tukang cat (massa 55 kg) mengatur papan homogen yang beratnya 60 N dengan kuda-kuda di B dan C seperti pada gambar. Panjang AD = 4 m, AB = CD = 1 meter. Jarak kaleng cat (2 kg) dari A = 0,5 m. Secara perlahan ia mengecat sambil menggeser ke kanan. Pada jarak berapa meter dari C dia dapat menggeser sebelum papan terjungkit ? ABCD 1. Pada sebuah batang horisontal AC yang panjangnya 10 m bekerja tiga buah gaya 3 N, 2 N dan 4 N seperti terlihat pada gambar ! Tentukan :

a. Resultan dari gaya-gaya tersebut. b. Momen gaya yang bekerja pada sumbu-sumbu yang melalui A, B dan C c. Letak titik tangkap gaya Resultannya. 1. Batang AB yang panjangnya 5 meter dan beratnya boleh diabaikan, padanya bekerja 5 buah gaya seperti tampak pada gambar di bawah ini. Jika tg U = 3/4. Tentukan besar dan letak dari gaya resultannya. 1. Batang AB yang mempunyai panjang 6 m mendapat gaya pada ujung-ujungnya seperti tampak pada gambar. Tentukan besar dan letak gaya resultannya. 1. Tentukan momen inersia batang yang berputar pada poros berjarak l dari ujung titik 0 O -1/4 l +3/4 l 1. Empat buah benda disusun pada rangka pada sumbu koordinat XY seperti tampak pada gambar di bawah ini. M1=M3 =1kg, M 2 =3 kg, dan M 4 = 2 kg. Tentukan momen inersia sistem jika sumbu putarnya adalah (a) sumbu Y, (b) sumbu yang tegak lurus bidang XY melalui titik O.Y M1 2m

M3O3m

M2

3m M4

1.y y

Tentukan momen inersia bola pejal !

massa bola m volume bola V = 4/3 T R3

y y

massa keping = dm volume keping = dV = Tr2 dx

1. Perhatikan gambar di bawah ini. Tentukan lengan momen dan momen gaya dari gaya F1 = 100 N dan gaya F2 = 200 N terhadap poros di titik A dantitik C, jika AD = L, AB = L/2, dan AC = 3L/4. DC BF2

A 30

o

F1

1. Pada sebuah batang horisontal AC yang panjangnya 10 m bekerja tiga buah gaya 3 N, 2 N dan 4 N seperti terlihat pada gambar ! Tentukan : a. Resultan dari gaya-gaya tersebut. b. Momen gaya yang bekerja pada sumbu-sumbu yang melalui A, B dan C c. Letak titik tangkap gaya Resultannya. 1. Batang AB yang panjangnya 5 meter dan beratnya boleh diabaikan, padanya bekerja 5 buah gaya seperti tampak pada gambar di bawah ini. Jika tg U = 3/4. Tentukan besar dan letak dari gaya resultannya. 1. 1.Menghitung Gerak Translasi dan Rotasi

Indikator : y Dinamika rotasi benda tegar dianalisis untuk berbagai kondisiy

Gerak menggelinding tanpa slip dianalisis

C. Momentum Sudut Gerak Rotasi Benda Tegar

Dalam dinamika, bila suatu benda berotasi terhadap sumbu inersia utamanya, maka momentum sudut total L sejajar dengan kecepatan sudut [, yang selalu searah sumbu rotasi. Momentum sudut (L) adalah hasil kali momen kelembaman I dan kecepatan sudut [. Sehingga dapat dirumuskan : L=I.[

Bagaimana persamaan tersebut diperoleh? Perhatikan gambar berikut. Momentum sudut terhadap titik 0 dari sebuah partikel dengan massa m yang bergerak dengan kecepatan V (memiliki momentum P = mv) didefinisikan dengan perkalian vektor, L=RvP atau L = R v mV L = mR v V Jadi momentum sudut adalah suatu vektor yang tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh R dan v. Dalam kejadian gerak melingkar dengan 0 sebagai pusat lingkaran, maka vektor R dan v saling tegak lurus. V=[R Sehingga L = m R v L = m R [R L = m R2 [ Arah L dam [ adalah sama, maka: L = m R2 [ atau L = I [ karena [ = maka : L = m R2 L=I Momentum sudut sebuah partikel, relatif terhadap titik tertentu adalah besaran vektor, dan secara vektor ditulis: L = R v P = m (R v v)

