KEMAMPUAN FAKTOR DINAMIS DAN BAYESIAN VAR (BVAR) PADA PEMODELAN MULTIVARIATE TIME-SERIES

UNTUK DATA MAKROEKONOMI

(Skripsi)

Oleh

YEFTANUS ANTONIO

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG

2017

ABSTRACT

DYNAMIC FACTOR AND BAYESIAN VAR (BVAR) PERFOMANCE OF MULTIVARIATE TIME SERIES MODELLING FOR

MACROECONOMICS DATA

By

YEFTANUS ANTONIO

Vector Autoregressive (VAR) has become popular in recent year by it’s ability and flexibilty for macroeconomic modelling. The main problem in VAR modeling appears if many variables are used to model. A VAR(�) model with � variables have � + ��� parameters to be estimate. On Statistical ground, it causes overparameterization and overfitting. To handle it, there are two models with different approach. Dynamic Factor Model (DFM) is reducing the dimensions of data without losing its dynamism and Bayesian VAR (BVAR) is getting a priori information about parameters by Bayesian Inference. This study will show performance DFM and BVAR model for modelling Indonesia’s Macroeconomic indicator based on forecast accuracy. Comparison of both models are considered in three different estimation methods and prior distribution. The result is Bayesian VAR with Minnesota prior give the best performance according to mean error (ME), root mean square error (RMSE) and mean square error (MSE).

Keywords : VAR, DFM, Bayesian VAR, Bayesian Inference, Forecasting

ABSTRAK

KEMAMPUAN FAKTOR DINAMIS DAN BAYESIAN VAR (BVAR) PADA PEMODELAN MULTIVARIATE TIME-SERIES

UNTUK DATA MAKROEKONOMI

Oleh

YEFTANUS ANTONIO

Vector Autoregressive (VAR) menjadi populer beberapa tahun belakangan karena kamampuan dan fleksibelitasnya untuk pemodelan makroekonomi. Masalah utama dalam pemodelan VAR muncul jika banyak variabel yang digunakan ke model. Suatu model VAR(�) dengan � variabel memiliki � + ��� parameter. Pada bidang statistika, hal tesebut menyebabkan overparameterization dan overfitting. Untuk mengatasinya, ada dua model dengan pendekatan berbeda. Model Faktor Dinamis (FD) mereduksi dimensi data tanpa kehilangan kedinamisannya dan Model Bayesian VAR (BVAR) memperoleh informasi apriori tentang parameter berdasarkan Teorema Bayes dan Bayesian Inference. Penelitian ini akan menampilkan kemampuan FD dan BVAR untuk pemodelan makro ekonomi Indonesia berdasarkan keakuratan peramalannya. Perbandingan dari kedua model tersebut mempertimbangkan tiga metode pendugaan dan tiga distribusi prior yang berbeda. Hasilnya model Bayesian VAR memberikan hasil peramalan yang akurat berdasarkan mean error (ME), root mean square error (RMSE) dan mean square error (MSE). Keywords : VAR, DFM, Bayesian VAR, Bayesian Inference, Forecasting

KEMAMPUAN FAKTOR DINAMIS DAN BAYESIAN VAR (BVAR) PADA PEMODELAN MULTIVARIATE TIME-SERIES

UNTUK DATA MAKROEKONOMI

Oleh

Yeftanus Antonio

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Mencapai Gelar SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Lampung

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG

2017

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Gisting pada tanggal 5 Juni 1994, anak pertama dari dua

bersaudara dari pasangan Bapak Stefanus Heryanto dan Ibu Zuliana.

Penulis menyelesaikan pendidikan di Taman Kanak-Kanak Darmawanita

Persatuan Kotaagung pada tahun 2000, Sekolah Dasar Negeri 3 Kuripan pada

tahun 2006, Sekolah Menengah Pertama Negeri 1 Kotaagung pada tahun 2009,

Sekolah Menengah Atas Negeri 1 Kotaagung tahun 2012. Pada tahun 2012

penulis diterima sebagai mahasiswa Strata Satu (S1) pada Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui

jalur SNMPTN Tertulis.

Selama kuliah pengurus aktif di Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika

(HIMATIKA) sebagai Gematika pada tahun 2012/2013, Anggota Bidang II

Keilmuan pada tahun 2013/2014 dan 2014/2015. Penulis juga aktif sebagai

pengurus Persekutuan Oikumene Mahasiswa MIPA (POM MIPA) sebagai

anggota seksi acara pada tahun 2013/2014 dan sebagai Koordinator Umum pada

tahun 2014/2015. Pada tahun 2015/2016 penulis juga aktif sebagai pengurus

lembaga pelayanan eksternal kampus Persekutuan Mahasiswa Kristen (PMK)

Perkantas Lampung sebagai anggota seksi pembinaan. Selama perkuliahan juga

penulis pernah menjadi peserta Olimpiade Nasional MIPA Perguruan Tinggi (ON

MIPA-PT) perwakilan FMIPA Universitas Lampung Bidang Matematika pada

tahun 2014 dan 2015 di Palembang. Penulis juga pernah menjadi asisten dosen

baik praktikum dan responsi untuk mata kuliah Matematika, Kalkulus, Algoritma

dan Pemograman, Metode Numerik, Eksplorasi Data, Teknik Samping, Statistika

Dasar, Pengantar Teori Peluang, Matematika Komputasi, Statistika Matematika I,

Statistika Matematika II dan Statistika Industri.

Penulis mengikuti Karya Wisata Ilmiah (KWI) pada tahun 2012 di desa

Sumberejo Kecamatan Pringsewu. Sebagai bentuk aplikasi bidang ilmu kepada

masyarakat, penulis menyelesaikan mata kuliah wajib Kuliah Kerja Nyata (KKN)

yang dilaksanakan pada 27 Juli 2015 s.d. 22 September 2015 di Tiyuh Gunung

Sari, Kecamatan Lambu Kibang, Kabupaten Tulang Bawang Barat, dan

melaksanakan Praktik Kerja Lapangan (PKL) pada 19 Januari 2015 s.d. 13

Februari 2015 di Unit Statistika, Survey, dan Liaison, Bidang Moneter, Kantor

Perwakilan (KPw) Bank Indonesia Provinsi Lampung kemudian telah menulis

laporan PKL dengan judul “Interaksi Dinamis Variabel Makroekonomi Regional

Provinsi Lampung dan Risiko Kredit dengan Pendekatan VAR/VECM”.

MOTO

Righteousness exalts a nation,

But sin is a reproach to any people

Proverbs 14:34-New King James Version

“…Change the university and

you can change the world.”

