Kemonotonan Dan Kecekungan
-
Upload
sandi-surapati-surana -
Category
Documents
-
view
1.083 -
download
98
Transcript of Kemonotonan Dan Kecekungan
MATEMATIKA TEKNIK
APLIKASI TURUNAN
Di susun oleh
Kelompok 3
Sandy Surapati D51110287
Sunaryadi D51110288
Andi Arfan D51110289
Hardyanti Muchtar D51110290
Anugrah Sakti A D51110291
Syandi Ardin D51110292
Syahrir Ramadhana D51110293
Afrianto Saptahadi D51110294
I. Maksimum dan Minimum
Dalam hidup ini, kita sering mengahadapi masalah untuk mendapatkan cara terbaik untuk
melakukan sesuatu.Sebagai contoh, seorang petani ingn memilih kombinasi tanaman yang
dapat menghasilkan kuntungan terbesar. Seorang dokter ingin memilih dosis terecil suatu
obat yang akan menyembuhkan penyakit tertentu.Seorang kepala pabrik akan menekan
sekscil mungin biaya distribusi barangnya. Kadangkala salah satu dari masalah diatas dapat
dirumuskan sehingga melibatkan pemaksimuman atau peminimumam suatu fungsi pada
suatu himpunan yang dirinci. Bila demikian, metode-metode kalkulus menyediakan sarana
amph untuk memecahan masalah tersebut.
Definisi
Andaikan S, daerah asal dari f, mengandung titik c.Kita katakana bahwa:
(i) f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f (c) ≥ f(x) untuk semua x di S;
(ii) f(c) adalh nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S;
(iii) f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai
minimum.
(iv) Fungsi yang ingin kita nakimumkan atau minimumkan adalah fungsi objektif.
TEOREMA KEBERADAAN MAKS-MN
Jika f kontinu pada selag tutup [a,b] maka f mencapai nilai maksmimum dan minimum
disana.
Contoh:
Carilah titik-titik kritis dari f(x) = -2x3 + 3x2 pada [-½,2]
Penyelesaian Titik-titik ujug adalah -½ dan 2. Untuk mencari titik stationer kita selesaikan
f’(x) =-6x2 + 6x =0 untuk x, diperoleh 0 dan 1. Tidak aa titik-titik singular. Jadi titik-titik
kritis adalah -½, 0, 1, 2.
TEOREMA TITIK KRITIS
Andaikan f terdefenisikan pada selang l yang memuat titik c. Jika f(c) adalah nilai ekstrim
maka c haruslah berupa suatu titik kritis yakni c berupa salah satu:
(i) Titik ujung dari I;
(ii) Titik stationer dari f(f’(c) = 0); atau
(iii) Titik singular dari f(f’(c) tidak ada)
Contoh:
Seorang petani mempunyai 100 meter kawat duri yang akan dipergunakan untuk membuat
dua kandan identik yang berdampingan, seperti diperlihatkan dalam Gambar. Berapa ukuran
seluruh keliling agar luas maksimum ?
Penyelesaian:
Misalkan : x = panjang
y = Lebar
Maka 3x+2y = 100 menjadi y = 50-3/2x
Luas total A diberikan oleh A=xy= 50x-3/2x2
Karena harus terdapat tiga sisi dengan panjang x, kita lihat bahwa 0≤ x ≥ 100/3, jadi yang
menjadi masalah adalah memaksimumkan A, Pada [0,100/3] sekarang
Ditetapkan 50-3x=0 maka x=50/3 pada titik stationer.
Jadi sekarang kita telah mendapatkan tiga titik kritis 0,50/3,dan 100/3, kedua titik ujung 0 dan
100/3 memberikan A=0 sedangkan x=50/3 menghasilkan A=416,67. Ukuran yang diinginkan
adalah x= 50/3=16,67 meter dan y= 50-3/2(50/3) = 25 meter.
II. Kemonotonan dan Kecekungan
Definisi
Andaikan f terdefinisi pada selang I ( buka, tutup, atau tak satupun ). Kita katakan bahwa :
(i) f naik pada I jika, untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I.
x1 < x2 → f (x1) < f(x2)
(ii) f turun pada I jika, untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 daalm I.
x1 > x2 → f (x1) > f(x2)
(iii) f monoton murni pada I jika f pada I atau turun pada I.
Teorema A. Teorema kemonotonan
Andaikan f kontinu pada selang I dan terdiferensiasi pada setiap titik-dalam dari I.
(i) jika f’ (x) > 0 untuk semua x titik-dalam I, maka f naik pada I.
(ii) jika f’ (x) < 0 untuk semua x titik-dalam, maka f turun pada I.
