repository.ipb.ac.id · ABSTRAK . RINI MAEDIANENGSIH. Analisis Kompleksitas Masalah Optimasi Linear...

ANALISIS KOMPLEKSITAS MASALAH OPTIMASI LINEAR

MENGGUNAKAN METODE INTERIOR PRIMAL-DUAL

DENGAN LANGKAH FULL-NEWTON

RINI MAEDIANENGSIH

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2013

ABSTRAK

RINI MAEDIANENGSIH. Analisis Kompleksitas Masalah Optimasi Linear Menggunakan

Metode Interior Primal-Dual dengan Langkah Full-Newton. Dibimbing oleh BIB PARUHUM

SILALAHI dan MUHAMMAD ILYAS.

Metode interior primal-dual dengan langkah full-Newton adalah salah satu metode untuk menyelesaikan masalah optimasi linear. Metode ini dirancang sedemikian rupa sehingga solusi

optimal diperoleh di dalam interior dari domain. Metode ini memiliki kompleksitas polinomial.

Karya ilmiah ini membahas dan menganalisis kompleksitas algoritme masalah optimasi linear

menggunakan metode interior primal-dual langkah full-Newton. Beberapa masalah optimasi linear

diselesaikan dengan metode ini untuk melihat kesesuainnya dengan kompleksitas algoritme. Dari

studi kasus yang telah dilakukan, dapat disimpulkan bahwa banyaknya iterasi sesuai dengan

kompleksitas algoritme.

Kata Kunci: metode interior, langkah full-Newton, kompleksitas algoritme.

ABSTRACT

RINI MAEDIANENGSIH. Complexity Analysis of Linear Optimization Problems Using Primal-

Dual Interior Methods with Full-Newton Step. Supervised by BIB PARUHUM SILALAHI and

MUHAMMAD ILYAS.

Primal-dual interior method with full-Newton step is a method for solving linear optimization

problems. This method is designed in such a way that an optimal solution is obtained an interior of

the domain. It has polynomial complexity. This paper discusses and analyzes the complexity of

linear optimization problems using primal-dual interior method with full-Newton steps. From the case studies that have been conducted, can be concluded that the number of iterations is in

accordance with the complexity of the algorithm.

Keywords: interior method, full-Newton step, complexity of the algorithm.

ANALISIS KOMPLEKSITAS MASALAH OPTIMASI

LINEAR MENGGUNAKAN METODE INTERIOR PRIMAL-

DUAL DENGAN LANGKAH FULL-NEWTON

RINI MAEDIANENGSIH

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2013

Judul Sripsi : Analisis Kompleksitas Masalah Optimasi Linear Menggunakan

Metode Interior Primal-Dual dengan Langkah Full-Newton.

Nama : RINI MAEDIANENGSIH

NIM : G54080044

Menyetujui,

Tanggal Lulus :

Pembimbing I

Dr. Ir. Bib Paruhum Silalahi, M.Kom.

NIP. 19670101 199203 1 004

Pembimbing II

Muhammad Ilyas, S.Si, M.Sc.

Mengetahui:

Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, M.S.

NIP. 19650505 198903 2 004

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmat dan

karunia-Nya serta shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga karya ilmiah ini

berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak.

Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Dr. Ir. Bib Paruhum Silalahi, M.Kom, selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua

ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini).

2. Muhammad Ilyas, S.Si, M.Sc, selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas semua ilmu,

saran dan motivasinya).

3. Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA, selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu dan

sarannya).

4. Semua dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan).

5. Staf Departemen Matematika: Pak Yono, Bu Ade, Mas Heri, Bu Susi dan Mas Deni (terima

kasih atas bantuan dan motivasinya).

6. Keluargaku tercinta: Bapak, Mamah, adikku Rena dan Adelia (terima kasih atas doa,

dukungan, kesabaran, kepercayaan dan kasih sayangnya).

7. Teman-teman kosan: Yuli, Sri, Davi, Chacha, Kak Nurul, Kak Tanti, Kak Runi (terima kasih

atas bantuan, doa dan dukungannya).

8. Teman-teman satu bimbingan: Haya, Bram, Irwan (terima kasih atas bantuan dan

dukungannya).

9. Sahabat terdekat: Roni, Nova, Dina, Aisyah (terima kasih atas semangat, doa dan

dukungannya).

10. Teman-teman Math 45: Herlan, Prama, Arbi, Dini, Rahma, Mya, Pipin, Tiwi, Mega, Fuka,

Annisa, Ana, Dimas, Fina dan yang lainnya (terima kasih atas dukungan, bantuan dan doanya).

11. Adik-adik Math 46: Sefira, Fitria, Anne, Mirna, Andri dan yang lainnya (terima kasih atas

dukungan, bantuan, dan doanya).

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika

dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.

Bogor, April 2013

Rini Maedianengsih

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Ciamis pada tanggal 5 Februari 1990 sebagai anak pertama dari tiga

bersaudara. Anak dari pasangan Muhaemin dan Eros Saripah.

Pada tahun 1996 penulis menyelesaikan pendidikan di TK LKMD Kuningan. Tahun 2002

penulis lulus dari SDN Tangkolo 1, Kuningan. Tahun 2005 penulis lulus dari SLTPN 3 Rancah, Ciamis. Tahun 2008 penulis lulus dari SMAN 2 Ciamis dan pada tahun yang sama lulus seleksi

masuk IPB melalui jalur Ujian Saringan Masuk IPB (USMI). Penulis memilih Jurusan

Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi anggota Biro Kewirausahaan GUMATIKA IPB pada tahun 2009-2010. Kegiatan lain yang pernah diikuti oleh penulis yaitu sebagai pengajar

Matematika untuk tingkat SMP di sebuah bimbingan belajar pada tahun 2012.

viii

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL ........................................................................................................... ix

DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................................... ix

I. PENDAHULUAN ...................................................................................................... 1

1.1 Latar Belakang ................................................................................................... 1

1.2 Tujuan ............................................................................................................... 1

1.3 Sistematika Penulisan ......................................................................................... 1

II. LANDASAN TEORI ................................................................................................. 2

2.1 Sistem Persamaan Linear.................................................................................... 2

2.2 Matriks dan Vektor ............................................................................................ 2

2.3 Optimasi Linear dan Dualitas ............................................................................. 3

2.4 Metode Newton ................................................................................................. 3

2.5 Kompleksitas ..................................................................................................... 4

III. HASIL DAN PEMBAHASAN ................................................................................... 5

3.1 Kondisi Optimal ................................................................................................. 5

3.2 Central Path....................................................................................................... 5

3.3 Langkah Full-Newton ......................................................................................... 5

3.4 Ukuran Kedekatan .............................................................................................. 6

3.5 Kompleksitas Algoritme ..................................................................................... 7

IV. STUDI KASUS .......................................................................................................... 11

V. SIMPULAN DAN SARAN ........................................................................................ 16

5.1 Simpulan ............................................................................................................ 16

5.2 Saran.................................................................................................................. 16

DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................................... 16

LAMPIRAN .................................................................................................................... 17

ix

DAFTAR TABEL

Halaman

1 Hasil Iterasi pada Saat 𝑛 = 4, 𝑚 = 2, 𝜇 = 10, dan 휀 = 10−5 ......................................... 11

2 Hasil Iterasi pada Saat 𝑛 = 4, 𝑚 = 2, 𝜇 = 100, dan 휀 = 10−5 ...................................... 12

3 Hasil Iterasi pada Saat 𝑛 = 4, 𝑚 = 2, 𝜇 = 10, dan 휀 = 10−3 ........................................ 12

4 Hasil Iterasi pada Saat 𝑛 = 6, 𝑚 = 3 𝜇 = 10, dan 휀 = 10−5 ......................................... 13

5 Hasil Iterasi pada Saat 𝑛 = 6, 𝑚 = 3 𝜇 = 100, dan 휀 = 10−5 ....................................... 14

6 Hasil Iterasi pada Saat 𝑛 = 6, 𝑚 = 3 𝜇 = 10, dan 휀 = 10−3 ......................................... 15

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

1 Program MATLAB untuk Fungsi Langkah Newton ....................................................... 18

2 Program MATLAB untuk Kasus Dua Dimensi (𝑛 = 4) ................................................. 19

3 Program MATLAB untuk Kasus Tiga Dimensi (𝑛 = 6) ................................................. 21

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Pengoptimuman merupakan salah satu

cabang matematika terapan yang mempelajari

masalah meminimumkan atau memaksimum-

kan. Dalam kehidupan sehari-hari banyak

permasalahan yang memerlukan optimasi.

Optimasi digunakan secara luas hampir di

setiap aspek kehidupan, seperti di bidang

teknik, ekonomi, manajemen dan industri.

Banyak penelitian yang telah menghasilkan teknologi baru, dan metode baru dalam

optimasi.

