KATA PENGANTAR

Mata kuliah Teori Pengoptimuman merupakan salah satu mata kuliah pilihan

bagi mahasiswa Program Studi Matematika Universitas Mataram yang disajikan pada

semester 5 dengan bobot 3 SKS. Dengan melihat obyek dan bobot dari mata kulian ini,

materi-materi yang disajikan dipilih sedemikian hingga mahasiswa yang telah lulus

mata kuliah ini memiliki sejumlah kemampuan dasar yang berkaitan dengan teori dasar

yang berkaitan dengan metode pengoptimuman dan penerapannya.

Buku ini dikemas dalam enam bab. Bab I berisi tentang apa dan bagaimana

terkait dengan teori pengoptimuman, dilengkapi dengan landasan matematika yang

berisi teori-teori yang mendukung dalam teknik pengoptimuman. Bab II tentang

teknik-teknik pengoptimuman tanpa menggunakan konsep kalkulus. Bab III mengupas

tentang tehnik pengoptimuman untuk kasus optimasi tanpa kendala. Bab IV membahas

tentang tentang tehnik pengoptimuman untuk kasus optimasi yang berkendala. Bab V

membahas tentang topik khusus yang berkaitan dengan program geometrik dan pada

Bab VI membahas tentang topik program dinamik.

Buku ini disajikan dengan bahasa sederhana disertai dengan pembahasan

contoh-contoh yang terkait dengan topik yang diuraikan. Pada setiap babnya

disediakan beberapa soal latihan. Mahasiswa diharapkan mempelajari dengan baik dan

cermat setiap metoda dan cara yang dilakukan dalam pemecahan soal-soal pada contoh

yang diberikan dan mengerjakan semua latihan yang ada.

Akhirnya, kami menyampaikan terima kasih kepada Dekan FMIPA Universtas

Mataram yang memberikan kesempatan kepada kami untuk menyusun buku ini.

Kemudian sebagai penyusun kami menyadari kemungkinan adanya kekeliruan atau

kesalahan pada buku ini, dengan hati terbuka kami menerima segala kritikan dan saran

demi perbaikan buku ini.

Penulis

DAFTAR ISI

Kata Pengantar

Bab 1. Pendahuluan

1.1. Pendahuluan

1.2. Landasan Matematika

1.2.1. Norma

1.2.2. Invers Matriks

1.2.3. Karakteristik Nilai Eigen

1.2.4. Fungsi dan Diferensial

1.2.5. Himpunan Konveks dan Fungsi Konveks

1.3. Kondisi Optimal untuk Masalah Optimasi Tidak Berkendala

1.4. Latihan

Bab 2. Optimasi Tanpa Kalkulus

2.1. Ketaksamaan Rata-Rata Aritmatika dan Geometri

2.2. Optimasi Menggunakan Ketaksamaan AM-GM

2.3. Ketaksamaan Cauchy

2.4. Hasil Kali Dalam untuk Matriks Bujur Sangkar

2.5. Latihan

Bab 3 Optimasi Tanpa Kendala

2.1. Metode Steepest-Descent

2.2. Metode Newton

2.3. Metode Gauss-Newton

2.4. Latihan

Bab 4. Optimasi Berkendala

4.1. Kendala

4.2. Klasifikasi Permasalahan Optimasi Berkendala

1

1

2

2

4

5

7

9

11

14

15

15

16

18

21

23

24

24

30

33

38

40

40

47

4.2.1 Program Linear (Linear Programming)

4.2.2 Program Kuadratik (Quadratic Programming)

4.2.3 Program Konveks (Convex Programming)

4.2.4 Bentuk Umum Permasalahan Optimasi Berkendala

4.3. Metode Transformasi

4.4. Pengganda Lagrange (Lagrange Multiplier)

4.4.1 Pengganda Lagrange untuk Permasalahan Kendala Persamaan

4.4.2 Kasus Khusus : Fungsi Kuadratik dengan Kendala Linear

4.4.3 Metode Lagrange untuk Kendala Pertidaksamaan

4.5. Teorema Karush-Kuhn-Tucker

4.6 . Latihan

Bab 5. Program Geometrik

5.1 Pendahuluan

5.2 Posinomial

5.3 Program Geometri Tanpa Kendala

5.3.1 Tingkat Kesulitan (degree of difficulty)

5.3.2 Syarat Cukup untuk Solusi PG

5.4 Solusi Program Geometri Menggunakan Ketaksamaan Aritmatik-

Geometrik

5.5 Relasi Primal-Dual dan Syarat Cukup untuk Kasus Tanpa Kendala

5.6 Permasalahan Optimasi Berkendala

5.7 Penyelesaian Permasalahan Program Geometrik Berkendala

5.8 Latihan

Bab 6. Program Dinamik

6.1 Pendahuluan

6.2 Definisi Program Dinamik

6.3 Sifat atau Karakteristik Program Dinamis

6.4 Multi Tahapan Proses Pengambilan Keputusan

6.5 Konsep Suboptimalisasi dan Prinsip Optimalitas dalam Permasalahan

Program Dinamik

6.6 Metode Kalkulus untuk Penyelesaian Program Dinamik

47

49

49

50

51

56

56

58

58

60

62

64

64

64

65

65

67

72

73

76

76

78

79

79

80

80

81

83

85

6.7 Jenis-jenis Pendekatan Program Dinamis

6.8 Latihan

Daftar Bacaan

91

94

1

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Pendahuluan

Teori optimasi merupakan salah satu subyek dalam matematika terapan,

matematika komputasi, dan riset operasi yang memiliki ranah aplikasi yang cukup luas

pada berbagai bidang seperti sains, enginering, ekonomi dan bisnis, keuangan, militer,

dan sebagainya. Secara khusus, teori dan metode optimasi merupakan suatu alat untuk

menentukan solusi optimal dari suatu permasalah nyata yang didefinisikan secara

matematika menggunakan metode ilmiah dan alat-alat (teori atau metode) yang terkait

dalam penentuan solusi optimal tersebut.

Penyelesaian permasalahaan optimasi merupakan suatu langkah ilmiah

penentuan solusi optimal atau terbaik terhadap suatu permasalahan nyata yang terdiri

atas serangkaian kegiatan yang meliputi penyusunan model matematika yang terkait

dengan masalah yang dipecahkan. Model matematika ini berkaitan dengan proses

pendefinisian variabel yang merepresentasikan permasalahan yang dihadapi, penentuan

fungsi tujuan, dan fungsi kendala.

Secara umum, model optimasi diberikan oleh Persamaan (1.1.1) berikut ini.

Min ( ) dengan , atau Min ( )f x x X f xx X

(1.1.1)

dengan x menyatakan variabel keputusan (decision variable), ( )f x menyatakan fungsi

tujuan (objective function), dan nX menyatakan himpunan kendala (constrain set)

atau daerah feasibel (feasible region). Secara khusus, permasalahan optimasi dapat

dibedakan atas dua tipe, yaitu optimasi tanpa kendala dan optimasi berkendala.

Permasalahan optimasi tanpa kendala diberikan oleh Persamaan (1.1.2) berikut :

Min ( )f xx X

(1.1.2)

dan permasalahan optimasi tanpa berkendala diberikan oleh Persamaan (1.1.3) berikut :

2

Min ( )

dengan kendala : ( ) 0, ,

( ) 0, .i

j

f xx X

C x i E

C x j I

(1.1.3)

dengan E dan I berturut-turut menyatakan himpunan indeks untuk kendala berupa

persamaan (equality constraints) dan kendala berbentuk pertidaksamaan (inequality

constraints).

1.2 Landasan Matematika

Pada sub bagian ini akan diuraikan beberapa konsep matematika yang menjadi

dasar pengembangan teori dan metode pengoptimuman, seperti norma, matriks, fungsi,

diferensial, himpunan dan fungsi konveks.

1.2.1 Norma

Pada buku ini, notasi n dan n berturut-turut menyatakan ruang berdimensi n

atas lapangan real dan lapangan kompleks. Untuk atau n nx menyatakan n-

tupel, 1 2, , , nx x x x dengan atau ; 1,2, , .i ix x i n

Definisi berikut akan memberikan pengertian tentang terminologi norma.

Definisi 1.1 Misalkan , nx y dan sebarang. Fungsi : n disebut

norma, jika memenuhi pernyataan berikut ini :

(i). 0, dan 0 jika dan hanya jika 0,x x x

(ii). x x ,

(iii). x y x y .

Untuk ,nx beberapa contoh fungsi norma yang sudah umum dikenal antara

lain :

(1). Norma- l : 1

kk n

x maks x ,

(2). Norma- 1l : 1

1

n

kk

x x

,

(3). Norma- 2l : 1/2

2

21

n

kk

x x

,

3

Secara umum, untuk suatu bilangan bulat p didefinisikan Norma- pl sebagai berikut:

1/

1

pnp

kpk

x x

(1.2.1)

Definisi 1.2. Misalkan , m nA B dan sebarang. Fungsi : m n

disebut norma matriks, jika memenuhi pernyataan berikut ini :

(i). 0, dan 0 jika dan hanya jika 0,A A A

(ii). A A ,

(iii). A B A B .

Berkaitan dengan norma- pl pada (1.2.1), norma- pl untuk matriks adalah sebagai berikut

:

10

supp

p

p pxxp

AxA maks Ax

x (1.2.2)

Secara khusus, beberapa definisi norma yang sudah sering dan umum digunakan adalah

(1). Norma maksimum atas vektor kolom:

1 1

1

n

ijj n

i

A maks a

(1.2.3)

(2). Norma maksimum atas vektor baris:

1 1

1

n

iji n

j

A maks a

(1.2.4)

(3). Norma spektral:

1/2

2

TmaksA A A (1.2.5)

Selanjutnya berdasarkan definisi norma tersebut di atas, didefinisikan konsep

jarak sebagai berikut.

Definisi 1.3 Misalkan , nx y . Jarak antara titik x dan y pada ruang n ,

dinotasikan dengan ( , ),d x y merupakan suatu fungsi ( , ) : n nd x y yang

didefinisikan dengan ( , ) .d x y x y

4

Berdasarkan definisi norma, berikut ini adalah karakteristik dari fungsi jarak.

Definisi 1.4 Misalkan , , nx y z .

(i). ( , ) 0d x y dan ( , ) 0d x y jika dan hanya jika ,x y

(ii). ( , ) ( , ) ( , ),d x z d x y d y z

(iii). ( , ) ( , )d x y d y x .

Selanjutnya berikut akan diberikan beberapa terminologi konvergensi barisan

vektor pada n dan barisan matriks pada ruang m n .

Definisi 1.5 Misalkan nkx , untuk setiap n bilangan asli. Barisan vektor kx

dikatakan konvergen ke- x , jika

lim 0nnx x

(1.2.6)

Selanjutnya, misalkan m nkA , untuk setiap ,m n . Barisan matriks kA

dikatakan konvergen ke A, jika

lim 0nnA A

(1.2.7)

Definisi 1.6 Barisan nkx dikatakan barisan Cauchy, jika untuk setiap 0

terdapat indeks N sehingga n mx x , untuk setiap , .n m N

Atau, untuk setiap ,n m N berlaku

,lim 0n mn m

x x

(1.2.8)

1.2.2 Invers Matriks

Pada subbagian ini akan diuraikan beberapa teorema dasar yang berkaitan

dengan invers dan invers yang diperumum (generalized inverse) dari matriks.

Teorema 1.7 [Sun dan Yuan, 2006:9]

Misalkan . konsisten norma matriks dengan 1I dan n nE sebarang. Jika

1E maka I E matriks nonsingular, dan

5

1

0

( ) ,k

k

I E E

(1.2.9)

dan

1 1.

1I E

E

(1.2.10)

Jika n nA adalah matriks nonsingular dan 1 1A B A maka matrikas B

adalah nonsingular dan memenuhi

1 1 1

0

,k

k

B I A B A

(1.2.11)

dan

1

1

11

AB

A B A

. (1.2.12)

Teorema 1.8 [Sun dan Yuan, 2006:10]

Misalkan , n nA B dan diasumsikan A mempunyai invers dengan 1 .A Jika

A B dan 1 maka B juga mempunyai invers dan

1 1

1b

(1.2.13)

1.2.3 Karakteristik Nilai Eigen

Pada subbab ini, akan diuraikan beberapa terminologi yang terkait dengan nilai

eigen, khususnya yang terkait dengan matriks definit positif, matriks definit negatif,

dan matriks simetrik indefinit.

Definisi 1.9 Misalkan n nA suatu matriks dan , 0nx x . Bilangan

disebut nilai eigen dari matriks A, jika memenuhi kesamaan berikut:

Ax x (1.2.14)

Vektor x yang memenuhi Persamaan (1.2.14) disebut vektor eigen yang berkorespondensi dengan nilai eigen .

6

Definisi 1.10 Radius spektral dari matriks A didefinisikan dengan

1

( ) ii n

A maks

(1.2.15)

Misalkan matriks n nA dengan nilai–nilai eigen 1 2, , , .n Vektor eigen

yang berkorespondensi dengan nilai eigen yang berbeda dari matriks A adalah bebas

linear.

Definisi 1.11 Misalkan n nA adalah matriks simetrik dan nv .

(1). Matriks A disebut definit positif jika 0Tv Av , untuk setiap 0v .

(2). Matriks A disebut semidefinit positif jika 0Tv Av .

(3). Matriks A disebut definit negatif jika A definit positif atau 0Tv Av , untuk

setiap 0v .

(4). Matriks A disebut semidefinit negatif jika A semidefinit negatif atau 0Tv Av .

(5). Matriks A disebut indefinit, jika A bukan semidefinit positif atau semidefinit

negatif.

Misalkan n nA adalah matriks simetrik. Beberapa karakteristik dari matiks A

adalah sebagai berikut :

(1). Semua nilai eigen dari A adalah bilangan real.

(2). Vektor eigen yang berkorespondensi dengan nilai-nilai eigen yang berbeda dari

matriks A adalah ortogonal.

Berdasarkan Definisi 1.10, beberapa karakteristik yang terkait dengan matriks

simetrik definit posifif, semidefinit positif, definit negatif dan semidefinit negatif.

Misalkan n nA adalah matriks simetrik.

(1). Matriks A adalah definit positif jika dan hanya jika semua nilai eigen dari matriks

A adalah positif.

(2). Matriks A adalah semidefinit positif jika dan hanya jika semua nilai eigen dari

matriks A adalah non negatif.

(3). Matriks A adalah definit negatif jika dan hanya jika semua nilai eigen dari matriks

A adalah negatif.

(4). Matriks A adalah semidefinit negatif jika dan hanya jika semua nilai eigen dari

matriks A adalah non negatif.

7

(5). Matriks A adalah indefinit jika dan hany jika nilai eigen dari matriks A ada yang

positif dan sekaligus yang negatif.

1.2.4 Fungsi dan Diferensial

Misalkan nx dan 0. Sekitaran- (neighborhood) dari vektor x

didefinisikan dengan

( ) |nN x y y x (1.2.16)

Misalkan nD dan .x D Titik x disebut titik interior dari D, jika terdapat

sekitaran- dari x sedemikian hingga ( ) DN x . Himpunan semua titik interior dari

himpunan D dinotasikan dengan ( )Int D . Oleh karenanya, ( ) DInt D . Jika setiap

titik pada D adalah titik interior atau ( ) DInt D , maka himpunan D adalah himpunan

buka.

Titik nx D disebut titik akumulasi atau titik limit, jika 0,

( ) D .N x ini berarti, terdapat subbarisan knx pada D sehingga

knx x .

Himpunan semua titik limit dari D disebut tutupan (closore) dari D, dinotasikan dengan

D . Jelas bahwa D D . Selanjutnya, jika D D atau setiap titik limit pada D

dimuat oleh D maka D adalah himpunan tutup.

Himpunan nD disebut terbatas, jika terdapat bilangan real M sedemikian

hingga ,x M untuk setiap .x D Selanjutnya, himpunan nD dikatakan

himpunan kompak, jika D tutup dan terbatas.

Fungsi : nf disebut kontinu di titik ,nc jika untuk setiap 0

terdapat 0 sedemikian hingga jika x c maka ( ) ( )f x f c . Dengan

kata lain, untuk setiap ( )x N c , ( ) ( ( )).f x N f c Jika fungsi f kontinu untuk setiap

titik pada D maka f dikatakan kontinu pada D.

8

Fungsi kontinu : nf dikatakan kontinu terdiferensial di titik ,nc jika

turunan fungsi f di titik c, i

fc

x

ada dan kontinu, 1, 2, , .i n Gradient fungsi f

atau Matriks Jacobian untuk fungsi f di titik nx didefinisikan dengan

1 2

( ) ( ) ( ) ( )T

n

f f ff x x x x

x x x

(1.2.17)

Jika f kontinu terdiferensial di setiap titik pada himpunan buka nD maka f disebut

kontinu terdiferensial pada D dan dinotasikan dengan 1( ).f C D Secara umum, jika

fungsi kontinu ' '' (p)( ), dan ( ), ( ), , ( )f x f x f x f x ada dan kontinu untuk setiap titik pada

himpunan D, maka dinotasikan dengan ( ).pf C D

Fungsi kontinu terdifensial : nf dikatakan mempunyai turunan kedua

yang kontinu di nx jika 2

i j

f

x x

adadan kontinu, untuk setiap , 1, 2, , .i j n

Matriks Hessian dari fungsi ,f 2 ,f didefinisikan sebagai matriks simetris berukuran

n n dengan elemen sebagai berikut

2

2

,( ) ( ), 1 ,

i ji j

ff x x i j n

x x

(1.2.18)

Atau

2 2 2

1 1 1 2 1

2 2 2

22 1 2 2 2

2 2 2

1 2

( )

n

n

n n n n

f f f

x x x x x x

f f f

f x x x x x x x

f f f

x x x x x x

1.2.5 Himpunan Konveks dan Fungsi Konveks

Himpunan dan funsgi konveks merupakan dua terminologi yang cukup penting

dalam kajian optimasi.

9

1.2.5.1 Himpunan Konveks

Definisi 1.12 Misalkan .nS Jika setiap 1 2,x x S dan [0,1] berlaku

1 21x x S (1.2.19)

maka himpunan S disebut himpunan konveks.

Secara umum, himpunan nS disebut himpunan konveks, jika untuk setiap

1 2, , , mx x x S berlaku

1

m

i ii

x S

(1.2.20)

dengan 1

1, 0, dan 1,2, , .m

i ii

i m

Secara geometri, Definisi 1.11 mengindikasikan bahwa jika 1 2,x x S maka segmen

garis antara 1x dan 2x berada pada himpunan S, sebagaimana di ilustrasikan pada

Gambar 1 berikut:

Gambar 1. Ilustrasi himpunan konveks dan himpunan bukan konveks

Pada Gambar 1, himpunan yang pertama (bagian kiri) terlihat bahwa 1 2 dan x x

serta semua titik pada ruas garis 1 2x x berada pada himpunan S, tetapi pada himpunan

kedua (bagian kanan), 1 2 dan x x berada pada himpunan S, tetapi ada bagian pada ruas

garis 1 2x x yang berada di luar himpunan S.

