Sistem Digital

BAB II

ALJABAR BOOLEAN DAN GERBANG LOGIKAAlokasi Waktu : 8 x 45 menit

Tujuan Instruksional Khusus :

1. Mahasiswa dapat menjelaskan theorema dan sifat dasar dari aljabar Boolean.2. Mahasiswa dapat menjelaskan fungsi Boolean.3. Mahasiswa dapat menjelaskan gerbang logika digital.4. Mahasiswa dapat menjelaskan keluarga logika digital IC.

2.1. PENDAHULUAN

Perangkat digital dan rangkaian digital beroperasi dalam sistem bilangan biner,

yaitu semua variabel-variabel rangkaian adalah 0 dan 1 (rendah atau tinggi).

Karakteristik dari perangkat digital ini membuatnya mungkin untuk menggunakan

aljabar boole sebagai alat matematika untuk menganalisa dan merancang rangkaian dan

sistem digital.

Operasi-operasi dasar dari logika boole adalah :

1. Penambahan logika, disebut juga penambahan OR atau operasi OR. Simbol umum

untuk operasi ini adalah tanda plus (+)

2. Perkalian logika, disebut juga perkalian AND atau operasi AND. Simbol umum

untuk operasi ini adalah tanda perkalian ( . ).

3. Pembalikan logika, disebut juga operasi NOT. Simbol umum untuk operasi ini

adalah strip atas ( ‘ ).

2.2. TEOREMA-TEOREMA BOOLEAN

Kelompok pertama teorema diberikan pada Gambar 2.1. Pada tiap teorema, X

adalah sebuah variabel logika yang dapat bernilai 0 atau 1. Masing-masing teorema

digambarkan pula diagram logika ekuivalennya, yang mana akan membantu untuk

mengecek kebenarannya. Teorema-teorema pada Gambar 2.1 adalah teorema variabel

tunggal (single variable thoerems) dengan hanya variabel X, jadi kita harus mengecek

untuk kondisi-kondisi X = 0 dan X = 1.

25

Sistem Digital

Gambar 2.1 Teorema-teorema variabel tunggal (single variable)

Teorema (1) menyatakan bahwa jika suatu variabel apa saja di-AND-kan dengan 0,

hasilnya pasti 0.

Ini mudah untuk diingat sebab operasi AND adalah seperti perkalian biasa, dimana

kita tahu bahwa apa saja yang dikalikan dengan 0 adalah 0. Kita juga tahu bahwa

output dari gerbang AND akan menjadi 0 jika ada input yang bernilai 0. Tanpa

memperdulikan level pada input yang lain.

Teorema (2) juga sama seperti pada perkalian biasa.

26

Sistem Digital

Teorema (3) dapat dibuktikan dengan mencoba masing-masing kondisi

Jika X = 0, maka 0 . 0 = 0

Jika X =1, maka 1 . 1 = 1

Jika X . X = X

Teorema (4) dapat dibuktikan dengan cara yang sama. Bagaimanapun juga, teorema

(4) juga dapat berasalan bahwa pada suatu saat apakah X atau kebalikannya X pasti

menjadi level 0, jadi hasil perkalian AND-nya pasti selalu 0.

Teorema (5) adalah biasa, karena 0 jika ditambahkan dengan apa saja tidak

mempengaruhi nilainya, apakah itu pada penambahan biasa atau pada penambahan

OR.

Teorema (6) menyatakan bahwa jika suatu variabel apa saja di –OR-kan dengan 1,

hasilnya akan selalu 1. Mengecek teorema (6) untuk kedua nilai X :

0 + 1 = 1 dan 1 + 1 = 1

Dengan demikian kita dapat mengingat bahwa output dari OR gate akan menjadi 1

jika ada input yang bernilai 1, tanpa menghiraukan nilai input yang lain.

Teorema (7) dapat dibuktikan dengan pengecekan untuk kedua harga X : 0 + 0 = 0

dan 1 + 1 = 1

Teorema (8) dapat dibuktikan dengan cara yang sama atau kita dapat hanya

beralasan pada suatu saat apakah X atau X pasti menjadi level 1 jadi kita selalu

meng-OR-kan 0 dan 1 yang selalu menghasilkan 1.