Pada tahun 1947, Dantzig mengajukan

penggunaan metode simpleks untuk me-

mecahkan masalah optimasi linear (OL).

Daerah fisibel dari masalah optimasi linear

adalah suatu polihedron. Metode simpleks

bergerak dari verteks ke verteks dari

polihedron untuk memperoleh solusi optimal.

Metode ini dirancang sehingga nilai dari

fungsi tujuan berubah secara monoton ke arah

nilai optimal. Penemuan Dantzig telah menginspirasi begitu banyak penelitian dalam

matematika. Terdapat banyak varian dari

metode simpleks, yang dibedakan oleh aturan

untuk memilih verteks yang akan dikunjungi

(dikenal dengan aturan pivot) (Silalahi 2011).

Pada tahun 1972, Klee dan Minty mem-

berikan suatu masalah dengan metode

simpleks memerlukan 2𝑛 − 1 iterasi untuk

menyelesaikan suatu masalah optimasi linear

dengan 2n pertidaksamaan. Klee-Minty juga

menunjukkan bahwa metode simpleks me-merlukan waktu eksponensial untuk me-

nyelesaikan masalah optimasi linear. Contoh

yang diberikan oleh Klee dan Minty kemudian

dikenal dengan problem Klee-Minty (KM),

yaitu

min 𝑦𝑚

kendala 𝜌𝑦𝑘−1 ≤ 𝑦𝑘 ≤ 1 − 𝜌𝑦𝑘−1 ,

k = 1,...,m

dengan 𝑦0 = 0, (0,1

2) (Silalahi 2011).

Pada tahun 1979, Khachiyan meng-

usulkan metode elipsoid untuk memecahkan

permasalahan optimasi linear secara

polinomial. Walaupun metode elipsoid ini

memiliki kompleksitas polinomial, namun

dalam penerapan secara komputasional

metode ini tidak efisien (Silalahi 2011).

Pada tahun 1984, Karmarkar me-

ngembangkan metode interior dan mem-

presentasikan suatu algoritme (algoritme

Karmarkar) yang memiliki kompleksitas polinomial yang lebih baik dari metode

elipsoid. Sesuai dengan namanya, metode ini

akan melalui daerah dalam (interior) dari

daerah solusi yang mungkin (feasible) dalam

mencari solusi optimal. Hal ini berlawanan

dengan metode simpleks yang bergerak dari

verteks ke verteks (Silalahi 2011).

Dalam perkembangannya, metode ini

telah dikembangkan dengan beberapa

pendekatan. Secara umum metode ini dapat

dikelompokkan menjadi tiga kategori, yaitu

metode affine scaling, metode potential reduction (barrier) dan metode central

trajectory (path-following). Selain itu,

persoalan yang bisa diselesaikan dengan

metode ini juga mengalami perkembangan.

Awalnya metode ini dikembangkan untuk

pemrograman linear dan sekarang sudah

dikembangkan untuk masalah-masalah yang

lain, seperti pemrograman integer,

pemrograman jaringan, pemrograman

semidefinit (Mitchell 1998). Dalam karya ilmiah ini akan digunakan

metode interior primal-dual dengan langkah

full-Newton dalam memecahkan masalah

Klee-Minty tersebut. Selanjutnya akan

dilakukan analisis kompleksitas algoritme dari

masalah Klee-Minty dan menyelesaikan

beberapa masalah optimasi linear untuk

melihat kesesuaiannya dengan kompleksitas

algoritme dengan bantuan software MATLAB

R2008b.

1.2 Tujuan

Berdasarkan latar belakang di atas, maka

tujuan karya ilmiah ini adalah

(i) Membahas metode interior primal-dual

dengan langkah full-Newton.

(ii) Menganalisis kompleksitas algoritme

interior primal-dual dengan langkah

full-Newton.

(iii) Menyelesaikan beberapa masalah Klee-

Minty dan melihat kesesuaiannya dengan kompleksitas algoritme.

1.3 Sistematika Penulisan

Karya ilmiah ini terdiri dari lima bab.

Bab pertama merupakan pendahuluan yang

berisi latar belakang dan tujuan penulisan.

Bab kedua berupa landasan teori yang berisi

konsep. Bab ketiga berisi penjelasan metode

interior primal-dual dengan langkah full-

Newton. Bab keempat merupakan studi kasus

dan bab kelima berisi kesimpulan dan saran.

2

II LANDASAN TEORI

2.1 Sistem Persamaan Linear

Definisi 1 (Sistem Persamaan Linear)

Suatu persamaan linear dalam n peubah

(variable) adalah persamaan dengan bentuk

a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = b

di mana a1, a2, . . . , an dan b adalah bilangan-bilangan real dan x1, x2, . . . ,xn adalah peubah.

Dengan demikian maka suatu sistem linear

dari m persamaan dalam n peubah adalah satu

sistem berbentuk:

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2

.

.

.

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

dengan aij dan bi semuanya adalah bilangan-bilangan real. Kita akan menyebut sistem-

sistem di atas sebagai sistem linear 𝑚 × 𝑛.

(Leon 2001)

2.2 Matriks dan Vektor

Definisi 2 (Ortogonal)

Vektor – vektor x dan y di dalam ℝ2 (atau ℝ3)

dikatakan ortogonal jika xTy = 0.

(Leon 2001)

Definisi 3 (Hasil Kali Skalar di ℝ𝒏)

Misalkan x,y ∈ ℝ𝒏 dengan

x=

𝑥1

𝑥2

.

.

.𝑥𝑛

, y=

𝑦1

𝑦2

.

.

.𝑦𝑛

maka hasil kali skalar dari x dan y adalah

𝐱T𝐲 = 𝑥1𝑦1 + 𝑥2𝑦2 + . . . + 𝑥𝑛𝑦𝑛 (Leon 2001)

Definisi 4 (Hadamard product)

Misalkan vektor x, y ∈ ℝ𝑛 , X, Y ∈ ℝ𝑛×𝑛

dengan n menyatakan banyak baris dan

banyak kolom pada matriks. Vektor x dan y

didefinisikan sebagai berikut

x=

𝑥1

𝑥2

⋮𝑥𝑛

, y=

𝑦1

𝑦2

⋮𝑦𝑛

dan notasi diag(x) adalah matriks diagonal

dengan unsur diagonal utama ialah vektor x

𝑿 = 𝑑𝑖𝑎𝑔 𝐱 =

𝑥1 0 ⋯ 00 𝑥2 ⋯ 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 ⋯ 𝑥𝑛

𝒀 = 𝑑𝑖𝑎𝑔 𝐲 =

𝑦1 0 ⋯ 00 𝑦2 ⋯ 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 ⋯ 𝑦𝑛

maka Hadamard product dari x dan y adalah

xy = Xy = Yx = yx

Dengan kata lain, Hadamard product adalah

perkalian antara unsur dengan unsur yang seletak (componentwise) dari dua buah vektor

yang berukuran sama. Componentwise juga

berlaku pada operasi pembagian dan operasi

akar untuk vektor x dan s sebagai berikut

𝐱

𝐬=𝑥i

𝑠𝑖=

𝑥1

𝑥2

⋮𝑥𝑛

𝑠1

𝑠2

⋮𝑠𝑛

𝐱 = 𝑥i =

𝑥1

𝑥2

⋮𝑥𝑛

(Roos et al. 2006)

Definisi 5 (Norm dari Suatu Vektor di ℝ𝒏)

Misalkan x ∈ ℝ𝑛 dengan

x=

𝑥1

𝑥2

⋮𝑥𝑛

,

maka norm dari vektor x di ℝ𝑛 adalah

𝐱 = 𝐱𝑇𝐱 = 𝑥12 + 𝑥2

2 + ⋯+ 𝑥𝑛2

(Leon 2001)

3

Definisi 6 (Ruang Baris dan Ruang Kolom)

Jika A adalah matriks 𝑚 × 𝑛, maka ruang

bagian dari ℝ1×𝑛 yang direntang oleh vektor-

vektor baris dari A disebut ruang baris dari A.

Ruang bagian dari ℝ𝑚 yang direntang oleh

vektor-vektor kolom dari A disebut ruang

kolom dari A.

(Leon 2001)

Definisi 7 (Ruang Nol)

Misalkan A adalah matriks 𝑚 × 𝑛. Misalkan

N(A) menyatakan himpunan semua

penyelesaian dari sistem homogen 𝐀𝐱 = 𝟎.

Jadi

𝑁 𝐀 = {𝐱 ∈ ℝ𝑛 |𝐀𝐱 = 𝟎}

Himpunan semua penyelesaian dari sistem

homogen 𝐀𝐱 = 𝟎 membentuk ruang bagian

dari ℝ𝑛 . Ruang bagian N(A) disebut kernel

(ruang nol atau nullspace) dari A.

