Pertemuan Kedelapan ( KEMENCENGAN ATAU KEMIRINGAN (SKEWNESS)) Kemencengan atau kemiringan (skewness) adalah tingkat ketidaksimetrisan atau kejauhan simetri dari sebuah distribusi. Sebuah distribusi yang tidak simetris akan memiliki rata-rata, median, dan modus yang tidak sama besarnya sehingga distribusi akan terkonsentrasi pada salah satu sisi dan kurvanya akan menceng. Jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kanan daripada yang ke kiri maka distribusi disebut menceng ke kanan atau memiliki kemencengan positif. Sebaliknya, jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kiri daripada yang ke kanan maka distribusi disebut menceng ke kiri atau memiliki kemencengan negatif. Berikut ini gambar kurva dari disribusi yang menceng ke kanan (menceng positif) dan menceng ke kiri (menceng negatif).Untuk mengetahui bahwa konsentrasi distribusi menceng ke kanan atau menceng ke kiri, dapat digunakan metode-metode berikut:Cara Pertama : Dengan Koefisien Kemiringan PearsonKoefisien kemiringan Pearson merupakan nilai selisih rata-rata dengan modus dibagi simpangan baku. Koefisien kemiringan Pearson dirumuskan:Keterangan:koefisien kemenangan Pearson Apabila secara empiris didapatkan hubungan antarnilai pusat sebagai:Maka rumus kemencengan di atas dapat diubah menjadiJika nilai dihubungkan dengan keadaan kurva maka diperoleh: kurva memiliki bentuk simetris nilai-niai terkonsentrasi pada sisi sebelah kanan ( terletak di sebelah kanan , sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kanan, kurva menceng ke kanan atau menceng positif; nilai-niai terkonsentrasi pada sisi sebelah kiri ( terletak di sebelah kiri , sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kiri, kurva menceng ke kiri atau menceng negatif.Contoh: Tabel 4. 5 Nilai Ujian Statistik Semester II STMIK Raharja tahun 2010Nilai Ujian Frekuensi 31 4041 5051 6061 7071 8081 9091 100 43581172Jumlah 40Tentukan nilai sk dan ujilah arah kemiringannya serta gambar grafiknya!Nilai31 4041 5051 6061 7071 8081 9091 100 35,545,555,565,575,585,595,5 43581172 -4-3-2-1012 16941014 -16-9-10-8074 6427208078Jumlah 40 -32 1341.2.Oleh karena nilai sk-nya negatif (-0,46 atau -0,56) maka kurvanya menceng ke kiri atau menceng negatif.Gambar 4.2. Kurva miring ke kiri untuk nilai ujian statistik 40 mahasiswa.Cara Kedua: Dengan Koefisien Kemiringan BowleyBowley juga telah mengembangkan rumus yang cukup sederhana untuk menghitung derajat kemiringan distribusi data, dengan menggunakan nilai kuartil bawah, kuartil tengah, dan kuartil atas. Dengan kata lain perhitungan koefisien kemiringan Bowley didasarkan pada hubungan kuartil-kuartil dari sebuah distribusi. Koefisien kemiringan Bowley dirumuskan:Dimana:koefisien kemencengan Bowley kuartil Koefisien kemencengan Bowley sering juga disebut Kuartil Koefisien Kemencengan. Apabila nilai dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan: Jika maka distrtibusi akan menceng ke kanan atau menceng secara positif. Jika maka distribusi akan menceng ke kiri atau menceng secara negatif. positif, berarti distribusi menceng ke kanan. negatif, berarti distribusi menceng ke kiri. menggambarkan distribusi yang menceng tidak berarti dan menggambarkan kurva yang menceng berarti. Contoh : Tentukan kemiringan kurva dari distribusi frekuensi berikut!Tabel 4. 6. Nilai Ujian Aljabar Linear I Dari 111 Mahasiswa Raharja.Nilai Ujian Frekuensi20.00 29,9930,00 39,9940,00 49,9950,00 59,9960,00 69,9970,00 79,99 492540285Jumlah 111Jawab:Kelas kelas ke-3Kelas kelas ke-4Kelas kelas ke-5Karena negatif (=-0,06), kurva miring ke kiri dengan kemencengan yang berarti.Cara Ketiga : Dengan Koefisien Kemiringan PersentilKoefisien kemencengan persentil didasarkan atas hubungan antarpersentil dari sebuah distribusi. Koefisien kemencengan persentil dirumuskan:Keterangan:koefisien kemencengan persentilpersentilContoh :Tentukan nilai dari distribusi frekuensi berikut!Tabel 4.7. Besarnya Gaji 65 Karyawan Perusahaan Argo PantesGaji (ratusan ribu / minggu) Frekuensi250,00 259,99260,00 