Beberapa karakteristik himpunan konveks adalah sebagai berikut :

1) Misalkan 1 2 dan S S adalah himpunan konveks pada n maka

x1

x1

x2x2

Himpunan KonveksHimpunan Bukan Konveks

10

(a). 1 2S S adalah himpunan konveks.

(b). 1 2 1 2 1 1 2 2| ,S S x x x S x S adalah himpunan konveks.

2) Jika nS adalah himpunan konveks maka

(a). Himpunan interior dari S, Int(S), adalah himpunan konveks.

(b). Tutupan (closure) dari himpunan S adalah himpunan konveks.

1.2.5.2 Fungsi Konveks

Definisi 1.13 Misalkan nS dan S merupakan himpunan konveks, serta fungsi

: .nf S Jika untuk setiap 1 2,x x S dan setiap 0,1 berlaku

1 2 1 2( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ),f x x f x f x (1.2.21)

maka fungsi f disebut fungsi konveks pada S.

Selanjutnya, jika terdapat 0c sedemikian hingga untuk setiap 1 2,x x S berlaku

2

1 2 1 2 1 2

1( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) ,

2f x x f x f x c x x (1.2.22)

maka fungsi f disebut fungsi konveks secara seragam (uniformly) pada S.

Jika fungsi f pada S merupakan fungsi konveks (konveks seragam), maka invers

dari fungsi f yaitu f merupakan fungsi konkaf /concave (konkaf seragam) pada S,

seperti yang di ilustrasikan pada Gambar 2.

Gambar 2 Ilustrasi grafik (i) fungsi konveks, (ii) fungsi konkaf, dan (iii) bukan fungsi konveks dan konkaf

Secara geometri, berdasarkan ilustrasi pada Gambar 2, fungsi konveks dapat

diinterpretasikan sebagai suatu fungsi yang grafiknya berada di bawah ruas garis yang

x1 x2 x

x1 x2 x

(i)

x1 x2 x

(ii)

x1 x2 x

(iii)

11

menghubungkan titik 1 1, ( )x f x dan titik 2 2, ( )x f x untuk setiap 1 2,x x x .

Sebaliknya, grafik fungsi konkaf berada di atas ruas garis yang menghubungkan titik

1 1, ( )x f x dan titik 2 2, ( )x f x untuk setiap 1 2,x x x .

Suatu fungsi : nf S dikatakan fungsi konveks tegas (strictly convex)

pada S, jika

( ( )) ( ) ( ( ) ( )), ,f x y x f x f y f x x y S .

Selanjutnya teorema berikut akan memberikan hubungan antara fungsi konveks dengan

matriks Hessian.

Teorema 1.14 Misalkan nS suatu himpunan konveks yang tidak kosong dan

misalkan pula :Sf kontinu terdiferensial dua kali, 2 ( ).f C S

1) Fungsi f adalah fungsi konveks jika dan hanya jika matriks Hessian yang berkaitan

dengan fungsi f adalah matriks semidefinit positif untuk setiap titik di S.

2) Fungsi f adalah fungsi konveks tegas, jika matriks Hessian yang berkaitan dengan

fungsi f adalah matriks definit positif untuk setiap titik di S.

3) Fungsi f konveks seragam jika dan hanya jika matriks Hessian yang berkaitan

dengan fungsi f adalah matriks definit positif seragam untuk setiap titik di S, yaitu

terdapat konstanta 0m sehingga

2 2 (x) , dan T nm u u f u x S u

1.3 Kondisi Optimal untuk Masalah Optimasi Tidak Berkendala

Pada subbab ini, misalkan permasalahan optimasi tidak berkendala diberikan

sebagai berikut:

min ( ), nf x x (1.23)

Secara umum, berkaitan dengan permasalahan optimasi tidak berkendala terdapat

dua tipe masalah pengoptimuman yiatu optimum lokal dan optimum global yang

diberikan oleh definisi berikut ini.

12

Definisi 1.15 Titik x disebut titik minimum lokal (local minimizer),, jika terdapat

0 sedemikian hingga ( ) ( ), nf x f x x dan x x . Kemudian, Titik x

disebut titik minimum lokal tegas (strict local minimizer), jika terdapat 0

sedemikian hingga ( ) ( ), , ,nf x f x x x x dan x x .

Definisi 1.16 Titik x disebut titik minimum global (global minimizer), jika

( ) ( ), nf x f x x . Kemudian, Titik x disebut titik minimum global tegas (strict

global minimizer), jika ( ) ( ), , dan .nf x f x x x x

Secara geometri, ilustrasi definisi minimum lokal, minimum lokal tegas dan

minimum global dapat dilihat pada Gambar 3. Pada tataran aplikasi, kebanyakan

algoritma yang diajukan digunakan untuk menentukan minimum lokal. Sedangkan

untuk minimum global merupakan pekerjaan yang cukup sulit, kecuali untuk beberapa

fungsi tertentu yang sudah dikenal karakteristiknya, seperti fungsi kuaratik atau fungsi

polinomial pada umumnya.

Gambar 3. Ilustrasi minimum lokal, minimum lokal tegas dan minimum global

Salah satu konsep yang sangat penting dalam menemukan lokasi minimum lokal

adalah arah descent (descent direction) yang didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 1.17 Misalkan : nf terdiferensial di titik .nx Jika terdapat vektor

nd sehingga

( ), 0,f x d (1.24)

maka d disebut arah descent dari fungsi f di titik x.

Minimum Lokal Tegas 

Minimum Lokal  

Minimum Global  

13

Kondisi pada teorema berikut merupakan syarat perlu suatu fungsi f memiliki

minimum lokal di titik .nx

Teorema 1.18 (Syarat Perlu untuk Turunan Pertama)

Misalkan : D nf kontinu terdiferensial pada himpunan buka D. Jika *x D

adalah titik minimum lokal dari (1.23) maka berlaku

0.f x (1.25)

Teorema 1.19 (Syarat Perlu untuk Turunan Kedua)

Misalkan D n himpunan buka, : D nf diberika, dan 2 ( )f C D . Jika

*x D adalah titik minimum lokal dari (1.23) maka * 0f x dan 2 *f x adalah

matriks semidefinit positif.

Teorema 1.20 (Syarat Cukup untuk Turunan Kedua)

Misalkan D n himpunan buka, : D nf diberika, dan 2 ( )f C D . Jika

* 0f x dan 2 *f x semidefinit positif maka *x D adalah titik minimum lokal

tegas dari (1.23).

Definisi 1.21 Titik * nx disebut titik stasioner (titik kritis) untuk fungsi terdiferensial

f, jika * 0f x .

Teorema 1.22 Misalkan nS suatu himpunan konveks tak kosong dan fungsi

:f S . Misalkan pula *x S titik minimum lokal sedemikian hingga

*0, .f x f x x S S .

(1). Jika f fungsi konveks maka *x S juga merupakan titik minimum global.

(2). Jika f fungsi konveks tegas maka *x S merupakan satu-satunya titik minimum

global.

14

1.4 Latihan

1. Misalkan A adalah matriksnon singular berukuran n n . Buktikan bahwa

1

xAx

A .

2. Tunjukkan dengan induksi matematika bahwa himpunan nS adalah himpunan

konveks jika dan hanya jika untuk setiap 1 2, , , nx x x S berlaku

1

n

i ii

x S

dengan 0, 1,2, ,i i n dan 1

1.n

ii

3. Misalkan ,m nA dan mb . Buktikan bahwa himpunan

| , 0nS x Ax b x

adalah himpunan konveks.

4. Misalkan 21 1 2 1| 1, 0D x x x x dan 2

2 1 2 1| 1, 0 .D x x x x

Misalkan pula 1 2.D D D Tunjukkan bahwa jika D1 dan D2 adalah himpunan

konveks, tetapi himpunan D belum tentu himpunan konveks.

5. Misalkan ( ), 1,2, ,if x i m adalah fungsi konveks yang terdefinisi pada himpunan

konveks .nD Tunjukkan bahwa fungsi

1

( ) ( )m

i ii

g x f x

juga merupakan fungsi konveks pada D, dengan 0, 1,2, ,mi i dan

1

1.m

ii

15

BAB 2

OPTIMASI TANPA KALKULUS

(OPTIMIZATION WITHOUT CALCULUS)

Pembahasan tentang tehnik atau metode optimasi, biasanya kita tidak terlepas

dari syarat turunan pertama dan kedua dari suatu fungsi, sistem persamaan linier,

operator nonlinier, ukuran jarak dan sebagainya. Bahkan beberapa mahasiswa atau kita

pada umumnya sering kali menganggap bahwa optimasi merupakan suatu topik atau

pokok bahasan yang penyelesaiannya bergantung pada aplikasi dari turunan dan

kalkulus pada umumnya.

Pada bab ini, kita akan mendiskusikan optimasi tanpa menggunakan prinsip dan

tehnik kalukulus, khususnya teori tentang diferensial. Pembahasan tehnik atau metode

optimasi pada bab ini didasarkan pada ketaksamaan rata-rata Aritmatika-Geometri dan

ketaksamaan Cauchy.

2.1 Ketaksamaan Rata-Rata Aritmatika dan Geometri

Sebelum kita membahas tentang ketaksamaan yang melibatkan hubungan

antara rata-rata aritmatika dan rata-rata, berikut diberikan terminologi tentang rata-rata

aritmatia dan geometri secara parsial.

Definisi 2.1 Jika 1 2, , , nx x x adalah bilangan real positif maka :

(1). Rata-rata aritmatika terhadap n data 1 2, , , nx x x adalah

1 2

1( )nAM x x x

n , (2.1.1)

(2). Rata-rata geometri terhadap n data 1 2, , , nx x x adalah

1/1 2GM ( . . . ) n

nx x x . (2.1.2)

Hubungan antara rata-rata aritmatika(AM) dan rata-rata geometri (GM)

diberikan oleh Teorema berikut :

16

Teorema 2.2 Misal diberikan 1 2, , , nx x x adalah bilangan positif. Hubungan antara

rata-rata aritmatika(AM) dan rata-rata geometri (GM) diberikan oleh ketaksamaan

berikut :

1/1 2 1 2

1( . . . ) ( ),n

n nx x x x x xn

(2.1.3)

dengan tanda sama terpenuhi, jika 1 2 .nx x x

Ketaksamaan (2.1.3) dikenal dengan ketaksamaan rata-rata aritmatika dan

geometri (arithmetic mean-geometric mean) yang dikenal dengan AM-GM.

Teorema 2.3 Perumuman dari Ketaksamaan AM-GM

Misalkan 1 2, , , nx x x adalah n bilangan positif dan misalkan pula 1 2, , , na a a adalah

bilangan-bilangan positif dengan sifat 1

1.n

ii

a

Perumuman dari ketaksamaan AM-

GM adalah

1 21 2 1 1 2 2 ,naa a

n n nx x x a x a x a x (2.1.4)

dengan tanda sama dengan terpenuhi jika dan hanya jika 1 2 .nx x x

2.2 Optimasi Menggunakan Ketaksamaan AM-GM

Ilustrasi penggunaan AM-GM untuk penyelesaian permasalahan optimasi

adalah sebagai berikut :

2.2.1 Contoh 1

Tentukan nilai minimun dari fungsi 12 18

( , ) ,f x y xyx y

dengan dan x y merupakan

dua bilangan positif.

Perhatikan suku-suku pada fungsi 12 18

( , ) .f x y xyx y

Jika ketiga suku pada fungsi

( , )f x y dikalikan maka diperoleh 12 18216xy

x y

. Berdasarkan ketaksamaan

AM-GM berlaku :

17

1

3

12 1812 18

3

xyx y

xyx y

1

31 12 18

2163

xyx y

12 18

18 xyx y

(2.2.1)

Ketaksamaan pada (2.2.1) berimplikasi bahwa nilai minimum fungsi

12 18( , )f x y xy

x y terjadi ketika

12 18

6xyx y (2.2.2)

Kesamaan pada (2.2.2) memberikan 2x dan 3y sehingga diperoleh nilai minimum

untuk fungsi 12 18

( , )f x y xyx y

adalah 18.

2.2.2 Contoh 2

Tentukan nilai maksimum dari fungsi ( , ) (72 3 4 )f x y xy x y dengan dan x y

merupakan dua bilangan positif.

Perhatikan bahwa fungsi ( , ) (72 3 4 )f x y xy x y terdiri atas tiga suku, yaitu , ,x y

dan 72 3 4x y , serta jumlah ketiga suku-suku tersebut bukanlah suatu konstanta.

Tetapi, kalau dimodifikasi menjadi 3 4 (72 3 4 )x y x y memberikan hasil yang

konstan yaitu 72. Dengan demikian fungsi ( , )f x y dapat ditulis kembali menjadi

1( , ) 3 4 (72 3 4 )

12f x y x y x y (2.2.3)

Karena 3 4 (72 3 4 ) 72x y x y maka berdasarkan ketaksamaan AM-GM, nilai

maksimum dari fungsi ( , )f x y terjadi jika masing-masing suku tak konstan dari fungsi

( , )f x y pada (2.2.3) adalah 24.

Akibatnya diperoleh nilai 8x dan 6.y Substitusi nilai x dan y pada fungsi

( , )f x y memberikan nilai maksimum untuk fungsi

8; 6( , ) | (72 3 4 ) 1152.x yf x y xy x y

18

2.2.3 Contoh 3

Tentukan nilai minimum dari fungsi 2

4( , ) 4

x yf x y x

y x dengan dan x y

merupakan dua bilangan positif.

Untuk kasus ini, tulis fungsi 2

4( , ) 4

x yf x y x

y x menjadi

2

2 2( , ) 4

x y yf x y x

y x x

(2.2.4)

Selanjutnya, tulis kembali fungsi ( , )f x y sebagai berikut

2

2 2( , ) 4

x y yf x y x

y x x

Selanjutnya, berdasarkan ketaksamaan AM-GM berlaku

124

2

24

2 24

2 24

4

2 24

164

x y yx

x y y y x xx

y x x

x y yx

y x x

(2.2.5)

Dengan menulis kembali (2.2.4) menjadi

2

2 24

( , ) 44

x y yx

y x xf x y

(2.2.6)

Berdasarkan persamaan (2.2.5) dan (2.2.6) maka diperoleh 1

( , ) 24

f x y . Dengan

demikian diperoleh nilai minimum dari fungsi ( , )f x y adalah 8, yaitu ketika masing-

masing suku pada (2.1.5) bernilai 2.

2.3 Ketaksamaan Cauchy

Definisi 2.4 Misalkan , nx y dengan 1 2, , , nx x x x dan 1 2, , , .ny y y y

(1). Hasil kali dalan vektor x dan y, dinotasikan , ,x y didefinisikan dengan

19

1 1 2 2, n nx y x y x y x y . (2.3.1)

(2). Norma vektor nx didefinisikan dengan

,x x x . (2.3.2)

Definisi 2.5 Misalkan , nx y dengan 1 2, , , nx x x x dan 1 2, , , .ny y y y

Ketaksamaan Cauchy berkaitan dengan vektor x dan y memenuhi

,x y x y (2.3.3)

Ruas kiri akan sama dengan ruas kanan, jika terdapat a sehingga .x ay

Permasalahan optimasi yang menggunakan ketaksamaan Cauchy sebagai alat

penyelesaiannya diperlihat oleh contoh-contoh berikut ini.

Contoh 1.

Tentukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi

( , , ) 2 3 6 ,f x y z x y z (2.3.4)

jika titik ( , , z)x y memenuhi 2 2 2 1x y z .

Berdasarkan ketaksamaan Cauchy, kita peroleh

2 2 2 2 2 2 2(2 3 6 )( ) (2 3 6 ) ,x y z x y z (2.3.5)

Karena syarat 2 2 2 1x y z maka ruas kiri pada (2.3.5) sama dengan 49. Akibatnya

nilai fungsi ( , , z)f x y berada pada interval [ 7,7] dan kesamaan pada (2.3.5) terjadi

ketika vektor (2,3,6) paralell terhadap vektor ( , , )x y z , yaitu

2 3 6

x y z . (2.3.6)

Kesamaan (2.3.6) memberikan ,x t 32 ,y t dan 3z t dengan 2 4

9 .t Akibatnya,

nilai terkecil dari ( , , ) 7f x y z , pada saat nilai 2

7x dan nilai terbesar dari

( , , ) 7f x y z , ketika nilai 2

.7

x

20

Contoh 2.

Permasalahan mendasar pada teori estimasi adalah mengestimasi nilai konstanta c, jika

diberikan sejumlah J data , 1, 2, ,j jz c v j J dengan ,jv j merupakan variabel

acak yang merepresentasikan suatu gangguan (noise) atau kesalahan pengukuran

(measurement error). Jika diasumsikan nilai harapan (ekspetasi) untuk nilai ,jv j

adalah ( ) 0jE v , nilai ,jv j tidak saling berkorelasi atau ( , ) 0,j kE v v untuk j k

dan varians dari jv adalah 2 2( ) 0.jE v

Estimator linier untuk c diberikan oleh

1

.J

j jj

c b z

(2.3.7)

Ingat, bahwa estimator c tidak bias, jika ( ) ,E c c dengan 1

1J

jj

b

. Estimator terbaik

dapat diperoleh dengan meminimumkan 2

.E c c

Dengan demikian, ini berarti bahwa jb harus meminimumkan

2 2

1 1 1

,J J J

j k j k j jj k j

E b b v v b

(2.3.8)

dengan kendala

1

1.J

jj

b

(2.3.9)

Untuk menyelesaikan permasalahan ini, kita akan menggunakan ketaksamaan Cauchy.

Pandang kesamaan

1 1

11 ( ) .

J J

j j jj j j

b b

Ketaksamaan Cauchy memberikan

2 22

1 1

11 ,

J J

j jj j j

b

21

dengan tanda sama dengan terpenuhi jika dan hanya jika terdapat suatu konstanta, sebut

, sehingga

1

, 1,2, , .j jj

b j J

Akibatnya diperoleh

2

1, 1,2, , .j

j

b j J

Berdasarkan persamaan (2.3.9) diperoleh

21

11J

j j

Akhirnya memberikan nilai untuk estimator

2

1

.J

j

j j

zc

(2.3.10)

2.4 Hasil Kali Dalam untuk Matriks Bujur Sangkar

Trace untuk suatu matriks persegi M, notasi trM , adalah jumlah elemen-elemen

matriks M yang berada di bawah diagonal utamanya. Jika diberikan matriks persegi A

dan B atas lapangan (semua elemennya merupakan bilangan real).

Trace dari perkalian matriks TB A mendefinisikan hasil kali dalam,

, ( A).TA B tr B

Hasil kali dalam pada matriks dapat digunakan untuk mendefinisikan norma pada

matriks, yang dikenal dengan norma Frobenius, yaitu :

, ( ).TA A A tr A A (2.4.1)

untuk setiap matriks persegi A.