-Chales Habib Malik-

Compassion without knowladge

Isn’t giving what is needed

Knowlage without compassion

Producing hypocrites, knowing but not doing anything

Knowledge is POWER

But Character is MORE

PERSEMBAHAN

Teruntuk

Papa, Mama dan Iyos

Komunitas pertama di dunia ini untukku dikasih dan mengasihi

Terimakasih untuk kerja keras, kesabaran dan dukungan kalian

Pak Warsono, Bu Dian, dan Pak Mustofa

Pengajar yang sangat menginspirasi, Orangtua akademikku yang terus

memotivasi dan menasehati

Bang Beny dan Bang Abe

Orangtua rohaniku, sahabatku bertumbuh. Senang bisa terus dalam

perjuangan yang sama kemarin, kini, dan nanti.

SANWACANA

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yesus Kristus atas segala

kemampuan, kesempatan, dan kekuatan yang diberikan sehingga penulis dapat

menyelesaikan skripsi yang berjudul “Kemampuan Faktor Dinamis dan

Bayesian VAR (BVAR) pada Pemodelan Multivariate Time-Series untuk Data

Makroekonomi”.

Dalam penyusunan skripsi ini banyak pihak yang telah membantu, baik dalam

memberikan bimbingan, semangat, dan dorongan bahkan fasilitas yang sangat

membantu penulis untuk menyelesaikan tulisan ini. Untuk itu dengan segala

kerendahan hati penulis mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bapak Warsono, Ir., M.S., Ph.D., selaku dosen pembimbing utama yang

menjadi motivasi penulis untuk selalu punya keinginan belajar tinggi dan

senantiasa membimbing, memberikan dorongan dan kritik serta saran kepada

penulis.

2. Ibu Dian Kurniasari, M.Sc., selaku dosen pembimbing kedua yang dapat

menjadi sosok seorang sahabat dan ibu bagi penulis, menyemangati saat mulai

lelah, memberikan solusi saat penulis memiliki masalah, mengingatkan saat

mulai lalai, dan selalu memikirkan dan menginginkan yang terbaik bagi

penulis.

3. Bapak Mustofa Usman, Ph.D. selaku dosen penguji yang memberikan

masukan, kritik dan saran yang membagun juga menjadi inspirasi penulis

untuk terus bersemangat untuk menuntut ilmu dan mengabdikan diri kepada

pengetahuan.

4. Ibu Wamiliana, Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas

Lampung dan Dosen Pembimbing Akademik.

5. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D., selaku Dekan FMIPA Universitas

Lampung.

6. Ibu Widiarti, S.Si., M.Si., yang telah memberikan motivasi dan semangat,

selalu mengingatkan dan menjadi sahabat dan juga ibu bagi penulis.

7. Seluruh dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas

Lampung.

8. Papa dan Mama terkasih, tersayang, tercinta, yang selalu berdoa untuk

keberhasilan penulis, membesarkan dengan penuh kasih sayang dan selalu

memberikan yang terbaik bagi penulis, pribadi yang menjadi alasan penulis

untuk selalu memberikan yang terbaik dalam kehidupan ini, serta adikku

9. Yosianus Antonio yang juga mendorong dan mendoakan untuk segera

menyelesaikan studi.

10. Sahabat, teman diskusi dan berdebat, Gery Alfa Dito, trimakasih sudah

menularkan semangat membaca buku, juga atas kebersamaan dan dukungan

yang diberikan.

11. Kakakku, Kak Wida yang selalu menemani kesendirian penulis, menjadi

kakak dan pendengar yang baik.

12. Staf PMK bang Benny dan bang Abe untuk pendampingan secara pribadi

kepada penulis, teman-teman PMK, POM MIPA, kakak dan bang di

komponen Perkantas Lampung, MLM (Aldo, Fido) dan APD (Ferdi, bang

Togu) terimakasih untuk segalanya.

13. Teman-teman Matematika 2012, Gio dan Jo sudah jadi teman main dan

kumpul. Elva, Putri, Lina, Ochi, yang sudah memberikan motivasi dan

dorongan kepada penulis, dan teman-teman lain yang tidak dapat penulis

sebutkan satu-persatu.

14. Seluruh pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan kuliah.

Sebagaimana hal yang sudah ditabur, demikian tuaian yang akan dihasilkan.

Tuhan Yang Maha Kuasa yang kembali memberikan kembali hal-hal baik kepada

kita semua. Kesempurnaan sesungguhnya bagi Tuhan semata. Oleh karena itu,

saran dan kritik sangat penulis harapkan. Akhirnya, semoga karya ini bermanfaat

bagi para pembaca. Amin.

Bandar Lampung, Juli 2017

Penulis

Yeftanus Antonio

DAFTAR ISI

Halaman DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR DAFTAR TABEL I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah ......................................................... 1

1.2 Batasan Masalah ............................................................................ 4

1.3 Tujuan Penelitian ........................................................................... 4

1.4 Manfaat Penelitian ......................................................................... 5

II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Model Vector AR(�) ..................................................................... 6

2.2 Statistika Multivariat ...................................................................... 8

2.3 Statistika Bayesian ......................................................................... 9

2.4 Model Bayesian VAR (BVAR) ..................................................... 10

2.5 Model Faktor Dinamis ................................................................... 12

2.6 Optimisasi Bergantung Kendala .................................................... 16

2.6.1 Metode Lagrange Multipliers ........................................... 17

2.6.2 Aplikasi pada Matrik Simetrik .......................................... 17

2.7 Evaluasi Model Peramalan ............................................................ 18

2.8 Konsep Dasar Matrik ..................................................................... 20

III. METODELOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ........................................................ 22

3.2 Data dan Sumber Data ................................................................... 22

3.3 Metode Penelitian .......................................................................... 23

xii

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Model Faktor Dinamis ................................................................... 25

4.1.1 Penduga Komponen Utama .................................................. 29

4.2 Model VAR .................................................................................... 35

4.2.1 Penduga Parameter Model VAR ........................................... 37

4.2.2 Distribusi Bersama Model VAR ........................................... 40

4.2.3 Distribusi dari Matriks Data .................................................. 41

4.3 Penduga Bayesian untuk Model VAR ........................................... 41

4.3.1 Normal-inverse-Whisart Prior .............................................. 42

4.3.2 Minnesota Prior ..................................................................... 45

4.3.3 Villani’s Steady State Prior ................................................... 46

4.4 Pemodelan pada Data Makroekonomi Indonesia........................... 47

4.4.1 Uji Stasioneritas Data ........................................................... 48

4.4.2 Evaluasi Peramalan ............................................................... 51

V. KESIMPULAN

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 1. Grafik data time-series yang digunakan dalam analisis ............ 49