269,99270,00 279,99280,00 289,99290,00 299,99300,00 309,99310,00 319,99 81016141052Jumlah 65Jawab:Kelas kelas ke-6Kelas kelas ke-3Kelas kelas ke-1Cara Keempat: Dengan Koefisien Kemencengan MomenCara lain yang digunakan untuk menghitung derajat kemiringan distribusi data adalah dengan menggunakan rumus koefisien kemiringan momen atau rumus momen berderajat tiga. Koefisien kemencengan momen didasarkan pada perbandingan momen ke-3 dengan pangkat tiga simpangan baku. Koefisien kemencengan momen dilambangkan dengan Koefisien kemencengan momen disebut juga kemencengan relatif. Apabila nilai dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan: Untuk distribusi simetris (normal), nilai Untuk distribusi menceng ke kanan, nilai Untuk distribusi menceng ke kiri, nilai Menurut Karl Pearson, distribusi yang memiliki adalah distribusi yang sangat menceng. Menurut Kenney dan Keeping, nilai bervariasi antara bagi distribusi yang menceng.Untuk mencari nilai , dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok.Untuk data tunggalKoefisien kemencengan momen untuk data tunggal dirumuskan:Keterangan:koefisien kemencengan momen Contoh : Tentukan nilai dari data: 2, 3, 5, 9, 11!Jawab:235911 -4-3-135 1691925 6427127125Jumlah 60 244Untuk data berkelompokKoefisien kemiringan momen untuk data berkelompok dirumuskan:atauDalam pemakaiannya, rumus kedua lebih praktif dan lebih mudah perhitungannya.Contoh: Tentukan tingkat kemiringan dari distribusi frekuensi di bawah ini!Tabel 4.8. Data Usia Peserta Keluarga Berencana DI 10 Klinik.Usia Peserta Frekuensi15 1920 2425 2930 3435 3940 44 12943412412Jumlah 150Jawab:Usia15 1920 2425 2930 3435 3940 44 172227323742 12943412412 -2-10123 -2-290414836 42904196108 -8-29041192324Jumlah 150 94 278 520Jika digunakan rumus pertama maka mencari maka hasilnya akan sama. Dari perhitungan-perhitungan didapat:

KERUNCINGAN DISTRIBUSI DATA(KURTOSIS)Satu lagi yang perlu kita pelajari dari statistika deskriptif, yaitu keruncingan distribusi data. Ukuran keruncingan distribusi data adalah derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya data. Dengan kata lain, keruncingan atau kurtosis adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi yang biasanya diambil secara relatif terhadap suatu distribusi normal. Berdasarkan keruncingan, kurva distribusi dapat dibedakan atas tiga macam, yaitu sebagai berikut: Leptokurtik. Leptokurtik merupakan distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi. Platikurtik. Platikurtik merupakan distribusi yang memiliki puncak hamper mendatar. Mesokurtik. Mesokurtik merupakan distribusi yang memiliki puncak tidak tinggi dan tidak mendatar.Bila distrilbusinya merupakan distribusi simetris maka distribusi mesokurtik dianggap sebagai distribusi normal.Gambar 4.3. Keruncingan kurvaUntuk mengetahui keruncingan suatu distribusi, ukuran yang sering digunakan adalah koefisien keruncingan dan koefisien kurtosis persentil.Koefisien Keruncingan Koefisien keruncingan atau koefisien kurtosis dilambangkan dengan (alpha 4). Jika hasil perhitungan koefisien keruncingan diperoleh: Nilai lebih kecil dari 3, maka distribusinya adalah distribusi platikurtik; Nilai lebih besar dari 3, maka distribusinya adalah distribusi leptokurtik; Nilai yang sama dengan 3, maka distribusinya adalah distribusi mesokurtik.Nilai koefisien keruncingan, dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok.Untuk data tunggal:Contoh :Tentukan keruncingan kurva dari data: 2, 3, 6, 8, 11!Jawab:236811 -4-3025 25681016625Jumlah 0 978Karena nilainya lebih kecil dari 3 = (1,08) maka distribusinya adalah distribusi platikurtik.Untuk data berkelompokContoh : Berikut ini distrbusi frekuensi dari pengukuran diameter pipa.Diameter (mm) Frekuensi65 6768 7071 7374 7677 7980 82 25131442Jumlah 40Tentukan nilai koefisien keruncingannya dan bentuknya serta gambarkan grafiknya!Jawab: Dari perhitungan diperoleh nilai666972757881 25131442 -7,425- 4,425-1,4251,5754,5757,575 3.039,3858383,40094,12346,1535438,09113.292,5361 