22

Berikut akan diberikan sebuah teorema yang berlaku pada suatu matriks simetri

(Teorema Fan). Namun sebelum itu akan diuraikan dulu beberapa terminologi yang

akan digunakan dalam teorema tersebut.

Misalkan S adalah suatu matriks simetris. Definisikan 1 2( ) , ( ) , , ,nnS S

adalah vektor yang elemen-elemennya merupakan nilai eigen dari matriks simetris S,

dan ( ( ))D S merupakan matriks diagonal yang elemennya adalah elemen dari ( )S .

Berdasarkan definisi ini, dapat ditunjukkan bahwa

( )S S . (2.4.2)

Misalkan pula ( )S menyatakan vektor dari nilai eigen S yang diurut dengan urutan

tidak naik.

Teorema 2.6 (Teorema Fan)

Jika S dan R adalah dua matriks simetris sebarang maka berlaku

( ) [ ( )],[ ( )] ,tr SR S R

dengan tanda sama dengan terpenuhi jika dan hanya jika terdapat matriks ortogonal U

sedemikian hingga

([ ( )]) ,TS UD S U

dan

([ ( )]) .TR UD R U

Akibat dari Teorema Fan, jika matriks S dan R adalah matriks diagonal, maka berlaku

( ), ( ) [ ( )],[ (R)]S R S . (2.4.3)

23

2.5 Latihan

1. Misalkan A menyatakan rata-rata aritmatika dari himpunan berhingga bilangan

positif P, dengan x dan y berturut-turut menyatakan unsur terkecil dan terbesar dari

himpunan P.

Buktikan bahwa ( ),xy A x y A dan kesamaan terjadi jika dan hanya jika

.x y A

2. Minimumkan fungsi

22

1 4( ) 4f x x x

x x

untuk setiap x bilangan positif.

Petunjuk : pandang dua suku pertama dan dua suku terakhir secara terpisah.

3. Tentukan nilai maksimum dari fungsi 2( , ) ,f x y x y jika x dan y memenuhi

6 5 45.x y

Petunjuk : Tulis 6 3 3x x x .

4. (Ketaksamaan Young) Misalkan p dan q adalah bilangan positif yang lebih besar

dari 1 dan memenuhi 1 11.

p q Jika x dan y adalah dua bilangan positif maka

,p qx y

xyp q

dengan kesamaan terjadi jika dan hanya jika .p qx y

Petunjuk : gunakan perumuman dari ketaksamaan AM-GM.

24

BAB 3

OPTIMASI TANPA KENDALA

(UNCONSTRAINED OPTIMIZATION)

Permasalahan optimasi tanpa kendala dapat dibedakan atas dua metode, yaitu

metode pencarian (search methods) dan metode gradien (gradient methods). Namun

secara umum, khususny untuk permasalahan multidimensi, metode pencarian kurang

efisien. Oleh karenanya pada buku ini hanya akan dibahas tentang metode gradien.

Metode gradien merupakan salah satu metode optimasi yang berdasarkan pada

informasi gradient fungsi yang akan dioptimalkan pada suatu titik tertentu. Pada bagian

ini, kita akan fokus pada tiga metode gradien yang umum yaitu :

(a). Metode Steepest-Descent

(b). Metode Newton (c). Metode Gauss-Newton

3.1 Metode Steepest-Descent

Misal diberikan suatu permasalahan optimasi

F = ( ), untuk .nMin Min f x x (3.1.1)

Berdasarkan aturan pada Deret Taylor,

12( ) ( ) ,T TF F f x f x g H (3.1.2)

dan 0. Perubahan F dalam fungsi diberikan oleh

.TF g (3.1.3)

Operasi kali pada ruas kanan (3.1.3) adalah kali skalar atau hasil kali dalam (dot

product) antara vektor g dan vektor .

Jika 1 2gT

ng g g dan 1 2

T

n maka

25

1

cosn

i ii

F g g

dengan menyatakan sudu antara vektor g dan vektor , dan

1

2 .Tg g g (3.1.4)

3.1.1 Arah Ascent dan Descent

Perhatikan plot kontur pada Gambar 3.1. Jika x dan x dua titik yang

berdekatan pada kontur A, maka untuk 0 berlaku

cos 0F g (3.1.5)

Karena F merupakan konstanta pada kontur. Dengan demikian dapat disimpulkan

bahwa besaran sudut antara vektor g dan vektor sama dengan 900. Akibatnya

gradien di titik x adalah ortogonal dengan kontur A, seperti yang diilustrasikan pada

Gambar 3.1. Selanjutnya, untuk setiap , F bernilai maksimum (positif) jika 0 ,

dan merupakan arah dari fungsi .g

Gambar 3.1 Arah Steepest Descent dan Steepest Ascent. Sumber : Antoniou dan Lu (2007:121)

26

Pada sisi lain, F bernilai maksimum (negatif) jika , dan menyatakan arah

dari fungsi .g Gradien g dan g berturut-turut menyatakan arah steepest ascent dan

steepest descent. Secara mendasar definisi terkait dengan hal ini diberikan sebagai

berikut.

3.1.2 Metode Dasar

Misalkan ( )f x adalah fungsi kontinu di sekitaran titik x. Jika d menyatakan

arah steepest-descent di titik X di titik x, yaitu

d g

maka perubahan sebesar di titik x diberikan oleh

,d untuk suatu 0

akan mengurangi nilai fungsi ( ).f x Maksimum pengurangan nilai fungsi ( )f x dapat

dipandang sebagai permasalahan mencari solusi permasalahan

( )Min F f x d

(3.1.6)

sebagaimana diilustrasikan seperti pada Gambar 3.2 dan Gambar 3.3.

Gambar 3.2 Konstruksi metode steepest descent. Sumber : Antoniou dan Lu (2007:122).

27

Gambar 3.3 Arah Steepest Descent dan Steepest Ascent. Sumber : Antoniou dan Lu (2007:122).

Jika keadaan dari suatu titik x ke suatu titik optimum *x yang menyebabkan

nilai f(x) minimum, maka melalui metode stepest descent arah pencarian ditentukan

oleh nilai seperti diilustrasikan pada Gambar 3.3. Akibatnya, permasalahan dimensi

banyak (multi-dimensional) semula dapat diselesaikan dengan permasalahan dimensi

satu Persamaan (3.1.1).

Pada kenyataannya, d bukanlah titik yang berada pada arah *x dan selanjutnya

prosedur iterasi harus digunakan untuk menentukan solusi yaitu *x . Dimulai dari titik

0 ,x arah 0d d g dapat ditentukan dan nilai yang meminimumkan

0 0 0f x d , sebut 0 dapat ditentukan. Selanjutnya titik 1 0 0 0x x d dapat

ditentukan dan selanjutnya dapat dilanjutkan melalui proses iterasi

1 .k k k kx x d (3.1.7)

untuk 1,2,3,k sampai konvergensi dicapai. Prosedur iterasi ini selesai

(terminated), jika k kd tidak signifikan, atau jika 0k K dengan K konstanta

28

positif kecil. Proses iterasi ini seperti diilustrasikan pada Gambar 3.4. Perhatikan

bahwa pola trayektori dari titik awal menuju titik solusi mengikuti pola zig-zag tetapi

saling tegak lurus.

Gambar 3.4 Arah Steepest Descent dan Steepest Ascent. Sumber : Antoniou dan Lu (2007:124).

Algoritma Steepest-Descent adalah sebagai berikut :

Langkah 1.

Input 0x dan tetapkan nilai toleransi (bilangan positif cukup kecil). Tetapkan k = 0;

Langkah 2.

Hitung gradien kg dan tetapkan .k kd g

Langkah 3.

Tentukan k , nilai yang meminimumkan ( )k kf x d

menggunakan line search.

29

Langkah 4.

Tetapkan 1k k k kx x d dan hitung 1 1( ).k kf f x

Langkah 5.

Jika k kd maka kerjakan :

Output *1kx x dan *

1( ) ( ),kf x f x dan selesai!

Jika tidak, Tetapkan 1k k dan ulangi langkah 2-5.

Jika Hessian dari fungsi ( )f x ada, maka nilai yang meminimumkan fungsi

( )kf x d , sebut k , dapat ditentukan secara analitik. Antoniou dan Lu (2007:125)

memberikan formula penentuan nilai k , jika diberikan H matriks Hessian untuk ( )f x

adalah

Tk k

k Tk k k

g g

g H g , (3.1.8)

dan nilai k kd g maka Persamaan (3.1.7) menjadi

1 .Tk k

k k kTk k k

g gx x g

g H g (3.1.9)

Sebaliknya, jika Hessian untuk ( )f x tidak ada, maka nilai k dapat dihitung

dengan menggunakan formula (Antoniou dan Lu, 2007:125) :

2

,2

Tk k

k Tk k k

g g

f f g g

(3.1.10)

dengan menyatakan estimator untuk k , biasanya diberi nilai sama dengan 1k , dan

untuk iterasi yang pertama nilai 1, serta nilai ( ).k kf f x g

Algoritma Steepest-Descent tanpa Line Search :

Langkah 1.

Input 1x dan tetapkan nilai toleransi (bilangan positif cukup kecil).

Tetapkan k = 0 dan 0 1.

Hitung 1 1( ).f f x

30

Langkah 2.

Hitung gradien .kg

Langkah 3.

Tetapkan k kd g dan 1.k k

Hitung ( ).k kf f x g

Tentukan nilai k berdasarkan Persamaan (3.1.10)

Langkah 4.

Tetapkan 1k k k kx x d dan hitung 1 1( ).k kf f x

Langkah 5.

Jika k kd maka kerjakan :

Output *1kx x dan *

1( ) ( ),kf x f x dan selesai!

Jika tidak, Tetapkan 1k k dan ulangi langkah 2-5.

Jika fungsi 2( ) ( ),f x C D D memiliki titik kritis minimum lokal *x dan

Hessian dari ( )f x definit positif di titik *x x maka dapat ditunjukkan bahwa jika kx

cukup “dekat” dengan x (close to x ) dengan

2

* *1

1( ) ( ) [ ( ) ( )],

1k k

rf x f x f x f x

r

(3.1.11)

dengan nilai r diberikan oleh

,m

M

r

untuk m menyatakan nilai eigen terkecil dari Hessian kH dan M menyatakan nilai

eigen terbesar dari Hessian kH .

3.2 Metode Newton

Metode Newton (Newton-Raphson) dibangun berdasarkan aproksimasi

kuadratik dari deretTaylor. Jika menyatakan gangguan untuk titik x , fungsi

( )f x diberikan oleh formula

2

1 1 1

1( ) ( ) .

2

n n n

i i ji i ji i j

f ff x f x

x x x

(3.2.1)

31

Turunan fungsi ( )f x respek terhadap parameter , 1,2, ,k k n dan seting

hasil turunan tersebut sama dengan nol akan memberikan k yang meminimumkan nilai

fungsi ( )f x , yaitu :

2

1

0, untuk 1, 2, ,n

iik i k

f fk n

x x x

(3.2.2)

Dalam notasi matriks , Persamaan (3.2.2) dapat ditulis

g H

Atau,

1H g (3.2.3)

Persamaan (3.2.3) memiliki solusi, jika memenuhi kondisi berikut ini.

1) MatriksHessian non singular.

2) Aproksimasi pada Persamaan (3.2.1) valid.

Secara sederhana, metode Newton-Raphson merupakan suatu metode optimasi

untuk meminimumkan suatu fungsi : ,nf yaitu menentukan variabel *x

sedemikian hingga *( ) 0.f x

3.2.1 Metode Newton untuk Satu Variabel

Pada kasus ini, permasalahan optimasi yang dilakukan adalah meminimumkan

fungsi satu variabel. Misal fungsi :f diberikan dan akan diminimumkan, yaitu

mencari *x yang meminimumkan fungsi f , yaitu *( ) ( )f x f x untuk setiap

.x D Untuk mencari *x dilakukan dengan menyelesaikan persamaan ' ( ) 0.f x

Seting '(x) ( )g f x dan terapkan metode Newton-Rapson pada fungsi ( ).g x Oleh

karenanya, permasalahan ini dapat dipandang sebagai permasalahan mencari *x

sedemikian hingga *( ) 0g x atau dengan kata lain mencari akar persamaan ( ) 0.g x

Dengan demikian, algoritma optimasi Newton-Raphson adalah metode iteratif

sebagai berikut :

32

1'

( )

( )k k k

k

g xx x

g x , (3.2.4)

atau,

'

1''

( )

( )k k k

k

f xx x

f x (3.2.5)

3.2.2 Metode Newton untuk Multivariabel

Algoritma Newton-Raphson untuk menentukan akar dari fungsi : n nf

mengikuti iterasi berikut ini :

1

1 [ ]( ) ( ),k k k kx x g x g x

J (3.2.6)

dengan ]( )g xJ[ menyatakan matriks jacobian dari turunan parsial orde satu, ( ),jk

j

gx

x

unyuk fungsi 1 2( ) ( ), ( ), , ( ) .T

ng x g x g x g x

Untuk meminimumkan fungsi : nf , misalkan ( ) ( )g x f x kemudian

tentukan akar dari fungsi g. Kemudian, tahapan iterasi Algoritma Newton-Raphson

diberikan oleh

12

1 ( ) ( ),k k k kx x f x f x

(3.2.7)

dengan 2 ( ) ]( )kf x g x J[ adalah matriks Hessian dari turunan parsian kedua dari

fungsi f.

Selanjutnya, jika 2 ( ), dan ( )k k k kG f x g f x maka Persamaan (3.2.7)

menjadi

11 ,k k k kx x G g (3.2.8)

dengan 11k k k k ks x x G g sbagai arah Newton. Perhatikan bahwa arah Newton

merupakan arah descent karena memenuhi 1 0T Tk k k k kg s g G g jika matriks kG

adalah matriks definit positif.

33

Algoritma Metode Newton

Langkah 1.

Input 0nx dan tetapkan nilai toleransi (bilangan

positif cukup kecil). Tetapkan k = 0

Langkah 2.

Jika ,kg maka slesai!

Langkah 3.

Selesaikan k kG g untuk setiap ks

Langkah 4.

Tetapkan 1 ;k k kx x s dan hitung 1 1( ).k kf f x

Langkah 5. Tetapkan 1k k , dan ulangi langkah 2-4.

Teorema berikut memberikan syarat cukup untuk konvergensi metode Newton.

Teorema 3.1 [Teorema Konvergensi Metode Newton (Sun dan Yuan, 2006)]

Misalkan 2f C dan kx cukup dengan solusi permasalahan minimasi *x dengan

*( ) 0.g x Jika matriks Hessian *( )G x definit positif dan ( )G x memenuhi kondisi

Lipschitz,

( ) (y) , untuk suatu dan ,ij ijG x G x y i j (3.2.9)

dengan ( )ijG x menyatakan elemen baris ke-i dan kolom ke-j pada matriks G(x) maka

untuk setiap k, algoritma Newton (3.2.8) adalah well-defined; dibangun oleh barisan

kx konvergen ke *.x

3.3 Metode Gauss-Newton

Pada banyak permasalahan optimasi, fungsi obyektif diberikan dalam bentuk

fungsi terhadap vektor,

1 2[ ( ) ( ) ( )]Tmf f x f x f x (3.3.1)

34

Dengan ( ), 1,2, ,jf x j m adalah fungsi dengan variabel bebas x.

Pada permaalahan seperti ini, fungsi bernilai real F dapat ditulis dalam bentuk

2

1

( ) .m

Tj

j

F f x f f

(3.3.2)

Pada kasus ini, jika F dapat diminimumkan menggunakan algoritma multi-dimensi

tanpa kendala, maka fungsi ( )jf x secara individu adalah minimum dalam bentuk least-

squares. Metode mencari solusi optimal untuk kasus seperti ini dikenal dengan metode

Gauss-Newton.

Jika diberikan sejumlah fungsi, ( ), 1, 2, ,jf x j m dengan nx , maka

matriks Jakobian diberikan oleh

1 1 1

1 2

2 2 2

1 2

1 2

n

n

m m m

n

f f f

x x x

f f f

x x xJ

f f f

x x x

Bilangan m yang menyakan banyaknya fungsi mungkin saja lebih banyak dari jumlah

variabel elemen x, yaitu bilangan n.

Melalui pendiferensialan fungsi F pada Persamaan (3.3.2) respek terhadap

variabel , 1,2, ,ix i n memberikan

1

2 ( ) , 1, 2, , .m

jj

ji i

fFf x i n

x x

(3.3.3)

Dalam bentuk matriks dapat ditulis

1 2

1 1 111

1 22

2 2 2 2

1 2

( )

( )2

( )

m

m

mm

n n n n

ff fF

x x xxf x

fF f ff x

x x x x

f xF ff f

x x x x

35

Sehingga gradien dari fungsi F, notasi Fg , diberikan oleh

2 TFg J f (3.3.4)

Jika diasumsikan bahwa 2( )jf x C , maka Persamaan (3.3.3) memenuhi

22

1 1

2 2 ( ) ,m m

j j jj

j ji j i j i j

f f fFf x

x x x x x x

(3.3.5)

untuk 1,2, , .i n Jika nilai turunan kedua dari ( )jf x untuk semua j dapat diabaikan

maka Persamaan (3.3.5) menjadi

2

1

2m

j j

ji j i j

f fF

x x x x

(3.3.6)

Selanjutnya, Hessian dari matriks F, notasi ,FH dapat diperoleh

2 TFH J J (3.3.7)

Karena gradien dan Hessian dari F sudah diketahui, maka relasi rekursif metode Newton diberikan oleh persamaan berikut ini.

1

1

1

(2 ) (2 )

= ( ) ( )

T Tk k k

T Tk k

x x J J J f

x J J J f

dengan k merupakan nilai yang meminimumkan k kF x d .

Sebelum Algoritma Newton dibahas, berikut akan diberikan Algoritma

Matthews dan Davies sebagai algoritma yang mendasari Algoritma Newton, sebagai

berikut :

Algoritma Matthews dan Davies

Langkah 1.

Input kH dan n.

Tetapkan L = 0, 0.D

Jika 11 0,h maka set 00 11,h h selainnya set 00 1.h

Langkah 2. For 2,3, ,nk do:

36

Set m=k-1, 1.mml

If 000, set .mm mmh h h

Langkah 2.1 For , 1, ,i k k n do:

Set /jm jm mml h h , 0.jmh

Langkah 2.1.1 For t=k, k+1, ... , n do:

Set it it im mth h l h

If 000 ,kkh h set 00 .kkh h

Langkah 3.

Set 1.nnl

If 0,nnh set 00.nnh h

For i=1,2, ... , n set .ii iid h

Selesai !

Selanjutnya, Adapun Algoritma Newton sebagaimana yang telah diuraikan di

atas adalah sebagai berikut :

Algoritma Metode Gauss-Newton

Langkah 1.

Input 0nx dan tetapkan nilai toleransi (bilangan

positif cukup kecil). Tetapkan k = 0

Langkah 2.

Hitung ( ), 1, 2, ,jk j kf f x j m dan kF

Langkah 3.

