Kuliah 5: Kelipatan Persekutuan Terkecil

Y. Hartono

FKIP Unsri

16 Oktober 2011

Definisi dan Notasi

Definisi

Bilangan bulat m disebut kelipatan persekutuan terkecil (kpk) daribilangan bulat positif a dan b apabila

1. a|m dan b|m,

2. jika a|n dan b|n, maka m ≤ n.

Definisi dan Notasi

Definisi

Bilangan bulat m disebut kelipatan persekutuan terkecil (kpk) daribilangan bulat positif a dan b apabila

1. a|m dan b|m,

2. jika a|n dan b|n, maka m ≤ n.

• Dengan kata lain, kpk dari dua bilangan bulat positif adalahbilangan bulat terkecil yang dapat dibagi oleh kedua bilangantersebut.

Definisi dan Notasi

Definisi

Bilangan bulat m disebut kelipatan persekutuan terkecil (kpk) daribilangan bulat positif a dan b apabila

1. a|m dan b|m,

2. jika a|n dan b|n, maka m ≤ n.

• Dengan kata lain, kpk dari dua bilangan bulat positif adalahbilangan bulat terkecil yang dapat dibagi oleh kedua bilangantersebut.

• Kita menggunakan notasi [a, b] untuk kpk dari a dan b.Jadi, jika m adalah kpk dari a dan b, maka m = [a, b].

Contoh

• Kelipatan dari 5 adalah {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, . . .}.

• Kelipatan dari 6 adalah {6, 12, 18, 24, 30, 36, . . .}.

Contoh

• Kelipatan dari 5 adalah {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, . . .}.

• Kelipatan dari 6 adalah {6, 12, 18, 24, 30, 36, . . .}.

• Kelipatan persekutuan dari 5 dan 6 adalah {30, 60, . . .}.

Contoh

• Kelipatan dari 5 adalah {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, . . .}.

• Kelipatan dari 6 adalah {6, 12, 18, 24, 30, 36, . . .}.

• Kelipatan persekutuan dari 5 dan 6 adalah {30, 60, . . .}.

• Jadi [4, 5] = 30

Sifat-sifat KPK

Kita akan membuktikan tiga sifat berikut:

1. a|c , b|c → [a, b]|c .

2. [ca, cb] = c[a, b] untuk c > 0.

3. (a, b)[a, b] = ab.

Sifat-sifat KPK

Teorema 1

a|c , b|c → [a, b]|c .

Sifat-sifat KPK

Teorema 1

a|c , b|c → [a, b]|c .

Bukti. Misalkan [a, b] = m. Kita akan menunjukkan bahwa m|c .Andaikan m 6 | c . Menurut algoritma pembagian ada q dan r

sehingga c = mq + r dengan 0 ≤ r < m, atau r = c −mq. Karenaa|c dan a|m, maka a|c − mq = r . Dengan alasan yang sama b|r .Ini berarti r adalah kelipatan persekutuan dari a dan b, tetapir < m. Ini tidak mungkin karena m adalah kpk dari a dan b.Kontradiksi ini membuktikan teorema. �

Sifat-sifat KPK

Teorema 2

[ca, cb] = c[a, b] untuk c > 0.

Sifat-sifat KPK

Teorema 2

[ca, cb] = c[a, b] untuk c > 0.

Bukti. Misalkan [a, b] = m dan [ca, cb] = t, akan dibuktikanbahwa t = cm. Karena a|m dan b|m, maka ca|cm dan cb|cm. Iniberarti cm adalah kelipatan persekutuan dari ca dan bc . Jadi t|cm.Selanjutnya, karena ca|t, maka t = cak = cp. Akibatnya, cp|cmatau p|m. Tetapi ca|cp dan cb|cp atau a|p dan b|p sehingga m|p.Jadi, p = m atau cp = cm dan ini berarti t = cm. �

Sifat-sifat KPK

Teorema 3

(a, b)[a, b] = ab.

Sifat-sifat KPK

Teorema 3

(a, b)[a, b] = ab.

Bukti. Misalkan (a, b) = d dan [a, b] = m, akan dibuktikan bahwaab = dm. Karena d |b, maka b = dk atau ab = adk. Membagikedua ruas dengan d menghasilkan ab/d = ak. Ini berartia|(ab/d). Dengan cara yang sama diperoleh pula b|(ab/d). Jadi,m ≤ ab/d sehingga diperoleh dm ≤ ab. Selanjutnya, b|m atauab|am sehingga am = abk. Membagi kedua ruas dengan m

memberikan a = (ab/m)k. Jadi, (ab/m)|a. Dengan cara yangsama diperoleh (ab/m)|b. Ini berari ab/m ≤ d atau ab ≤ dm.Akibatnya, ab = dm. �