6.078,77161.917,004453,604786,14901.752,36426.585,0722Jumlah 40 16.472,9661Dengan rumus kedua, perhitungan adalah sebagai berikut.Diameter65 6768 7071 7374 7677 7980 82 666972757881 25131442 -3-2-1012 941014 -27-8-1018 811610116 -6-10-13044 182013048 -54-40-130416 16280130432Jumlah 40 -21 63 -87 291Karena nilainya hampir sama atau sama dengan 3 maka bentuk kurvanya adalah mesokurtik.Gambar grafiknya adalah:Gambar 4.4. Keruncingan kurva bagi diameter pipa Koefisien Kurtosis PersentilKoefisien kurtosis Persentil dilambangkan dengan (kappa). Untuk distribusi normal, nilai Koefisien kurtosis Persentil, dirumuskan:Contoh : Berikut tabel distribusi frekuensi tinggi 100 mahasiswa STMIK Raharja. Tentukan koefisien kurtosis persentil dan tentukan pula apakah distribusinya termasuk distribusi normal?Tinggi (inci) Frekuensi60 6263 6566 6869 7172 74 51842278Jumlah 100Jawab:Kelas kelas ke-3Kelas kelas ke-4Kelas kelas ke-2Kelas kelas ke-4Karena nilai maka distribusinya bukan distribusi normal.BILANGANZ-Skor merupakan suatu konsep bilangan yang banyak dipergunakan untuk memecahkan berbagai masalah statistik. Z-skor menunjukkan perbandingan penyimpangan sebuah skor dari rata-rata hitung terhadap simpangan baku. Dari sampel yang berukuran data dengan rata-rata dari simpangan baku , dapat dibentuk data baru, yaitu dengan menggunakan bilangan . Nilai dapat dicari dengan rumus:Variabel (data baru) , ternyata memiliki rata-rata 0 dan simpangan baku 1. Dalam penggunaannya, bilangan sering diubah menjadi distribusi yang baru dengan rata-rata dan simpangan baku Angka yang diperoleh dengan cara itu disebut angka standar atau angka baku, dengan rumus:Jika dan maka:Jadi, angka menjadi bilangan standar atau bilangan baku, atau bilangan z.Contoh iketahui data 5, 4, 8, 7, 1. Buatlah data baru dengan menggunakan bilangan buktikan bahwa data baru memiliki rata-rata 0 dan s = 1 !Penyelesaian: dan54871 0-132-4 019416Data baru yang terbentuk adalahRata-rata dan simpangan bakunya adalah 0-0,3651,0950,730-1,460 0-0,3651,0950,730-1,460 00,1331,1990,5332,132jumlah 4 (dibulatkan)Contoh soal: Dua perusahan A dan B masing-masing memperoleh laba sebesar Rp45.000,00 dan Rp37.500,00 dalam bulan yang sama. Jika laba rata-rata perusahaan A sebesar Rp32.000,00 dengan simpangan baku Rp8.500,00 dan perusahaan B sebesar Rp26.000,00 dengan simpangan baku Rp5.500,00 perusahaan manakah yang memiliki prestasi lebih baik?

Jawab:Dengan memperhatikan bilanan pada masing-masing perusahaan, dapat diambil kesimpulan bahwa perusahaan B memiliki prestasi yang lebih baik daripada perusahaan A. hal itu disebabkan nilai untuk berusahaan B lebih besar daripada nilai untuk perusahaan A. Jika nilai-nilai di atas diubah ke dalam angka baku dengan rata-rata Rp29.000,00 dan simpangan baku Rp7.000,00 maka: Untuk perusahaanUntuk perusahaanJadi, berdasarkan distribusi baru di atas, perusahaan B memperlihatkan nilai yang lebih tinggi (Rp43.630,00) dibandingkan dengan perusahaan A (Rp39.710,00).Evaluasi Pertemuan 6, Pertemuan 7 dan Pertemuan 81. Apa yang dimaksud dengan: Jangkauan dan jangkauan antarkuartil Dispersi absolut dan dispersi relatif. Varians dan simpangan baku. Koefisien variasi2. Terangkah dengan singkat kegunaan dari ukuran dispersi absolut dan dispersi relatif!3. a. Apa yang dimaksud dengan derajat kemiringan distribusi data?.b. Sebutkan jenis-jenis derajat kemiringan distribusi data?.c. Berikan penjelasan mengenai keterkaitan antara derajat kemiringan distribusi data dengan letak rata-rata hitung, median dan modus?.d. Sebutkan beberapa cara untuk menghitung derajat kemiringan distribusi data?4. a. Apa yang dimaksud dengan kurtosis?.b. Sebutkan dan jelaskan jenis-jenis derajat keruncingan distribusi data?.5. Diketahui dua kelompok data berikut:Kelompok data 1 : 7, 4, 10, 9, 15, 12, 12, 7, 9, 7 Kelompok data 2 : 8, 11, 4, 3, 2, 5, 10, 6, 4, 1, 10, 8, 12, 6, 5, 7 Untuk masing-masing kelompok data tersebut:a.Tentukanlah:(1) Simpangan rata-rata;(2) Variansi;(3) Standar deviasi;(4) Koefisien variasi!