Bila diturunkan, menjadi: karena X = F v R maka X = Apabila suatu sistem mula-mula mempunyai memontum sudut total 7L, dan sistem mempunyai momentum sudut total akhir 7L , setelah beberapa waktu, maka berlaku hukum kekekalan momentum sudut. Perhatikan seorang penari balet yang menari sambil berputar dalam dua keadaan yang berbeda. Pada keadaan pertama, penari merentangkan tangan mengalami putaran yang lambat, sedangkan pada keadaan kedua, penari bersedekap tangan roknya berkibar-kibar dengan putaran yang cepat. momentum sudut total awal = momentul sudut total akhir 7L = 7L L 1 + L 2 = L1 + L 2 Hukum Kekekalan momentum rotasi sebagai berikut. I 1 [ 1 + I2 [ 2 = I1 [ 1 + I2 [ 2D. Energi Kinetik Rotasi

Misalkan sebuah sistem terdiri atas dua partikel yang massanya m1dan m2 dan rotasi bergerak dengan kecepatan linier v1 dan v2, maka energi kinetik partikel ke 1 adalah m1v12. Oleh karena itu, energi kinetik sistem dua partikel itu adalah (energi kinetik partikel ke 2 adalah m2v22 ) : EK = m1 v12 + m2v22 Dalam sistem benda tegar energi kinetiknya: EK = 7 mi vi2

Benda tegar yang berotasi terhadap suatu sumbu dengan kecepatan sudut [, kecepatan tiap partikel adalah vi = [ . Ri , di mana Ri adalah jarak partikel ke sumbu rotasi. jadi EK = 7 mivi2 = 7 mi Ri2 [2 = (7 mi Ri2) [2 E K = I . [2 karena L = I . [ maka EK = L . [ atau EK = Masalah umum di mana benda tegar berotasi terhadap sebuah sumbu yang melalui pusat massanya dan pada saat yang sama bergerak translasi relatif terhadap seorang pengamat. Karena itu, energi kinetik total benda dapat dituliskan sebagai berikut. EK = mv2 + I . [2 Dalam hal ini hukum kekekalan energi total atau energi mekanik adalah: E = EK + EP = konstan mv2 + I [2 + mgh = konstan Contoh Soal Sebuah silinder pejal homogen dengan jari-jari R dan massa m, yang berada di puncak bidang miring, menggelinding menuruni bidang miring seperti tampak pada gambar. Buktikanlah kecepatan liniear pusat massa ketika tiba di dasar bidang miring adalah V = 1. 2. dengan menggunakan hukum kekekalan energi, dengan menggunakan hukum II dinamika rotasi!

Penyelesaian Jawab: v1 = 0, [1 = 0 s h a. Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2 ( m v12 + I [12) + mgh1 = ( mv22 + I [22) + mgh2 0 + 0 + mgh = mv2 + . mR2 ( )2 + 0 gh = v2 + . R2 . v/r gh = v2 v2 = gh v = (terbukti) 1. Hukum II dinamika rotasi F=m.a mg.m.a=m.a =a a=. v2 = vo2 + 2 a s v2 = 02 + 2. . s v2 = gh v = (terbukti)E. Menggelinding

Menggelinding adalah gabungan dari gerak translasi (titik pusat massa) dan gerak rotasi (penampang bentuk lingkaran).