Gambar 2. Grafik Autocorrelation Function (ACF) ................................... 50

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 1. Definisi Model Faktor Dinamis, Bayesian VAR, dan VAR ......... 48

Tabel 2. Analisis Grafik time series ............................................................ 50

Tabel 3. Uji Augmented Dickey-Fuller ....................................................... 51

Tabel 4. Nilai ME, RMESE, MAE, MPE, dan MAPE dari model ............. 52

Tabel 5. Evaluasi peramalan model VAR ................................................... 53

Tabel 6. Evaluasi peramalan model BVARM............................................. 53

Tabel 7. Evaluasi peramalan model BVARW ............................................ 54

Tabel 8. Evaluasi peramalan model BVARS .............................................. 54

1

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Memasuki era keterbukaan data serta kebutuhan akan informasi yang lebih

menyeruluh, analisis statistika berhadapan dengan struktur data yang unik dimana

jumlah variabel yang digunakan cukup besar. Gujarati and Porter (2009)

membahas beberapa masalah pada model Vector Autoregressive. Salah satunya,

model ini dikecualikan untuk ukuran sample yang relatif besar. Pada model yang

diperkenalkan oleh Sims (1980) ini, jika terdapat � persamaan dengan nilai lag

sebanyak � dari � variabel, secara keseluruhan ada parameter sebanyak (� +

���).

Dengan jumlah parameter dan observasi yang besar maka terjadi overfitting dan

overparameterization. Masalah tersebut terjadi jika model memiliki terlalu

banyak parameter sehingga memiliki kemampuan peramalan yang lemah. Untuk

mengatasinya, pemilihan panjang lag dan pembatasan model biasanya dilakukan.

Namun, belakangan ada dua model aternatif yang dikembangkan untuk mengatasi

permasalahan ini, yaitu dengan menggunakan metode pendugaan Bayes pada

model VAR (BVAR) dan mereduksi dimensi data dengan menggunakan model

faktor dinamis.

2

BVAR model mampu menggabungkan informasi historis dan apriori untuk

mengatasi hiperparameter. Hal tersebut dikarenakan prior berperan sebagai

kendala pada koefisen, menyusutkan, dan menajamkan pendugaan, serta

menghasilkan peramalan yang lebih akurat. Biasanya dalam pemodelan VAR

jumlah data yang digunakan berkisar tiga sampai lima variable. BVAR

memungkinkan menggunakan lebih dari lima variabel.

Geweke (1977) pertama kali memperkenalkan model faktor dinamis sebagai

perkembangan analisis multivariate time series. Bai and Ng (2008)

mendefinisikan bentuk umum model faktor dinamis sebagai:

��� = ���(�)�� + ��� (1.1)

dimana ���(�) = (1 − ����− . . . −�����) dengan � adalah lag atau back-shift

operator yang didefinisikan oleh ���� = ���� untuk suatu time series ��.

adalah suatu vektor dari loading faktor dinamis dengan order �. Disisi lain, faktor-

faktor di asumsikan memiliki bentuk berikut:

�� = Φ(�)�� (1.2)

dimana �� adalah galat yang bebas stokastik identik dan Φ(�) merupakan ���

polinomial dari koefisien model VAR dengan variabel ��.

Beberapa metode pendugaan digunakan untuk mengestimasi model faktor

dinamis. Tiga motode pendugaan yang akan digunaka dalam penelitan ini adalah

komponen utama yang dibahas oleh Stock and Watson (2002), pendugaan dua

tahap, dan quasi maksimum likelihhod oleh Doz, Giannone and Reichilin

(2011,2012). Distribusi prior bebeda juga akan ditampilkan dalam pemodelan

3

VAR yang diestimasi dengan Inferensia Bayes. Mengikuti Litterman (1986) yang

disebut dengan Minessota Prior, Normal-inverse-Wishart prior, dan Mattias

Villani’s steady-state prior oleh Villani (2009) sebagai distribusi awal dalam

pemodelan VAR.

Montgomery (2008) menyatakan peramalan adalah masalah yang penting pada

berbagai bidang termasuk ekonomi dan keuangan. Masalah ini sangat penting

karena prediksi kejadian selanjutnya adalah masukan yang kritis kepada berbagai

masalah perencanaan dan pengambilan keputusan. Kebijakan makroekonomi

suatu negara memegang peranan sentral dalam pertumbuhan suatu negara.

Model faktor dinamis dan Bayesian VAR akan diterapkan pada pemodelan

makroekonomi Indonesia. Pertumbuhan quarter on quarter (qoq) dari dua belas

variabel makroekonomi sepanjang 107 series dari kuartal ke-3 tahun 1990 s.d.

kuartal pertama tahun 2017 di gunakan sebagai data dalam pemodelan. Kedua

model tersebut bersama dengan model VAR unrestricted akan di bandingkan

kemampuan berdasarkan keakuratan peramalannya.

Keakuratan dari model faktor dinamis dan Bayesian VAR (BVAR) dalam

peramalan dengan jumlah variabel yang lebih banyak (mengakomodasi informasi

yang lebih luas) diharapkan mampu menjadi solusi pada keterbatasan model VAR

khususnya dalam pemodelan indikator-indikator ekonomi lainnya di Indonesia.

4

1.2 Batasan Masalah

Dalam penelitian ini, yang menjadi batasan masalah adalah:

1. Metode pendugaan dalam pemodelan Faktor Dinamis adalah metode

komponen utama, metode dua tahap, dan metode quasi maksimum likelihood

(QML).

2. Prior yang digunakan dalam pemodelan Bayesian VAR adalah normal-

inverse-Wishart prior, Minessota prior, dan Mattias Villani’s steady-state

prior.

1.3 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah:

1. Mendapatkan pendugaan model faktor dinamis dengan Metode Komponen

Utama, Metode Dua Tahap, dan Metode Quasi Maximum Likelihood (QML).

2. Mendapatkan distribusi posterior, distribusi kondisional dan distribusi

posterior marginal model BVAR.

3. Memperoleh model yang baik untuk pemodelan data makroekonomi

Indonesia berdasarkan keakuratan peramalannya.

5

1.4 Manfaat Penelitian

Penelitian ini diharapkan bermanfaat sebagai:

1. Pemodelan data dengan jumlah variabel yang relatif besar tetapi tetap

memperoleh hasil peramalan yang baik.