b. Tentukanlah derajat kemiringan distribusi data tersebut dan jenis kemiringan dengan cara berikut:

(1) Koefisien kemiringan Pearson(2) Koefisien kemiringan momen berderajat tiga(3) Koefisien kemiringan Bowley4. Jumlah kecelakaan pada pabrik ditunjukkan pada tabel berikut. Rata-Rata Kecelakaan Jumlah Pabrik1,5 1,71,8 2,02,1 2,32,4 2,62,7 2,93,0 3,2 31214975Jumlah 50a. Tentukan koefisien variasinya!b. Tentukan kemencengan dan jenis kurvanya!c. Tentukan keruncingan dan jenis kurvanya!5. Tentukan jarak, simpangan kuartil, deviasi rata-rata, varians, dan simpangan baku dari data-data berikut!a. 7, 4, 5, 3, 8, 6, 7b. 8,772; 6,453; 10,163; 8,542; 9,635; 6,325c. -3, -2, -5, -6, -8, -1, -3, -7d. .Kelas Frekuensi600 699700 799800 89951524463316116. Seorang pengamat ekonomi ingin meneliti dampak krisis ekonomi terhadap pendapatan masyarakat di Kabupaten Pasuruan. Untuk itu diambil sampel secara acak masing-masing sebanyak 16 rumah tangga di dua desa dan ditanya berapa pendapatan per minggunya. Data hasil penelitian di dua desa tersebut (dalam ribuan rupiah) adalah sebagai berikut:Penduduk desa I : 19 18 18 19 18 19 19 1818 19 17 20 16 17 22 18Penduduk desa II: 18 17 17 18 18 17 18 1717 18 18 19 20 21 20 17Berdasarkan data tersebut, tentukanlah:a. Rata-rata dan standar deviasi pendapatan rumah tangga di desa tersebut.b. Koefisien variasi dua kelompok data tersebut.c. Penduduk desa mana yang mempunyai pendapatan lebih merata.7. Sebuah lampu pijar memiliki rata-rata pemakaian 3.500 jam dengan simpangan baku 1.050 jam. Lampu pijar lain memiliki rata-rata pemakaian 9.000 jam dengan simpangan baku 2.000 jam.a. Tentukan koefisien variasi kedua lampu tersebut!b. Yang manakah dari kedua lampu itu yang memiliki variasi ketahanan lebih baik?8. Seorang mahasiswa mendapat nilai 85 pada ujian akhir statistik dengan rata-rata dan simpangan baku kelompok 78 dan 10. Ujian akhir matematika dengan rata-rata dan simpangan baku kelompok masing-masing 82 dan 16, ia mendapat nilai 90. Pada mata ujian manakah, mahasiswa tersebut mencapai kedudukan lebih baik?9. Dari data berikut : 2, 8, 10, 4, 1a. Buat data baru dengan menggunakan bilangan Z !b. Buktikan bahwa data baru memiliki rata-rata 0 dan simpangan baku 1 !10. Dua kelompok mahasiswa, kelompok I sebanyak 16 orang dan kelompok II sebanyak 15 orang, mendapat nilai statistik I, sebagai berikut:Kelompok I = 25 30 45 48 50 60 65 70 74 78 80 85 91 92 94 95Kelompok II = 20 36 45 50 50 51 52 54 60 65 66 68 67 80 95Periksalah, apakah di antara kedua kelompok nilai tersebut terdapat nilai pencilan?11. Apabila:Tentukan12. Dengan menggunakan distribusi frekuensi berikut:Kelas Frekuensi0 45 910 1415 1920 24 271263a. Tentukan jaraknya.b. Hitung deviasi standarnya.c. Berapa variansnya.13. Dengan menggunakan data soal Nomor 12.a. Berapa nilai kuartil pertama.b. Berapa nilai kuartil ketiga.c. Berapa jarak inter-kuartil.d. Berapa deviasi kuartilnya.14. Dengan menggunakan data soal nomor 12.a. Berapa nilai koefisien variasinya.b. Berapa nilai koefisien kemiringannya.c. Berapa nilai koefisien keruncingannya.Soal nomor 15 18 didasarkan pada statistik hasil pengukuran daya regangan kawat 2 perusahaan A dan B sebagai berikut:Statistik Perusahaan A Perusahaan BRata-rata hitung 500 600Median 500 500Modus 500 300Deviasi standar 40 20Deviasi rata-rata 32 16Deviasi kuartil 25 14Jarak 240 120Banyaknya sampel 100 8015. Berapa nilai koefisien variasi perusahaan A dan B?.16. Distribusi perusahaan mana yang mempunyai dispersi yang besar? Jelaskan.17. Berapa varians distribusi perusahaan A dan B?.18. 