Teorema ini biasanya memperbolehkan kita untuk menentukrn secara persis
dimana suatu fungsi yang terdiferensiasikan naik dan dimana fungsi tersebut
turun. Ini merupakan masalah penyelesaian dua ketaksamaan.
Teorema B. Teorema kecekungan
Nadaikan f terdiferensiasikan dua kali pada selang buka I.
(i) jika f’’ (x) > 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung ke atas pada I.
(ii) jika f”’ (x) < 0 untuk semua x dalam I, f cekung ke bawah pada I.
Untuk kebanyakan fungsi , teorema ini mengubah masalah penentuan kecekungan
menjadi masalah penyelesaian ketaksamaan
Contoh soal
Anggaplah air dituangkan ke dalam wadah berbentuk kerucut, seperti yang diperlihatkan
dalam gambar 12, dengn laju konstan inci kubik perdetik. Tentukanlah ketinggian h sebagai
fungsi waktu t dan gambarlah plot h(t) dari waktu t = 0 sampai
waktu wadah tersebut terisi penuh dengan air.
2 in
4 in
Penyelesaian
Sebelum kita menyelesaikan masalah ini, pikirkanlah seperti apa grafik tersebut nantinya.
Pertama-tama, ketinggian akan meningkat dengan cepat, karena hanya diperlukan sedikit air
untuk mengisi dasarnya. Seiring wadah kerucut tersebut mulai terisi dengan air, ketinggian
meningkat agak lambat. Apakah yang dikatakan pernyataan-pernyataan ini mengenai fungsi
h(t), turunannya h’(t), dan turunannay keduanya h’’(t) ? sementara air dituangkan kedalam
kerucut, ketinggiannya akan bertambah barati h’(t) akan positif. Ketinggiannya akan
meningkat lebih lambat seiring ketinggian air yang bertambah. Jadi, fungsi h’(t) menurun,
sehingga h’’(t) negatif. Grafik h(t) kemudian bertambah (karena h’(t) positif) dan cekung ke
bawah (karena h’’(t) negatif).
Sekarang sekali kita telah memiliki ide intuitif mengenai apa jadinya grafik itu
( meningkat dan cekung ke bawah), kitaselesaikan masaalh ini secara analitis. Volume
kerucut yang tegak melingakar adalah V = , dengan V, r, dan h adalah fungsi-fungsi
waktu. Karena alian air ke dalam kerucut laju sebesar inci kubik per detik, fungsi V adalah
V = , di mana t diukur dalam detik. Fungsi-fungsi h dan r berhubungan ; perhatikanlah
segitiga-segitiga yang sama pada gambar.
2 in
4 in
h
Dengan menggunakan sifat-sifat dari segitiga yang sama, kita memperoleh jadi, r =
h/4.
Volume air di dalam kerucut , sebesar V =
Di sisi lain volumenya adalah V = t . dengan menyamakn kedua persamaan tersebut untuk V
maka
Pada saat h = 4, kita mempunyai t = = = 8,4
Jadi,diperlukan waktu sekitar 8,4 detik untuk mengisi wadah tersebut. Sekarang kita
selesaikan untuk h daalm persamaan di atas yang menyatakan relasi h dan t, menjadi h =
Turunan pertama dan kedua dari h adalah h’(t)= Dt =
Yang bernilai positif,dan
h’’(t) = D = - yang bernilia negative. Grafik h(t) ditunjukkan dalam
gambar di bawah. Seperti yang diharapkan grafik h meningkat dan cekung ke bawah.
200 v
150
100
50
0
1 2 3 4 t
III. Maksimum dan Minimum Lokal
Defenisi
i) f(a) dinamakan nilai maksimum lokal fungsi f di x=a bila mana terdapat selang terbuka I
yang memuat a, sehingga ; f(a) ³f(x) , " x € I dan titik (a,f(a)) dinamakan titik maksimum
lokal dari fungsi f.
(ii) f(a) dinamakan nilai minimum lokal fungsi f di x=a bila mana terdapat selang terbuka I
yang memuat a, sehingga ; f(a)£f(x) , " x € I dan titik (a,f(a)) dinamakan titik minimum
lokal dari fungsi f.
(iii) f(a) adalah nilai ekstrim lokal fungsi f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau
minimum lokal.
Dimana nilai-nilai ektrim terjadi ?
Teorema titik krisis berlaku sebaimana dinyataan, dengan ungkapan nilai ekstrim diganti oleh
nilai ektrim lokal. Jadi titik-titik krisis ( titik ujung, titik stasioner, titik singular ) adalah calon
untuk titik tempat kemungkinan terjadinya ektrim lokal. Kita katakan bahwa setiap titik kritis
harus merupakan ekstrim lokal.