2. Solusi dalam permasalahan pemodelan dengan VAR.

3. Acuan bagi pemerintah untuk pengambilan keputusan yang berkaitan dengan

makroekonomi Indonesia.

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Model Vector AR(�)

Definisi 2.1.1

Multivariate time series �� merupakan suatu model VAR dengan order �, jika

�� = �� + ∑ ���������� + ��, (2.1)

dimana �� merupakan konstan vektor berdimensi � dan �� adalah matriks ��

untuk � > 0, �� ≠ �, dan �� merupakan barisan dari vektor acak yang saling

bebas stokastik identik dengan mean nol dan matriks varian covarian ��, yang

definit positif (Tsay, 2014).

Definisi 2.1.2 (Kondisi Stasioner)

Untuk VAR(1), misalkan time series dimulai pada waktu � = � dengan nilai ��,

dimana � adalah titik waktu yang tetap. Dengan mengulangi substitusi,

�� = ����� + �� = ��(������ + ����) + �� = ������� + ������ + ��

= ������� + ��

����� + ������ + ��

= ⋮

= ������� + ∑ ��

������� ����.

Jika semua nilai eigen dari �� kurang dari 1 pada nilai absolutnya, makan VAR(1)

�� stasioner. Nilai eigen dari �� adalah solusi dari persamaan determinan

7

|��� − ��|= 0

Misalkan � adalah lag atau back-shift operator yang didefinisikan oleh

���� = ���� untuk suatu time series ��. Mengikuti model VAR(1), kondisi

stasioner adalah ketika semua solusi dari persamaan determinan ���� −

Φ ��= 0 harus lebih besar dari 1 pada nilai absolutnya (Tsay, 2014).

Definisi 2.1.3 (Information Criteria)

Tiga fungsi kriteria paling umum digunakan untuk memilih order VAR. Dengan

asumsi kenormalan, ketiga kriteria dari suatu model VAR(�) adalah:

���(�) = ������,��+�

����, (2.2)

���(�) = ������,��+��(�)

����, (2.3)

�� (�) = ������,��+��� [��(�)]

����, (2.4)

Dimana � adalah ukuran sampel, ���,� adalah penduga Maksimum Likelihood bagi

�� (Tsay, 2014).

Definisi 2.1.4 (Peramalan dari Pendugaan Model VAR)

Asumsikan parameter diduga dengan informasi yang tersedia pada saat titik

peramalan � = ℎ. Dengan asumsi tersebut, parameter yang diduga adalah fungsi

dari �� dan maka step ke-� terhadap minimum mean square error (MSE) peramalan

dari ���� dengan parameter yang diduga adalah:

���(�) = ��� + ∑ ������(� − �)���� (2.5)

Dimana, seperti sebelumnya, ���(�) = ���� untuk � ≤ 0 (Tsay, 2014).

8

Definisi 2.1.5 (Impulse Respon Function)

Menggunakan representasi dari Moving Average dari model VAR(�) dengan

matriks koefisien � �= [��,��] yang diberikan oleh

�� = ∑ ��� ������(�,�)��� , � = 1,2, ... (2.6)

dimana � � = ��. Sehingga

�� = �� = �

10⋮0

�, �� = � ��� =

⎣⎢⎢⎡��,��

��,��

⋮��,��⎦

⎥⎥⎤, �� = � ��� =

⎣⎢⎢⎡��,��

��,��

⋮��,��⎦

⎥⎥⎤, ... (2.7)

Koefisien matriks � � dari representasi MA dari model VAR(�) adalah koefisien

dari impulse response functions. Kesalahan � �= ∑ ������ melambangkan

akumulasi respon � periode dari suatu unik guncangan kepada �� (Tsay, 2014).

2.2 Statistika Multivariat

Definisi 2.2.1 (Distribusi Normal Multivariate)

Misal � = (��, ��, ..., ��) adalah vektor berdimensi � dari suatu peubah acak,

maka � disebut memiliki (nonsingular) distribusi multivariate normal jika fungsi

kepekatan peluangnya adalah

�(�) = (2�)��

�|�|��

� exp�−�

�(� − �)����(� − �)�; (2.8)

(− ∞ < �� < ∞ � = 1,2, ...�)

Dimana � = ����� adalah definit positif (Σ > 0). Dengan �(�) = � dan ���(�) =

�, maka dapat dinotasikan dengan �~� �(�, �) atau �~� � (Saber,1983).

9

Definisi 2.2.2 (Distribusi Wishart)

Misal � = (���) adalah matriks simetris berukuran �� dari suatu peubah acak

yang definit positif, dengan peluang 1, dan misalkan � adalah matriks definit

positif berukuran �×�. Jika � adalah bilangan bulat sedemikian sehingga � ≥ �,

maka � dikatakan memiliki distruibusi Wishart nonsingular dengan derajat

bebas m jika fungsi kepekatan peluang dari �

��(� + 1) elemen-elemen yang

berbeda dari W adalah:

�(���, ���, ..., ��� ) = ���|� |(�����)/�exp [����� �−�

��� � � (2.9)

dimana

� = 2��

� |�|�

� � ��

��� (2.10)

dan

� ��

��� = �

�(�� �)

� ∏ Γ��

�(� + 1 − �)��

��� (2.11)

Dapagt ditulis � ~� �(�, �) atau � ~� � (Mardia, Kent, dan Bibby, 1979).

2.3 Statistika Bayesian

Pertimbangkan model:

�|�~�(�|�) (2.12)

Θ~ℎ(�)

Fungsi kepekatan peluang Θ oleh ℎ(�) disebut distribusi prior dari Θ. Misalkan

��, ��, ..., �� adalah sampel acak dari distribusi bersyarat dari � yang diberikan

oleh Θ = � dengan pdf �(�|�). Dengan notasi vektor, misalkan �� =

10

(��, ��, ..., ��) dan �� = (��, ��, ..., ��). Kemudian kita dapat menuliskan pdf

bersyarat bersama dari � , diberikan oleh Θ = �, sebagai

�(�|�) = �(��|�)�(��|�)...�(��|�) (2.13)

sehingga pdf bersama � dan Θ adalah

�(�, �) = �(�|�)ℎ(�) (2.14)

Jika Θ adalah peubah acak dari tipe kontinu, pdf marginal dari � diberikan oleh:

��(�) = ∫ �(�, �) ���

�� (2.15)

Pdf bersyarat dari Θ, diberikan oleh sampel � adalah

�(�|�) =�(�,�)

��(�)=

�������(�)��(�)

(2.16)

distribusi yang didefinisikan oleh fungsi bersyarat tersebut disebut posterior

distribution (Hogg and Craig, 2013).