50 % kawat perusahaan A, kira-kira berada di antara dua nilai berapa?.19. Persentase penduduk berumur 10 tahun ke atas yang bekerja menurut jam kerja selama seminggu.Jam Kerja Persentase0 910 1920 2930 3940 4950 5960 69 26222723155a. Carilah rata-rata, median, dan modus jam kerja.b. Hitung tingkat kemiringan dan keruncingan.20. Perhatikan tabel berikut !Nilai31 4041 5051 6061 7071 8081 9091 100 12515252012 35,545,555,565,575,585,595,5Jumlah 80 -Buatlah nilai ujian menjadi angka baku!21. Tentukan kemencengan dan keruncingan distribusi frekuensi berikut, gunakan rumus koefisien kemencengan momen!Berat Badan Frekuensi35 3940 4445 4950 5455 5960 6465 69 491210983Kemencengan atau kemiringan (skewness) adalah tingkat ketidaksimetrisan atau kejauhan simetri dari sebuah distribusi. Sebuah distribusi yang tidak simetris akan memiliki rata-rata, median, dan modus yang tidak sama besarnya sehingga distribusi akan terkonsentrasi pada salah satu sisi dan kurvanya akan menceng. Jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kanan daripada yang ke kiri maka distribusi disebut menceng ke kanan atau memiliki kemencengan positif. Sebaliknya, jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kiri daripada yang ke kanan maka distribusi disebut menceng ke kiri atau memiliki kemencengan negatif.Berikut ini gambar kurva dari disribusi yang menceng ke kanan (menceng positif) dan menceng ke kiri (menceng negatif).Untuk mengetahui bahwa konsentrasi distribusi menceng ke kanan atau menceng ke kiri, dapat digunakan metode-metode berikut:Cara Pertama : Dengan Koefisien Kemiringan PearsonKoefisien kemiringan Pearson merupakan nilai selisih rata-rata dengan modus dibagi simpangan baku. Koefisien kemiringan Pearson dirumuskan:Keterangan:koefisien kemenangan PearsonApabila secara empiris didapatkan hubungan antarnilai pusat sebagai:Maka rumus kemencengan di atas dapat diubah menjadiJika nilai dihubungkan dengan keadaan kurva maka diperoleh: kurva memiliki bentuk simetris nilai-niai terkonsentrasi pada sisi sebelah kanan ( terletak di sebelah kanan , sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kanan, kurva menceng ke kanan atau menceng positif; nilai-niai terkonsentrasi pada sisi sebelah kiri ( terletak di sebelah kiri , sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kiri, kurva menceng ke kiri atau menceng negatif.Contoh: Tabel 4. 5 Nilai Ujian Statistik Semester II STMIK Raharja tahun 2010Nilai Ujian Frekuensi31 4041 5051 6061 7071 8081 9091 100 43581172Jumlah 40Tentukan nilai sk dan ujilah arah kemiringannya serta gambar grafiknya!Nilai31 4041 5051 6061 7071 8081 9091 100 35,545,555,565,575,585,595,5 43581172 -4-3-2-1012 16941014 -16-9-10-8074 6427208078Jumlah 40 -32 1341.2.Oleh karena nilai sk-nya negatif (-0,46 atau -0,56) maka kurvanya menceng ke kiri atau menceng negatif.Gambar 4.2. Kurva miring ke kiri untuk nilai ujian statistik 40 mahasiswa.Cara Kedua: Dengan Koefisien Kemiringan BowleyBowley juga telah mengembangkan rumus yang cukup sederhana untuk menghitung derajat kemiringan distribusi data, dengan menggunakan nilai kuartil bawah, kuartil tengah, dan kuartil atas. Dengan kata lain perhitungan koefisien kemiringan Bowley didasarkan pada hubungan kuartil-kuartil dari sebuah distribusi. Koefisien kemiringan Bowley dirumuskan:Dimana:koefisien kemencengan BowleykuartilKoefisien kemencengan Bowley sering juga disebut Kuartil Koefisien Kemencengan. Apabila nilai dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan: Jika maka distrtibusi akan menceng ke kanan atau menceng secara positif. Jika maka distribusi akan menceng ke kiri atau menceng secara negatif. positif, berarti distribusi menceng ke kanan. negatif, berarti distribusi menceng ke kiri. menggambarkan distribusi yang menceng tidak berarti dan menggambarkan kurva yang menceng berarti.Contoh : Tentukan kemiringan kurva dari distribusi frekuensi berikut!Tabel 4. 6. Nilai Ujian Aljabar Linear I Dari 111 Mahasiswa Raharja.Nilai Ujian Frekuensi20.00 29,9930,00 39,9940,00 49,9950,00 59,9960,00 69,9970,00 79,99 492540285Jumlah 111Jawab:Kelas kelas ke-3Kelas kelas ke-4Kelas kelas ke-5Karena negatif (=-0,06), kurva miring ke kiri dengan kemencengan yang berarti.Cara Ketiga : Dengan Koefisien Kemiringan PersentilKoefisien kemencengan persentil didasarkan atas hubungan antarpersentil dari sebuah distribusi. Koefisien kemencengan persentil dirumuskan:Keterangan:koefisien kemencengan persentilpersentilContoh :Tentukan nilai dari distribusi frekuensi berikut!Tabel 4.7. Besarnya Gaji 65 Karyawan Perusahaan Argo PantesGaji (ratusan ribu / minggu) Frekuensi250,00 