Teorema 1
( Uji turunan pertama untuk ektrim lokal ). Misalkan fungsi f kontinu pada selang terbuka ( a,
b) yang memuat titik kritis c.
(i) Jika f’(x)>0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x)<0 untuk semua x dalam (c,b)
maka f(c) adalah nilai maksimum lokal fungsi f.
( ii) Jika f’(x)<0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x)>0 untuk semua x dalam (c,b)
maka f(c) adalah nilai minimum lokal fungsi f.
(iii) Jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ektrim lokal
fungsi f.
Contoh
Carilah nilai ektrim lokal dari f(x)= x2-6x+5 pada (-¥, ¥)
Penyelesaian ;
Perhatikan fungsi di atas adalah polinom, jadi fungsi tersebut kontinu dimana-mana.
Kemudian f’(x)=2x-6 ada untuk semua x. Jadi satu-satunya titik kritis untuk fungsi f adalah
penyelesaian tunggal dari f’(x)=0, yakni x=3.
Karena f’(x)=2(x-3)<0 untuk semua x<3, maka fungsi f turun pada (-¥,3] dan karena 2(x-
3)>0 untuk x>3, maka fungsi f naik pada [3,¥). Karena itu, menurut uji turunan pertama,
maka f(3)=-4 adalah nilai minimum lokal. Karena 3 adalah satu-satunya titik krisis, maka
tidak terdapat nilai ektrim lain.
Terdapat uji lain untuk maksimum lokal dan minimum lokal yang terkadang lebih
mudah diterapkan daripada uji pertama. Uji tersebut menyangkut perhitungan
turunan kedua pada titik stasioner, tidak berlaku pada titik singular.
Teorema 1
Misalkan f’ dan f” ada pada tiap titik dalam selang buka (a,b) yang memuat c sedemikian
sehingga f’(x)=0.
(i) jika f’(c)<0, maka f(c) adalah nilai maksimum lokal.
(ii) jika f’(c)>0, maka f(c) adalah nilai minimum lokal.
Contoh
Diketahui f(x)= x2-6x+5 definisi dari fungsi f. Gunakan uji coba turunan kedua untuk
menentukan nilai ektrim lokal.
Turunan pertama f’(x)=2x-6, maka titik krisisnya adalah x=3, selanjutnya dengan turunan
kedua f”(x)=2. Ini berarti nilai f di titik x=3, f(3)=-5 merupakan nilai minimum f.
IV. Lebih Banyak Masalah Maks-Min
Ekstrim pada Selang Terbuka
Contoh :
Carilah (jika mungkin) nilai maksimum dan minimum dari f(x)=x4-4x pada (-∞,∞).
Penyelesaian
F’(x) = 4x3-4 = 4(x3-1) = 4(x-1)(x2+x+1)
Karena x2+x+1=0 tidak mempunyai penyelesaian,bilangan real (rumus abc), maka hanya
terdapat satu titik kritis, yaitu x=1. Untuk x < 1, f ’(x)<0, sedang untuk x > 1, f ’(x)>0.
Kita menyimpulkan bahwa f(1)=-3 adalah nilai minimum lokal untuk f, dan karena f turun di
sebelah kiri 1 dan naik di sebelah kanan 1, memang benar merupakan nilai minimum dari f.
Fakta-fakta yang dinyatakan di atas menunjukkan bahwa f tidak mempunyai nilai maksimum.
Masalah-Masalah Praktis.
Contoh :
Sebuah surat edaran memuat 50cm2 bahan cetakan. Jalur bebas cetak di atas dan di bawah
selebar 4 cm dan di smaping kiri dan kanan selebar 2 cm. Berapakah ukuran surat edaran
tersebut yang memerlukan kertas sedikit mungkin?
Penyelesaian
Andaikan x adalah lebar dan y adalah tinggi surat edaran tersebut
Kita bermaksud meminimumkan A.
Seperti terlihat, A diungkapkan dalam bentuk dua peubah, situasi yang tidak kita ketahui
bagaimana menanganinya. Tetapi, kita akan mencari sebuah persamaan yang mengaitkan x
dan y sehingga satu dari peubah-peubah ini dapat dihilangkan dari ungkapan untuk A.