Hitung , 2 ,Tk k k kJ g J f dan 2 .T

k k kH J J

Langkah 4.

Hitung kL dan kD menggunakan algoritma Matthews dan

Davies.

Hitung k k ky L g dan 1T

kk k kd L D y

.

Langkah 5.

Tentukan k , nilai yang meminimumkan ( ).k kF x d

Langkah 6.

Tetapkan 1 d ;k k k kx x

37

Hitung ( 1), j kf untuk 1,2, ,j m dan 1kF

Langkah 7.

Jika 1k kF F maka kerjakan

Output * *1 ( 1), ( )k j kx x f x untuk 1,2, ,j m dan 1kF .

Selesai. Jika Tidak, Tetapkan 1k k , dan ulangi mulai langkah 3.

38

3.4. Latihan 1. Gunakan metode Steepest-Descent untuk menyelesaikan permasalahan berikut :

(a). 2 21 1 2 2 1 2 ( ), jika ( ) 2 2 2 2Min f x f x x x x x x x

(b). 2 21 2 1 2 ( ), jika ( ) 2 4 4Min g x g x x x x x dengan titik awal 0

0

0x

.

2. Untuk soal No. 1.(b) : dengan menggunakan induksi, tunjukkan bahwa

1

22

3

11

3

k

kkx

Selanjutnya, tentukan titik *x sedemikian hingga nilai (x)f minimum.

3. Diberikan masalah minimasi

2 21 2 1 2 1 2min 0,2 2,2 2,2 2,2.x x x x x x

(a). Tentukan titik *x yang memenuhi kondisi turunan pertama, yaitu

*'( ) 0.f x

(b). Tunjukkan bahwa titik *x pada (a) merupakan titik minimum global !

(c). Jika titik awal, 0

0

0x

, berapa banyak iterasi steepest-descent dilakukan

agar dicapai titik optimal dengan 1010 .

4. Selesaikan permasalahan minimasi,

2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 1 3( ) ( 5) ( 8) ( 7) 2 4f x x x x x x x x ,

menggunakan algoritma steepest-descent.

(a). Mulai dengan 0 1 1 1T

x dan 610 . Verifikasi solusi tersebut

dengan menggunakan kondisi turunan kedua.

(b). Sama dengan no. (a), dengan 0 2,3 0 0 .T

x

(c). Sama dengan no. (a), dengan 0 0 2 12 .T

x

5. Selesaikan permasalahan minimasi berikut

2 2 2 21 2 1 2 ( ) ( 1) ( 1)Min f x x x x x ,

39

jika 610 dengan titik awal 4 4 , 4 4 , 4 4 , dan 4 4T T T T

menggunakan algoritma steepest-descent, kemudian bandingkan hasilnya jika

menggunakan algoritma Steepest-Descent tanpa Line Search.

6. Seleaikan latihan nomor 1.(a) dan 1.(b) menggunakan metode Newton.

7. Selesaikan latihan nomor 5 menggunakan metode Gauss-Newton.

40

BAB 4

OPTIMASI BERKENDALA

(CONSTRAINED OPTIMIZATION)

Pada bab ini akan diuraikan beberapa hal yang terkait dengan prinsip, metode,

dan algoritma yang berkaitan dengan permasalahan optimasi dengan kendala

(constrained optimization).

4.1 Kendala

Bentuk umum permasalahan optimasi berkendala adalah menentukan vektor

* nx yang meminimumkan suatu fungsi,

( ),Min f x (4.1.1)

dengan kendala (subject to) :

1( ) 0, untuk 1,2, , .a x i p (4.1.2)

( ) 0, untuk 1,2, , .jc x j q (4.1.3)

Kesamaan pada (4.1.2) disebut kendala persamaan (equality constraints) dengan dan

ketaksamaan pada (4.1.3) disebut kendala pertidaksamaan (inequality constraints).

Permasalahan optimasi dengan fungsi obyektif/fungsi tujuan (objective function)

dan kendala (4.1.2) dan (4.1.3) yang diasumsikan mempunyai turunan kedua dan

kontinu, yaitu 2( ), ( ) untuk 1, 2, , dan 1, 2, , . i ja x c x C i p j q Misalkan D

menyatakan daerah feasibel untuk permasalan (4.1.1), yaitu himpunan semua titik-titik

yang memenuhi (4.1.2) dan (4.1.3) :

| ( ) 0, untuk 1, 2, , dan ( ) 0, untuk j 1, 2, ,qi jD x a x i p c x (4.1.4)

4.1.1 Kendala Persamaan

Misalkan beberapa kendala persamaan diberikan

1( ) 0

( ) 0p

a x

a x

(4.1.5)

41

mendefinisikan suatu permukaan (hypersurface) pada .n Dalam notasi vektor,

Persamaan (4.1.5) dapat ditulis menjadi

1 2( ) [ ( ) ( ) ( )] 0.Tpa x a x a x a x (4.1.6)

Defini 4.1

Suatu titik x disebut titik regular (regular point) dari kendala (4.1.5), jika titik x

memenuhi Persamaan (4.1.5) dan vektor kolom 1 2( ), ( ), , ( )pa x a x a x adalah

bebas linear.

Berdasarkan Definisi 4.1, Suatu titik regular x dari suatu kendala persamaan,

jika titik x tersebut memenuhi kesamaan (4.1.5) dan matriks Jacobian

1 2 [ ( ) ( )eJ a x a x ( )]Tpa x memiliki rank baris yang penuh. Karena

nx maka matriks Jacobian eJ berukuran n p . Oleh karenanya, agar titik nxmenjadi titik regular dari kendala (4.1.5) maka haruslah ukuran p n . Selanjutnya,

jika p n , pada banyak kasus jumlah vektor nx yang memenihi Persamaan (4.1.5)

adalah finit dan permasalahan optimasi (4.1.1) mempunyai solusi trivial.

Contoh 4.2

Diskusikan dan sketsalah daerah feasibel yang memenuhi kendala persamaan berikut :

1 3 1 0x x (4.1.7a)

2 21 2 12 0x x x (4.1.7b)

Solusi :

Matriks Jacobian untuk kendala (4.1.7a) dan (4.1.7b) adalah sebagai berikut :

1 2

1 0 1( )

2 2 2 0eJ xx x

Memiliki rank baris 2, kecuali di titik 3[1 0 ]Tx x . Karena 3[1 0 ]Tx x tidak

memenuhi Persamaan (4.1.7b), dan setiap titik yang memenuhi Persamaan (4.1.7a-b)

adalah titik regular untuk kendala (4.1.7). Kendala (4.1.7) mendeskripsikan irisan

antara silinder pada (4.1.7b) dan bidang datar pada (4.1.7a).

42

Perhatikan, Kesamaan pada (4.1.7b) dapat ditulis kembali menjadi

2 21 21 1x x (4.1.8)

Dalam bentuk persamaan parameter dalam t, Persamaan (4.1.8) dapat ditulis menjadi

1 1 cos( )x t (4.1.9a)

2 sin( )x t (4.1.9b)

jika Persamaan (4.1.9) dihubungkan dengan Persamaan (4.1.7a) akan memberikan

3 2 cos( )x t (4.1.9c)

Persamaan parameter (4.1.9a)-(4.19c) dengan parameter t pada [0,2 ] menghasilkan

kurva seperti pada Gambar 4.1 berikut ini.

Gambar 4.1 Kurva representasi dari kendala Persamaan (4.1.7)

Pada kasus tertentu, permasalahan optimasi memiliki kendala ( )ia x semuanya

dalam bentuk persamaan linear. Oleh karenanya, Persamaan (4.1.5) menjadi sistem

persamaan linear yang dapat diekspresikan menjadi

Ax b (4.1.10)

dengan p nA yang secara numerik sama dengan Jacobian, yaitu ,eA J dan

1pb . Karena Jacobiannya merupakan matriks konstanta, sebarang solusi dari

Persamaan (4.1.10)

43

adalah titik regular, jika rank(A) = p. Jika rank(A) = p’< p, maka terdapat dua

kemungkinan yaitu :

( A b ) rank(A),rank (4.1.11)

atau

( A b ) rank(A).rank (4.1.12)

Jika Persamaan (4.1.11) terpenuhi, maka terdapat kontradiksi diantara kesamaan yang

ada pada sistem (4.1.11). Oleh karena perlu dilakukan reduksi untuk menghilangkan

yang dua atau lebih kesamaan yang kontradiksi tersebut. Jika Persamaan (4.1.12) yang

terpenuhi dengan rank(A) = p’maka dengan manipulasi aljabar Persamaan (4.1.10)

dapat direduksi menjadi sistem yang ekivalen yang terdiri atas p’kendala kesamaan

linear, yaitu

Ax b (4.1.13)

dengan 'p nA yang memiliki rank p’ dan ' 1pb .

Ketika rank(A) = p’, secara numerik terdapat cara untuk mereduksi Persamaan

(4.1.10) menjadi (4.1.13) yaitu dengan menerapkan singular-value decomposition

(SVD) pada matriks A (lihat Lampiran 1). Penerapan SVD pada matriks A

memberikan

TA U V (4.1.14)

dengan matriks ,p pU dan matriks ortogonal ,n nV serta

0

0 0p n

S

dengan 1 2 ', , , pS diag dan 1 2 ' 0.p Akibatnya diperoleh

0

AA U

(4.1.15)

dengan '1 2 '[ , , , ]T p n

pA S v v v dimana iv menyatakan kolom ke-i dari V, dan

Persamaan (4.1.10) menjadi

44

00

bAx

.

Contoh 4.3

Sederhanakan kendala persamaan berikut ini:

1 2 3 4

2 3

1 2 3 4

2 3 2 4

2 1

2 10 9 4 5

x x x x

x x

x x x x

(4.1.16)

Solusi :

Persamaan (4.1.16), dapat ditulis dalam notasi matriks Ax b sebagai berikut :

1

2

3

4

1 2 3 2 4

0 2 1 0 1

2 10 9 4 5

x

x

x

x

Dapat ditunjukkan bahwa 2 brank A ank Ar . Oleh karenanya, kesamaan

pada (4.1.16) dapat direduksi menjadi 2 kesamaan saja, melalui penerapan SVD pada

matriks A dengan

0, 2717 0,8003 0,5345

0,1365 0,5818 0,8018

0,9527 0,1449 0, 2673

U

,

14,8798 0 0 0

0 1,6101 0 0

0 0 0 0

,

0,1463 0,3171 0,6331 0,6908

0,6951 0,6284 0,3161 0,1485

0,6402 0,3200 0,6322 0,2969

0,2926 0,6342 0,3156 0,6423

V

Selanjutnya, berdasarkan Persamaan (4.1.14) dan (4.1.15) diperoleh

1 2 3 42,1770 10,3429 9,5255 4,3540 5,7135x x x x (4.1.17a)

1 2 3 40,5106 1,0118 0,5152 1,0211 3,0587x x x x (4.1.17b)

45

4.1.2 Kendala Pertidaksamaan

Pada sub bab ini akan diuraikan tentang permasalahan optimasi dengan kendala

pertidaksamaan. Diberikan himpunan kendala sebagai berikut :

1

2

( ) 0

( ) 0

( ) 0q

c x

c x

c x

(4.1.18)

Berbeda dengan banyaknya kendala sama dengan, banyaknya kendala pertidaksamaan,

q, tidak harus lebih kecil dari banyaknya komponen x, yaitu n. Sebagai contoh, jika

diberikan suatu kasus dengan kendala ( ),jc x untuk setiap 1 j q sebagai fungsi

linear maka kendala pada (4.1.18) merepresentasikan polihedron dengan q facets dan

banyaknya facets pada polihedron adalah tak berhingga (unlimited).

Terhadap kendala pertidaksamaan, terdapat dua isu pokok yang termuat pada

(4.1.18). Berkaitan dengan titik feasibel x, kendala pertidaksamaan (4.1.18) dapat

dibagi dua klasifikasi, yaitu himpunan kendala dengan ( ) 0jc x dan himpunan kendala

dengan ( ) 0jc x . Himpunan kendal dengan sifat ( ) 0jc x disebut dengan kendala

aktif (active constraints) himpunan kendala dengan sifat ( ) 0jc x disebut dengan

kendala tidak aktif (inactive constraints). Sebagai ilustrasi perhatikan Gambar 4.2

berikut ini.

Gambar 4.2 Kendala aktif dan tidak aktif

46

Berdasarkan ilustrasi pada Gambar 4.2, 1 2( ) dan ( )c x c x merupakan kendala tidak aktif,

dan kendala 3( )c x merupakan kendala aktif.

Pendekatan lain berkaitan dengan kendala pertidak samaan adalah

mengkonversi kendala tersebut menjadi kendala sama dengan. Sebagai ilustrasi,

diberikan permaslahan optimasi sebagai berikut :

( ), nMin f x x , (4.1.19a)

dengan kendala : ( ) 0, untuk 1,2, ,ic x i q . (4.1.19b)

Kendala pada (4.1.19b) dapat ditulis dalam bentuk lain, yaitu

1 1 1

2 2 2

( ) c ( ) 0

( ) c ( ) 0

( ) c ( ) 0q q q

c x x y

c x x y

c x x y

(4.1.20a)

0, untuk 1iy i q , (4.1.20b)

dalam hal ini variabel 1 2, , , qy y y disebut sebagai variabel dummy (slack variable).

Kendala (4.1.20b) dapat dieliminasi menggunakan substitusi variabel

2, untuk 1 .i iy y i q

Jika kita misalkan

1 1

T

n qx x x y y

maka permasalahan optimasi (4.1.19) dapat ditulis menjadi

( ), n qMin f x x E (4.1.21a)

dengan kendala :

( ) 0, untuk 1, 2, ,ic x i q (4.1.21b)

Berdasarkan uraian tersebut di atas, terlihat ada hubungan atau relasi antara kendala

pertidaksamaan yang bersifat linear dengan konveksitas dari daerah feasibel yang

didefinisikan oleh kendala yang ada. Daerah feasibel yang didefinisikan oleh kendala

pertidaksamaan (4.1.18) dengan kendala ( ), untuk setiap ic x i berupa fungsi linear

merupakan polihedron konveks.

47

Sebagai ilustrasi, kita dapat menuliskan kendala pertidaksamaan (4.1.18) dalam

bentuk matriks sebagai berikut :

0Cx (4.1.22)

dengan 1dan .q n qC d Misalkan |D x Cx d dan asumsikan bahwa

1 2, .x x D Untuk 0,1 , titik 1 2(1 )x x x memenuhi Persamaan (4.1.22)

karena

1 2(1 )

(1 )

Cx Cx Cx

d d d

(4.1.23)

Dengan demikian , Cx d mendefinisikan suatu himpunan konveks.

4.2 Klasifikasi Permasalahan Optimasi Berkendala

Sebelum kita membahas tentang klasifikasi permasalahan optimasi berkendala,

berikut diberikan beberapa terminologi yeng berperan dalam diskusi tentang hal

tersebut. Pada pembahasan selanjutnya, himpunan D menyatakan daerah feasibel

untuk permasalahan optimasi (4.1.1)-(4.1.3), dan himpunan *

*:x

B x x x

untuk suatu 0 disebut bola yang berpusat di *x dengan jari-jari .

Definisi 4.4 Titik *x disebut titik minimum lokal untuk permasalahan optimasi (4.1.1)-

(4.1.3), jika terdapat bola *xB sehingga * *x x

D B D bukan himpunan kosong dan

*

*( ) min ( ) : .x

f x f x x D

Definisi 4.5 Titik *x disebut titik minimum lokal untuk permasalahan optimasi (4.1.1)-

(4.1.3), jika *x D dan *( ) min ( ) :f x f x x D .

Definisi 4.6 Titik *x disebut titik minimum lokal kuat (strong local minimizer) jika

terdapat bola *xB sehingga * *x x

D B D bukan himpunan kosong dan *x adalah titik

pembuat minimum pada *xD

4.2.1 Program Linear (Linear Programming)

Bentuk standar untuk permasalahan program linear (LP) adalah sebagai berikut :

48

( ) TMin f x c x (4.2.1a)

dengan kendala :

Ax b (4.2.1b)

0x (4.2.1c)

untuk suatu 1 1, , dan .n p n pc A b Pada permasalahan LP, kita ingin

menentukan vektor *x yang meminimumkan fungsi tujuan ( )f x dengan kendala berupa

fungsi linear pada (4.2.1b) dan kendala (batasan) non negatif pada (4.2.1c).

Selanjutnya, permasalahan LP dapat juga diberikan dalam bentuk tidak standar

berikut ini.

TMin c x (4.2.2a)

dengan kendala :

Ax b . (4.2.2b)

Dengan menggunakan variabel dummy (slack variable) vektor y Ax b , maka

Persamaan (4.2.2b) dapat ditulis menjadi

Ax y b (4.2.3a)

dan

0y . (4.2.3b)

Selanjutnya, jika kita ekspresikan variabel x sebagai selisih dua variabel non

negatif, vektor 0x dan vektor 0x , yaitu :

x x x

dan misalkan

x

x x

y

maka fungsi tujuan (4.2.2a) menjadi

0T

T Tc x c c x

dan kendala (4.2.3b) dapat ditulis menjadi

49

dan 0.A A I x b x

Berdasarkan konstruksi variabel di atas, permasalahan optimasi tidak standar dapat

ditulis dalam bentuk standar sebagai berikut :

T

Min c x (4.2.4a)

dengan kendala

Ax b (4.2.4b)

0x (4.2.4c)

dengan dan .

0

c

c c A A A I

4.2.2 Program Kuadratik (Quadratic Programming)

Bentuk umum dari permasalahan kuadratik (QP) adalah sebagai berikut :

1

min ( )2

T Tf x x Hx x p c (4.2.5a)

dengan kendala

Ax b (4.2.5b)

Cx d (4.2.5c)

Pada banyak kasus , Hessian dari fungsi f(x), H, adalah semidefinit positif. Hal

ini berimplikasi bahwa ( )f x fungsi konveks dan daerah feasibel yang ditentukan oleh

Persamaan (4.2.5b) dan (4.2.5c) selalu konveks.

4.2.3 Program Konveks (Convex Programming)

Permasalahan optimasi dalam kelas program konveks (CP) merupakan

permasalahan optimasi dengan karakteristik khusus, yaitu fungsi obyektif dan

kendalanya terdefinisi pada daerah feasibel yang berupa himpunan konveks.

50

Terdapat beberapa tipe atau model permasalahan CP, namun pada bab ini kita

akan mendiskusikan model yang sering digunakan dalam penerapan sains dan teknik

yaitu :

1min ln(det )P (4.2.6a)

dengan kendala

0P (4.2.6b)

1, untuk 1,2, ,Ti iv Pv i L (4.2.6c)

dengan vektor , 1iv i L diberikan dan elemen dari matriks TP P adalah variabel.

Dapat ditunjukkan bahwa 0P (P matriks positif definit) maka 1ln(det )P adalah

fungsi konveks dari P.