Teorema 2.3.1 Teorema Bayes

Untuk dua kejadian A dan B, Teorema Bayes untuk suatu kejadian tunggal adalah:

�(�|�) =�������(�)

�������(�)���������(��) (2.17)

Teorema Bayes adalah suatu pernyataan ulang dari peluang bersyarat �(�|�)

dimana:

1. Peluang dari A diperoleh sebagai perjumlahan dari peluang-peluang bagian

terpisahnya, (� ∩ �) dan (� ∩ ��), dan

2. Setiap peluang bersama diperoleh menggunakan aturan perkalian

Bolstad (2007).

11

2.4 Model Bayesian VAR (BVAR)

Model VAR(�) pada persamaan 2.1 dimana �� untuk � = 1, ..., � adalah vektor

�×1, �� adalah �×1 vektor dari galat, �� adalah �×1 vektor intersep dan �� adalah

matriks �×� dari koefisien. Diasumsikan �� bebas stokhastik identik � (0, Σ).

Litterman (1980) mengembangkan model BVAR, diamana membentuk beberapa

asumsi pada model VAR unrestricted pada persamaan 2.1. diatas. Batasannya pada

series yang digunakan sebagai suatu ������ ���� bersama dengan suatu

komponen deteministik yang tidak diketahui. Jadi, distribusi prior untuk variabel t

difokuskan pada definisi dari ������ ���� .

�� − ���� = � + �� (2.18)

Persamaan ke− � pada model VAR dapat dituliskan sebagai:

��� = �� + ���(�)��,� + ���

(�)��,���+...+���

(�)��,��� + ���

(�)��,��� +

���(�)��,���+...+���

(�)��,���+...+ + ���

(�)��,��� +

���(�)��,���+...+���

(�)��,���. (2.19)

dimana ���(�)

adalah koefisien yang berhubungan dengan ��� sampai ��,��� (Sevinc

and Ergun, 2009). Ide utama dari model BVAR adalah parameter model adalah

peubah acak. Distribusi posterior diperoleh dengan aplikasi dari Teorema Bayes.

Definisi 2.4.1 Minnesota Prior

Minnesota prior menetapkan Σ sebagai matriks diagonal.

Σ =

⎣⎢⎢⎢⎡�� 0 0 … 00 �� 0 … 00⋮0

0⋮0

�� … 0

⋮ ⋱ ⋮0 … ��⎦

⎥⎥⎥⎤

12

Pendugaan dari model diasumsikan bahwa semua koefisien kecuali lag pada

variabel itu sendiri sama dengan nol. (Koop dan Korobilis, 2010) mendefinisikan

prior dari matriks kovarian dari � mengikuti:

��,� = �

��/��

��.���/(��.��

�)

��.��

, (2.20)

yang bersesuaian dengan lag sendiri, lag antar variabel dan variabel eksogenus.

Definisi 2.4.2 Normal-Inverse-Wishart prior

BVAR model dengan normal-inverse-Wishart model, dimana kernel dari distribusi

posterior bersama dari � dan Σ adalah

�(�, Σ|�� ⊗ �, �) ∝ �(�|�� ⊗ �, �, Σ)�(�, Σ) (2.21)

dengan densitas data �(�, |�� ⊗ �, �, Σ) dan distribusi prior bersama �(�, Σ)

Definisi 2.4.3 Mattias Villani’s steady-state prior

Villani (2009) memilih distribusi prior bagi Σ adalah:

�(Σ) ∝ |Σ|����

� (2.22)

Misalkan Φ = ���, ..., ����. Prior dari vec(Φ ) adalah distribusi multivariate

normal umum.

���(Φ )~� (�� , Ω� ) (2.23)

2.5 Model Faktor Dinamis

Untuk model yang sudah difinisikan oleh Bai and Ng (2008) pada persamaan 1.1

dan 1.2 maka permasalahan berikutnya adalah bagaimana menduga jumlah faktor

statis dan faktor dinamis pada model tersebut juga menduga ��(�), ��, ��, ��� ��.

13

Definisi 2.5.1 (Metode Penduga Komponen Utama)

Pada kasus � yang cukup besar, Stock and Watson (2002) menggunakan

pendekatan berbeda dan menduga faktor dinamis secara nonparametrik dengan

menggunakan metode komponen utama. Pertimbangkan fungsi objektif nonlinear

least square berikut:

����, Λ��= (�� )�� ∑ ∑ (���� − ������ )��, (2.24)

Merupakan suatu fungsi dari nilai-nilai hipotesus dari faktor-faktor (��) dan loading

faktor (Λ�), dimana ��= (���, ���, ..., ���)′ dan �� adalah baris ke-� dari Λ�.

Definisi 2.5.2 (Metode Penduga Dua Tahap)

Doz, Giannone, Reichlin (2011) menduga faktor dinamis dengan metode

pendugaan dua tahap. Pada tahap pertama, parameter-parameter dari model pertama

diestimasi dengan Ordinary Least Square (OLS) pada komponen utama. Pada tahap

kedua, faktor diduga dengan Kalman smoother. Berhaumi (2013) merangkum

pendugaan dua tahap ini dengan mendefinisikan tahap pertama:

1. ��� diduga dengan PCA sebagai pendugaan awal.

2. Selanjutnya pada persamaan

��� = ��� + ��� (2.25)

��� = ���(�)�� (2.26)

���(�) dan matriks ragam peragam dari galat �̂, yang dilambangkan dengan Σ�� .

Untuk memperoleh �(�) pada persamaan

��(�) = ���(�)�(�) (2.27)

dimana ���(�) polinomial matriks dengan derahar � dan �(�) matriks berdimensi

��. Penduga dari �(�) diperoleh dari

14

��(�) = ���

�. (2.28)

Pada tahap kedua, koefisien-koefisien dan parameter-parameter dari sistem pada

persamaan ��� = ��� + ��� dan ��� = ���(�)�� yang telah diperoleh pada tahap

pertama dipertimbangkan. Selanjutnya, menuliskan model tersebut pada bentuk

state space dan Kalman filter di aplikasikan untruk menduga faktor.

Definisi 2.5.3 (Metode Pendugaan Quasi Maksimum Likelihood)

Pendugaan lain yang dimungkinkan untuk menduga model faktor dinamis adalahn

metode quasi maksimum likelihood. Metode ini deberikan oleh Doz, Giannone,

Reichlin (2012) sebagai alternatif metode pendugaan.