(Leon 2001)

2.3 Optimasi Linear dan Dualitas

Masalah optimasi linear dalam bentuk

standar diberikan sebagai berikut

min{𝐜Tx : Ax = b, x ≥ 0} (P)

dengan, c, x ℝ 𝑛, b ℝ 𝑚

dan A ℝ 𝑚𝑥𝑛.

Masalah (P) disebut masalah primal.

Masalah dual dari masalah primal (P)

diberikan sebagai berikut

max {𝐛Ty : 𝐀Ty + s = c, s ≥ 0 } (D)

dengan, s ℝ𝑛 dan y ℝ𝑚 . Masalah (D)

disebut masalah dual.

Daerah fisibel dari (P) dan (D) masing-

masing adalah :

:= {x : Ax = b, x ≥ 0}

:= {(y,s) : 𝐀Ty + s = c, s ≥ 0}

Daerah interior masalah (P) dan (D)

didefinisikan sebagai berikut

0 := {x : Ax = b, x > 0},

0 := {(y,s) : 𝐀Ty + s = c, s > 𝟎} (Silalahi 2011)

Definisi 8 (Daerah Fisibel)

Himpunan titik-titik yang memenuhi semua

kendala dan pembatasan tanda pada optimasi

linear.

(Winston 2004)

Definisi 9 (Solusi Optimal)

Solusi optimal pada masalah maksimisasi adalah suatu titik pada daerah fisibel dengan

nilai fungsi objektif paling besar. Sedangkan

solusi optimal untuk masalah minimisasi

adalah suatu titik pada daerah fisibel dengan

nilai fungsi objektif paling kecil.

(Winston 2004)

Proposisi 1 ( Dualitas Lemah)

Misalkan x dan s masing-masing fisibel untuk

(P) dan (D). Kemudian 𝐜Tx - 𝐛Ty = 𝐱Ts ≥ 0.

Akibatnya, 𝐜Tx terbatas di atas untuk nilai

optimal dari (D), dan 𝐛Ty terbatas di bawah untuk nilai optimal dari (P). Selain itu, jika

kesenjangan dualitas (duality gap) 𝐱Ts bernilai nol maka x adalah solusi optimal

untuk (P) dan (y,s) adalah solusi optimal

untuk (D).

(Roos et al. 2006)

Bukti :lihat Roos

Teorema 1 (Dualitas)

Jika (P) dan (D) fisibel maka kedua masalah

tersebut mempunyai solusi optimal.

Kemudian, x dan (y,s) adalah solusi

optimal jika dan hanya jika 𝐱Ts = 0.

(Roos et al. 2006)

Bukti : lihat Roos

Definisi 10 (Kendala Redundant)

Kendala redundant adalah kendala yang tidak

mengubah daerah fisibel dari masalah

optimasi linear.

(Silalahi 2011)

Definisi 11 (Central Path)

Suatu kurva yang bergerak dari bagian dalam

pada daerah fisibel menuju solusi optimal.

(Silalahi 2011)

2.4 Metode Newton

Metode Newton disebut juga metode

Newton-Raphson. Metode Newton adalah

suatu metode yang digunakan untuk

menyelesaikan persamaan taklinear, yang

dituliskan dalam bentuk :

𝑓𝑖 𝐱 = 𝟎, 𝑖 = 1,2,… ,𝑚

𝐱 = (𝑥1 ,𝑥2 ,… ,𝑥𝑛 )T.

Metode Newton Raphson dapat diturunkan

dengan menggunakan orde pertama dari deret

4

Taylor. Sebagai contoh untuk fungsi satu

peubah atau 𝑖 = 1, dan 𝐱 = 𝑥1 ∈ ℝ, orde

pertama deret Taylor 𝑓1 (𝑥1) sebagai berikut

𝑓1 𝑥1 ≈ 𝑓 𝑥1.0 + 𝑓′ 𝑥1.0 𝑥1 − 𝑥1.0

= 𝔣(𝑥1)

dengan 𝑥1.0 adalah hampiran awal (Munir

2003).

Dengan menggunakan metode Newton,

fungsi taklinear dapat diubah menjadi fungsi

linear. Untuk mencari solusi persamaan

𝑓1 𝑥1 = 0, metode Newton melakukan

pendekatan dengan cara mencari solusi

𝔣 𝑥1 = 0, dengan 𝔣 adalah fungsi linear.

Selain itu, untuk fungsi dua peubah atau

𝑖 = 2, dan 𝐱 = (𝑥1 ,𝑥𝟐)T ∈ ℝ. Deret Taylor orde pertama dapat dituliskan untuk masing-

masing persamaan sebagai berikut

𝑓1 𝑥1 ,𝑥2 ≈ 𝑓1 𝑥1.0 ,𝑥2.0 + 𝑥1 − 𝑥1.0 𝜕𝑓1 𝑥1.0 ,𝑥2.0

𝜕𝑥1

+ 𝑥2 − 𝑥2.0 𝜕𝑓1 𝑥1.0 ,𝑥2.0

𝜕𝑥2

𝑓2 𝑥1 ,𝑥2 ≈ 𝑓2 𝑥1.0 ,𝑥2.0 + 𝑥1 − 𝑥1.0 𝜕𝑓2 𝑥1.0 ,𝑥2.0

𝜕𝑥1

+ 𝑥2 − 𝑥2.0 𝜕𝑓2 𝑥1.0 ,𝑥2.0

𝜕𝑥2

dengan 𝑥1.0 dan 𝑥2.0 adalah hampiran awal

(Munir 2003).

Contoh 1

Diketahui fungsi taklinear f 𝑥1 = 𝑒𝑥1 − 5𝑥1

dengan hampiran awal 𝑥1.0 = 0.

𝑓1 𝑥1 ≈ 𝑓 𝑥1.0 + 𝑓′ 𝑥1.0 𝑥1 − 𝑥1.0 𝑓1 𝑥1 ≈ 𝔣 𝑥1 = 0

𝔣 𝑥1 = 𝑓 0 + 𝑓′ 0 𝑥1 − 0

= 𝑒0 − 5 0 + 𝑒0 − 5 𝑥1 − 0

= 1 + −4 𝑥1

Pada saat 𝔣 𝑥1 = 0 maka

1 + −4 𝑥1 = 0

𝑥1 = 1

4

Contoh 2

Diketahui fungsi taklinear dengan dua

variabel sebagai berikut

𝑓1 𝑥1 ,𝑥2 = 𝑥12 − 𝑥1𝑥2 + 1 (1)

𝑓2 (𝑥1 ,𝑥2) = 𝑥22 − 𝑥1𝑥2 − 2 (2)

dengan hampiran awal 𝑥1.0 = 0, 𝑥2.0 = 1

Pelinearan untuk persamaan (1) 𝑓1 𝑥1 ,𝑥2 ≈ 𝔣 𝑥1 ,𝑥2 = 0

𝑥12 − 𝑥1𝑥2 + 1 = 0

𝑓1 0,1 + −1 0 𝑥1 − 0𝑥2 − 1

= 0

1 + −1 𝑥1 = 0

𝑥1 = 1

Jadi, persamaan baru setelah pelinearan

adalah

−𝑥1 + 1 = 0

Pelinearan untuk persamaan (2)

𝑓2 𝑥1 ,𝑥2 ≈ 𝔣 𝑥1 ,𝑥2 = 0

𝑥22 − 𝑥1𝑥2 − 2

= 0

𝑓2 0,1 + −1 2 𝑥1 − 0𝑥2 − 1

= 0

−1 + −1 𝑥1 + 2 𝑥2 − 1 = 0

−𝑥1 + 2𝑥2 − 3 = 0

Jadi, persamaan baru setelah pelinearan

adalah

−𝑥1 + 2𝑥2 = 3

Solusi dari 𝑥1 dan 𝑥2 dapat diperoleh dengan

mensubstitusikan persamaan (1) ke persamaan

(2) sebagai berikut

− 1 + 2𝑥2 = 3

2𝑥2 = 4

𝑥2 = 2

Jadi, solusi dari 𝑥1 dan 𝑥2 setelah dilakukan

pelinearan adalah 𝑥1 = 1dan 𝑥2 = 2.

2.5 Kompleksitas

Definisi 12 (Kompleksitas)

Fungsi kompleksitas waktu 𝑓(𝑛) adalah fungsi yang mengukur banyak operasi dalam

suatu algoritme yang mempunyai variabel

input n.

(Grimaldi 2004)

III HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Kondisi Optimal

Berdasarkan teorema dualitas, mencari

solusi optimal dari masalah primal (P) dan

masalah dual (D) sama halnya dengan

menyelesaikan sistem

𝐀𝐱 = 𝐛, 𝐱 ≥ 𝟎

𝐀𝐓𝐲+ 𝐬 = 𝐜, 𝐬 ≥ 𝟎 𝐱𝐬 = 𝟎.

dengan xs adalah Hadamard product.