259,99260,00 269,99270,00 279,99280,00 289,99290,00 299,99300,00 309,99310,00 319,99 81016141052Jumlah 65Jawab:Kelas kelas ke-6Kelas kelas ke-3Kelas kelas ke-1Cara Keempat: Dengan Koefisien Kemencengan MomenCara lain yang digunakan untuk menghitung derajat kemiringan distribusi data adalah dengan menggunakan rumus koefisien kemiringan momen atau rumus momen berderajat tiga. Koefisien kemencengan momen didasarkan pada perbandingan momen ke-3 dengan pangkat tiga simpangan baku. Koefisien kemencengan momen dilambangkan dengan Koefisien kemencengan momen disebut juga kemencengan relatif.Apabila nilai dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan: Untuk distribusi simetris (normal), nilai Untuk distribusi menceng ke kanan, nilai Untuk distribusi menceng ke kiri, nilai Menurut Karl Pearson, distribusi yang memiliki adalah distribusi yang sangat menceng. Menurut Kenney dan Keeping, nilai bervariasi antara bagi distribusi yang menceng.Untuk mencari nilai , dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok.Untuk data tunggalKoefisien kemencengan momen untuk data tunggal dirumuskan:Keterangan:koefisien kemencengan momenContoh : Tentukan nilai dari data: 2, 3, 5, 9, 11!Jawab:235911 -4-3-135 1691925 6427127125Jumlah 60 244Untuk data berkelompokKoefisien kemiringan momen untuk data berkelompok dirumuskan:atauDalam pemakaiannya, rumus kedua lebih praktif dan lebih mudah perhitungannya.Contoh: Tentukan tingkat kemiringan dari distribusi frekuensi di bawah ini!Tabel 4.8. Data Usia Peserta Keluarga Berencana DI 10 Klinik.Usia Peserta Frekuensi15 1920 2425 2930 3435 3940 44 12943412412Jumlah 150Jawab:Usia15 1920 2425 2930 3435 3940 44 172227323742 12943412412 -2-10123 -2-290414836 42904196108 -8-29041192324Jumlah 150 94 278 520Jika digunakan rumus pertama maka mencari maka hasilnya akan sama. Dari perhitungan-perhitungan didapat:KERUNCINGAN DISTRIBUSI DATA(KURTOSIS)Satu lagi yang perlu kita pelajari dari statistika deskriptif, yaitu keruncingan distribusi data. Ukuran keruncingan distribusi data adalah derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya data. Dengan kata lain, keruncingan atau kurtosis adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi yang biasanya diambil secara relatif terhadap suatu distribusi normal. Berdasarkan keruncingan, kurva distribusi dapat dibedakan atas tiga macam, yaitu sebagai berikut: Leptokurtik. Leptokurtik merupakan distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi. Platikurtik. Platikurtik merupakan distribusi yang memiliki puncak hamper mendatar. Mesokurtik. Mesokurtik merupakan distribusi yang memiliki puncak tidak tinggi dan tidak mendatar.Bila distrilbusinya merupakan distribusi simetris maka distribusi mesokurtik dianggap sebagai distribusi normal.Gambar 4.3. Keruncingan kurvaUntuk mengetahui keruncingan suatu distribusi, ukuran yang sering digunakan adalah koefisien keruncingan dan koefisien kurtosis persentil.Koefisien KeruncinganKoefisien keruncingan atau koefisien kurtosis dilambangkan dengan (alpha 4). Jika hasil perhitungan koefisien keruncingan diperoleh: Nilai lebih kecil dari 3, maka distribusinya adalah distribusi platikurtik; Nilai lebih besar dari 3, maka distribusinya adalah distribusi leptokurtik; Nilai yang sama dengan 3, maka distribusinya adalah distribusi mesokurtik.Nilai koefisien keruncingan, dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok.Untuk data tunggal:Contoh :Tentukan keruncingan kurva dari data: 2, 3, 6, 8, 11!Jawab:236811 -4-3025 25681016625Jumlah 0 978Karena nilainya lebih kecil dari 3 = (1,08) maka distribusinya adalah distribusi platikurtik.Untuk data berkelompokContoh : Berikut ini distrbusi frekuensi dari pengukuran diameter pipa.Diameter (mm) Frekuensi65 6768 7071 7374 7677 7980 82 25131442Jumlah 40Tentukan nilai koefisien keruncingannya dan bentuknya serta gambarkan grafiknya!Jawab: Dari perhitungan diperoleh nilai666972757881 25131442 -7,425- 4,425-1,4251,5754,5757,575 3.039,3858383,40094,12346,1535438,09113.292,5361 6.078,77161.917,004453,604786,14901.752,36426.585,0722Jumlah 40 