KEISOMORFAN DAN GEOMETRI

OLEH:IRYANTI

& DIAN FIRMAYASARI

Suatu padanan atau korespondensi satu-satu antara sebuah himpunan s dan S’ adalah suatu padanan satu-satu a a’.

KEISOMORFAN

12345

ABCDE

a a'

Geometri Affin

Teorema Kesejajaran

Melalui sebuah titik di luar suatu garis dapat ditarik hanya satu garis.

Teorema

Teorema 1:

Andaikan diketahui garis a sejajar dengan b.apabila garis c memotong garis a,maka c memotong garis a pula.

Bukti

Andaikan c meotong a di titik P dan andaikan c // b. Ini berarti bahwa melalui P ada dua garis, yaitu a dan c yang sejajar dengan gengan garis b. Hal ini berlawanan dengan aksioma kesejajaran. Jadi haruslah c memotong garis b.

c

p a

b

Teorema akibat 1

Teorema akibat 2

Apabila garis a,b,c berlainan a//b dan c//a maka c//b.

Apabila a//b,b//c maka a=c atau a//c maka c//b

Defenisi

Apabila garis a dan b bersifat bahwa a//b atau a=b, maka dikatakan bahwa a searah b

Kesearahan garis dapat dianggap sebagai perluasan kesejajaran,kesearahan adalah suatu relasi ekivalensi.namun tidak berlaku pada kesejajaran karena garis a tidak sejajar garis a,akan tetapi garis a searah dengan garis a,maka berlaku: Jika a sdearah b maka b searah aJika a searah b da\ b searah c maka a searah c

Defenisi

Andaikan S sebuah himpunan dan R sebuah relasi dalam SxS, maka R SxS yang ditulis sebagai aRb untuk aєS dan b єS.R ini memiliki sifat-sifat sebagaberikut: untuk sebarang a,b,c є S berlaku:1. aRaa, ( sifat reflektif).2. Apabila aRb maka bRa ( sifat simetri )3. Apabila aRb dan bRc maka arc

Ketransversalan Garis

Apabila garis a dan b sebidang, maka antara a dan b terdapat tiga kemungkinan, yaitu:1) a//b atau 2) a=b atau3) a b dan a≠b.

Definisigaris a dikatakan melintasi garis b apabila a memotong b dan a≠b . relasi ini kita singkat sebagai a lint b (a melintasi b).

Sebagai akibat definisi tersebut dapat kita kemukakan sifat sebagai berikut :a lint b jika dan hanya jika perpotongan antara a dan b adalah sebuah titik.Jika a, b dua garis yang sebidang (coplanar) maka:(i) a//b, (ii) a lint b, (iii) a=b.

teorema 2

pada bidang apabila sebuah garis melintasi salah satu dari dua garis yang sejajar, akan pula melintasi garis yang lain.

Perlintasan garis dan bidang:

Definisi :

Konsep kesejajaran dan pelintasan di atas kita perluas untuk garis dan bidang.

sebuah garis g dinamakan sejajar dengan bidang V, atau V sejajar dengan g, ditulis g//V atau V//g, apalagi g dan V tidak memiliki titik potong.

Garis g melintasi V atau V melintasi g, ditulis g lint V atau V lint g apabila g dan V bertemu di sebuah titik.

Teorema 3 :

apabila sebuah bidang melintasi salah satu dari dua garis yang sejajar, maka garis itu melintasi garis yang lain.

Bukti :

andaikan g //m dan V lint g. andaikan A titik potong antara g dan V; andaikan pula W bidang yang memuat g dan m (sebab g // m apabila sebidang dan g dan m tidak memiliki titik potong), maka V≠W (mengapa ?). selanjutnya Aєg sedangkan g C W; jadi A є W. jadi A titik potong V dan W. ini berarti V memotong W. sehingga perpotongan antara V dan W adalah sebuah garis, misalnya W, dan W ini memuat A; n dan ag berbeda (apa sebab ?). dengan demikian maka n lint g. oleh karena m, g dan n terletak pada bidang W maka n lint m( teorema 2). Andaikan b titik potong n dan m maka B pada bidang V dan B titik potong V dan m.

Teorema Akibat 1

jika g // m dan V tidak melinyas g, maka V tidak melintas m.

Bukti

Andaikan V lint m, jika g // m, maka berdasarkan teorema 3, maka V lint g kontradiksi dengan pernyataannya,sehingga terbukti teorema akibat 1.

Bukti

TERIMA KASIH