Sistem (1) merupakan kondisi optimal

untuk masalah optimasi linear. Baris pertama

merupakan kendala fisibel masalah primal

(P) dan baris kedua merupakan kendala

fisibel masalah dual (D). Sedangkan baris

ketiga disebut dengan kondisi pelengkap.

3.2 Central Path

Central path merupakan aspek penting

dari metode interior, yang akan membantu

dalam membangun suatu algoritme umum

untuk metode primal-dual. Secara geometrik,

central path merupakan kurva analitik yang

konvergen menuju solusi optimal.

Untuk menyelesaikan sistem (1) kondisi pelengkap diubah menjadi xs = µe. Dengan,

µ adalah bilangan positif dan e adalah vektor

semua satu. Kendala baru ini disebut kondisi

pemusatan. Sistem yang dihasilkan adalah

𝐀𝐱 = 𝐛, 𝐱 ≥ 𝟎

𝐀T𝐲 + 𝐬 = 𝐜, 𝐬 ≥ 𝟎 𝐱𝐬 = 𝜇𝐞.

Solusi dari sistem (2) dinotasikan dengan

x(µ), y(µ), dan s(µ). x(µ) disebut µ-center

dari (P) dan (y(µ), s(µ)) disebut µ-center dari

(D).

Himpunan semua x(µ) disebut central

path dari (P), demikian pula himpunan semua

(y(µ), s(µ)) disebut central path dari (D).

Ketika µ berjalan menuju nol, maka x(µ),

y(µ), dan s(µ) konvergen ke solusi optimal

dari (P) dan (D).

3.3 Langkah Full-Newton

Langkah full-Newton merupakan metode

yang dapat digunakan untuk mencari solusi pendekatan sistem (2). Diberikan pasangan

fisibel primal-dual (x,(y,s)), kita ingin

mencari ∆𝐱, ∆𝐲, dan ∆𝐬 sehingga

𝐱+ = 𝐱 + ∆𝐱, 𝐲+ = 𝐲 + ∆𝐲, 𝐬+ = 𝐬 + ∆𝐬.

memenuhi sistem (2), dengan kata lain

𝐀 𝐱 + ∆𝐱 = 𝐛,

𝐀T 𝐲 + ∆𝐲 + 𝐬 + ∆𝐬 = 𝐜,

𝐱 + ∆𝐱 𝐬 + ∆𝐬 = 𝜇𝐞.

Dari sistem (3) diperoleh sistem baru sebagai

berikut

𝐀∆𝐱 = 𝐛 – 𝐀𝐱,

𝐀T∆𝐲 + ∆𝐬 = 𝐜 – 𝐀T𝐲 – 𝐬,𝐬∆𝐱+ 𝐱∆𝐬 + ∆𝐱∆𝐬 = 𝜇𝐞− 𝐱𝐬.

karena 𝐀𝐱 = 𝐛 dan 𝐀T𝐲+ 𝐬 = 𝐜, maka sistem berikut setara dengan sistem (4)

𝐀∆𝐱 = 𝟎,

𝐀T∆𝐲 + ∆𝐬 = 𝟎,

𝐬∆𝐱+ 𝐱∆𝐬 + ∆𝐱∆𝐬 = 𝜇𝐞 – 𝐱𝐬.

Untuk mencari solusi sistem (5) digunakan metode Newton. Persamaan pertama dan

persamaan kedua pada sistem (5) merupakan

persamaan linear. Sedangkan, persamaan

ketiga merupakan persamaan taklinear karena

mengandung faktor kuadratik ∆𝐱∆𝐬. Untuk

menyelesaikan sistem (5), persamaan ketiga

dilinearkan dengan menggunakan metode

Newton, sebagai berikut

s∆x + x∆s + ∆𝐱∆𝐬 = µe – xs

𝑠1

𝑠2

⋮𝑠𝑛

∆𝑥1

∆𝑥2

⋮∆𝑥𝑛

+

𝑥1

𝑥2

⋮𝑥𝑛

∆𝑠1

∆𝑠2

⋮∆𝑠𝑛

+

∆𝑥1

∆𝑥2

⋮∆𝑥𝑛

∆𝑠1

∆𝑠2

⋮∆𝑠𝑛

- 𝜇

11⋮1

+

𝑥1

𝑥2

⋮𝑥𝑛

𝑠1

𝑠2

⋮𝑠𝑛

=

00⋮0

(2)

(3)

(4)

(1)

(5)

6

𝑠1∆𝑥1 + 𝑥1∆𝑠1 + ∆𝑥1∆𝑠1 − 𝜇 + 𝑥1𝑠1 = 0

𝑠2∆𝑥2 + 𝑥2∆𝑠2 + ∆𝑥2∆𝑠2 − 𝜇 + 𝑥2𝑠2 = 0

⋮ 𝑠𝑛∆𝑥𝑛 + 𝑥𝑛∆𝑠𝑛 + ∆𝑥𝑛∆𝑠𝑛 − 𝜇 + 𝑥𝑛𝑠𝑛 = 0

Misalnya, dilakukan pelinearan pada persamaan pertama sebagai berikut

𝑓1 ∆𝑥1 ,∆𝑠1 ≈ 𝑓1 ∆𝑥1.0 ,∆𝑠1.0 + 𝜕𝑓1 ∆𝑥1.0 ,∆𝑠1.0

𝜕∆𝑥1 ∆𝑥1 − ∆𝑥1.0 +

𝜕𝑓1 ∆𝑥1.0 ,∆𝑠1.0

𝜕∆𝑠1 ∆𝑠1 − ∆𝑠1.0 = 0,

dengan hampiran awal ∆𝑥1.0 = ∆𝑠1.0 = 0, sehingga diperoleh

𝑓1 0,0 + 𝜕𝑓1 0, 0

𝜕∆𝑥1

∆𝑥1 − 0 +𝜕𝑓1 0,0

𝜕∆𝑠1

∆𝑠1 − 0 = 0

−𝜇 + 𝑥1𝑠1 + 𝑠1∆𝑥1 + 𝑥1∆𝑠1 = 0

𝑠1∆𝑥1 + 𝑥1∆𝑠1 = 𝜇 − 𝑥1𝑠1

Untuk persamaan kedua sampai dengan ke-n dilakukan pelinearan dengan cara yang sama,

sehingga diperoleh

𝑠1∆𝑥1 + 𝑥1∆𝑠1 − 𝜇 + 𝑥1𝑠1 = 0

𝑠2∆𝑥2 + 𝑥2∆𝑠2 − 𝜇 + 𝑥2𝑠2 = 0

⋮ 𝑠𝑛∆𝑥𝑛 + 𝑥𝑛∆𝑠𝑛 − 𝜇 + 𝑥𝑛𝑠𝑛 = 0

Dapat juga ditulis

𝑠1

𝑠2

⋮𝑠𝑛

∆𝑥1

∆𝑥2

⋮∆𝑥𝑛

+

𝑥1

𝑥2

⋮𝑥𝑛

∆𝑠1

∆𝑠2

⋮∆𝑠𝑛

- 𝜇

11⋮1

+

𝑥1

𝑥2

⋮𝑥𝑛

𝑠1

𝑠2

⋮𝑠𝑛

=

00⋮0

s∆𝐱 + 𝐱∆𝐬 − 𝜇𝐞+ 𝐱𝐬 = 𝟎

Sehingga diperoleh persamaan baru yang

merupakan persamaan linear, sebagai berikut

𝐀∆𝐱 = 𝟎𝐀T∆𝐲+ ∆𝐬 = 𝟎

𝐬∆𝐱 + 𝐱∆𝐬 = 𝜇𝐞 – 𝐱𝐬

Sistem (6) dapat dinyatakan dalam bentuk

matriks SPL sebagai berikut

𝐀 0 00 𝐀𝐓 1𝐒 0 𝐗

∆𝐱∆𝐲∆𝐬

= 00

𝜇𝐞 − 𝐱𝐬

Dengan X = diag (x) dan S = diag (s). Solusi

∆𝐱,∆𝐲, dan ∆𝐬 dinamakan primal-dual

langkah Newton. Dengan langkah full-

Newton diperoleh

𝐱+ = 𝐱 + ∆𝐱, 𝐲+ = 𝐲 + ∆𝐲, 𝐬+ = 𝐬 + ∆𝐬.

3.4 Ukuran Kedekatan

Pada proses mengikuti central path

menuju solusi optimal dengan menggunakan

langkah full-Newton, dihasilkan barisan titik-

titik yang berada di sekitar central path.