Definisi 2.5.4 (Memilih Jumlah Faktor Statis).

Bai and Ng (2002) menggunakan kriteria informasi untuk memilih jumlah faktor

statis. Pengukuran ini berdasarkan pada ragam dari �(�, �) yang didefinisikan oleh:

�(�, �) = (�� )�� ∑ ��� − Λ������.�

��� (2.29)

dimana � adalah jumlah faktor yang diberikan sedemikian sehingga ��� =

�����, ..., �����. Dengan menggunakan informasi kriteria berikut:

���(�) = ln��(�, �)�+ � �� ��

��� ln�

��

� ��� (2.30)

���(�) = ln��(�, �)�+ � �� ��

��� (2.31)

���(�) = ln��(�, �)�+ � ������

�

���� � (2.32)

dimana ��� = min{√� , √�} dan �� melambangkan logaritma natural. Penduga

dari jumlah faktor � ditentukan oleh kriteria informasi yang minimun untuk � =

0, ..., �����, dimana ����� adalah jumlah faktor statis maksimum.

15

Definisi 2.5.5 (Memilih Jumlah Faktor Dinamis).

Pada konteks model faktor dinamis, jumlah � guncangan dapat diduga dengan

menggunakan kriteria informasi oleh Bai and Ng (2007). Kriteria ini diperoleh

dengan mempertimbangkan � faktor statis seperti yang diberikan, kemudian

menduga suatu model VAR dengan order � pada faktor tersebut, dimana order �

dipilih menggunakan Bayesian Information Criteria (BIC).

Dekomposisi spektral dari matriks ragam peragam dari matriks galat dari model

VAR yang dilambangkan dengan Σ�� berdimensi �×� yang dihitung. Maka, nilai

eigen terurut ke-� ��̂, dimana ��̂ ≥ ��̂ ≥ ...≥ ��̂ ≥ ...≥ ��̂ ≥ 0. Bai and Ng (2007)

mendefinisikan dua kuantitas

���,� = ���̂��

∑ �̂��� � �

�

�

�

(2.23)

���,� = �∑ ��̂��� �� �

∑ �̂��� � �

�

�

�

(2.24)

dimana ���,� merepresentasikan pengukuran dari kontribusi marginal oleh � + nilai

eigen ke-1 dan ���,� merupakan pengukuran dari kontribusi komulatif dari nilai-nilai

eigen, dibawah hipotesis bahwa Σ�� adalah matriks berdimensi (�×�) dan �� = 0

untuk � > �.

Jumlah faktor dinamis � ditentukan dengan meminimumkan

�� ���������� ��ℎ�����:���,� ≤�

min����, �

����,

atau

16

�� ���������� ��ℎ�����:���,� ≤�

min����, �

����

Berhoumi (2013) menjelaskan tahapan pendugaan jumlah faktor dinamis dengan

informasi kriteria Bai and Ng (2007) sebagai berikut:

1. Memperoleh faktor statis � � {1, ..., �����} yang optimal dengan menggunakan

kriteria pada Bai and Ng (2002).

2. Menduga model ���(�) pada model dengan � faktor dan ����� dari VAR

diperoleh dengan BIC.

3. Kriteria Bai and Ng (2007) diaplikasikan pada matriks ragam peragam atau

matriks korelasi dari galat �� dari model VAR(�) untuk memperoleh jumlah

optimal dari faktor dinamis �.

2.6 Optimasi Bergantung Kendala

Pertimbangkan masalah optimasi suatu fungsi yang dibatasi oleh suatu kondisi yang

keduanya dapat didiferensiasi. Misalkan � adalah fungsi bernilai real yang

didefinisikan pada himpunan � pada ℝ�. Kemudian pertimbangkan minimasi

fungsi �(�) dengan � kendala, yaitu ��(�) = 0, ..., ��(�) = 0, dan dituliskan.

�������� �(�)

������� �(�) = �,

dimana � ≔ (��, ��, ..., ��)′ dan � ≔ (��, ��, ..., ��)′. Ini disebut dengan

optimasi bergantung kendala, dan cara yang paling mudah digunakan untuk

menyelesaikan ini secara umum dengan menggunakan teori penggandaan

Lagrange.

17

2.6.1 Metode Lagrange Multipliers

Teorema Lagrange memberikan kondisi yang diperlukan untuk suatu kendala

minimum yang terjadi pada titik tertentu, dan menetapkan keabsahan metode

formal yaitu metode Lagrange multipliers untuk mendapatkan kondisi yang

diperlukan untuk suatu ekstreme yang dibatasi dengan persamaan kendala.

Didefinisikan fungsi Lagrangian ℒ dengan:

ℒ(�) ≔ �(�) − �′�(�), (2.25)

dimana � suatu �×1 vektor konstanta ��, ��, ..., ��, disebut Lagrange

multipliers, satu multipliers dimasukkan untuk masing-masing kendala.

Selanjutnya kita diferensialkan ℒ terhadap � dan hasilnya dibentuk sama

dengan nol (Gentle, 2007).

2.6.2 Aplikasi pada Matriks Simetrik

Misalkan � adalah matriks simetrik, maksimum dan minimum dari �′�� yang

merupakan bentuk kuadrat matriks, dengan kendala ��� = � adalah maksimum

dan minimum dari akar ciri dari matriks �.

Bukti:

Bentuk dari fungsi Lagrangian:

ℒ(�;�) = ���� − �(��� − �) = ���� − ���� − � = ��(� − ��) − �

Selanjutnya, derivatifkan terhadap �, dan hasilnya kita bentuk sama dengan nol,

maka:

�

��ℒ(�;�) =

�

������ − ���� − � = 2(� − ��)� = �

⟹ �� = ��

18

Karena memenuhi persamaan �� = �� maka � seharusnya adalah akar ciri

dari �, dan � seharusnya adalah vektor ciri. Misalkan, �� ≥ �� ≥ ...≥ ��

adalah akar ciri dari matriks � dan ��, ��, ..., �� adalah vektor ciri yang

bersesuian dengan akar ciri tersebut, sehingga:

��� = ����

⟹ ������ = ��

����� = ������� = ��.� = ��

Jadi, ��� ��� = ��adalah nilai maksimum, dan ��

� ��� = �� adalah nilai

minimum (Gentle, 2007).