16.472,9661Dengan rumus kedua, perhitungan adalah sebagai berikut.Diameter65 6768 7071 7374 7677 7980 82 666972757881 25131442 -3-2-1012 941014 -27-8-1018 811610116 -6-10-13044 182013048 -54-40-130416 16280130432Jumlah 40 -21 63 -87 291Karena nilainya hampir sama atau sama dengan 3 maka bentuk kurvanya adalah mesokurtik.Gambar grafiknya adalah:Gambar 4.4. Keruncingan kurva bagi diameter pipaKoefisien Kurtosis PersentilKoefisien kurtosis Persentil dilambangkan dengan (kappa). Untuk distribusi normal, nilai Koefisien kurtosis Persentil, dirumuskan:Contoh : Berikut tabel distribusi frekuensi tinggi 100 mahasiswa STMIK Raharja. Tentukan koefisien kurtosis persentil dan tentukan pula apakah distribusinya termasuk distribusi normal?Tinggi (inci) Frekuensi60 6263 6566 6869 7172 74 51842278Jumlah 100Jawab:Kelas kelas ke-3Kelas kelas ke-4Kelas kelas ke-2Kelas kelas ke-4Karena nilai maka distribusinya bukan distribusi normal.BILANGANZ-Skor merupakan suatu konsep bilangan yang banyak dipergunakan untuk memecahkan berbagai masalah statistik. Z-skor menunjukkan perbandingan penyimpangan sebuah skor dari rata-rata hitung terhadap simpangan baku. Dari sampel yang berukuran data dengan rata-rata dari simpangan baku , dapat dibentuk data baru, yaitu dengan menggunakan bilangan . Nilai dapat dicari dengan rumus:Variabel (data baru) , ternyata memiliki rata-rata 0 dan simpangan baku 1. Dalam penggunaannya, bilangan sering diubah menjadi distribusi yang baru dengan rata-rata dan simpangan baku Angka yang diperoleh dengan cara itu disebut angka standar atau angka baku, dengan rumus:Jika dan maka:Jadi, angka menjadi bilangan standar atau bilangan baku, atau bilangan z.Contoh iketahui data 5, 4, 8, 7, 1. Buatlah data baru dengan menggunakan bilangan buktikan bahwa data baru memiliki rata-rata 0 dan s = 1 !Penyelesaian: dan54871 0-132-4 019416Data baru yang terbentuk adalahRata-rata dan simpangan bakunya adalah0-0,3651,0950,730-1,460 0-0,3651,0950,730-1,460 00,1331,1990,5332,132jumlah 4 (dibulatkan)Contoh soal:Dua perusahan A dan B masing-masing memperoleh laba sebesar Rp45.000,00 dan Rp37.500,00 dalam bulan yang sama. Jika laba rata-rata perusahaan A sebesar Rp32.000,00 dengan simpangan baku Rp8.500,00 dan perusahaan B sebesar Rp26.000,00 dengan simpangan baku Rp5.500,00 perusahaan manakah yang memiliki prestasi lebih baik?Jawab:Dengan memperhatikan bilanan pada masing-masing perusahaan, dapat diambil kesimpulan bahwa perusahaan B memiliki prestasi yang lebih baik daripada perusahaan A. hal itu disebabkan nilai untuk berusahaan B lebih besar daripada nilai untuk perusahaan A. Jika nilai-nilai di atas diubah ke dalam angka baku dengan rata-rata Rp29.000,00 dan simpangan baku Rp7.000,00 maka:Untuk perusahaanUntuk perusahaanJadi, berdasarkan distribusi baru di atas, perusahaan B memperlihatkan nilai yang lebih tinggi (Rp43.630,00) dibandingkan dengan perusahaan A (Rp39.710,00).Evaluasi Pertemuan 6, Pertemuan 7 dan Pertemuan 81. Apa yang dimaksud dengan: Jangkauan dan jangkauan antarkuartil Dispersi absolut dan dispersi relatif. Varians dan simpangan baku. Koefisien variasi2. Terangkah dengan singkat kegunaan dari ukuran dispersi absolut dan dispersi relatif!3. a. Apa yang dimaksud dengan derajat kemiringan distribusi data?.b. Sebutkan jenis-jenis derajat kemiringan distribusi data?.c. Berikan penjelasan mengenai keterkaitan antara derajat kemiringan distribusidata dengan letak rata-rata hitung, median dan modus?.d. Sebutkan beberapa cara untuk menghitung derajat kemiringan distribusi data?4. a. Apa yang dimaksud dengan kurtosis?.b. Sebutkan dan jelaskan jenis-jenis derajat keruncingan distribusi data?.5. Diketahui dua kelompok data berikut:Kelompok data 1 : 7, 4, 10, 9, 15, 12, 12, 7, 9, 7Kelompok data 2 : 8, 11, 4, 3, 2, 5, 10, 6, 4, 1, 10, 8, 12, 6, 5, 7Untuk masing-masing kelompok data tersebut:a. Tentukanlah:(1) Simpangan rata-rata;(2) Variansi;(3) Standar deviasi;(4) Koefisien variasi!b. Tentukanlah derajat kemiringan distribusi data tersebut dan jenis kemiringan dengan cara berikut:(1) Koefisien kemiringan Pearson(2) Koefisien