Diperlukan suatu ukuran untuk mengukur

kedekatan (𝐱, (𝐲, 𝐬)) ke 𝜇-center dan central

path. Sebelum mendefinisikan ukuran

kedekatan, terlebih dahulu merumuskan

sistem linear (6) yang mendefinisikan arah

Newton dalam kasus primal-dual. Untuk tujuan ini, kita definisikan vektor sebagai

berikut

𝐝x = 𝐮 ∆𝐱

𝐱, 𝐝s =

𝐮 ∆𝐬

𝐬, 𝐝y =

∆𝐲

𝜇

dengan

𝐮 := 𝐱𝐬

𝜇

(6)

7

jika didefinisikan 𝑫 = diag 𝐱

𝐬 maka

sistem (6) setara dengan

𝑨𝑫𝐝x = 𝟎

𝑨𝑫 T𝐝y + 𝐝s = 𝟎

𝐝x + 𝐝s = 𝐮−1 − 𝐮

Bukti :

(i) Persamaan pertama AD𝐝x = 0

AD 𝐮 ∆𝐱

𝐱 = 0

AD

𝐱𝐬

𝜇 ∆𝐱

𝐱 = 0

AD

𝐬

𝐱 ∆𝐱

𝜇 = 0

A

𝑥1s 1

0 … 0

0 𝑥2𝑠2

0 ⋮

⋮ … ⋱ ⋮

0 … … 𝑥𝑛𝑠𝑛

𝑠1𝑥1

∆𝑥1

𝑠2𝑥2

∆𝑥2

⋮

𝑠𝑛𝑥𝑛

∆𝑥𝑛

𝜇 = 0

𝐀

∆𝑥1

∆𝑥2

⋮∆𝑥𝑛

𝜇= 𝟎

𝐀 ∆𝐱 = 𝟎

Jadi, persamaan pertama terbukti.∎

(ii) Persamaan kedua

𝐀T∆𝐲+ ∆𝐬 = 𝟎

𝐀T𝐝y 𝜇 + 𝐝s

𝐬

𝐮= 𝟎

𝐀T𝐝y 𝜇 + 𝐝s

𝐬

𝐱𝐬𝜇

= 𝟎

𝐀T𝐝y 𝜇 + 𝐝s 𝐬𝜇

𝐱= 𝟎

𝜇 𝐀T𝐝y + 𝐝s 𝐬

𝐱 = 𝟎

𝑫T 𝐀T𝐝y + 𝐝s 𝐬

𝐱 = 𝑫T𝟎

𝑫T𝐀T𝐝y + 𝐝s = 𝟎

𝐀𝑫 T𝐝y + 𝐝s = 𝟎

Jadi, persamaan kedua terbukti.∎

(iii) Persamaan ketiga

Ruas kiri

𝐬∆𝐱+ 𝐱∆𝐬 = s 𝜇 𝐝x d + x 𝜇 𝐝s 𝐝−1

= 𝜇 (𝐬𝐝𝐝x + x𝐝−1𝐝s)

= 𝜇 (𝐮 𝜇𝐝−1𝐝𝐝x+

𝐮 𝜇𝐝𝐝−1𝐝s)

= 𝜇𝐮 (𝐝x + 𝐝s)

Ruas kanan

𝜇𝐞 − 𝐱𝐬 = 𝜇𝐞 − 𝐮 𝜇 𝐝 (𝐮 𝜇𝐝−1)

= 𝜇𝐞 − 𝐮2𝜇𝐝𝐝−1

= 𝜇𝐞 − 𝐮2𝜇

= 𝜇𝐮𝐮−1 − 𝜇𝐮2

= 𝜇𝐮 𝐮−1 − 𝐮

𝐬∆𝐱+ 𝐱∆𝐬 = 𝜇𝐞 − 𝐱𝐬

𝜇𝐮(𝐝x + 𝐝s) = 𝜇𝐮 𝐮−1 − 𝐮 𝐝x + 𝐝s = 𝐮−1 − 𝐮

Jadi, persamaan ketiga terbukti.∎

Persamaan dari sistem (6) menunjukkan

bahwa vektor 𝐝x dan 𝐝s adalah ruang nol dan

ruang baris dari matriks AD, ini berarti 𝐝x

dan 𝐝s ortogonal. Ortogonalitas dari 𝐝x dan

𝐝s mengimplikasikan bahwa

𝐝x 2 + 𝐝s

2 = 𝐝x + 𝐝s 2

= 𝐮−1 − 𝐮 2

Perhatikan bahwa 𝐝x, 𝐝s dan 𝐝y adalah nol

jika dan hanya jika 𝐮−1 − 𝐮 = 𝟎. Untuk

mengukur jarak (x, (y, s)) ke 𝜇-center, di-

gunakan ukuran 𝛿 𝐱, 𝐬; 𝜇 yang didefinisi-

kan sebagai berikut

𝛿 𝐱, 𝐬;𝜇 := 1

2 𝐮−1 − 𝐮

:= 1

2

𝜇

𝐱 𝐬−

𝐱 𝐬

𝜇

(Roos et al. 2006)

3.5 Kompleksitas Algoritme

Selanjutnya akan dibahas mengenai

kompleksitas algoritme dari metode interior

primal-dual dengan langkah full-Newton.

Berikut ini adalah algoritmenya

Langkah 1. Pilih nilai awal

parameter akurasi 휀 > 0;

parameter pendekatan 𝜏,

0 ≤ 𝜏 < 1;

8

strictly fisibel (𝐱0 ,𝐲0 ,𝐬0) dengan

(𝐱0)T𝐬0 = 𝑛𝜇0dan

𝛿(𝐱0 , 𝐬0; 𝜇0) ≤ 𝜏;

parameter barrier 𝜃, 0 < 𝜃 < 1.

Didefinisikan 𝐱 ≔ 𝐱0; 𝐬 ≔ 𝐬0;

𝐲 ≔ 𝐲0; 𝜇 ≔ 𝜇0;

Dengan penghitung iterasi awal

𝑘 = 0.

Langkah 2. Selama 𝑛𝜇 ≥ 휀 lanjut ke langkah

4

Langkah 3. Selainnya, STOP.

Langkah 4. Lakukan pencarian solusi baru

𝜇𝑘+1 = (1 − 𝜃)𝑘+1𝜇0

𝐱𝑘+1 = 𝐱𝑘 + ∆𝐱

𝐲𝑘+1 = 𝐲𝑘 + ∆𝐲

𝐬𝑘+1 = 𝐬𝑘 + ∆𝐬

Langkah 5. 𝑘 = 𝑘 + 1, kembali ke langkah 2

Lema 1

Jika langkah Newton primal-dual adalah

fisibel maka (𝐱+)T𝐬+ = 𝑛𝜇.

(Roos et al. 2006)

Bukti : lihat Roos

Vektor 𝐱+ dan 𝐬+ merupakan langkah full-

Newton primal-dual dan n adalah banyaknya

pertidaksamaan dari masalah primal-dual.

Lema 2

Metode interior primal-dual dengan langkah full-Newton memiliki jumlah iterasi tidak

lebih dari

1

𝜃ln𝑛𝜇0

휀

dan iterasi akan berhenti pada saat 𝑛𝜇 ≤ 휀.

(Silalahi 2011)

Bukti :

Awalnya duality gap adalah n𝜇0, sehingga dengan menggunakan Lema 1 diperoleh

(𝐱0)T𝐬0 = n𝜇0

Pada saat iterasi bertambah maka nilai 𝜇

dikalikan dengan faktor 1 − 𝜃 sebagai berikut

𝜇+ = (1 − 𝜃)𝜇

Untuk iterasi pertama diperoleh

(𝐱1)T𝐬1 = (1 − 𝜃) n𝜇0 Untuk iterasi ke-k diperoleh

(𝐱𝑘)T𝐬𝑘 = (1 − 𝜃)𝑘 n𝜇0 Oleh karena itu, setelah iterasi ke-k duality

gap lebih kecil dari 휀 jika :

(1 − 𝜃)𝑘 n𝜇0 ≤ 휀 Dengan menggunakan logaritma maka di-

peroleh

𝑘 ln 1 − 𝜃 + ln 𝑛𝜇0 ≤ ln 휀

−𝑘 ln 1 − 𝜃 − ln 𝑛𝜇0 ≥ − ln 휀

𝑘 (−ln 1 − 𝜃 ) − ln 𝑛𝜇0 ≥ − ln 휀

Karena – ln 1 − 𝜃 ≥ 𝜃, maka

pertidaksamaan diatas tetap terpenuhi jika

𝑘𝜃 − ln 𝑛𝜇0 ≥ − ln 휀

𝑘𝜃 ≥ ln 𝑛𝜇0 − ln 휀

𝑘 ≥ 1

𝜃 (ln 𝑛𝜇0 − ln 휀 ) =

1

𝜃ln𝑛𝜇0

휀

Jadi, Lema 2 terbukti.∎

Lema berikut ini memperlihatkan efek dari

langkah Newton primal-dual.