Ukuran bahan cetakan adalah x-4 dan y-8 dan luasnya adalah 50 cm2 , sehingga
(x-4)(y-8)=50. Bilamana kita selesaikan ini untuk y, kita peroleh
Dengan penggantian ungkapan ini untuk y dalam A = xy
yang memberikan A dalam x
Nilai-nilai x yang diperbolehkan adalah 4<x<∞ ; kita ingin
meminimumkan A pada selang buka (4,∞)
Sekarang
Titik-titik kritis hanya diperoleh dengan menyelesaikan ; ini menghasilkan x = 9
4cm
2 cm
4 cm
Dan x= -1, kita menolak x=-1 karena titik itu tidak berada dalam selang (4,∞) karena
dA/dx<0 untuk x dalam (4,9) dan dA/dx<0 untuk x dalam (9,∞), kita menyimpulkan A
mencapai nilai minimumnya pada x = 9, nilai x membuat y=18 (diperoleh dengan
mensubstitusikan ke dalam persamaan yang mengaitkan x dan y). Sehingga ukuran surat
edaran yang menggunakan kertas paling sedikit adalah 9 cm x 18 cm.
V. Penerapan Ekonomi
Setiap bidang ilmu mempunyai bahasanya sendiri-sendiri. Tentu saja ini benar untu bidang
ekonomi, yang mempunyai kosakata yang dikembagkan secara sangat khusus. Sekali kita
mempelajari kosakata ini, kita akan menemukan bahwa banyak masalah ekonomi sebenarnya
merupakan masalah kalkulus biasa yang dikenakan baju baru.
Tinjaulah sebuah perusahaan pada umumnya, PT ABC. Untuk memudahkan, anggap bahwa
ABC menghasilkan dan memasarkan sebuah barang . Jika ABC menjual x satuan barang
tahun ini, ABC akan mampu membebankan harga, p(x) untuk tiap satuan. Kita tunjukkan
bahwa p bergantung pada x karena bilamana ABC akan perlu mengurangi harga tiap satuan
agar dapat menjual seluruh hasil keluarannya. Pendapatan total yang dapat diharapkan ABC
diberikan oleh R(x) = xp(x) jumlah satuan kali harga tiap satuan.
Untuk memasarkan x satuan ABC akan mempunyai biay total, C(x) ini biasanya beruapa
jumlah dari biaya tetap ditambah biaya tidak tetap, yang secara langsung bergantung pada
banyanya satuan yang diproduksi.
Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba. P(x) Laba adalah selisih antara
pendapatan dan biaya yakni:
P(x) = R(x)- C(x) = xp(x) – C(x)
PENGUNAAN KATA MARJINAL
Andaikan ABC mengetahui fungsi biayanya C(x) dan untuk sementra merencanakan
memproduksi 2000 satuan tahun ini. Direktut utama Toko Buku Karisma ingin menetapkan
biaya tambahan tiap satuan jika ABC memperbesar produksinya sedikit. Misalnya, apakah itu
akan kurang dari pendapatan tambahan tiap satuan? Jika demikian akan merupakan
pertimbangan ekonomi yang baik untuk memperbesar produksinya.
Jika fungsi biaya adalah seperti diperlihatkan dalam gambar. Direktur utama took buku
menanyakan nilai ∆C/∆x pada saat ∆x = 1. Tetaoi kita mengharapkan bahwa ini sangat dekat
terhadap nilai
Pada saat x = 2000, ini disebut biaya marjinal. Para matematikawan mengenalnya sebagai
dC/dx, turunan C terhadap x.
Dengan cara yang serupa kita definisikan Harga marjinal sebagai dp/dx,
pendapatan merjinal sebagai dR/dx, dan laba marjinal sebagai dP/dx.
Contoh
Sebuah perusahaan memperkirakan akan dapat menjual 1000 satuan tiap minggu jika
menetapkan harga satuan sebesar $ 3,00 tetapi penjualan mingguannya akan meningkat 100
satuan dengan tiap penurunan harga sebesar $ 0,10. Jika x banyaknya satuan yang terjual tiap
minggu (≥ 1000), cari:
(a) Fungsi harga ,p(x);
(b) Banyaknya satuan dan harga yang berpadanan yang akan memaksimumkan
pendapatan mingguan;
(c) Pendapatan mingguan dan maksimum.
Penyelesaian
a. Kita mengenal bahwa =
x= 1000+ (100)
atau
p(x) = 3,00 – (0,10) = 4 – 0,001x
b. R(x) = xp(x) = 4x – 0,001x+2
= 4 – 0,002x
Titik-titik kritis hanyalah titik ujung 100 dan titik stationer 2000, yang diperoleh dengan menetapkan dR/dx= 0. Uji turunan pertama (R’(x) >0 untuk 1000 ≤ 2000 dan R’(x) < 0 untuk x > 2000 memperlihatkan bahwa x = 2000 memberikan pendapatan maksimum. Ini berpadanan terhadap harga satuan p(2000) =$ 2,00
c. Pendapatan mingguan maksimum adalah R(2000) = $ 4000,00