2.7 Evaluasi Model Peramalan

Pertimbangkan cara untuk mengevaluasi kemampuan dari suatu teknik peramalan

untuk suatu aplikasi time series. Ada banyak pengukuran statistik yang menjelaskan

seberapa baik model mencocokan suatu sampel data. Pendekatan goodness-of-fit

menggunakan galat dan tidak sebenarnya menggambarkan kemampuan teknik

peramalannya untuk keberhasilan memprediksi observasi mendatang. Pengguna

peramalan sangat memperhatikan tentang keakuratan peramalan mendatang, bukan

goodness-of-fit. Terkadang keakuratan peramalan disebut dengan “out-of-sampel”

galat peramalan.

Untuk mengevaluasi kemampuan peramalan model menggunakan galat peramalan

��(1) = �� − ���(� − 1) (2.26)

dimana ���(� − 1) adalah peramalan dari �� yang di buat untuk satu periode.

Misalkan aa � observasi yang mana peramalan akan dibuat dan � galat peramalan

��(1), � = 1,2, ..., �. Pengukuran standar kakuratan peramalan adalah rata-rata

peramalan atau mean error

19

�� =�

�∑ ������ (1) (2.27)

mean absolute deviation

��� =�

�∑ |��(1)|���� (2.28)

dan mean squared error

��� =�

�∑ [��(1)]

����� . (2.29)

Relative forecast error (dalam persen) sebagai:

���(1) = �������(���)

��� 100 = �

��(�)

��� 100. (2.30)

Mean percent forecast error (MPE) adalah:

��� =�

�∑ ���(1)���� (2.31)

Mean absolute percent forecast error (MAPE)

���� =�

�∑ |���(1)|���� (2.32)

(Montgomery, 2008).

2.8 Konsep Dasar Matrik

Definisi 2.8.1 Invers dan Trace

Sebuah matriks ��� merupakan matriks non singular , jika terdapat sebuah

matriks unik ��� sedemikian sehingga �� = �� = ��, �� matriks identitas.

Pada kasus ini, � merupakan invers dari matriks � dan dapat dituliskan dengan � =

���.

Trace dari ��� merupakan penjumlahan elemen-elemen diagonalnya (��(�) =

∑ ������� ). Mudah untuk menunjukan bahwa

(a) ��(� + �) = ��(�) + ��(�) (2.33)

20

(b) ��(�) = ��(��) (2.34)

(c) ��(��) = ��(��) (2.35)

Menyajikan dua matrik yang sesuai (Tsay, 2014).

Definisi 2.8.2 Vectorization dan Kronecker Product

Suatu matriks � berukuran �� dapat dituliskan dalam bentuk kolom sebagai � =

[��, ..., ��], didefinisikan operator sebagai ���(�) = (��� , ..., ��

� )′ yang

merupakan vektor berukuran ��×1. Untuk dua matriks ��×� dan ��×�, perkalian

Kronecker antara � dan � adalah

� ⊗ � = �

���� ���� ⋯ ����

���� ���� ⋯ ����⋮

����⋮

����⋱⋯

⋮����

�

����

.

Asumsikan syarat dimensi terpenuhi, berikut ini adalah beberapa sifat dari dua

operator:

Definisi 2.8.3 Akar Ciri dan Vektor Ciri

Misalkan � adalah suatu matriks persegi berukuran �� dan � adalah �� matriks

identitas. Selanjutnya skalar ��, ��, ..., �� yang memenuhi persamaan polinomial

|� − ��|= 0 disebut akar ciri atau akar ciri dari suatu matriks �. Persamaan

|� − ��|= 0 (sebagai fungsi dari �) disebut persamaan ciri.

Misalkan A adalah matriks persegi dengan dimensi � � dan misalkan � adalah

akar ciri dari �. Jika ��×� merupakan vektor tak nol, ( ��×� ≠ ��×�) sedemikian

sehingga:

�� = ��

21

Maka � disebut sebagai verktor eigen (vektor ciri) dari matriks A yang bersesuaian

dengan akar ciri � (Johnson, 2007).

Definisi 2.8.4 Matriks Orthogonal

Suatu matriks persegi � dikatakan orthogonal jika setiap barisnya dipertimbangan

sebagai vektor-vektor, tegak lurus satu sama lain dan mempunyai panjang unit,

yaitu ��� = �. Sebuah matriks � ortogonal jika dan hanya jika ��� = ��. Untuk

sebuah matriks orthogonal ��� = ��� = � , sehingga setiap kolomnya juga tegak

lurus satu sama lain dan mempunyai panjang unit (Johnson, 2007).

Definisi 2.8.5 Rotasi

Suatu matriks persegi � dikatakan suatu rotasi dari suatu matriks persegi � jika

� = �� dan ��� = ��� = � (Johnson, 2007).

Definisi 2.8.6 Matriks Spectral Decomposition

Dalam banyak kasus, akibat langsung dari ekspansi matriks simetrik disebut

sebagai spectral decomposition. Spectral decomposition dari matriks simetrik A

� � diberikan sebagai:

�(��) = ����(��) ��(��)

, + ����(��) ��(��) , + ...+ ����(��) ��(��)

, (2.36)

dimana ��, ��, . . ., �� adalah akar ciri dari A dan ��, ��, ..., �� adalah normalisasi

vektor eigen yang bersesuaian. Sehingga, ����� = 1 untuk � = 1, 2, ..., �, dan

����� = 0 untuk � ≠ � (Jhonson, 2007)

22

III. METODELOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Lampung pada semester genap tahun ajaran

2016/2017.

3.2 Data dan Sumber Data

Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data sekunder kuartalan

yang diperoleh dari Organisation for Economic Co-operation and Development

(OECD) (https://stats.oecd.org/). Indikator makro ekonomi yang digunakan

sebanyak 10 variabel dengan 107 observasi dari 1990Q3 sampai dengan 2017Q1.

Definisi data, sumber data, unit data dan transformasi yang digunakan dapat

dilihat pada lampiran A.1

23

3.3 Metodologi Penelitian

Adapun tahapan yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Melakukan analisis terhadap model faktor dinamis dengan langkah-

langkah sebagai berikut:

a. Mendefinisikan dan membentuk model faktor dinamis ke dalam

bentuk model faktor statis.

b. Melakukan pendugaan parameter model faktor dinamis dengan metode

Komponen Utama, Metode dua tahap, dan Metode QML.

2. Melakukan analisis terhadap model BVAR dengan langkah-langkah

sebagai berikut:

a. Mendefinisikan fungsi kepekatan peluang dari normal multivariat.

b. Menentukan parameter dari pdf normal multivariat.

c. Membangun fungsi likelihood dari pdf normal multivariat.

d. Memperoleh penduga parameter dengan pendekatan Least Square

(LS).

e. Mengkaji distribusi posterior kondisional dan marginal yang

proposional terhadap perkalian distribusi prior.