4.2.4 Bentuk Umum Permasalahan Optimasi Berkendala

Permasalahan optimasi berkendala (4.1.1)-(4.1.3) dapat dipandang sebagai

permasalahan optimasi dalam bentuk umum (GCO), jika ( )f x berupa fungsi nonlinear

berorde lebih besar dari orde dua, dan bukan konveks global atau paling sedikit terdapat

satu kendal yang tidak konveks.

Contoh 4.7 Diberikan permasalahan optimasi berikut

2 31 2

1min ( ) [( 3) 9]

27 3f x x x

dengan kendala :

12

1 2

1 2

1 2

03

3 0

3 6

0 dan 0.

xx

x x

x x

x x

Selidiki apakah permasalahan tersebut di atas termasuk dalam kelas GCO.

Solusi :

Perhatikan bahwa matriks Hessian dari fungsi ( )f x diberikan oleh :

51

3 22 1 2

2 21 2 1 2

3( 3)2( )

3( 3) 3[( 3) 9]27 3

x x xH x

x x x x

Catatan : 3 1T

x memenuhi semu kendala di atas, tetapi matriks ( )H x indefinit

pada titik x, sehingga ( )f x tidak konveks pada daerah feasibel dan permasalahan

optimasi di atas termasuk dalam GCO.

4.3 Metode Transformasi

Metode transformasi merupakan salah satu metode penyelesaian masalah

optimasi berkendala ke dalam permasalahan optimasi tanpa kendala.

4.3.1 Eliminasi Variabel

4.3.1.1 Kendala Persamaan Linear

Diberikan permasalahan optimasi

min ( )f x (4.3.1a)

dengan kendala

Ax b (4.3.1b)

( ) 0, untuk 1ic x i q (4.3.1c)

dimana p nA memiliki rank penuh, ( ) , .rank A p p n Dapat ditunjukkan bahwa

semua solusi Persamaan (4.3.1b) dengan karakterisasi

[ ] nx A b I A A (4.3.2)

Dengan A menotasikan pseudo-invers Moore-Penrose dari A, In matriks identitas

berukuran n n , dan adalah vektor parameter berdimensi sebarang. Solusi yang

diekpresikan oleh Persamaan (4.3.2) dapat disederhanakan menggunakan dekomposisi

SVD. Selanjutnya, karena matriks A mempunyai rank penuh, ( ) ,rank A p

dekomposisi SVD menghasilkan

TA U V

52

dimana ,p pU matriks ortogonal , dan 0 ,n n p pV S

1, , ,pS diag 1 2 0.p Akibatnya diperoleh

1

1( )0

T T TSA A AA V U

dan

0 0

0T T

n r rn p

I A A V V V VI

dengan 1 2r p p nV v v v yaitu matriks yang memuat r n p kolom dari

matriks V. Selanjutnya Persamaan (4.3.2) menjadi

,rx V A b (4.3.3)

dengan 1r merupakan sebarang vektor berdimensi-r. Kemudian, substitusi

Persamaan (4.3.3) ke dalam Persamaan (4.3.1a) dan (4.3.1c) memberikan permasalahan

optimasi yang ekivalen yaitu

min ( )rf V A b

(4.3.4a)

dengan kendala :

0, untuk 1i rc V A b i q (4.3.4b)

dengan kendala persamaan linear yang telah direduksi semula berdimensi n =dim (x)

menjadi berdimensi dim( ),r dimana .r n

Berkaitan dengan permasalahan optimasi (4.3.4), terdapat dua kesimpulan yang

dapat diberikan. Pertama, ukuran permasalahan direduksi dari n menjadi r=n-p dan

Persamaan (4.3.4) diselesaikan dengan solusi dalam * , serta Persamaan (4.3.3)

berimplikasi bahwa * diberikan oleh

* *rx V A b (4.3.5)

adalah solusi dari permasalahan optimasi (4.3.1).

Kedua, relasi linear antara variabel x dan yang diperlihatkan oleh (4.3.3)

bahwa derajat ke-nonlinear-an dari fungsi tujuan f(x) dipertahankan pada permasalahan

optimasi (4.3.4). Dengan kata lain, jika permasalahan pada (4.3.1) adalah LP, QP atau

53

CP maka permasalahan yang telah direduksi pada (4.3.4) juga demikian. Kelemahan

dari metode di atas, terletak pada aplikasi SVD terhadap matriks A, terutama jika

ukuran matriks A cukup besar.

Berikut diberikan alternatif metode tanpa menggunakan pendekatan

dekomposisi SVD. Asumsikan matriks A memiliki rank baris yang penuh dan misalkan

matriks n nP adalah permutasi dari kolom matriks A sehingga

1 2TAx APP x A A x

dengan 1p pA yaitu memuat p kolom yang bebas linier dari mateik A, dan Tx P x

menyatakan vektor yang diperoleh melalui pengurutan kembali komponen dari vektor

x. Jika dinotasikan

xx

(4.3.6)

dengan 1 1, dan p rx maka (4.3.1b) menjadi

1 2A x A b

yaitu

1 11 1 2x A b A A

Hal ini memberikan

1 1

1 1 2

A b A Axx Px P P

W b

(4.3.7)

dimana

1

1 2 n r

r

A AW P

I

1

11

0nA b

b P

Akhirnya, permasalahan optimasi pada (4.3.1) tereduksi menjadi permasalahan

optimasi

54

min ( )f W b

(4.3.8a)

dengan kendala

( ) 0, untuk 1 .ic W b i q (4.3.8b)

Contoh 4.8 :

Gunakan metode eliminasi variabel di atas untuk meminimumkan fungsi

1

(x)2

T Tf x Hx x p c (4.3.9)

dengan kendala pada (4.1.16) dengan 1 2 3 4 .T

x x x x x

Solusi :

Karena rank(A)=rank([A b]) = 2, maka tiga kendala pada (4.1.16) konsisten, tetapi

redundant. Adalah dua kendala pertama pada (4.1.16) adalah bebas linear, sehingga

jika kita misalkan

1 3

2 4

dengan dan x xx

x xx x

maka Persamaan (4.1.16) ekivalen dengan

1 2 3 2 4

0 2 1 0 1x

yaitu

1 1

2 2

2 2 5

0x W b

Hal tersebut dapat kita peroleh jika matriks H dan p pada (4.3.9) dipartisi menjadi

11 12 1

12 22 2

dan T

H H pH p

H H p

dengan 2 2 2 2 2 1 2 111 22 1 2, , , dan H H p p maka Persamaan (4.3.9) menjadi

1( )

2T Tf H p c

dimana

55

11 12 12 22

T T TH W H W H W W H H

12 11 2 1T T Tp H b W H b p W p

11 2

1

2

T Tc b H b b p c

Akibatnya, permasalahan optimasi sekarang tereduksi menjadi permasalahan minimasi

( )f tanpa kendala. Dengan menulis,

T WH W I H

I

dengan H adalah matriks definit positif, jika H matriks definit positif. Akhirnya, pada

kasus ini diperoleh solusi unik , yaitu :

*

*

*

xx

dengan

1 ** * dan x .H p W b

Contoh 4.9

Gunakan veriabel nonlinear untuk menyederhanakan permasalahan optimasi berkendala

berikut ini.

4 4 4 2 2 2 21 2 3 1 2 1 3min ( ) x 2 x x x xf x x x (4.3.10)

dengan kendala

4 4 41 1 2 3( ) x x x 25 0a x (4.3.11a)

2 2 22 1 2 3( ) 8 14 7 56 0a x x x x (4.3.11b)

Solusi :

Tulis Persamaan (4.3.11b) sebagai

2 2 23 1 2

82 8

7x x x

56

Kendala pada (4.3.11b) untuk variabel 3x pada Persamaan (4.3.10) dan (4.3.11b) dapat

dieliminasi, sehingga permasalahan optimasi menjadi

4 4 2 2 2 21 2 1 2 1 2

57 25 72 ( )= 6 32

49 7 7Min f x x x x x x x (4.3.12)

dengan kendala :

4 4 2 2 2 21 1 2 1 2 1 2

113 32 128( ) 5 32 39 0

49 7 7a x x x x x x x (4.3.13)

Tulis kembali Persamaan (4.3.13) ke dalam bentuk

4 2 2 4 22 1 2 1 1

32 113 1285 32 39 0

7 49 7x x x x x

(4.3.14)

Perhatikan bahwa Persamaan (4.3.14) dapat dipandang sebagai persamaan kuadrat

dalam 22x , sehingga diperoleh solusi

2 2 4 22 1 1 1

32 1 212 51232 244

7 10 49 7x x x x

(4.3.15)

Kemudian substitusi (4.3.15) ke dalam Persamaan (4.3.12), menjadikan permasalahan

optimasi (4.3.12) sebagai permasalahan optimasi satu variabel.

4.4 Pengganda Lagrange (Lagrange Multiplier)

4.4.1 Pengganda Lagrange untuk Permasalahan Kendala Persamaan

Diberikan permasalahan optimasi berikut :

( ), nMin f x x (4.4.1a)

dengan kendala :

( ) 0, 1, 2, dan jh x j r r n (4.4.1b)

Definisikan persamaan Lagrange untuk permasalahan (4.4.1) adalah sebagai berikut :

1

( , ) ( )

( ) ( )

r

j jj

T

L x f x h

f x h x

(4.4.2)

Teorema 4.10 (Syarat Perlu untuk Permasalahan Optimasi dengan Kendala

Persamaan)

57

Misalkan fungsi f dan kendala 1jh C diberikan dan matriks Jacobian

*

* * *1 2 3

( )( ), ( ), ( ),

h xh x h x h x

x

(4.4.3)

memiliki rank sama dengan r. Syarat perlu bahwa *x merupakan titik pembuat

minimum fungsi f dan kendala 1jh C adalah terdapat * sehingga

* *( , ) 0, untuk 1, 2, ,i

Lx i n

x

(4.4.4a)

* *( , ) 0, untuk 1,2, , .j

Lx j r

(4.4.4b)

Perhatikan bahwa kondisi (4.4.4), mengisyaratkan terdapat n r persamaan

dengan n r variabel, yaitu * * * * * *1 2 1 2, , , , , , , .n rx x x

Contoh 4.11

Diberikan permasalahan optimasi

2 21 2 ( ) ( 2) ( 2)Min f x x x (4.4.5a)

dengan kendala 1 2( ) 6.h x x x

(4.4.5b)

Solusi :

Pertama, konstruksi persamaan Lagrangian :

2 21 2 1 2( , ) ( 2) ( 2) ( 6).L x x x x x (4.4.6)

Syarat perlu untuk kondisi minimum diberikan

11

2( 2) 0.L

xx

(4.4.7a)

22

2( 2) 0.L

xx

(4.4.7b)

1 2 6 0.L

x x

(4.4.7c)

Penyelesaian (4.4.7) memberikan nilai optimum untuk permasalahan (4.4.6) adalah

*1 3,x * *

2 3, dan 2x dengan nilai *( ) 2.f x

58

4.4.2 Kasus Khusus : Fungsi Kuadratik dengan Kendala Linear

Salah satu kasus penerapan dari metode Lagrangian yang penting adalah

peminimuman fungsi kuadratik definit-positif (positive-definite quadratic),

1

( )2

T Tf x x Ax b x c (4.4.8)

dengan kendala ,Cx d

dimana A matriks definit positif berukuran n n , matriks kendala C berukuran n n ,

,r n vektor b dan d masing-masing berukuran 1 dan 1.n r

Persamaan Lagrangian untuk kasus ini diberikan oleh

1( , )

2T T TL x x Ax b x c Cx d (4.4.9)

Syarat perlu untuk kondisi minimum (4.4.4) di titik *x adalah eksistensi vektor *

sehingga

* * * *( , ) 0TxL x Ax b C (4.4.10a)

* * *( , ) 0L x Cx d (4.4.10b)

yaitu :

*

*0

T bA C x

dC

(4.4.11)

Sehingga solusi untuk permasalahan optimasi (4.4.8) diberikan oleh

*

1

*, dengan M= .

0

Tbx A CM

d C

4.4.3 Metode Lagrange untuk Kendala Pertidaksamaan

Diberikan bentuk umum permasalahan optimasi :

( ), nMin f x x (4.4.12)

dengan kendala :

( ) 0, 1, 2, , .jg x j m (4.4.13a)

( ) 0, 1,2, , .kh x k r (4.4.13b)

Kendala pertidaksamaan (4.4.13a) dapat ditransformasi menjadi kendala persamaan

dengan menambahkan varibabel dummy/slack , 1, 2, ,ju j m sehingga

59

2( ) 0.j jg x u (4.4.14)

Karena 2( ) 0, untuk setiap 1, 2, ,j jg x u j m maka kendala pertidaksamaan

dengan sendirinya terpenuhi. Oleh karenanya, persamaan Lagrangian untuk

permasalahan optimasi (4.4.12) diberikan oleh

2

1 1

( , , , ) ( ) ( ) ( )m r

j j j k kj k

L x u f x g x u h x

(4.4.15)

dengan dan j k menyatakan konstanta yang berkaitan dengan pengganda Lagrange.

Berdasarkan (4.4.4), syarat perlu untuk kendala yang meminimumkan adalah

1 1

( ) ( )( ), 1, 2, ,

m rj k

j kj ki i j k

g x h xL f xi n

x x x x

(4.4.16a)

2 0, 1,2, , .j jj

Lu j m

u

(4.4.16b)

2( ) 0, 1,2, , .j jj

Lg x u j m

(4.4.16c)

( ) 0, 1, 2, , .kk

Lh x k r

(4.4.16d)

Permasalahan optimasi (4.4.15) dengan kendala (4.4.16a)- (4.4.16b) merepresentasikan

sistem persamaan linear berukuran 2n m r dengan variabel sebanyak 2n m r

yang terdiri atas variabel , , , dan .x u

Contoh 4.12 :

Minimumkan 2 21 2 1( ) 2 3 2f x x x x dengan kendala 2 2

1 2 1.x x

Solusi :

Misalkan u sehingga 2 2 21 2 1 0x x u maka

2 2 2 2 21 2 1 1 2( , , ) 2 3 2 1 .L x u x x x x x u

Syarat perlu di titik yang meminimumkan diberikan oleh

1 11

4 2 2 0.L

x xx

(4.4.17)

2 22

6 2 0.L

x xx

(4.4.18)

2 0.L

uu

(4.4.19)

60

2 2 21 2 1 0 0

Lx x u

(4.4.20)

Penyelesaian (4.4.17)-(4.4.20), jika kita mulai dari (4.4.19) dengan memilih 0 akan

memberikan 21 21/ 2, 0, dan 3 / 4.x x u Karena 2 3 / 4u positif maka kendala

pertidasamaan terpenuhi. Selanjutnya, matriks

4 0

0 6H

Adalah non-definit sehingga kandidat titik optimum 0x memberikan nilai

0( ) 0,5.f x Selanjutnya, jika dipilh 0u pada penyelesaian (4.4.19) memberikan

2 21 2 1 0x x (4.4.21)

yang berarti bahwa kendala adalah aktif. Berdasarkan (4.4.18) memberikan

2 0, 3,x substitusi ke dalam (4.4.17) memberikan 1 1/ 5,x dan berdasarkan

(4.4.21) diperoleh 2

240,978.

5x Hasil ini memberikan dua kemungkinan

solusi optimal, yaitu *1

1 24

5 5x

dan *2

1 24

5 5x

dengan nilai

* 3,189.f x

4.5 Teorema Karush-Kuhn-Tucker

Sebelum dikemukakan Teorema Karush-Kuhn-Tucker (KKT), berikut diberikan

terminologi tentang masalah konsisten dan super konsisten.

Misal diberikan permasalahan optimasi,

( ),Min f x dengan kendala ( ) 0, 1,2, ,ig x i I , (P)

maka daerah feasibel untuk permasalahan optimasi (P) diberikan oleh

: ( ) 0 .D x g x

Definisi 4.13

Permasalahan optimasi (P) disebut konsisten, jika daerah feasibel D , dan disebut

super-konsisten, jika terdapat x D sehingga ( ) 0, 1,2, , .ig x i I

61

Teorema 4.14 [Teorema KKT (Byrne, 2007:77)]

Misalkan permasalahan optimasi (P) adalah super-konsisten dan

1

( , ) ( ) ( )I

i ii

L x f x g x

menyatakan persamaan Lagrange untuk (P). Maka *x

merupakan solusi dari (P) jika dan hanya jika terdapat vektor * sehingga memenuhi

(1). * 0,

(2). * * * *( , ) ( , ) ( , )L x L x L x untuk semua dan ,x dan

(3). * *( ) 0,i i ig x untuk setiap 1,2, , .i I

Teorema berikut merupakan Teorema KKT dalam bentuk gradien dan Teorema

KKT khusus untuk masalah program linear.

Teorema 4.14 [Teorema KKT-Gradient (Byrne, 2007:78)]

Misalkan fungsi ( ) dan ( )if x g x adalah fungsi-fungsi yang terdiferensial. Misalkan

pula permasalahan optimasi (P) adalah super-konsisten. Maka *x merupakan solusi

dari (P) jika dan hanya jika terdapat vektor * sehingga memenuhi

(1). * 0,

(2). * *( ) 0,i i ig x untuk setiap 1,2, , .i I

(3). * * *

1

( ) ( ) 0.I

i i ii

f x g x

Misal diberikan permasalahan linear programming:

TMin z c x dengan kendala dan 0.Ax b x (LP)

Teorema 4.14 [Teorema KKT untuk LP (Byrne, 2007:79)]

Vektor *x adalah solusi permasalahan (LP) jika dan hanya jika terdapat vektor * dan

bilangan real 0r sehingga memenuhi

(1). * ,Ax b

(2). * ,Tr c A dan

(3). 0,Tr x

62

maka * merupakan solusi dari permasalahan optimasi (LP).

4.6. Latihan

1. Diberikan permasahan optimasi berikut:

in ( ) 2 2M f x x y (L4.1)

dengan kendala :

2( , ) 0,g x y y x (L4.1a)

2 2( , ) 1 0.h x y x y (L4.1b)

a. Ilustrasikan permasalahan tersebut dengan grafik!

b. Tentukan daerah feasibel untuk permasalahan tersebut!

c. Apakah daerah feasibelnya kosisten atau super konsisten?

d. Tentukan solusi permasalahan (L4.1) jika kendalanya hanya (L4.1b)!

e. Tentukan solusi permasalahan (L4.1) jika kendalanya hanya (L4.1a)!

f. Tentukan solusi permasalahan (L4.1) jika kendalanya hanya (L4.1a) dan

(L4.1b)!

2. Minimumkan fungsi 2 2( , ) ,f x y x y dengan kendala 0x y .

3. Selesaikan permasalahan optimasi berikut :

1 2 3 4min ( ) 2 11 2f x x x x x

dengan kendala

1 1 2 3 4( ) 3a x x x x x

2 2 3 4( ) 2 4 3a x x x x

3 3 4( ) 2 2a x x x

( ) 0, 1,2,3,4i i ic x x i

4. Diberikan permasalahan optimasi berikut ini.

2 21 2min ( ) ( 2)f x x x

dengan kendala

63

1 1

2 2

33 1 2

( ) 0

( ) 0

( ) (1 ) 0

c x x

c x x

c x x x

(a). Gunakan solusi menggunakan grafik, untuk menunjukkan bahwa * [1 0]Tx

adalah titik minimum global.