F F ff Penyelesaian kita tinjau dari masing-masing gerakan itu. 1. Bila gaya F berada tepat di sumbu:

- gerak translasi berlaku : F f = m . a - gerak rotasi berlaku : f . R = I . E di mana (E = ) 1. Bila gaya F berada di titik singgung :

- gerak translasi berlaku : F + f = m . a - gerak rotasi berlaku : (F f) . R = I . E (E = )Katrol

1. Sumbu dianggap licin tanpa gesekan Massa = m Jari-jari = R Momen kelembaman = I Gerak translasi beban : F=m.a + T1 m1g = m1a + m2g T2 = m2a Gerak rotasi katrol :X

.(i) .(ii)

=I.E .(iii) Pada puncak bidang miring

(T2 T1) R = I 1.

Gerak translasi beban : F=m.a + T1 m1g sin U f = m1a + m2g T2 = m2a Gerak rotasi katrol :X

.(i) ..(ii)

=I.E (iii)

(T2 T1) R = I

1. S atu ujung talinya terikat pada sumbu katrol Gerak translasi beban : F=m.a mg T = m . a Gerak rotasi katrol :X

..(i)

=I.E ..(ii)

T.R=I. Contoh Soal

1. 8.Pesawat Atwood seperti pada gambar, terdiri atas katrol silinder yang masanya 4 kg (dianggap silinder pejal). Masa m1 dan m2 masing- masing 5 kg dan 3 kg. jari- jari katrol = 50 cm. Tentukan: a. percepatan beban, b. tegangan tali! Penyelesaian: a. Tinjau benda m1 F = m1 . a w1 T1 = m1 . a

5 . 10 T1 =5 . a T1 = 50 5a Tinjau benda m2: F = m2 . a T2 W2 = m2 . a T2 3.10 = 3 . a T2 = 30 + 3a Tinjau katrol =I.w T1 . R T2 . R = m . R2 a/R T1 T2 = . 4 . 2 50 5a 30 3a = 2a 20 = 10 . a a = 2 m/s2 1. T1 = 50 5 . 2 = 40 N T2 = 30 + 3 . 2 = 36 N 2. Pesawat Atwood seperti pada gambar, terdiri dari katrol silinder yang licin tanpa gesekan Jika m1 = 50 kg dan m2 = 200 kg , g = 10 m/det2 Antara balok m1 dan bidang datar ada gaya gesek dengan katrol 10 kg. hitunglah: 1. percepatan sistem, = 0,1. massa

2. gaya tegang tali! Penyelesaian:

a. Tinjau m1: F=m.a T 1 f1 = m . a Ti Qk . N = m1 . a Ti 0,1 . m1 . g = m1 . a T1 0,1 50 . 10 = 50 . a T1 = 50 + 50a Tinjau m2: F=m.a w2 T2 = m2 . a m2 . g T2 = m2 . a 200 . 10 T2 =200 . a T2 = 2000 200 . a Tinjau katrol: =I.w T2 . R T1 . R = m . r2 . a/R T2 T1 = m . a 2000 200a 50 50 a = . 10 . a 1950 = 255 a a = = 7,65 m/s2 b. T1 = 50 + 50 . 7,65 = 432,5 N

T2 = 2000 200 . 7,65 = 470 N 1. Dua buah benda yang massanya m1 dan m2 dihubungkan dengan seutas tali melalui sebuah katrol bermassa M dan berjarijari R seperti ditunjukkan pada gambar. Permukaan meja licin. Tentukan percepatan masing- masing benda bila: 1. 2. katrol dapat dianggap licin sehingga tali meluncur pada katrol katrol cukup kasar sehingga ikut berputar dengan tali

3. katrol cukup kasar sehingga ikut berputar dengan tali! Penyelesaian: 1. katrol licin (Qk = 0), T1 = T2 = T Tinjau m1 : F = m . a T = m1 . a T=3.a Tinjau m2 : F=m.a

w2 T = m2 . a m2 . g T = m2 . a 5 . 10 T = 5 . a T = 50 5a 1. T=T 3a = 50 5a 3a + 5a = 50y