Lema 3

Misal (𝐱, 𝐬) adalah pasangan primal-dual positif dan 𝜇 > 0 sedemikian rupa sehingga 𝐱T𝐬 = 𝑛𝜇. Selanjutnya, jika

𝛿 ∶= 𝛿(𝐱, 𝐬; 𝜇) dan 𝜇+ = (1 − 𝜃)𝜇 maka 𝛿(𝐱, 𝐬;𝜇+)2 = 1 − 𝜃 𝛿2 + 𝜃2𝑛

4(1−𝜃)

(Silalahi 2011)

Bukti :

Didefinisikan 𝛿+ ≔ 𝛿(𝐱, 𝐬; 𝜇+) dan 𝐮 = 𝐱 𝐬

𝜇 , maka dapat dituliskan

(𝛿+)2 = 1

2 (𝐮+)−1 − 𝐮+

2

= 1

4 (𝐮+)−1 − 𝐮+ 2

Karena 𝐮+ = 𝐱 𝐬

𝜇+ , diperoleh

9

𝐮+ = 𝐱 𝐬

𝜇+ = 𝐱 𝐬

(1−𝜃)𝜇=

𝐱 𝐬

𝜇

1

1−𝜃=

𝐮

1−𝜃

(𝐮+)−1 = 1− 𝜃

𝐮

Sehingga diperoleh

𝛿+ 2 = 1

4 1 − 𝜃

𝐮−

𝐮

1− 𝜃

2

=1

4 1 − 𝜃 𝐮−1 −

𝐮

1 − 𝜃

2

=1

4 1 − 𝜃 𝐮−1 −

𝐮

1 − 𝜃−

𝜃𝐮

1− 𝜃+

𝜃𝐮

1 − 𝜃

2

= 1

4 1− 𝜃 𝐮−1 −

𝐮 − 𝜃𝐮

1 − 𝜃+

𝜃𝐮

1− 𝜃

2

= 1

4 1− 𝜃 𝐮−1 −

(1 − 𝜃)𝐮

1− 𝜃+

𝜃𝐮

1 − 𝜃

2

= 1

4 1 − 𝜃 𝐮−1 − (1 − 𝜃)𝐮

1 − 𝜃+

𝜃𝐮

1− 𝜃

2

= 1

4 1 − 𝜃 (𝐮−1 − 𝐮)

1 − 𝜃+

𝜃𝐮

1 − 𝜃

2

= 1

4 1 − 𝜃 (𝐮−1 − 𝐮) +

𝜃𝐮

1 − 𝜃

2

Dari 𝐱T𝐬 = 𝑛𝜇 diperoleh 𝐮 2 = 𝑛, seperti berikut

𝐮 2 = 𝐮T𝐮 2

= 𝐮T𝐮 = 𝑥1 𝑠1

𝜇 𝑥2𝑠2

𝜇…

𝑥𝑛𝑠𝑛𝜇

𝑥1𝑠1

𝜇

𝑥2𝑠2

𝜇

⋮


= 𝑥1𝑠1

𝜇+ 𝑥2𝑠2

𝜇+ ⋯+


= 𝐱T𝐬

𝜇= 𝑛

kemudian,

𝐮T𝐮−1 = 𝑥1𝑠1

𝜇 𝑥2𝑠2

𝜇 ⋯


𝜇

𝑥1𝑠1

𝜇

𝑥2𝑠2

⋮

𝜇

𝑥𝑛𝑠𝑛

= 1 + 1 + ⋯+ 1 = 𝑛. 1 = 𝑛

selanjutnya, 𝐮T 𝐮−1 − 𝐮 = 𝐮T𝐮−1 − 𝐮T𝐮 = 𝑛 − 𝐮 2 = 𝑛 − 𝑛 = 0

Jadi u ortogonal terhadap 𝐮−1 − 𝐮. Akibatnya,

(𝛿+)2 = 1 − 𝜃

4 𝐮−1 − 𝐮 2 +

𝜃2 𝐮 2

4(1 − 𝜃)

10

Karena 𝐮−1 − 𝐮 = 2𝛿 dan 𝐮 2 = 𝑛, diperoleh

(𝛿+)2 = 1 − 𝜃 𝛿2 +𝜃2𝑛

4(1 − 𝜃)

Jadi, Lema 3 terbukti.∎

Untuk menjamin nilai 𝛿 pada Lema 3 maka

diperlukan Lema 4 dan akibat 1 sebagai

berikut

Lema 4

Jika 𝛿 ≔ 𝛿(𝐱, 𝐬; 𝜇) ≤ 1, maka langkah

Newton primal-dual fisibel yaitu 𝐱+ dan 𝐬+

taknegatif. Selain itu, jika 𝛿 < 1 maka 𝐱+ dan

𝐬+ positif dan

𝛿(𝐱+, 𝐬+; 𝜇) ≤𝛿2

2(1 − 𝛿2)

(Roos et al. 2006)

Bukti : lihat Roos

Akibat 1

Jika 𝛿 ∶= 𝛿 𝐱, 𝐬; 𝜇 ≤ 1

2 , maka

𝛿 𝐱+, 𝐬+; 𝜇 ≤ 𝛿2.

(Silalahi 2011)

Teorema berikut ini adalah batas atas iterasi

untuk metode interior primal-dual dengan

langkah full-Newton.

Teorema 2

Jika 𝜏 = 1

2 dan 𝜃 =

1

𝑛+1, maka jumlah

iterasi tidak lebih dari

𝑛 + 1 ln𝑛𝜇0

휀

Output dari primal-dual pasangan (x, s) yaitu

𝐱T𝐬 ≤ 휀.

(Silalahi 2011)

Bukti :

Misalkan dipilih 𝜏 = 1

2. Dengan meng-

gunakan akibat 1 yaitu 𝛿 𝐱, 𝐬; 𝜇 ≤ 1

2, maka

setelah langkah Newton primal-dual diperoleh

𝛿 𝐱+, 𝐬+; 𝜇 ≤1

2. Setelah iterasinya ber-

tambah, nilai 𝜇 menjadi 𝜇+ = (1 − 𝜃)𝜇.

Dengan mengambil nilai 𝜃 = 1

𝑛+1, diperoleh

𝛿 𝐱+, 𝐬+; 𝜇+ 2 sebagai berikut

𝛿 𝐱+, 𝐬+; 𝜇+ 2 ≤ 1 − 𝜃

4+

𝜃2𝑛

4 1 − 𝜃 =

1 − 𝜃 2 + 𝜃2𝑛

4 1 − 𝜃 =

𝜃2 − 2𝜃 + 1 + 𝜃2𝑛

4 1 − 𝜃

=

1𝑛 + 1 −

2

𝑛 + 1+ 1 +

𝑛𝑛 + 1

4 1 −1

𝑛 + 1

=

𝑛 + 1𝑛 + 1 −

2

𝑛 + 1+ 1

4 1 −1

𝑛 + 1

=

1 −2

𝑛 + 1+ 1

4 1 −1

𝑛 + 1

=

2 −2

𝑛 + 1

4 1 −1

𝑛 + 1

=

2 1 −1

𝑛 + 1

4 1 −1

𝑛 + 1

= 2

4=

1

2

Dari penyelesaian di atas diperoleh

𝛿 𝐱+, 𝐬+; 𝜇+ 2 ≤1

2= 𝜏. Ini berarti bahwa

𝛿(𝐱, 𝐬; 𝜇) ≤ 𝜏 tetap dipertahankan pada setiap

iterasi. Dengan menggabungkan penjelasan di

atas dengan Lema 2 maka diperoleh Teorema

2.

Jadi, Teorema 2 terbukti.∎

IV STUDI KASUS

Untuk studi kasus pada metode interior

digunakan masalah Klee-Minty dengan

𝜌 =1

3 dan 𝑦0 = 0 yang diberikan oleh :

Minimumkan 𝑦𝑚 ,

Kendala 1

3𝑦𝑘−1 ≤ 𝑦𝑘 ≤ 1 −

1

3𝑦𝑘−1

𝑘 = 1,… ,𝑚

Dengan 𝑛 menyatakan banyaknya

pertidaksamaan dan 𝑚 menyatakan

banyaknya variabel.

1) Pada saat 𝑛 = 4 dan 𝑚 = 2

Maksimumkan −𝑦2

Dengan kendala 𝑦1 ≤ 1

−𝑦1 ≤ 0

1

3 𝑦1 − 𝑦2 ≤ 0

1

3 𝑦1 + 𝑦2 ≤ 1

Dengan menggunakan software

MATLAB R2008b diperoleh gambar

sebagai berikut

Gambar 1 Masalah Klee-Minty pada saat

𝑛 = 4, 𝜇 = 10, dan 휀 = 10−5.