Sebelum mengenalkan teorema-teorema selanjutnya, harus ditekankan bahwa dalam

menerapkan teorema-teorema (1)-(8) variabel X bisa mewakili suatu ekspresi yang

berisi lebih dari satu variabel. Sebagai contoh, jika kita mempunyai AB (A B ), kita

dapat memakai teorema (4) dengan misalkan X = AB . Jadi kita dapat menyatakan

bahwa AB (A B ) = 0. Ide yang sama dapat diterapkan untuk menggunakan teorema-

teorema tersebut di atas.

27

Sistem Digital

2.2.1. TEOREMA VARIABEL GANDA (MULTIVARIABLE)

Teorema-teorema yang ditampilkan berikut ini melibatkan lebih dari satu variabel :

(9) X + Y = Y + X

(10) X . Y = Y . X

(11) X + (Y + Z) = (X + Y) + Z = X + Y + Z

(12) X(YZ) = (XY) Z = XYZ

(13) X(Y + Z) = XY + XZ

(14) (X + Y)(X + Z) = X + (Y . Z)

(15) X + XY = X

(16) X + X Y = X + Y

(17) X . (X + Y) = X . Y

Contoh 2.1 :

Sederhanakan ekspresi : Y = ABD + ABD

Penyelesaian :

Memfaktorkan variabel AB dengan menggunakan teorema (13) :

Y = AB (D + D )

Dengan menggunakan teorema (8), D + D = 1

Jadi, Y = AB . 1

= AB [menggunakan teorema (2)]

Contoh 2.2 :

Sederhanakan Z = (A + B)(A + B)

Penyelesaian :

Ekspresi ini dapat diperluas sebagai berikut [teorema (13)]

Z = A . A + A . B + B . A + B . B

Memanggil teorema (4) : A . A = 0, juga B . B = B [teorema (3)]

Z = 0 + A . B + B . A + B = AB + A B + B

Dengan mengeluarkan B [teorema (13)] :

Z = B (A+ A + 1)

Akhirnya dengan menggunakan teorema (6),

28

Hukum KOMULATIF

Hukum ASOSIATIF

Hukum DISTRIBUTIF

Hukum ABSORTIF

Sistem Digital

Z = B

Contoh 2.3 :

Sederhanakan X = A C D + AB C D

Penyelesaian : X = CD ( A + A B )

X = C D (A + B)

= A C D + B C D

2.2.2. TEOREMA De Morgan

Dua teorema yang paling penting dari Aljabar Boolean disumbangkan oleh ahli

matematika bernama DeMorgan. Teorema DeMorgan sangat berguna dalam

penyederhanaan suatu ekspresi. Kedua teorema tersebut adalah :

(18) (X+Y ) = X . Y

(19) (X .Y ) = X + Y

Teorema DeMorgan itu dapat dinyatakan dengan kata-kata sebagai berikut :

Setiap pernyataan dalam logika adalah ekuivalen dengan pertentangannya (inversion)

dengan cara :

Penjumlahan logika (fungsi OR) ditukar menjadi perkalian logika (fungsi AND)

dan sebaliknya

Serta mengganti tiap-tiap variabel dengan pertentangannya (fungsi NOT)

Contoh 2.4 :

Sederhanakan ( A B+C ) dengan teorema DeMorgan

Penyelesaian :

( A B+C ) = ( A B ) . C

= ( A+B ) . C

Catatan : B adalah sama dengan B, jadi

(A+ B) . C = A .C + BC

Hasil terakhir ini hanya berisi tanda-tanda inverter (pembalik) yang membalik variabel

tunggal.

29

Sistem Digital

Contoh 2.5 :

Sederhanakan ekspresi Z = ( A+C ) .(B+D )

Penyelesaian :

Z = ( A+C )+(B+D )

= ( A ..C )+(B .D )

Z = AC + BD

2.3. GERBANG LOGIKA DIGITAL

Fungsi Boolean lebih mudah diimplementasikan dengan menggunakan operasi-

operasi AND, OR, dan NOT. Kemungkinan merangkai gates dengan operasi-operasi

logika bertipe lain adalah tergantung dari kepentingannya.