8a = 50 a = = 6,25 2 1. Katrol : katrol kasar

=I.w T2 . R T1 . R = mk . R2 . a/r 50 5a 3a = . 1 . a 50 = a + 8a = 8,5 a a = 50/8,5 = 5,88 2 1. 1. Bidang miring dengan sudut kemiringan U = 30. Koefisien gesek 0,2. Ujung bidang miring diperlengkapi katrol dengan massa 600 gram. Jari- jari 10 cm (dianggal silinder pejal). Ujung tali di atas bidang miring diberi beban 4 kg. Ujung tali yang tergantung vertikal diberi beban dengan massa 10 kg. Tentukanlah percepatan dan tegangan tali sistem tersebut! Penyelesaian: Tinjau m1 F1 = m1 . a T1 fk w1 sin 30 = m1 . a T1 Qk . N m1 g sin 30 = m1 . a T1 Qk . m1 . g . cos 30 m1 . g sin 30 = m1 . a T1 0,2 . 4 . 10 . 4 . 10 . = 4 . a T1 4 20 = 4a T1 = 26,928 + 4a Tinjau m2 F=m.a w2 T2 = m2 . a w2 . g T2 = m2 . a 10 .10 T2 = 10 .a

T2 = 100 10a Tinjau katrol =I.w T2 . R T1 . R = m . R2 . a/R 100 10a 26,928 4a = . 0,6 . a 100 26,928 = 0,3a + 10a + 4a 73,072 = 14,3 a a = 5,1 m/s2 1. 1.y

T1 = 26,928 + 4 . 5,1

T1 = 47,328 N T2 = 100 10 . 5,1 = 49 N 1. 1. Balok A ditarik oleh pemberat B dengan cara seperti pada gambar. Koefisien gesekan antara balok A dengan lantai = 0,5 . Jika massa A = m, massa B = 3m. Massa tali dan katrol diabaikan dan percepatan gravitasi g. Tentukan: 1. gaya tarik oleh tali 2. percepatan B Penyelesaian: Waktu sama, jarak yang ditempuh A adalah 2x jarak tempuh B berarti sA = 2 sB atau aA = 2 aB Tinjau benda A wB 2T = mB . aB

3mg 2T = 3m aB aB = Tinjau benda B T f = mA aA T 0,5 NB = m . aA T 0,5 m g = m aA aA = 1. gaya tarik oleh tali Substitusi aA = 2 aB = 2 () 3 T m 1,5 m2 g = 6 m2 g 4 T m :m T= 1. aB = = == aB = g 1. 1.Kesetimbangan Benda Tegar

percepatan B

Kesetimbangan adalah suatu kondisi benda dengan resultan gaya dan resultan momen gaya sama dengan nol. Kesetimbangan biasa terjadi pada :

1. Benda yang diam (statik), contoh : semua bangunan gedung, jembatan, pelabuhan, dan lain-lain. 2. Benda yang bergerak lurus beraturan (dinamik), contoh : gerak meteor di ruang hampa, gerak kereta api di luar kota, elektron mengelilingi inti atom, dan lain-lain. Benda tegar adalah benda yang tidak berubah bentuknya karena pengaruh gaya dari luar. Kesetimbangan benda tegar dibedakan menjadi dua: 1. 2. 1. Kesetimbangan partikel Kesetimbangan benda Kesetimbangan Partikel

Partikel adalah benda yang ukurannya dapat diabaikan dan hanya mengalami gerak translasi (tidak mengalami gerak rotasi). Syarat kesetimbangan partikel 7F = 0 7Fx = 0 (sumbu X)Diposkan oleh Lenny Komariyah di 00:15 Kirimkan Ini lewat EmailBlogThis!Berbagi ke TwitterBerbagi ke Facebook

1 komentar:1. Muhammad RamzaniJun 14, 2011 06:26 AM Thanks bro Balas

Posting Lebih BaruPosting LamaBerandaLanggan: Poskan Komentar (Atom)

PENGIKUT ARSIP BLOGy o

2011 (11) Juni (5)

Momentum dan Impuls Termodinamika Teori Kinetik Gas

Fluida Dinamika Rotasi dan Keseimbangan Benda Tegaro

y

Maret (6) 2010 (6)

MENGENAI SAYALenny Komariyah Hidupku bukan hidupmu.. Just caLm.. Lihat profil lengkapku