(b). Verifikasi bahwa * [1 0]Tx bukan titik regular!

(c). Tujukkan bahwa tidak terdapat 2 0 dan 3 0 sehingga

* * *2 2 3 3( ) ( ) ( )f x c x c x

5. Gunakan syarak KKT untuk menentukan solusi dari permasalahan optimasi Konveks

berikut :

2 21 2 1 2min 2 4 9x x x x

dengan kendala :

1

2

1 2

0

0

11,5 0

2

x

x

x x

64

BAB 5

PROGRAM GEOMETRIK

5.1 Pendahuluan

Istilah Pemrograman Geometrik (PG) diperkenalkan oleh Duffin, Peterson, dan

Zener pada tahun 1967. Istilah ini diambil dari masalah-masalah geometri yang dapat

diformulasikan sebagai PG. Program Geometrik adalah suatu metode untuk

meminimumkan fungsi tak linear yang berbentuk posinomial. Metode ini dinamakan

Program Geometrik karena dalam pengembangannya menggunakan pertidaksamaan

Aritmetik-Geometrik yang menyatakan hubungan antara penjumlahan dengan

pengandaan beberapa bilangan positif. Program Geometrik menyajikan masalah untuk

meminimumkan fungsi berbentuk posinomial yang disebut fungsi primal atau

memaksimumkan fungsi pengandaan yang disebut fungsi dual yang didapat dengan

menggunakan pertidaksamaan Aritmetik-Geometrik. Pemiinimum fungsi primal dicari

melalui pemaksimuman fungsi dualnya. Pada titik optimalnya, minimum fungsi primal

akan sama dengan maksimum fungsi dual. Berbeda dengan teknik optimasi yang lain,

pada metode ini, nilai optimal fungsi objektif dicari terlebih dahulu, kemudian baru

dicari nilai optimal variabel penyusunnya.

5.2 Posinomial

Fungsi posinomial didefinisikan sebagai :

1

N

tt

f X P X

(5.2.1)

dengan

1 21 2

1

, 1, 2, , ,

t t nt

jt

a a at n

Na

t j

t

j

P X c x x x

c x t N

(5.2.2)

dimana tc adalah konstanta real positif, dan jta adalah konstanta real (positif, nol, atau

negatif), dan parameter , 1jx j n adalah variabel berupa bilangan positif. Sebagai

ilustrasi berikut diberikan contoh fungsi–fungsi posinomial :

(1). 2 241 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 2 33( , , ) 6 3 8 7 2 3 9f x x x x x x x x x x x x x x

65

(2). 2 1/21 2 3 1 2 3 1 2 3 3

1 2

2( , , ) 4 5g x x x x x x x x x x

x x

5. 3 Program Geometrik Tanpa Kendala

Diberikan permasalahan Program Geometrik tak berkendala sebagai berikut :

1 2Mencari , , ..,T

nX x x x (5.3.1)

yang meminimumkan fungsi obyektif (5.3.1)

1 21 2

11 1

jt t t nt

N N

t

na a a a

t j t njt t

f X P X c x c x x x

(5.3.2)

Penyelesaian permasalahan PG (5.3.2), dapat diperoleh menggunakan kalkulus

diferensial sebagai berikut.

Berdasarkan teorema syarat perlu untuk mendapatkan nilai minimum fungsi di suatu

titik maka,

1 2 ( 1) ( 1)

1

1 2 1 11

= 0, 1, 2, ,j j k j k j nj

Nj

jk k

Na a a a a

j k k nj

Pf

x x

c x x x x x k n

(5.3.3)

Kalikan Persamaan (5.3.3) dengan kx , diperoleh

1 2 ( 1) ( 1)

1 2 1 11

0, 1,2, ,j j k j kj k j nj

Na a a a a a

k kj j k k k njk

fx a c x x x x x x k n

x

(5.3.4)

Atau

1

( ) 0, 1,2, ,N

k kj jjk

fx a P X k n

x

(5.3.5)

Untuk menentukan vektor yang meminimumkan ( ),f X

*1*2

*n

x

xX

x

kita harus menyelesaikan n buah persamaan pada (5.3.3) secara simultan. Untuk

menjamin bahwa titik *X meminimumkan fungsi ( ),f X syarat cukup harus terpenuhi,

66

yaitu turunan kedua positif. Secara sederhana, syarat cukup ini terpenuhi jika matriks

Hessian, H, dari fungsi f adalah definit positif, yaitu

*

*

2

Xi j X

fH

x x

(5.3.6)

definit positif. Kemudian, karena setiap kondisi ini memenuhi Persamaan (5.3.4), maka

*

1

( ) 0, 1,2, ,N

kj jj

a P X k n

(5.3.7)

Setelah Persamaan (5.3.7) dibagi dengan nilai minimum dari fungsi * *f f X maka

Persamaan (5.3.7) menjadi

*

1

0, 1,2, ,N

j kjj

a k n

(5.3.8)

dimana *j didefinisikan dengan

* *

** *

( )j jj

P X P

f f (5.3.9)

yang menyatakan kontribusi relatif suku ke-j terhadap fungsi objektif optimal.

Berdasarkan Persamaan (5.3.9), maka

* **

1 1

1( ) 1

N N

j jj j

Pf

(5.3.10)

Kondisi (5.3.8) disebut kondisi ortogonalitas dan kondisi (5.3.10) disebut kondisi

normalitas.

Prosedur untuk menentukan nilai minimum untuk fungsi obyektif, yaitu *f , adalah

sebagai berikut :

Misal diberikan fungsi obyektif

* * * *

1 21

1* * * * * *

N

j Njf f f f f f

(5.3.11)

Selanjutnya, berdasarkan (5.3.9) diketahui bahwa ** *

* 1 2* * *1 2

N

N

PP Pf

maka

(5.3.11) menjadi

** *1 2 ** *

* 1 2* * *1 2

N

N

N

PP Pf

(5.3.12)

Substitusi definisi ( )jP X pada (5.2.2),

67

* *

1

( ) , 1,2, ,ij

na

j j ii

P c x j N

(5.3.13)

dan Persamaan (5.3.8) maka Persamaan (5.3.12) menjadi ** *

1 2

1 2

* *

* * * *1 2* * *

1 1 11 2

**

1 1 11

*1

( ) ( ) ( )

= ( )

=

N

i i iN

j j

ij

n n na a aN

i i ii i iN

N N naj

ij j i

j

cc cf x x x

cx

c

**

1

*

*

1 1

*1 1

( )

=

Nj

ij jj

j

aN n

ij i

Nj

j

x

c

(5.3.14)

Berdasarkan uraian tersebut di atas, maka nilai minimum dari fungsi *f dapat

ditentukan menggunakan Persamaan (5.3.14) setelah nilai *j ditentukan untuk setiap

1,2, , .j N Nilai *j untuk setiap 1,2, ,j N dapat ditentukan menggunakan

(5.3.8) dan (5.3.10), yaitu menentukan solusi sistem yang terdiri atas 1n persamaan

dengan N buah variabel.

5.3.1 Tingkat Kesulitan (degree of difficulty)

Jika N menyatakan banyaknya suku pada fungsi posinomial (fungsi obyektif

pada program geometrik), dan n menyatakan banyaknya variabel bebasnya, maka

tingkat kesulitan dalam permasalhan program geometrik ditentukan oleh bilangan

1N n . Jika 1 0N n atau 1N n maka permasalahan PG disebut memiliki

tingkat kesulitan nol (zero degree of difficulty). Pada kasus ini, permasalahan PG

memiliki solusi unik (tunggal). Kemudian, jika 1N n maka permasalahan PG

memiliki solusi tidak tunggal. Sedangkan untuk kasus 1N n , permasalahan PG ini

dinyatakan tidak dapat diterapkan (not aplicable).

5.3.2 Syarat Cukup untuk Solusi PG

Perhatikan kembali bahwa penentuan nilai *j untuk setiap 1,2, ,j N

menggunakan (5.3.8) dan (5.3.10) merupakan syarat perlu untuk solusi PG yang

68

diberikan. Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa kondisi tersebut juga merupakan

syarat cukup.

Karena nilai *f dan *j untuk setiap 1,2, ,j N diketahui, maka nilai optimal

dapat diperoleh berdasarkan

* * * *

1

, 1, 2, ,ijan

j j j ii

P f c x j N

(5.3.15)

Solusi simultan untuk Persamaan (5.3.15) merupakan prosedur untuk mendapatkan nilai

*, 1,2, , .ix i n Namun dalam kenyataannya, bukanlah suatu yang mudah untuk

menyelesaikan Persamaan (5.3.15). Oleh karenanya, untuk menyederhanakan

permasalahan ini, tulis kembali Persamaan (5.3.15) menjadi

1 2

* ** * *1 2 , 1, 2, ,

j j nja a ajn

j

fx x x j N

c

(5.3.16)

Dengan mengambil nilai logaritma (ln) pada kedua ruas Persamaan (5.3.16) diperoleh

1 2

* ** * *1 2

* * *1 1 2 2

ln ln

= ln ln ln , 1,2, ,

j j nja a ajn

j

j j nj n

fx x x

c

a x a x a x j N

(5.3.17)

Kemudian, substitusi

w ln( ), 1,2, ,i ix i n (5.3.18)

Maka Persamaan (5.3.17) menjadi

* *

1 1 2 2 ln , 1,2, ,jj j nj n

j

fa w a w a w j N

c

(5.3.19)

Persamaan (5.3.19), pada kasus dengan tingkat kesulitan nol memberikan solusi tunggal

1 2, , , nw w w . Jika w , 1, 2, ,i i n sudah ditentukan maka solusi permasalahan PG

diperoleh melalui

* exp(w ), 1,2, ,i ix i n (5.3.20)

Dengan cara serupa untuk kasus dengan tingkat kesulitan non negatif yaitu 1N n ,

penyelesaian persamaan (5.3.19) yang merepresentasikan permasalahan dengan N

persamaan dengan n variabel yang tidak diketahui. Melalui penyelesaian persamaan

tersebut akan diperoleh solusi berupa w ln( ), 1,2, ,i ix i n yang berimplikasi

memberikan solusi *.ix

69

Contoh 5.1 : (Rao, 2009:497)

Misalkan 80 m3 gabah kering akan diangkat menyeberangi sungai. Gabah kering

tersebut akan dibawa menggunakan kotak terbuka dengan panjang x1 meter dan lebar

x2 meter dan tinggi x3 meter. Sepanjang sisi tegak, dasar dan sepasang sisi samping

berharga masing-masing $80, $10, dan $20 per m2. Biaya pengangkutan adalah $1 per

kotak sekali perjalanan. Jika total biaya adalah biaya pembuatan kotak ditambah

dengan biaya pengangkutan (biaya lain diabaikan), maka total biaya dapat dirumuskan

sebagai berikut :

1

2

3 2 3 1 2

1 2 3

1 2 3

1 2 3 11 2 3

3

2 10 2 20 80

, , $ 80 1

80 =$ 80 40 20

x x x x x x

f x x x

x x x

x x x x x xx x x

(5.3.21)

dengan 1 2 3, , dan x x x menyatakan ukuran dari kotak pengangkutan, seperti terlihat pada

Gambar 5.1 berikut ini.

Gambar 5.1 Box Berbentuk Kotak Terbuka

Jika Persamaan (5.3.21) dihubungkan dengan bentuk umum persamaan

posinomial (5.2.2), maka diperoleh

1 2 3 480,c 40,c 20, dan c 80c

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

1 0 1 1

1 1 0 1

0 1 1 1

a a a a

a a a a

a a a a

Kondisi ortogonalitas dan normalitas diberikan oleh

70

1

2

3

4

1 0 1 1 0

1 1 0 1 0

0 1 1 1 0

1 1 1 1 1

(5.3.22)

Persamaan (5.3.22) memberikan

1 3 4 0 (K1)

1 2 4 0 (K2)

2 3 4 0 (K3)

1 1 3 4 1 (K4)

Berdasarkan (K1) dan (K2), diperoleh

4 1 3 1 2 2 3 (K5)

Sedangkan (K2) dan (K3) memberikan

4 1 2 2 3 1 3 (K6)

Persamaan (K5) dan (K6) memberikan

1 2 3

Sementara berdasarkan (K5) diperoleh

4 1 3 12

Akhirnya, Persamaan (K4) memberikan solusi tunggal

* * * *1 2 3 4

1 2 dan

5 5 (K7)

Selanjutnya, nilai optimal untuk fungsi obyektif diberikan oleh

1 1 1 25 5 5 5

*

1 1 1 15 5 5 5

110 5

80 40 20 80

1 5 1 5 1 5 2 5

= 400 200 100 40000

= 32 10

= $ 200

f

Untuk menentukan nilai optimal dari masing-masing variabel keputusan

Persamaan (5.3.15) memberikan

* * * * *1 1 2 1

180 200 40

5P x x f (K8)

* * * * *2 2 3 2

180 200 40

5P x x f (K9)

71

* * * * *3 1 3 3

180 200 40

5P x x f (K10)

* * *4 4* * *

1 2 3

80 2200 80

5P f

x x x (K11)

Berdasarkan (K8)-(K11) diperoleh

*

* * *32 1 2* * *

1 3 3

1 1 1; ;

2 2

xx x x

x x x

*

*33* * * * *

1 2 3 3 3

211 ; 2

xx

x x x x x

Hasil ini memberikan

* * *1 2 3

11 m, m, dan 2 m.

2x x x (K12)

Dengan cara lain, hasil pada (K12) dan Persamaan (5.3.19) memberikan

15

1 2 3

200 11 1 0 ln ln

80 2w w w

(K13)

15

1 2 3

2000 1 1 ln ln 1

40w w w

(K14)

15

1 2 3

2001 0 1 ln ln 2

20w w w

(K15)

25

1 2 3

2001 1 1 ln ln 1

80w w w

(K16)

Melalui penjumlahan Persamaan (K13), (K14), dan (K16), kita peroleh

*2 2ln(1/ 2) ln(1) ln(1) ln(1/ 2 1 1) ln(1/ 2) ln( )w x

yang berimplikasi *2 1/ 2.x

Serupa dengan cara di atas, melalui penjumlahan Persamaan (K13), (K15) dan

(K16), kita peroleh

*1 1ln(1/ 2) ln(2) ln(1) ln(1/ 2 2 1) ln(1) ln( )w x

yang berimplikasi *2 1.x

Akhirnya, melalui penjumlahan Persamaan (K14), (K15) dan (K16), kita

peroleh

*3 3ln(1) ln(2) ln(1) ln(1 2 1) ln(2) ln( )w x

Yang berimplikasi *3 2.x

72

5.4 Solusi Program Geometri Menggunakan Ketaksamaan Aritmatik-Geometrik

Permasalahan PG menggunakan ketaksamaan aritmatika-geometri diberikan

oleh ketaksamaan berikut :

1 21 1 2 2 1 2

NN N Np p p p p p (5.4.1)

dengan

1 2 1N (5.4.2)

Berdasarkan ketaksamaan (5.4.1) dan substitusi , 1, 2, ,i i iP p i N memberikan

1 2

1 21 2

1 2

N

NN

N

PP PP P P

(5.4.3)

dimana ( ), 1, 2, ,i iP P X i N dan bobot 1 2, , , N memenuhi Persamaan

(5.4.2). Ruas kiri pada kataksamaan (5.4.3) --yaitu fungsi asli ( )f x -- disebut fungsi

primal. Sedangkan ruas kanan pada ketaksamaan (5.4.3) disebut fungsi predual.

Dengan menggunakan relasi

1

, 1,2, , .ij

na

j j ii

P c x j n

(5.4.4)

maka

1 2

1 2

1 2

N

N

N

PP P

1 2

1 2 21

1 21 1 1

1 2

N

j j Nj

n n na a a

i i N ii i i

N

c x c x c x

1 2 1 2

1 2

1 21 2

1 1 1

1 2

1 1 11 2

1 21 2

1 2

=

=

N N

i i iN

N N Na aj j aj j nj jNi i i

j j j

n n na a aN

i i ii i iN

x x xN

nN

cc cx x x

cc cx x x

(5.4.5)

Selanjutnya, jika kita pilih bobot j sehingga memenuhi kondisi normalitas pada

(5.4.2), dan juga kondisi ortogonalitas

1

0, 1,2, ,N

ij jj

a i n

(5.4.6)

Persamaan (5.4.5) dapat direduksi menjadi

73

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

N N

N N

N N

P cP P c c

(5.4.7)

Akibatnya, ketaksamaan (5.4.3) menjadi

1 2

1 21 2

1 2

N

NN

N

cc cP P P

(5.4.8)

Pada ketaksamaan (5.4.8), ruas kanan disebut fungsi dual, 1 2g( , , , )N .