Faktor-faktor yang harus dipertimbangkan jika merangkai tipe-tipe lain dari gerbang

logika adalah :

1. Kemudahan dan ekonomi memproduksi gate dengan komponen-komponen fisik.

2. Kemungkinan untuk memperluas gate lebih dari dua input.

3. Sifat-sifat dasar operator biner seperti komulatif dan asosiatif.

4. Kemampuan gate untuk mengimplementasikan hanya fungsi boolean atau dalam

hubungan dengan gates lain.

Simbol grafik dan tabel kebenaran dari delapan gerbang ditunjukkan pada Gambar 2.2.

Tiap gerbang mempunyai satu atau dua variabel input biner yang ditandai dengan X dan

Y dan satu variabel output biner yang ditandai dengan F.

Rangkaian AND, OR, dan Inverter (pembalik) telah didefinisikan pada Gambar 1.6.

Rangkaian inverter membalik logik dari variabel biner. Rangkaian inverter tersebut

menghasilkan fungsi NOT atau komplemen. Lingkaran kecil pada output dari simbol

grafik inverter menandai komplemen logika simbol segitiga adalah tanda dari rangkaian

buffer. Buffer menghasilkan fungsi transfer tetapi tidak menghasilkan suatu operasi

logika khusus sebab nilai biner pada outputnya adalah sama dengan nilai biner

inputnya. Rangkaian buffer hanya digunakan untuk penguatan daya dari sinyal dan

ekuivalen dengan dua inverter yang dihubungkan secara seri (berderet).

30

Sistem Digital

NAMA SIMBOL GRAFIK FUNGSI ALJABAR TABEL KEBENARAN

AND F = x y x y F0 0 00 1 01 0 01 1 1

OR F = x + y x y F0 0 00 1 11 0 11 1 1

Inverter (NOT) F = x’ x F0 11 0

Buffer F = x x F0 01 1

NAND F = (x y)’ X y F0 0 10 1 11 0 11 1 0

NOR F = (x + y)’ x y F0 0 10 1 01 0 01 1 0

Exclusive-OR (XOR) F = xy’ + x’y

= x + y

x y F0 0 00 1 11 0 11 1 0

Exclusive-NOR (XNOR) F = xy + x’y’

= x . y

= x + y

x y F0 0 10 1 01 0 01 1 1

Gambar 2.2 Gerbang Logika Digital

Fungsi NAND adalah komplemen dari fungsi AND, seperti ditunjukkan oleh simbol

grafiknya yang terdiri dari simbol grafik AND diikuti oleh lingkaran kecil.

Fungsi NOR adalah komplemen dari fungsi OR dan menggunakan simbol grafik dari

OR diikuti oleh lingkaran kecil.

31

Sistem Digital

Gerbang NAND dan NOR banyak digunakan sebagai gerbang logika standar dan benar-

benar jauh lebih populer dari pada gerbang AND dan OR. Hal ini disebabkan karena

gerbang NAND dan NOR dengan mudah dapat dibuat dengan rangkaian-rangkaian

transistor dan karena fungsi-fungsi Boolean dapat dengan mudah diimplementasikan

dengan gerbang NAND dan NOR tersebut.

Gerbang Exclusive-OR mempunyai sifat grafik sama seperti gerbang OR, tetapi ada

tambahan garis melengkung pada sisi input.

Gerbang Exclusive-NOR adalah komplemen dari Exclusive-OR yang ditambah

lingkaran kecil pada sisi outputnya.

2.4. KELUARGA LOGIKA DIGITAL IC

Gerbang IC digital diklasifikasikan tidak hanya berdasarkan operasi logikanya, tetapi

juga berdasarkan keluarga rangkaian logika tertentu. Masing-masing keluarga logika

mempunyai rangkaian elektronika dasar dimana rangkaian dan fungsi yang lebih

komplek di buat.