Tabel 1 Hasil iterasi pada saat 𝜇 = 10, 휀 = 10−5

Iterasi 𝑛𝜇 𝑥1 𝑦1 𝑠1

0 40 31.5518 0.3169 0.3169

1 22.1115 17.4458 0.3169 0.3169

2 12.2229 9.6518 0.3167 0.3167

3 6.7567 5.3499 0.3162 0.3162

4 3.7350 2.9833 0.3144 0.3144

5 2.0647 1.6947 0.3088 0.3088

6 1.1413 1.0117 0.2928 0.2928

7 0.6309 0.6669 0.2557 0.2557

8 0.3488 0.4994 0.1949 0.1949

9 0.1928 0.4189 0.1279 0.1279

10 0.1066 0.3791 0.0758 0.0758

11 0.0589 0.3583 0.0430 0.0430

12 0.0326 0.3470 0.0241 0.0241

13 0.0180 0.3409 0.0134 0.0134

14 0.0100 0.3375 0.0074 0.0074

15 0.0055 0.3356 0.0041 0.0041

16 0.0030 0.3346 0.0023 0.0023

17 0.0017 0.3340 0.0013 0.0013

18 9.2916e-004 0.3337 0.6966e-003 0.0007

19 5.1363e-004 0.3335 0.3851e-003 0.0004

20 2.8393e-004 0.3335 0.2129e-003 0.0002

21 1.5695e-004 0.3334 0.1177e-003 0.0001

22 8.6760e-005 0.3334 0.6507e-004 0.0001

23 4.7960e-005 0.3334 0.3597e-004 0.0000

12

Pada saat 𝜇 = 10, 휀 = 10−5, 𝑛 = 4, dan 𝑚 = 2 maka jumlah iterasinya sebanyak 25 iterasi.

Banyaknya iterasi pada Tabel 1 telah sesuai dengan Teorema 2 yaitu batas atas iterasinya sebanyak

34 iterasi.



0 400 315.4705 0.3170 0.3170

1 221.1146 174.3883 0.3170 0.3170

2 122.2291 96.4003 0.3170 0.3170

3 67.5666 53.2902 0.3170 0.3170

4 37.3499 29.4607 0.3170 0.3170

5 20.6465 16.2903 0.3169 0.3169

6 11.4131 9.0137 0.3167 0.3167

7 6.3090 4.9982 0.3161 0.3161

8 3.4875 2.7907 0.3140 0.3140

9 1.9279 1.5911 0.3077 0.3077 10 1.0657 0.9583 0.2898 0.2898

11 0.5891 0.6407 0.2497 0.2497

12 0.3256 0.4869 0.1870 0.1870

13 0.1800 0.4128 0.1209 0.1209

14 0.0995 0.3760 0.0711 0.0711

15 0.0550 0.3566 0.0402 0.0402

16 0.0304 0.3461 0.0225 0.0225

17 0.0168 0.3404 0.0125 0.0125

18 0.0093 0.3372 0.0069 0.0069

19 0.0051 0.3355 0.0038 0.0038

20 0.0028 0.3345 0.0021 0.0021

21 0.0016 0.3340 0.0012 0.0012 22 8.6760e-004 0.3337 0.6505e-003 0.0007

23 4.7960e-004 0.3335 0.3596e-003 0.0002

24 2.6512e-004 0.3334 0.1988e-003 0.0001

25 1.4655e-004 0.3334 0.1099e-003 0.0001

26 8.1012e-005 0.3334 0.6076e-004 0.0000

27 4.4783e-005 0.3334 0.3359e-004 0.0000

28 2.4755e-005 0.3333 0.1857e-004 0.0000

29 1.3684e-005 0.3333 0.1026e-004 0.0002



39 iterasi.



0 40 31.5518 0.3169 0.3169

1 22.1115 17.4458 0.3169 0.3169 2 12.2229 9.6518 0.3167 0.3167

3 6.7567 5.3499 0.3162 0.3162

4 3.7350 2.9833 0.3144 0.3144

5 2.0647 1.6947 0.3088 0.3088

6 1.1413 1.0117 0.2928 0.2928

7 0.6309 0.6669 0.2557 0.2557

8 0.3488 0.4994 0.1949 0.1949

9 0.1928 0.4189 0.1279 0.1279

24 2.6512e-005 0.3333 0.1988e-004 0.0000

25 1.4655e-005 0.3333 0.1099e-004 0.0000

13

10 0.1066 0.3791 0.0758 0.0758

11 0.0589 0.3583 0.0430 0.0430

12 0.0326 0.3470 0.0241 0.0241

13 0.0180 0.3409 0.0134 0.0134

14 0.0100 0.3375 0.0074 0.0074

15 0.0055 0.3356 0.0041 0.0041

16 0.0030 0.3346 0.0023 0.0023

17 0.0017 0.3340 0.0013 0.0013

Pada saat 𝜇 = 10, 휀 = 10−3, 𝑛 = 4, dan 𝑚 = 2 maka jumlah iterasinya sebanyak 17 iterasi. Banyaknya iterasi pada Tabel 3 telah sesuai dengan Teorema 2 yaitu batas atas iterasinya sebanyak

24 iterasi.

2) Pada saat 𝑛 = 6 dan 𝑚 = 3

Maksimumkan −𝑦3

Dengan kendala 𝑦1 ≤ 1

−𝑦1 ≤ 0

1

3 𝑦1 − 𝑦2 ≤ 0

1

3 𝑦1 + 𝑦2 ≤ 1

1

3 𝑦2 − 𝑦3 ≤ 0

1

3 𝑦2 + 𝑦3 ≤ 1



0 60 32.9543 0.3035 0.3035

1 37.3221 20.4994 0.3034 0.3034

2 23.2157 12.7524 0.3034 0.3034

3 14.4410 7.9342 0.3034 0.3034

4 8.9828 4.9381 0.3033 0.3033 5 5.5876 3.0761 0.3029 0.3029

6 3.4757 1.9205 0.3021 0.3021

7 2.1620 1.2053 0.3001 0.3001

8 1.3448 0.7652 0.2956 0.2956

9 0.8365 0.4969 0.2859 0.2859

10 0.5204 0.3357 0.2673 0.2673

11 0.3237 0.2408 0.2362 0.2362

12 0.2013 0.1862 0.1929 0.1929

13 0.1252 0.1551 0.1443 0.1443

14 0.0779 0.1374 0.1002 0.1002

15 0.0485 0.1270 0.0663 0.0663 16 0.0301 0.1209 0.0428 0.0428

17 0.0188 0.1171 0.0272 0.0272

18 0.0117 0.1148 0.0171 0.0171

19 0.0073 0.1134 0.0107 0.0107

20 0.0045 0.1125 0.0067 0.0067

21 0.0028 0.1120 0.0042 0.0042

22 0.0017 0.1117 0.0026 0.0026

23 0.0011 0.1115 0.0016 0.0016

24 6.7564e-004 0.1113 0.0010 0.0010

25 4.2027e-004 0.1112 0.6299e-003 0.0006

26 2.6142e-004 0.1112 0.3920e-003 0.0004 27 1.6262e-004 0.1112 0.2439e-003 0.0002

28 1.0115e-004 0.1111 0.1517e-003 0.0002

29 6.2920e-005 0.1111 0.9437e-004 0.0001

14

30 3.9139e-005 0.1111 0.5870e-004 0.0001

31 2.4346e-005 0.1111 0.3652e-004 0.0000

32 1.5144e-005 0.1111 0.2272e-004 0.0000


41 iterasi.



0 600 329.5349 0.3035 0.3035

1 373.2213 204.9825 0.3035 0.3035

2 232.1569 127.5065 0.3035 0.3035

3 144.4099 79.3137 0.3035 0.3035 4 89.8281 49.3362 0.3035 0.3035

5 55.8762 30.6893 0.3035 0.3035

6 34.7570 19.0906 0.3034 0.3034

7 21.6201 11.8762 0.3034 0.3034

8 13.4485 7.3893 0.3034 0.3034

9 8.3654 4.5994 0.3032 0.3032

10 5.2036 2.8657 0.3029 0.3029

11 3.2368 1.7901 0.3019 0.3019

12 2.0134 1.1248 0.2997 0.2997

13 1.2524 0.7159 0.2945 0.2945

14 0.7790 0.4671 0.2837 0.2837 15 0.4846 0.3180 0.2635 0.2635

16 0.3014 0.2306 0.2304 0.2304

17 0.1875 0.1804 0.1857 0.1857

18 0.1166 0.1518 0.1372 0.1372

19 0.0726 0.1355 0.0944 0.0944

20 0.0451 0.1259 0.0622 0.0622

21 0.0281 0.1202 0.0400 0.0400

22 0.0175 0.1167 0.0254 0.0160

23 0.0109 0.1146 0.0160 0.0100

24 0.0068 0.1133 0.0100 0.0063

25 0.0042 0.1124 0.0063 0.0160 26 0.0026 0.1119 0.0039 0.0039

27 0.0016 0.1116 0.0024 0.0024

28 0.0010 0.1114 0.0015 0.0015

29 6.2920e-004 0.1113 0.9427e-003 0.0009

30 3.9139e-004 0.1112 0.5867e-003 0.0006

31 2.4346e-004 0.1112 0.3650e-003 0.0004

32 1.5144e-004 0.1112 0.2271e-003 0.0002

33 9.4200e-005 0.1111 0.1413e-003 0.0001

34 5.8596e-005 0.1111 0.8788e-004 0.0001

35 3.6449e-005 0.1111 0.5467e-004 0.0001

36 2.2672e-005 0.1111 0.3401e-004 0.0000

37 1.4103e-005 0.1111 0.2115e-004 0.0000



47 iterasi.