Ketaksamaan (5.4.8) secara sederhana dapat ditulis

f g (5.4.9)

5.5 Relasi Primal-Dual dan Syarat Cukup untuk Kasus Tanpa Kendala

Jika *f dan *g berturut menyatakan nilai minimum untuk fungsi primal dan

nilai minimum untuk fungsi dual, maka berdasarkan (5.4.9) berlaku

* *f f g g (5.5.1)

Pada subbab ini, kita bakan membuktikan bahwa * *f g dan selanjutnya akan kita

buktikan bahwa *f merupakan nilai minimum global untuk ( ).f X

Untuk menederhanakan notasi, notasikan fungsi obyektif 0( )f X x dan

melalui transformasi eksponensial ,

exp( ) atau = ln( ) i i i iw x w x (5.5.2)

Selanjutnya, definisikan variabel j sebagai fungsi bobot dengan

1

0 0

, 1, 2, , .

ij

na

j ij i

j

c xP

j nx x

(5.5.3)

yang merupakan bilangan positif dan memenuhi syarat normalitas (5.4.2). Dengan

mengenakan transformasi logaritma pada kedua ruas Persamaan (5.4.2), kita peroleh

01

ln( ) ln( ) ln( ) ln( )n

j j ij ii

c a x x

(5.5.4)

atau,

1

ln , 1,2, ,n

jij i

ij

a w j Nc

(5.5.5)

74

Permasalahan optimasi yang semula adalah meminimumkan fungsi ( )f X tanpa

kendala, sekarang menjadi permasalahan peminimuman fungsi 0x dengan kendala

persamaan -- syarat normalitas (5.4.2) dan kesamaan pada (5.5.5). Fungsi obyektif 0x

diberikan oleh

00

1 1

1 1

= exp

ij i

nNa ww

jj i

N n

j ij ij i

x e c e

c a w

(5.5.6)

Karena fungsi eksponensial 1

expn

ij ii

a w

merupakan fungsi konveks respek

terhadap variabel iw maka fungsi obyektif 0x yang merupakan kombinasi linear dari

fungsi eksponensial, juga merupakan fungsi konveks. Akibatnya, hanya terdapat satu

titik stasioner untuk fungsi 0x , sehingga dengan sendirinya merupakan titik minimum

global. Titik minimum global 0w dapat ditentukan dengan mengkonstruksi fungsi

Lagrangian,

0 01 1

, , 1 lnN N

jj j ij i

j j j

L w w a w wc

(5.5.7)

dengan

0 1 0

1 2 1, , dan

n N N

w

ww

w

(5.5.8)

Pada titik stasioner, syarat perlu untuk peminimuman fungsi 0x memberikan

0, 0,1,2, ,i

Li n

w

(5.5.9a)

0, 0,1,2, ,j

Lj N

(5.5.9b)

0, 0,1,2, ,j

Lj N

(5.5.9c)

Persamaan (5.5.9) memberikan beberapa kesamaan berikut ini

75

1 1

1 0 atau 1N N

j jj j

(5.5.10)

1

0, 1,2, ,N

j ijj

a i n

(5.5.11)

0 00 atau , 1, 2, ,j j

j j

j N

(5.5.12)

1 1

1 0 atau 1 N N

j jj j

(5.5.13)

01

ln 0, 0,1,2, ,n

jij i

ij

a w w j Nc

(5.5.14)

Persamaan (5.5.12), (5.5.13) dan (5.5.14) memberikan

0 0 01 1 1

1N N N

j j jj j j

(5.5.15)

Nilai dari pengganda Lagrange diberikan oleh

1, untuk 0

, j 1, 2, ,jj

j

N

(5.5.16)

Dengan substitusi (5.5.16) ke dalam Persamaan (5.5.7) memberikan

01 1 1

, ln (1 ) 1N N n

j jj i ij j

j j ij

L w w w ac

(5.5.17)

Fungsi Lagrangian pada Persamaan (5.5.17) dapat dipandang sebagai fungsi Lagrangian

berkorespondensi dengan permasalahan optimasi baru dengan fungsi obyektif ( )g

yang diberikan oleh

1 1

( ) ln lnj

NNj j

jj jj j

cg

c

(5.5.18)

dengan kendala

1

1 0N

jj

(5.5.19a)

1

0, 1,2, ,N

ij jj

a i n

(5.5.19b)

Permasalahan optimasi (5.5.18) dengan kendala (5.5.19a) dan (5.5.19b) disebut sebagai

masalah dual untuk problem yang semula (masalah Primal).

76

5.6 Permasalahan Optimasi Berkendala

Permasalahan optimasi berkendala berkaitan dengan program geometrik

diberikan sebagai berikut.

1

2Tentukan

n

x

xX

x

yang meminimumkan fungsi obyektif

0

0

01 1

( ) ij

N na

j ij i

f X c x

(5.6.1)

dan memenuhi kendala

1 1

( ) / 1, 1, 2, ,k

kij

N na

k kj ij i

g X c x k m

(5.6.2)

dengan koefisien 0 0( 1,2, , )jc j N dan ( 1,2, , ; 1,2, , )kj kc k m j N adalah

bilangan positif, dan eksponen (bilangan pangkat) 0 0, ( 1,2, ,n; 1,2, , )ija i j N dan

, ( 1,2, , ; 1,2, ,n; 1,2, , )kij ka k m i j N adalah bilangan real. Bilangan m

menyatakan banyaknya kendala, 0N menyatakan banyaknya suku pada fungsi objektif,

dan kN menyatakan banyaknya suku pada kendala ke-k. Serta variabel 1 2, , , nx x x

diasumsikan hanya berupa bilangan positif.

5.7 Penyelesaian Permasalahan Program Geometrik Berkendala

Misal diberikan fungsi obyektif untuk permasalahan optimasi PG sebagai

berikut:

00

0 0 01 1

( ) ( )ijaN n

j ii j

x g X f X c x

(5.7.1)

dengan kendala

1 ( ) 0, 1, 2, ,k k kf g X k m (5.7.2)

dimana k adalah fungsi signum,

1 , ( ) 1

( )1 , ( ) 1

kk

k

g xX

g x

(5.7.3)

77

Permasalahan optimasi PG dengan fungsi objektif (5.7.1) dan kendala (5.7.2)

disebut sebagai masalah primal. Permasalahan ini dapat ditrasformasi menjadi

permasalahan optimasi baru yang ekivalen dengan kendala berbentuk linear, disebut

masalah dual. Masalah dual adalah permasalahan maksimisasi dengan fungsiobjektif,

10 1

k kjk kN Nm

kjkt

tk j kj

cv

(5.7.4)

dengan kendala syarat normalitas dan ortogonalitas,

0

01

1N

jj

(5.7.5)

0 1

0, 1, 2, ,kNm

k kij kjk j

a i n

(5.7.6)

Kasus I : Jika permasalahan PG memiliki tingkat kesulitan nol, maka kondisi

normalitas dan ortogonalitas memberikan solusi unik atau tunggal untuk * yang

diperoleh dari fungsi objektif masalah primal,

*

* * * *0 *

10 1

( )k kj

k kN Nmkj

kttk j kj

cf x v

(5.7.7)

Jika f X diketahui sebagai permasalahan minimisasi, maka titik stasioner yang

menyebabkan *f minimum dan memenuhi (5.7.7) adalah tunggal dan merupakan

minimum global.

78

5.8 Latihan

1. (Permasalahan dengan tingkat kesulitan nol).

Tentukan 1 2 3( )TX x x x yang meminimumkan fungsi obyektif :

1 3 2 3 1 2( ) 20 40 80f X x x x x x x ,

dengan kendala

1 2 3 1 2 3

80 810 atau 1

x x x x x x

2. Susun dan selesaikan permaslahan dual untuk permasalahan PG pada nomor 1.

3. (Permasalahan dengan tingkat kesulitan satu).

Tentukan 1 2 3 4( )TX x x x x yang meminimumkan fungsi obyektif :

2 1 1 31 2 3 1 2 4 1 3( ) 2 10f X x x x x x x x x ,

dengan kendala

1 21 3 4 3 43 4 1, x x x x x

1 25 1.x x

4. (Permasalahan dengan kendala campuran)

Tentukan 1 2 3 4( )TX x x x x yang meminimumkan fungsi obyektif :

2 1 1 31 2 3 1 2 4 1 3( ) 2 10f X x x x x x x x x ,

dengan kendala

1 2 1 11 3 4 3 43 4 1, danx x x x x

1 25 1.x x

79  

  

BAB 6

PROGRAM DINAMIK

(DINAMICS PROGRAMMING)

6.1 Pendahuluan

Program dinamis adalah suatu teknik matematis yang biasanya digunakan untuk

membuat suatu keputusan dari serangkaian keputusan yang saling berkaitan. Tujuan

utama dari model ini adalah untuk mempermudah penyelesaian persoalan optimasi yang

mempunyai karakteristik tertentu.

Penemu dan orang yang bertanggung jawab atas kepopuleran program dinamik

adalah Richard Bellman. Pada teknik ini, keputusan yang menyangkut suatu persoalan

dioptimalkan secara bertahap dan bukan secara sekaligus. Inti dari teknik ini adalah

membagi suatu persoalan atas beberapa bagian persoalan yang dalam program dinamik

disebut sebagai tahap, kemudian dipecahkan. Penerapan pendekatan program dinamik

mampu untuk menyelesaikan berbagai masalah seperti masalah pengalokasian sumber

daya, muatan (knapsack), capital budgeting, pengawasan persediaan, dan lain-lain.

Kelebihan dari program dinamik adalah sebagai suatu pendekatan optimalisasi

yang mengalihkan sebuah persoalan kompleks ke dalam sederetan persoalan yang lebih

sederhana yang mempunyai karakteristik utama sebagai tahapan prosedur optimalisasi.

Pada tahapan tersebut pengambilan keputusan dilakukan secara bertahap, sehingga

sangat sesuai untuk persoalan optimalisasi dengan keputusan bertahap yang banyak.

Tidak seperti pemograman linear, tidak ada model matematik standar untuk

perumusan pemrograman dinamis. Akan tetapi, pemrograman dinamis adalah

pendekatan umum untuk pemecahan masalah dan persamaan tertentu yang digunakan di

dalamnya harus dibentuk sesuai dengan situasi masalah yang dihadapi.

Istilah yang biasa digunakan antara lain :

1. Stage(tahap) adalah bagian persoalan yang mengandung decision variable.

2. Alternatif, pada setiap stage terdapat decision variable dan fungsi tujuan yang

menentukan besarnya nilai setiap alternative.

80  

  

3. State, state menunjukkan kaitan satu stage dengan stage lainnya, sedemikian rupa

sehingga setiap stage dapat dioptimisasikan secara terpisah sehingga hasil optimasi

layak untuk seluruh persoalan.

Pemrograman dinamis dibedakan menjadi pemrograman dinamis masalah

deterministik dan probabilistik. Pemrograman dinamis deterministik dicirikan oleh

keadaan pada tahap berikutnya ditentukan sepenuhnya oleh keadaan dan keputusan

pada tahap sekarang. Masalah deterministik dapat dibedakan antara kasus maksimum

dan minimum. Sedangkan pemrograman dinamis probabilistik keadaan pada tahap

berikutnya memiliki suatu distribusi probabilitas tertentu.

6.2 Definisi Program Dinamis

Program dinamis didefinisikan sebagai salah satu tehnik matematis yang

digunakan untuk mengoptimalkan proses pengambilan keputusan secara bertahap.

Prosedur utama pada tehnik ini adalah membagi suatu persoalan menjadi beberapa

bagian persoalan yang dalam program dinamis disebut tahapan, kemudian memecahkan

tiap tahap dengan mengoptimalkan keputusan atas tiap tahap tersebut dan seterusnya

sampai seluruh persoalan terpecahkan. Singkatnya program dinamis adalah metode

pemecahan masalah dengan cara menguraikan solusi menjadi sekumpulan langkah

(step) atau tahapan (stage) sedemikian hingga solusi persoalan merupakan serangkaian

keputusan yang saling berkaitan.

Program dinamis bekerja dengan cara menguraikan solusi menjadi sekumpulan

langkah yang saling berhubungan. Solusi dari setiap langkah diperoleh melalui solusi

dari langkah sebelumnya. Solusi setiap langkah akan dipakai untuk menemukan solusi

pada langkah beikutnya, sampai akhirnya pada langkah terakhir. Pada langkah terakhir,

solusi yang dihasilkan akan menjadi solusi untuk keseluruhan masalah yang optimal.

6.3 Sifat atau Karakteristik Program Dinamis

Pada dasarnya, tidak semua persoalan optimasi dapat diselesaikan dengan

program dinamis. Salah satu cara untuk mengetahui suatu permasalahan dapat

diselesaikan dengan program dinamis atau tidak, adalah dengan mengenal sifat atau

karakteristik yang ada pada program dinamis.

81  

  

Berikut ini merupakan sifat dasar atau karakteristik yang dimiliki oleh program

dinamis, yaitu :

a. Persoalan dapat dibagi menjadi beberapa tahapan (stage), dimana pada masing-

masing tahapan diperlukan adanya suatu keputusan atau solusi.

b. Masing-masing tahapan terdiri atas sejumlah state yang berhubungan dengan

tahapan yang bersangkutan.

c. Prosedur pemecahan persoalan dimulai dengan mendapatakan solusi (keputusan)

terbaik untuk setiap state dari stage terakhir.

d. Solusi pada suatu tahap meningkat dengan bertambahnya jumlah tahapan.

e. Keputusan terbaik pada suatu tahap bersifat independen terhadap keputusan yang

dilakukan pada tahap sebelumnya.

Adapun ciri utama dari program dinamis adalah rangkaian keputusan yang optimal

dibuat dengan menggunakan Prinsip Optimalitas yang berbunyi “jika solusi total

optimal, maka bagian solusi sampai tahap ke-k juga optimal”. Dengan prinsip

optimalitas ini dijamin bahwa pengambilan keputusan pada suatu tahap adalah

keputusan yang benar untuk tahap-tahap selanjutnya.

f. Karena berlakunya prinsip optimalitas, maka terdapat hubungan rekursif yang

mengidentifikasikan keputusan terbaik untuk setiap status pada tahap k memberikan

keputusan terbaik untuk setiap status pada tahap k + 1.

6.4 Multi Tahapan Proses Pengambilan Keputusan

Proses pengambilan keputusan untuk satu tahapan (sebagai bagian dari masalah

multi-tahapan diilustrasikan oleh Gambar 6.1. Proses pengambilan keputusan dapat

dikarakterisasi berdasarkan parameter input atau data (S), variabel keputusan (X) dan

parameter output (T) yang merepresentasikan keluaran yang diperoleh sebagai hasil

dalam membuat keputusan.

Gambar 6.1 Pengambilan Keputusan untuk Permasalahan Satu Tahap (Rao, 2009:546)

82  

  

Parameter input atau data disebut dengan input variabel state, dan parameter

output disebut output variabel state. Kemudian, fungsi objektif (return, R) merupakan

ukuran efektivitas dalam pembuatan keputusan. Untuk satu tahap pengambilan

keputusan (Gambar 6.1) , output keluaran dari input yang melewati tahapan fungsi

transformasi yang bergantung pada input atau data, S dan variabel keputusan, X yaitu

( , )T t S X (6.3.1)

Karena input sistem pada suatu tahapan dipengaruhi oleh keputusan yang kita buat pada

tahapan sebelumnya, maka fungsi return atau fungsi obyektif dapat diformulasikan

dengan

(S, X)R r (6.3.2)

Secara umum, proses pengambilan keputusan multi tahapan adalah sebagai berikut ini.

Misalkan terdapat n tahap. Pada penerapannya, tahapan ini akan dilabel secara

menurun, , 1, 2, , 1, , 1,n n n i i i , 2,1. Pada tahapan ke-i, misalkan input state

dinotasikan dengan 1is dan output state dinotasikan dengan .is Karena sistem berlaku

secara serial, maka output tahap ke- ( 1)i akan menjadi input pada tahap ke- i , secara

sederhana seperti terlihat pada Gambar 6.2. State transformasi dan fungsi return untuk

masalah pengambilan keputusan yang berkaitan dengan permasalahan multi tahapan

adalah sebagai berikut :

1( , )i i i is t s x (6.3.3)

1( , )i i i iR r s x (6.3.4)

dengan ix adalah variabel state pada tahap ke-i dan 1is adalah data pada tahap ke-i+1.

Gambar 6.2 Keputusan berkaitan dengan Permasalahan Multi Tahapan

Sumber : Rao (2009:547)

83  

  

6.5 Konsep Suboptimalisasi dan Prinsip Optimalitas dalam Permasalahan

Program Dinamik

Permasalahan optimasi program dinamik (PD), dapat diformulasikan sebagai

berikut :

1 2 11 1

, , , ( , )n n

n i i i ii i

f x x x R r s x

(6.4.1)

dan memenuhi persamaan desain

1( , ), 1,2, , .i i i is t s x i n (6.4.2)

Program dinamik menggunakan konsep suboptimalisasi dan prinsip optimalitas

dalam penyelesaian suatu permasalahan. Untuk memahami konsep suboptimalisasi dan

prinsip optimalitas dalam penyelesaian suatu permasalahan, perhatikan contoh kasus

desain suatu tangki air dengan kapasitas 100.000 liter dengan biaya yang paling

minimum, seperti yang direpresentasikan oleh Gambar 6.3.

Gambar 6.3 Sistem tangki air (Rao, 2009:550)

84  

  

Perhatikan, berdasarkan Gambar 6.3 (a), desain tangki air terdapat tiga tahapan

pekerjaan, yaitu (i) mendesain wadah atau tangki penampung air misalnya berbentuk

kotak atau tabung, (ii) mendesain tiang (kolom) penyangga tangki misalnya

menggunakan beton atau rangka baja, dan (iii) mendesain kekuatan fondasinya,

misalnya menggunakan mat atau pile. Dalam hal ini, desain untuk masing-masing

tahapan memerlukan biaya tersendiri, sebut , , dan k j iR R R berturut-turut menyatakan

biaya yang dibutuhkan untuk mendesain fondasi, tiang dan wadah air atau tangki.

Gambar 6.4. Ilustrasi tentang konsep suboptimalisasi dan prinsip optimalitas

Sumber : Rao (2009:551).

Dalam pelaksanaan kegiatan desain ini, sistem tangki air di-split menjadi tiga

tahapan tersebut di atas, yaitu desain fondasi, desain tiang, dan desain wadah air.

Untuk menyelesaian permasalahan optimasi sistem tangki air ini, konsep

suboptimalisasi dan prinsip optimalitas diterapkan seperti yang diilustrasikan oleh

Gambar 6.4. Pertama, mulai dengan optimalisasi desain fondasi, yang meliputi bahan,

bentuk dan ukuran yang akan dibuat. Pada tahap ini akan diperoleh keputusan optimal

85  

  

terkait dengan bentuk, bahan dan ukuran fondasi, dengan pertimbangan kekuatan

menyanggah tiang/kolom dengan biaya yang minimum tanpa memperhitungkan biaya

untuk membuat tiang dan wadah air. Selanjunya, tahap kedua adalah optimalisasi

desain kolom atau tiang penyanggah wadah dengan memperhitungkan fondasi yang

telah diputuskan pada tahap sebelumnya. Terakhir, secara bersamaan dengan hasil

tahap pertama dan kedua (fondasi dan tiang), optimalisasi bentuk, bahan dan ukuran

wadah air sebagai satu kesatuan. Pada tahap akhir ini telah dihasilkan sebuah

keputusan desain tangki air, yang terdiri atas fondasi, tiang dan wadah air sesuai dengan

kriteria yang diinginkan tetapi dengan biaya yang minimum.

Relasi Rekurens

Misalkan fungsi objektif yang ditargetkan meminimumkan fungsi f,

1 1 1 1 1 2min ( , ) R ( ,s ) R ( ,s ) ( , )n n n n n nf S X x x R x s (6.4.3)

dimana state dan variabel keputusan ditentukan oleh

1( , ), 1, 2, ,i i i is t s x i n (6.4.5)

 

6.6 Metode Kalkulus untuk Penyelesaian Program Dinamik

Sebagai ilustrasi, perhatikan contoh kasus berikut. The four-bar truss seperti

pada Gambar 6.5.

Gambar 6.5 The four-bar truss (Rao, 2009:555)

Misalkan ix menyatakan luas daerah ke-i (i = 1,2,3,4). Panjang batang ke-i , notasi

, 1, 2,3,4il i diberikan oleh l1 =l3 = 100 in., l2 = 120 in., dan l4 = 60 in. Bobot dari

truss diberikan oleh

86  

  

1 2 3 4 1 2 3 4

1 2 3 4

( , , , ) 0,01 100 120 100 60

= 1,2 0,6

f x x x x x x x x

x x x x

(6.5.1)

 

Berdasarkan analisis struktur bangunan, besarnya gaya yang diberikan oleh batang ke-i

pada simpul (pertemuan batang) A-- ( )ip , deformasi batang ke-i id , kontribusi

batang ke-i terhadap defleksi vertikal di simpul A, i i ip d diberikan oleh tabel

berikut ini.