Rangkaian dasar pada tiap-tiap (family) adalah gerbang NAND dan NOR.

Komponen-komponen elektronika yang digunakan dalam pembuatan rangkaian dasar

biasanya dipakai untuk menamakan keluarga logika (Logic Family). Bermacam-macam

keluarga logika ICs digital telah diperkenalkan secara komersial. Keluarga-keluarga

logika yang telah terkenal adalah sebagai berikut :

TTL : Transistor-transistor Logic

ECL : Emiter-Coupled Logic

MOS : Metal-Oxide Semiconductor

CMOS : Complementary Metal-Oxide Semiconductor

I2L : Integrated-injection Logic

TTL mempunyai banyak fungsi digital dan merupakan keluarga logika yang paling

populer sekarang ini.

ECL digunakan pada sistem-sistem yang memerlukan operasi kecepatan tinggi.

MOS dan I2L digunakan pada rangkaian-rangkaian yang memerlukan kepadatan

komponen tinggi, dan CMOS digunakan pada sistem-sistem yang membutuhkan

konsumsi daya rendah.

32

Sistem Digital

Oleh karena kepadatan yang tinggi dimana transistor-transistor dapat dibuat dalam

MOS dan I2L, dua keluarga ini kebanyakan digunakan untuk fungsi-fungsi LSI (Large

Scale Integration). Tiga keluarga yang lain : TTL, ECL, dan CMOS mempunyai

perangkat-perangkat LSI dan juga perangkat MSI (Medium Scale Integration) dan SSI

(Small Scale Integration).

Catatan : Komponen-komponen yang digunakan untuk membuat sistem-sistem digital

adalah tertutup dalam paket rangkaian terpadu (integrated circuit packages).

Rangkaian SSI berisi beberapa gate (gerbang) atau flip-flop dalam paket

tunggal (dalam satu paket IC). Perangkat MSI menyediakan fungsi-fungsi

digital tertentu, dan perangkat LSI menyediakan modul-modul komputer

lengkap.

Beberapa rangkaian SSI yang standar pada Gambar 2.4. Masing-masing IC tertutup

dalam sebuah paket (package) 14 atau 16 kaki. Kaki-kaki tersebut diberi nomor

disepanjang dua sisi dari package tersebut dan menentukan hubungan-hubungan yang

dapat dibuat.

Gates (gerbang-gerbang) yang digambar di dalam IC hanya untuk informasi saja dan

tidak dapat dilihat karena package IC yang nyata adalah seperti pada gambar 1.8.

IC TTL biasanya dibedakan oleh penandaan menurut angka seperti seri 5400 dan 7400.

Seri 5400 mempunyai batasan temperatur operasi yang lebar, cocok untuk penggunaan

militer. Dan seri 7400 mempunyai batasan temperatur yang lebih sempit, cocok untuk

pemakaian industri.

Penandaan menurut angka dari seri 7400 berarti bahwa package IC bernomor seperti

7400, 7401, 7402 dan sebagainya.

Gambar 2.4 (a) menunjukkan dua rangkaian SSI TTL. Seri 7404 menyediakan enam

(hek) inverter dalam satu package. 7400 menyediakan empat 2-input NAND gates.

Terminal-terminal yang ditandai Vcc dan GND adalah kaki-kaki sumber tegangan

(power supply) yang memerlukan tegangan 5 volt untuk operasi yang benar.

Tipe ECL yang paling umum adalah seri 10.000. Gambar 2.4 (b) menunjukkan dua

rangkaian ECL. Seri 10102 menyediakan empat 2-input NOR gates. Catatan bahwa

sebuah gate ECL bisa mempunyai dua output, satu untuk fungsi NOR dan lain untuk

fungsi OR (kaki 9 dari IC 10102).

33

Sistem Digital

IC 10107 menyediakan tiga exclusive-OR gates. Disini ada dua output dari masing-

masing gate, output yang lain memberi fungsi exclusive-NOR.