15



0 60 32.9543 0.3035 0.3035

1 37.3221 20.4994 0.3034 0.3034

2 23.2157 12.7524 0.3034 0.3034

3 14.4410 7.9342 0.3034 0.3034 4 8.9828 4.9381 0.3033 0.3033

5 5.5876 3.0761 0.3029 0.3029

6 3.4757 1.9205 0.3021 0.3021

7 2.1620 1.2053 0.3001 0.3001

8 1.3448 0.7652 0.2956 0.2956

9 0.8365 0.4969 0.2859 0.2859

10 0.5204 0.3357 0.2673 0.2673

11 0.3237 0.2408 0.2362 0.2362

12 0.2013 0.1862 0.1929 0.1929

13 0.1252 0.1551 0.1443 0.1443

14 0.0779 0.1374 0.1002 0.1002 15 0.0485 0.1270 0.0663 0.0663

16 0.0301 0.1209 0.0428 0.0428

17 0.0188 0.1171 0.0272 0.0272

18 0.0117 0.1148 0.0171 0.0171

19 0.0073 0.1134 0.0107 0.0107

20 0.0045 0.1125 0.0067 0.0067

21 0.0028 0.1120 0.0042 0.0042

22 0.0017 0.1117 0.0026 0.0026

23 0.0011 0.1115 0.0016 0.0016


29 iterasi.

2

V SIMPULAN DAN SARAN

5.1 Simpulan

(i) Metode interior primal-dual dengan

langkah full-Newton dapat digunakan

untuk menyelesaikan masalah optimasi

linear.

(ii) Dari hasil analisis kompleksitas algoritme interior primal-dual dengan

langkah full-Newton diketahui bahwa

banyaknya iterasi yang diperoleh tidak

lebih dari 𝑛 + 1 log𝑛𝜇0

휀 .

(iii) Dari hasil pengkajian dapat disimpulkan

bahwa semakin besar nilai n dan 𝜇0 yang diberikan, maka jumlah iterasinya

semakin meningkat. Sedangkan, semakin

besar nilai 휀 maka jumlah iterasinya

semakin sedikit. Banyaknya iterasi yang

diperoleh pada masing-masing nilai n,

𝜇0, dan 휀 tidak lebih dari

𝑛 + 1 log𝑛𝜇0

휀 .

5.2 Saran

Pada karya ilmiah ini telah dilakukakn

analisis banyaknya iterasi untuk masalah

optimasi linear dengan metode titik interior.

Untuk penelitian lanjutan dapat dilakukan perbandingan banyaknya iterasi untuk kasus

taklinear dengan metode titik interior.

DAFTAR PUSTAKA

Grimaldi RP. 2004. Discrete and

Combinatorial Mathematics: An Applied

Introduction. Ed ke-5. New York: Pearson.

Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan

Aplikasinya. Ed ke-5. Bondan A,

Penerjemah; Hardani HW, Editor. Jakarta:

Erlangga. Terjemahan dari Linear Algebra

with Aplications.

Mitchell JE, P.M. Pardalos and M.G.C. Resende. 1998. Interior Point Methods for

Combinatorial Optimization. Kluwer

Academic Publishers.

Munir Rinaldi. 2003. Metode Numerik.

Bandung: Informatika.

Ross C, Terlaky T, and Vial J-Ph. 2006. Interior Point Methods for Linear

Optimization. New York: Springer.

Silalahi BP. 2011. On the Central Path of

Redundant Klee-Minty Problems. PhD

thesis. Roos C (promotor). Delft

University of Technology. The

Netherlands: TU Delft.

Winston WL. 2004. Operation Research:

Applications and Algorithms. Ed ke-4.

New York: Duxbury.

2

LAMPIRAN

18

Lampiran 1 Program untuk Fungsi Langkah Newton

function [x,y,s]= Newton_step(A,b,c,x,y,s,mu);

rb = b - A*x;

rc = c - A'*y - s;

v = sqrt(x.*s/mu);

r = v.^(-1)-v;

D = diag(sqrt(x./s));

AA=A*D;

M=AA*AA';

rhs = rb/sqrt(mu)+AA*(diag(v./s)*rc - r);

dy=M\rhs;

Dy = sqrt(mu)*dy;

ds = diag(v./s)*rc - AA'*dy;

dx = r - ds;

Dx = x.*dx./v;

Ds = s.*ds./v;

alpha = 1;

x = x + alpha*Dx;

y = y + alpha*Dy;

s = s + alpha*Ds;

return

19

Lampiran 2 Program untuk Kasus Dua Dimensi

function [A,b,c,x,y,s,mu,opt] = zigzag_Nematollahi(n)

n=4

A=[-1 1 1/3 1/3;

0 0 -1 1]

c=[0;1;0;1];

b=[0;-1];

figure(3)

clf

y = [0.5 0.5]';

s = c - A'*y

mu = 10

% mu = 100

% hilangkan tanda persen jika digunakan

x = mu./s

figure(3)

axis([0 1 0 1])

line('color',[0 0 0],'linestyle','*','erase','none','xdata',

y(1),'ydata',y(2),'markersize',5);

for i = 1:250,

[x,y,s] = Newton_step(A,b,c,x,y,s,mu);

line('color',[0 0 0], 'linestyle','*','erase','none','xdata',


end

rb = A*x-b;

rc = c - A'*y - s;

[x s]

x

y

x.*s

mu=(x'*s)/(n);

theta = 1/sqrt(5);

% theta = 1/sqrt(n+1)

% nilai theta bergantung pada n

eps = 10^(-3);

% eps = 10^(-5)


figure(3)

line('color',[0 1 0],'linestyle','o','erase','none','xdata',


20

Lanjutan Lampiran 2

it=0

while n*mu>eps,

nmu=n*mu

mu = (1-theta)*mu

x

y

s




it=it+1

end

line('color',[1 0 0],'linestyle','*','erase','none','xdata',y(1),

'ydata',y(2),'markersize',4);

axis([-0.3 0.3 0 1])

axis([-0.1 1.1 -0.3 1.4])

xx=[0 1 1 0 0]

yy=[0 1/3 2/3 1 0]

line('color',[1 0 0],'linestyle','-','erase','none','xdata',xx,

'ydata',yy,'markersize',4);

y

return

21

Lampiran 3 Program untuk Kasus Tiga Dimensi

function [A,b,c,x,y,s,mu,opt] = zigzag_Nematollahi(n)

n=6

A=[-1 1 1/3 1/3 0 0;

0 0 -1 1 1/3 1/3;

0 0 0 0 -1 1]

c=[0;1;0;1;0;1];

b=[0;0;-1];

figure(3)

clf

y = [0.5 0.5 0.5]';

s = c - A'*y

mu =10

% mu = 100


x = mu./s

figure(3)

axis([0 1 0 1])

line('color',[0 0 0],'linestyle','*','erase','none','xdata',


for i = 1:250,


line('color',[0 0 0], 'linestyle','*','erase','none','xdata',


end

rb = A*x-b;

rc = c - A'*y - s;

[x s]

x

y

x.*s

mu=(x'*s)/(n);

theta = 1/sqrt(7);

% theta = 1/sqrt(n+1)

% nilai theta bergantung pada n

eps = 10^(-3);

% eps = 10^(-5)


figure(3)

line('color',[0 1 0],'linestyle','o','erase','none','xdata',y(1),


22

Lanjutan Lampiran 3

it=0

while n*mu>eps,

nmu=n*mu

mu = (1-theta)*mu

x

y

s




it=it+1

%pause(0.2)

%end

end

line('color',[1 0 0],'linestyle','*','erase','none','xdata',y(1),


axis([-0.3 0.3 0 1])

axis([-0.1 1.1 -0.3 1.4])

xx=[0 1 1 0 0]

yy=[0 1/3 2/3 1 0]

line('color',[1 0 0],'linestyle','-','erase','none','xdata',xx,

'ydata',yy,'markersize',4);

y

return

repository.ipb.ac.id · ABSTRAK . RINI MAEDIANENGSIH. Analisis Kompleksitas Masalah Optimasi Linear...

Documents

Transcript of repository.ipb.ac.id · ABSTRAK . RINI MAEDIANENGSIH. Analisis Kompleksitas Masalah Optimasi Linear...