Sumber Rao (2009:557)

Defleksi vertikal di simpul A, diberikan oleh persamaan berikut :

4

1 1 2 3 4

1,5625 0,6750 1,5625 1,3500A i

i

dx x x x

(6.5.2)

Oleh karenanya, permasalah optimasi yang berkaitan dengan masalah “four-bar truss”

adalah sebagai berikut :

1 2 3 4min ( ) 1,2 0,6f X x x x x (6.5.3)

dengan kendala

1 2 3 4

1,5625 0,6750 1,5625 1,35000,5

x x x x (6.5.4a)

0, 1, 2,3, 4ix i (6.5.4b)

87  

  

Karena defleksi pada simpul A merupakan jumlah dari kontribusi setiap batang, yaitu

sebesar 0,5 in. Fenomena defleksi ini dapat dipandang sebagai alokasi sumberdaya ke

sejumlahi kegiatan ix sebagaimana diilustrasikan pada Gambar 6.6 berikut ini.

Gambar 6.6 Masalah ‘four-bar truss” dalam empat tahapan keputusan

Sumber : Rao (2009:558)

Misalkan 2s menyatakan sumberdaya (displacement) yang tersedia untuk dialokasikan

ke batang/member pertama (tahap 1), 1 kontribusi sumberdaya ke member ke-1, dan

*1 2( )f s menyatakan bobot minimum dari memberi ke-1, maka

*1 2 1 1

1

1,5625( ) minf s R x

x (6.5.5)

sehingga

1 11

1,5625, dan 0.x

x (6.5.6)

Karena 1 2 ,s dan (6.5.5) maka diperoleh

*1

2

1,5625x

s (6.5.7)

Selanjutnya, misalkan 3s menyatakan sumberdaya yang tersedia untuk dialokasikan

kepada dua member pertama, 2 kontribusi sumberdaya kepada member ke-2, dan

*2 3( )f s menyatakan minimum bobot terhadap dua member pertama,

2

* *2 3 2 1 2

0( ) min ( )

xf s R f s

(6.5.8)

88  

  

dengan 2s menyatakan sumberdaya yang tersedia setelah alokasi ke tahap 2, yang

diberikan oleh

2 3 2 32

0,6750s s s

x (6.5.9)

Berdasarkan (6.5.5)

* *1 2 1 3

23

2

0,6750 1,5625( )

0,6750f s f s

xs

x

(6.5.10)

Kemudian (6.5.8) menjadi     

2

*2 3 2

0

32

1,5625( ) min 1,2

0,6750xf s x

sx

(6.5.11)

Selanjutnya, misalkan

23 2 2 2

3 23

2

1,56251,5625( , ) 1, 2 1, 2

0,67500,6750

xF s x x x

s xs

x

(6.5.12)

Akibatnya untuk setiap nilai 3s , nilai minimum dari F untuk suatu nilai 3s diberikan

oleh

*2 22

2 3 2 3

(1,5625)(0,6750) 1,61241, 2 0, atau

( 0,6750)

Fx x

x s x s

(6.5.13)

* *2 3 2 *

3 2 3 3 3

1,5625 1,9349 2,6820 4,6169( ) 1, 2

( 0,6750 )f s x

s x s s s

(6.5.14)

Selanjutnya, misalkan 4s menyatakan sumberdaya yang tersedia untuk dialokasikan

kepada tiga member pertama, 3 kontribusi sumberdaya kepada member ke-3, dan

*3 4( )f s menyatakan minimum bobot terhadap tiga member pertama,

3

* *3 4 3 2 30

( ) min ( )x

f s x f s (6.5.15)

89  

  

dengan 3s menyatakan sumberdaya yang tersedia setelah alokasi ke tahap 3, yang

diberikan oleh

3 4 3 43

1,5625s s s

x (6.5.16)

Persamaan (6.5.14) memberikan

*2 3

4 3

4,6169( )

1,5625f s

s x

(6.5.17)

Berdasarkan (6.5.15) dan (6.5.17) diperoleh

3

* 33 4 3

04 3

4,6169( ) min

1,5625x

xf s x

s x

(6.5.18)

Seperti sebelumnya, misalkan

34 3 3

4 3

4,6169( , )

1,5625

xF s x x

s x

(6.5.19)

Kemudian, untuk setiap nilai 4s , nilai minimum dari F untuk suatu nilai 4s diberikan

oleh

*32

3 4 3 4

(4,6169)(1,5625) 4, 24451 0, atau

( 0,6750)

Fx

x s x s

(6.5.20)

*

* * 33 4 3 *

4 3 4 4 4

4,6169 4,2445 7,3151 11,5596( )

( 1,5625)

xf s x

s x s s s

(6.5.21)

Akhirnya, misalkan 5s menyatakan sumberdaya yang tersedia untuk dialokasikan

kepada empat member pertama, 4 kontribusi sumberdaya kepada member ke-4, dan

*4 5( )f s menyatakan minimum bobot terhadap empat member pertama,

4

* *4 5 4 3 4

0( ) min ( )

xf s x f s

(6.5.22)

dengan 4s menyatakan sumberdaya yang tersedia setelah alokasi ke tahap 4, yang

diberikan oleh

4 5 4 54

1,3500s s s

x (6.5.23)

Persamaan (6.5.21)-(6.5.23) memberikan

90  

  

4

*4 5 4

05 4

11,5596( ) min 0,6

1,3500xf s x

s x

(6.5.24)

Seperti sebelumnya, misalkan

45 4 4

5 4

11,5596( , ) 0,6

1,3500

xF s x x

s x

(6.5.25)

Kemudian, untuk setiap nilai 5s , nilai minimum dari F untuk suatu nilai 5s diberikan

oleh

*42

4 5 4 5

(11,5596)(1,3500) 6, 440,6 0, atau

( 1,3500)

Fx

x s x s

(6.5.26)

*

* * 44 5 4 *

5 4 5 5 5

11,5596 3,864 16,492 20,356( ) 0,64

( 1,3500)

xf s x

s x s s s

(6.5.27)

Selanjutnya, karena nilai 5s diberikan sebesar 0,5 in. bobot minimum dari struktur

dapat dihitung melalui

*4 5

20,356( 0,5) 40,712 .

0,5f s lb (6.5.28)

Sedangkan nilai optimum untuk variabel desain diberikan oleh (6.5.26),

(6.5.20), (6.5.13), dan (6.5.7) sebagai berikut :

* 24 12,88 Inx

4 5 *4

1,35000,5 0,105 0,395 in.s s

x

 

* 23

4

4, 244510,73 Inx

s

3 4 *3

1,56250,3950 0,1456 0, 2494 in.s s

x

* 22

3

1,61246,47 Inx

s

2 3 *2

0,67500, 2494 0,1042 0,1452 in.s s

x  

91  

  

* 21

2

1,562510,76 Inx

s . 

 

6.7 Jenis-jenis Pendekatan Program Dinamis

(a). Program Dinamik Deterministik

Pendekatan program dinamik masalah deterministik, yaitu program dinamik

dengan karakteristik bahwa keadaan pada tahap berikutnya ditentukan sepenuhnya oleh

keadaan dan keputusan atau kebijakan pada tahap sekarang. Pada tahap n, proses akan

berada pada suatu keadaan ns . Pembuatan keputusan kebijakan nx selanjutnya

menggerakkan proses ke keadaan 1ns pada tahap (n+1). Kontribusi sesudahnya

terhadap fungsi tujuan di bawah kebijakan yang optimal telah dihitung sebelumnya

sebagai *1 1( )n nf s . Keputusan kebijakan nx juga memberikan kontribusi kepada fungsi

tujuan.

Kombinasi kedua nilai ini akan memberikan nilai ( , x )n n nf s yaitu kontribusi n

tahap ke depan pada fungsi tujuan. Pengoptimalan terhadap * *( ) ( , )n n n n n nx f s f s x .

Setelah ditemukan *nx dan *( )n nf s untuk setiap nilai ns , selanjutnya prosedur

penyelesaiannya bergerak mundur satu tahap. Program dinamik deterministik dapat

diuraikan dengan diagram yang ditunjukkan dibawah ini :

Gambar 6.7 Program dinamik deterministik

(b). Program Dinamik Probabilistik

Program dinamik probabilistik berbeda dengan program dinamik deterministik.

Pada program dinamik deterministik, keadaan pada tahap berikutnya sepenuhnya

92  

  

ditentukan oleh keadaan dan keputusan kebijakan pada tahap sebelumnya. Sedangkan

pada program dinamik probabilistic, terdapat suatu probabilitas keadaan mendatang

dengan distribusi peluang tetap yang ditentukan oleh keadaan dan keputusan kebijakan

pada keadaan sebelumnya.

Karakteristik pada program dinamik probabilistik yaitu :

o Stage berikutnya tidak seluruhnya ditentukan oleh stage dan keputusan pada

stage saat ini, tetapi ada suatu distribusi peluang terhadap apa yang akan terjadi

berikutnya.

o Distribusi peluang ini seluruhnya ditentukan oleh state dan keputusan pada stage

saat ini.

Struktur dasar dalam pemrograman dinamik probabilistik diilustrasikan oleh

gambar berikut ini.

 

 

Gambar 6.8 Struktur program dinamik probabilistik

Keterangan gambar :

o s melambangkan banyaknya keadaan yang mungkin pada tahap (stage) ke

( 1)n dan keadaan ini digambarkan pada sisi sebelah kanan sebagai 1, 2, …,s.

(p1, p2, …, ps) adalah distribusi peluang terjadinya suatu state berdasarkan state

ns dan keputusan nx pada stage n.

93  

  

o ic adalah kontribusi dari stage n terhadap fungsi tujuan jika state berubah

menjadi state i

o ( , )n n nf s x menunjukkan jumlah ekspektasi minimal dari tahap n ke depan,

dengan diberikan status dan keputusan pada tahap n masing-masing ns dan nx .

Karena adanya struktur probabilistik, hubungan antara ( , )n n nf s x dan

1( , )n n nf s x agak lebih rumit dibandingkan dengan program dinamik

deterministik.

Dua metode pendekatan yang umum digunakan dalam penerapan program

dinamis probabilistik yaitu rekursif maju (forward atau up-down) dan rekursif mundur

(backward atau bottom- up). Misalkan 1 2, , , nx x x menyatakan variabel keputusan

yang harus dibuat pada masing-masing tahap 1, 2, …, n.

Maka,

(1). Langkah maju (forward atau up-down) : bergerak mulai dari tahap 1, terus

maju ke tahap 2,3,..,n. Urutan variabel keputusan adalah 1 2, , , nx x x .

(2). Langkah mundur(backward atau bottom-up) : bergerak mulai dari tahap n,

terus mundur ke tahap 1, 2, , 2,1n n . Urutan variabel keputusan adalah

1 1, , ,n nx x x .

94  

  

6.8 Latihan

1. Rute pesawat udara yang menghubungkan 16 kota (A, B, C, ..., P) diberikan oleh

Gambar 6.9. Rute perjalanan antara suatu kota dengan kota lainnya, hanya dapat

dilakukan seperti yang ada pada gambar, dimana bobot sisi menyatkan biaya

digunakan jika melewati segment tersebut. Jika seseorang ingin melakukan

perjalanan dari kota A ke kota P dengan biaya minimum, tentukan rute perjalanan

tersebut menggunakan program dinamik!

Gambar 6.9 Digram rute perjalan disetai biaya yang digunakan

2. Berdasarkan Gambar 6.9, tentukan rute dan biaya perjalanan minimum, jika

seseorang melakukan perjalan dari kota D ke kota M.

3. Sutau sistem memiliki tiga subsistem yang memuat beberapa komponen yang

disusun secara paralel, sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 6.10. Bobot dan

realibilitas dari semua komponen diberikan oleh tabel berikut.

Subsistem, i Bobot setiap komponen,

Wi (lb)

Realibilitas setiap komponen,

ri

1 4 0,96

2 2 0,92

95  

  

3 6 0,98

Gambar 6.10 Tiga subsistem yang dihubungkan secara seri.

Realibilitas dari subsistem i diberikan oleh 1 (1 ) , 1, 2,3ini iR r i dengan in

menyatakan banyaknya komponen yang terhu bung secara paralel pada subsistem i,

dan secara keseluruhan realibilitas sistem diberikan oleh 1 2 3R R R R . Pada kasus

ini, sudah ditetapkan paling sedikit satu dan tidak boleh lebih dari tiga komponen pada

suatu subsistem. Jika total payload adalah 20 lb maka tentukan banyaknya komponen

yang digunakan pada setiap subsistem i, i=1,2,3 untuk memaksimalkan realibilitas

keseluruhan sistem.

DAFTAR BACAAN

Byrne,Charles L., 2007, A First Course in Optimization, Lecturer Notes.

Diwekar, U., 2008, Introduction to Applied Optimization, Second Edition, Springer, USA.

Fletcher, R., 2000, Practical methods of Optimization, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc., New York.

Antoniou, Andreas dan Lu, Wu-Sheng, 2007, PRACTICAL OPTIMIZATION : Algorithms and Engineering Applications, Springer, USA.

Venkataraman, P., 2002, Applied Optimization with MATLAB Programming, John Wiley &

Sons, Inc.,New York.

Rao, Singiresu S., 2009, Engineering Optimization: Theory and Practice, Fourth Edition, John Wiley & Sons, Inc., New Jersey.

Sarker, Ruhul A. dan Newton, Charles S., 2008, Optimization Modelling A Practical Approach, CRC Press - Taylor & Francis Group, New York.

Sun, W dan Yuan, YX., 2006, Optimization Theory and Methods : Nonlinear Programming, Springer Optimization and Its Applications, Springer, USA.

Lampiran A. Konsep Aljabar dan Matriks

A.1 Ruang atau n n

Permasalahan nyata sering kali melibatkan variabel yang cukup banyak, oleh

karenanya perumusan masalah optimasi yang terkait dengan suatu permasalahan nyata

sangat mengandalkan konsep matriks atau vektor. Berkaitan dengan penotasian

tersebut, maka lambang dan operasi matriks pun menjadi suatu hal yang sangat penting

untuk kuasai atau disepakati.

Dalam penotasian matriks, notasi n menyatakan ruang vektor dengan n elemen

kolomnya merupakan bilangan real. Notasi 1n menyatakan matriks dengan ukuran

1n , yaitu suatu matriks dengan jumlah baris adalah n dan jumlah kolom adalah 1 dan

setiap elemennya merupakan bilangan real. Secara umum, notasi n m menyatakan

matriks yang setiap elemennya merupakan bilangan real dengan ukuran n m , yaitu

suatu matriks dengan jumlah baris adalah n dan jumlah kolom adalah m.

Serupa dengan n , notasi n menyatakan ruang vektor dengan n elemen

kolomnya merupakan bilangan kompkleks. Notasi 1n menyatakan matriks dengan

ukuran 1n , yaitu suatu matriks dengan jumlah baris adalah n dan jumlah kolom

adalah 1 dan setiap elemennya merupakan bilangan kompleks. Secara umum, notasi

n m menyatakan matriks yang setiap elemennya merupakan bilangan kompleks

dengan ukuran n m , yaitu suatu matriks dengan jumlah baris adalah n dan jumlah

kolom adalah m.

A.2 Bebas Linear dan Basis

Sejumlah vektor 1 2, , , nnv v v disebut bebas linear (linearly independent),

jika

1

0n

i ii

v

(A.1)

berimplikasi 0, untuk 1,2, , .i i n Sebaliknya, vektor 1 2, , , nnv v v disebut

bergantung linear (linearly dependent), jika terdapat konstanta 0k untuk suatu k,

1, 2, ,k n sehingga (A.1) terpenuhi.

Misalkan nS dan ,x y S . Jika terdapat konstanta dan sehingga

z x y maka z disebut kombinasi linear dari ,x y S . Himpunan semua

kombinasi linear dari vektor 1 2, , , nv v v adalah subruang n yang disebut subruang

yang direntang oleh 1 2, , , ,nv v v dinotasikan dengan span 1 2, , , .nv v v

Himpunan 1 2, , , nB v v v disebut basis untuk nS , jika

(1). B merupakan himpunan yang bebas linear di S, dan

(2). Setiap v di S, dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari 1 2, , , .nB v v v

A.3 Range dan Rank Matriks

Diberikan sistem persamaan linear (SPL)

Ax b (A.2)

dengan ,m nA 1,nx dan 1.mb Jika dinotasikan kolom ke-i dari matriks A

sebagai 1, 1mia i n yaitu 1 2, , , nA a a a dan misalkan 1 2, , ,

T

nx x x x

maka Persamaan (A.2) dapat ditulis sebagai

1

n

i ii

a x b

(A.3)

Berdasarkan ekspresi pada (A.3), Persamaan (A.2) memiliki solusi jika

1 2, , , nb span a a a

Subruang 1 2, , , nspan a a a disebut sebagai range dari matriks A, dinotasikan ( ).R A

Selanjutnya, dimensi dari ( )R A disebut rank dari matriks A, dinotasikan rank (A).

A.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Nilai eigen dari matriks m nA didefinisikan sebagai n akar dari persamaan

karakteristik

det( ) 0I A (A.4)

Jika dinotasikan n nilai eigen 1 2, , , n dengan ( )A maka untuk setiap ( )i A

terdapat vektor tak nol niv sehingga

i i iAv v (A.5)

Vektor tak nol niv di atas disebut dengan vektor eigen dari matriks A yang

bersesuaian dengan nilai eigen .i Eksistensi vektor eigen tidak tunggal.

A.5 Matriks Simetris

Matriks simetris merupakan salah satu tipe matriks yang sering digunakan

dalam perhitungan optimasi.

Matriks n nijA a disebut matriks simetris, jika untuk setiap

, 1, 2, , ,i j n dan i j berlaku ij jia a .

Salah satu sifat yang menarik dari matriks simetris adalah sebagai berikut. Jika

A adalah matriks simetris maka terdapat matriks ortogonal n nX , yaitu

T TnXX X X I sehingga

TA X X (A.6)

dengan 1 2, , , .ndiag

Matriks simetris A disebut matriks definit positif, semidefinit positif, definit

negatif dan semidefinit negatif berturut-turut jika 0, 0,T Tx Ax x Ax 0,Tx Ax dan

0.Tx Ax

Matriks n nijA a maka matriks simetri pada ruang ini disebut dengan

matriks hermitian, yaitu jika HA A atau *,A A yaitu jiija a . Ingat : jika

a x iy maka a x iy . Selanjutnya, jika A matriks hermitian maka terdapat

matriks uniter n nU dan H HnUU U U I sehingga

.HA UAU (A.7)

A.6. Singular-Value Dekomposition (SVD).

Diberikan matriks n nA dengan rank(A) = r, terdapat matriks uniter

m mU dan m nU sehingga

HA U V (A.8)

dengan

0

0 0m n

S

dan

1 2diag , , , rs

dengan 1 2 0.r Dekomposisi matriks pada (A.8) dikenal dengan

singular-value dekomposition (SVD) dari matriks A.