kemiringan momen berderajat tiga(3) Koefisien kemiringan Bowley4. Jumlah kecelakaan pada pabrik ditunjukkan pada tabel berikut.Rata-Rata Kecelakaan Jumlah Pabrik1,5 1,71,8 2,02,1 2,32,4 2,62,7 2,93,0 3,2 31214975Jumlah 50a. Tentukan koefisien variasinya!b. Tentukan kemencengan dan jenis kurvanya!c. Tentukan keruncingan dan jenis kurvanya!5. Tentukan jarak, simpangan kuartil, deviasi rata-rata, varians, dan simpangan baku dari data-data berikut!a. 7, 4, 5, 3, 8, 6, 7b. 8,772; 6,453; 10,163; 8,542; 9,635; 6,325c. -3, -2, -5, -6, -8, -1, -3, -7d. .Kelas Frekuensi600 699700 799800 89951524463316116. Seorang pengamat ekonomi ingin meneliti dampak krisis ekonomi terhadap pendapatan masyarakat di Kabupaten Pasuruan. Untuk itu diambil sampel secara acak masing-masing sebanyak 16 rumah tangga di dua desa dan ditanya berapa pendapatan per minggunya. Data hasil penelitian di dua desa tersebut (dalam ribuan rupiah) adalah sebagai berikut:Penduduk desa I : 19 18 18 19 18 19 19 1818 19 17 20 16 17 22 18Penduduk desa II: 18 17 17 18 18 17 18 1717 18 18 19 20 21 20 17Berdasarkan data tersebut, tentukanlah:a. Rata-rata dan standar deviasi pendapatan rumah tangga di desa tersebut.b. Koefisien variasi dua kelompok data tersebut.c. Penduduk desa mana yang mempunyai pendapatan lebih merata.7. Sebuah lampu pijar memiliki rata-rata pemakaian 3.500 jam dengan simpangan baku 1.050 jam. Lampu pijar lain memiliki rata-rata pemakaian 9.000 jam dengan simpangan baku 2.000 jam.a. Tentukan koefisien variasi kedua lampu tersebut!b. Yang manakah dari kedua lampu itu yang memiliki variasi ketahanan lebih baik?8. Seorang mahasiswa mendapat nilai 85 pada ujian akhir statistik dengan rata-rata dan simpangan baku kelompok 78 dan 10. Ujian akhir matematika dengan rata-rata dan simpangan baku kelompok masing-masing 82 dan 16, ia mendapat nilai 90. Pada mata ujian manakah, mahasiswa tersebut mencapai kedudukan lebih baik?9. Dari data berikut : 2, 8, 10, 4, 1a. Buat data baru dengan menggunakan bilangan Z !b. Buktikan bahwa data baru memiliki rata-rata 0 dan simpangan baku 1 !10. Dua kelompok mahasiswa, kelompok I sebanyak 16 orang dan kelompok II sebanyak 15 orang, mendapat nilai statistik I, sebagai berikut:Kelompok I = 25 30 45 48 50 60 65 70 74 78 80 85 91 92 94 95Kelompok II = 20 36 45 50 50 51 52 54 60 65 66 68 67 80 95Periksalah, apakah di antara kedua kelompok nilai tersebut terdapat nilai pencilan?11. Apabila:Tentukan12. Dengan menggunakan distribusi frekuensi berikut:Kelas Frekuensi0 45 910 1415 1920 24 271263a. Tentukan jaraknya.b. Hitung deviasi standarnya.c. Berapa variansnya.13. Dengan menggunakan data soal Nomor 12.a. Berapa nilai kuartil pertama.b. Berapa nilai kuartil ketiga.c. Berapa jarak inter-kuartil.d. Berapa deviasi kuartilnya.14. Dengan menggunakan data soal nomor 12.a. Berapa nilai koefisien variasinya.b. Berapa nilai koefisien kemiringannya.c. Berapa nilai koefisien keruncingannya.Soal nomor 15 18 didasarkan pada statistik hasil pengukuran daya regangan kawat 2 perusahaan A dan B sebagai berikut:Statistik Perusahaan A Perusahaan BRata-rata hitung 500 600Median 500 500Modus 500 300Deviasi standar 40 20Deviasi rata-rata 32 16Deviasi kuartil 25 14Jarak 240 120Banyaknya sampel 100 8015. Berapa nilai koefisien variasi perusahaan A dan B?.16. Distribusi perusahaan mana yang mempunyai dispersi yang besar? Jelaskan.17. Berapa varians distribusi perusahaan A dan B?.18. 50 % kawat perusahaan A, kira-kira berada di antara dua nilai berapa?.19. Persentase penduduk berumur 10 tahun ke atas yang bekerja menurut jam kerja selama seminggu.Jam Kerja Persentase0 910 1920 2930 3940 4950 5960 69 26222723155a. Carilah rata-rata, median, dan modus jam kerja.b. Hitung tingkat kemiringan dan keruncingan.20. Perhatikan tabel berikut !Nilai31 4041 5051 6061 7071 8081 9091 100 12515252012 35,545,555,565,575,585,595,5Jumlah 80 -Buatlah nilai ujian menjadi angka baku!21. Tentukan kemencengan dan keruncingan distribusi frekuensi berikut, gunakan rumus koefisien kemencengan momen!Berat Badan Frekuensi35 3940 4445 4950 5455 5960 6465 69 491210983