3. Memodelkan makro ekonomi Indonesia dengan model DFM dan BVAR

dengan menggunakan software R 3.3.0.

a. Memeriksa kestasioneran data melalui uji ACF dan plot ACF dan

PACF serta menentukan transformasi yang digunakan.

b. Membagi data menjadi data training (in sample data) sebanyak 97

observasi (1990Q3 s.d. 2015Q3) dan data testing (out of sample data)

sebanyak 10 observasi.

24

c. Pemodelan makro ekonomi dengan BVAR

-Estimasi model BVAR dengan Minnesota Prior, Stady State Prior,

dan Normal-Inverse-Wishart Prior.

-Melakukan peramalan dengan ketiga prior tersebut.

-Menghitung keakuratan untuk masing-masing model BVAR dengan

Prior yang berbeda.

d. Pemodelan makro ekonomi dengan DFM

- Melakukan pendugaan parameter pada model VAR dengan Estimasi

komponen utama, dua tahap, dan estimasi QML.

- Menggunakan hasil estimasi faktor untuk peramalan

- Menghitung keakuratan untuk masing-masing model DFM dengan

metode pendugaan yang berbeda.

53

V. KESIMPULAN

Dari pembahasan penelitian dapat disimpulakn sebagai berikut

1. Penduga komponen utama dari model faktor dinamis dapat dituliskan

sebagai:

�� = √� [vektor-vektor ciri yang bersesuaian dengan � akar ciri terbesar

dari matriks ���] dan �� =���

�.

2. Distribusi posterior, distribusi besyarat dan distribusi marginal dari model

Bayesian VAR dengan prior Normal-Inverse-Wishart adalah

�(�, Σ|�, �) ∝ exp �−1

2���� − ��

���(���⨂ ��)����

− ����exp �−1

2�� − ���

���

����

− ����|Σ|��|Σ|�

(�����)� exp �−

1

2��(�����)� exp �−

1

2����

− �����

�� − ����(Σ��⨂ ��)�

�(�|Σ, �, �) ∝ exp(−1

2[��� − ��

���(���⨂ ��)���� − ��

+ �� − ������

���� − ���])

�(Σ|�, �) ∝ |Σ|�������

� exp �−1

2������ − �� − ����

��� − ����� �����

�|Σ, �, �~�(��, Σ��) dengan

30

Σ�� = ���� + ��(Σ��⨂ ��)� dan �� = Σ��(��

���� + ��(Σ��⨂ ��)�)

dan distribusi marginal dari Σ sebagai

Σ|�, �~�� ��� − �� − �����

�� − ����, � − ��

3. Prior Minnesota menyusun matriks Σ menjadi matriks diagonal, dengan Σ

yang ditetapkan, maka distribusi posterior dari � sama dengan kasus

Normal-inverse-Wishart

4. Distribusi posterior bersyarat dari steady state prior adalah:

�|�, Σ, �, �~�(��, Σ��)

�|�, Σ, �, �~�(��, Σ� � ⊗ Σ)

Σ|�, �, �, �~��(Υ� + ��� �� + ��� − �̅�

�Υ�

����� − �̅�, � + �. � + �)

5. Model dengan tingkat akurasi terbaik berdasarkan mean error (ME), root

mean square error (RMSE) dan mean square error (MSE) yang diperoleh

adalah model Bayesian VAR dengan Minnesota Prior.

DAFTAR PUSTAKA

Anderson, T. W. 2003. An Introduction to Multivariate Statistical Analysis. New York: John Wiley & Sons, Inc.

Bai, Jushan. 2003. Inferential Theory for Factor Models of Large Dimensions.

Journal of the Econometric Society. Vol 71, No.1, hal. 135-171. Bai, J. dan Ng, Sherena. 2003. Determining the number of factor in approximate

factor model. Econometrica. Vol 70, hal. 191-221. Bai, J. dan Ng, Sherena. 2008. Large Dimensional Factor Analysis. Foundation

and trends in econometrics, 3, 89-168 Doz C., Giannone D., dan Reichlin L. 2011. A two-step estimator for large

approximate dynamic factor models based on Kalman Filtering. Journal of Econometrics.

Doz C., Giannone D., dan Reichlin L. 2012. A quasi maximum likelihood

approach for large approximate dynamic factor models. Review of Economic and Statistics, 94,4, 1014-1042

Geisser, S. 1965. Bayesian estimation in multivariate analysis. Annals of

Mathematical Statistics. 36, 150-159. Gentle, James E. 2007. Matrix Algebra: Theory, Computation, and Applications

in Statistics. United States of America: Springer Science+ Business Media. Geweke, J. 1977. The Dynamic Factor Analysis of Econometric Time Series,

dalam Aigner, D.J. dan Goldberger, A.S. 1977. Latent Variables in Socio-Economic Models. Ansterdam: North-Holland.

Gujarati, D., Porter, Dawn. 2009. Basic Econometric. 5th edition. New York:

MCGraw-Hill Johnson, Richard A., dan Wichern, Dean W. 2007. Applied Multivariate

Statistical Analysis. 6th (ed). United States of America: Pearson Pretince Hall.

Litterman, R. B. Forcasting with Bayesian Vector Autoregression (mimio, Massachussets Institute of Technology, 1980)

Lütkepohl, Helmut. 2005. New Introduction to Multiple Time Series Analysis.

Germany: Springer-Verlag Berlin Heidelberg.

Montgomery, Douglas C., Jennings, Cherly L., dan Kulahci, Murat. 2008. Introduction to Time Series Analysis and Forecasting. United State of America: John Wiley and Sons, Inc.

Sevinc, V., dan Ergun, Gul. 2009. Usage of Different Prior Distribution in

Bayesian Vector Autoregressive Model. Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics. Volume 38(1). 85-93

Sim, Christopher. 1980. Macroeconomic and Reality. Econometrica. Vol. 48. 1-

48. Stock, James H., dan Watson, Mark W. 2002. Forcasting Using Principal

Components from a Large Number Preductors. Journal of the American Statistical Association. Vol. 97 No 460

Stock, James H, dan Watson, Mark W. 2016. Factor Models and Structural

Vector Autoregressions in Macroeconomics. Oxford: Oxford University Press.

Tsay, Ruey S. 2014. Multivariate Time Series Analysis: With R and Financial

Applications. United States of America: John Wiley & Sons.

Villani, Mattias. 2009. Steady-State Priors for Vector Autoregression. Journal of

Apllied Econometrics. Vol. 24. 630-650