Gate ECL mempunyai tiga terminal untuk power supply Vcc1 dan Vcc2 biasanya

dihubungkan ke Ground, dan VEE ke supply -5,2 Volt.

Rangkaian CMOS dari seri-seri 4000 ditunjukkan pada Gambar 2.4 (c). Hanya dua 4-

input NOR gate dapat dimuat dalam 4002 karena keterbatasan kaki. Type 4050

menyediakan enam gerbang menyediakan enam gerbang Buffer. Kedua IC mempunyai

dua terminal yang tidak digunakan ditandai NC (no connection). Terminal yang

ditandai VDD membutuhkan tegangan supply daya dari 3 sampai 15 volt dan Vss

biasanya dihubungkan ke ground.

34

Sistem Digital

Gambar 2.4 Berapa tipikal Integrated-Circuit Gates

35

Sistem Digital

Ringkasan

Teorema Variabel Tunggal :

(1) X . 0 = 0

(2) X . 1 = X

(3) X . X = X

(4) X . X’ = 0

(5) X + 0 = X

(6) X + 1 = 1

(7) X + X = X

(8) X + X’ = 1

Teorema Variabel Ganda :

(9) X + Y = Y + X

(10) X . Y = Y . X

(11) X + (Y + Z) = (X + Y) + Z = X + Y + Z

(12) X(YZ) = (XY) Z = XYZ

(13) X(Y + Z) = XY + XZ

(14) (X + Y)(X + Z) = X + (Y . Z)

(15) X + XY = X

(16) X + X Y = X + Y

(17) X . (X + Y) = X . Y

Teorema DeMorgan sangat berguna dalam penyederhanaan suatu ekspresi. Kedua teorema

tersebut adalah :

(18) (X+Y ) = X . Y

(19) (X .Y ) = X + Y

36

Hukum KOMULATIF

Hukum ASOSIATIF

Hukum DISTRIBUTIF

Hukum ABSORTIF

Sistem Digital

Soal-Soal

1. Buktikan teorema di bawah ini :

a. (A + B) (A + C) = A + BC (hukum distributif)

b. A (A+B) = A B (hukum absortif)

2. Sederhanakan pernyataan di bawah ini dengan menggunakan hukum-hukum dan teorema

logika :

a. F = (AB+ B) (A+B )

b. F = (A +B+C )(A +BC)

c. F = ABC + D + C (ABC + D)

d. F = (A + BC)(B + AC) + ABC

e. F = (A + B + C)(A + B )

3. Implementasikan hasil penyederhanaan pertanyaan (2) ke dalam rangkaian logika?

4. Sederhanakan dengan teorema DeMorgan :

a. F = B (C+D ) + A B (C+D )

b. F = A B+CD+AC+ACD5. Jika suatu rangkaian digital mempunyai N variabel input logika maka akan ada 2N

kemungkinan kondisi yang berbeda. Jika sebuah tabel kebenaran dibuat berisi semua

kondisi-kondisi tersebut, ada suatu metode untuk mendaftar semua kondisi tersebut tanpa

kehilangan satu kondisipun.

Pelajari tabel kebenaran yang ditunjukkan pada Gambar P-1. Untuk empat variabel A, B,

C, dan D. Karena N = 4 maka ada 24 = 16 kondisi. Semua 16 kondisi tersebut dapat

didaftar mewakili 4-bit bilangan biner, dengan D menjadi LSB dan A menjadi MSB. Jika

kita sekarang menghitung dalam biner dari 0000 sampai 1111, kita akan mempunyai 16

kondisi keseluruhannya.

Tambahkan ke dalam tabel kebenaran output-output untuk masing-masing kondisi jika

masing-masing kondisi tersebut mewakili empat-imput NOR dan NAND gates?

37

Sistem Digital

A B C D NOR NAND

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 0 1

0 1 1 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 0 1

1 1 1 0

1 1 1 1

Gambar P-1.

6. a. Sederhanakan rangkaian logika yang ditunjukkan pada Gambar P-2?

Gambar P-2.

b. Implementasikan hasil penyederhanaannya kedalam rangkaian logika?

38