KALKULUS DIFERENSIAL

7. menentukan selang dimana suatu fungsi naik atau turun.8. menentukan titik stasioner suatu fungsi beserta jenis ekstrimnya.9. menentukan titik belok suatu fungsi.10. menggambar grafik fungsi.11. menggunakan turunan dalam peerhitungan kecepatan dan percepatan.12. menggunakan turunan dqlam perhitungan bentuk tak tentu limit fungsi.

B. Penggunaan turunanfungsi naik dan fungsi turun▪ fungsi y = f(x) yang daerah asalnya selang I dikatakan naik (monoton naik) pada I jika u < v f(u)<f(v) u, v є Df = I▪ fungsi y = f(x) yang daerah asalnya selang I dikatakan turun (monoton turun) pada I jika u < v f(u)>f(v) u, v є Df = IUntuk fungsi y = f(x) yang daerah asalnya selang I,▪ jika f’(x) < 0 untuk setiap x є I, maka fungsi turun pada I;▪ jika f’(x) > 0 untuk setiap x є I, maka fungsi naik pada I;ekstrim lokalfungsi y = f(x) yang terdefinisi pada selang terbuka I dikatakan▪ mencapai maksimum lokal di p є I jika f(p) ≥ f(x) untuk setiap x di sekitar p;▪ mencapai inimum lokal di q є I jika f(q) ≥ f(x) untuk setiap x di sekitar q;▪ (p,f(p)) dinamakan titik maksimum lokal dan (q,f(q)) titik minimum lokal dari f

Fungsi y = f(x) yang mempunyai turunan pada selang terbuka I dikatakan mencapai titik stasioner di p є I jika f’(p) = 0

Fungsi y = f(x) yang mempunyai turunan pada selang terbuka I yang memuat titik stasioner p,▪ jika f’(x)> 0 untuk x < p dan f’(x) < 0 untuk x > p pada I , maka fungsi f mencapai maksimum lokal di x = p dengan titik maksimum lokal (p,f(p)) ▪ jika f’(x)< 0 untuk x < p dan f’(x) > 0 untuk x > p pada I , maka fungsi f mencapai maksimum lokal di x = p dengan titik maksimum lokal (p,f(p)). ▪ jika f’(x) bertanda sama untuk x < p dan x > p pada I , maka fungsi f tak mencapai ekstrim di x = p

▪ fungsi y = f(x) yang daerah asalnya selang I dikatakan cekung ke atas jika f’ adalah fungsi naik pada I.▪ fungsi y = f(x) yang daerah asalnya selang I dikatakan cekung ke bawah jika f’ adalah fungsi turun pada I.

Untuk fungsi y = f(x) yang daerah asalnya selang I▪ jika f’’(x) <0 untuk setiap x є I, maka fungsi f cekung ke bawah pada I.▪ jika f’’(x) > 0 untuk setiap x є I, maka fungsi f cekung ke atas pada I.

Titik belokfungsi y = f(x) yang terdefinisi pada selang terbuka I dikatakan mencapai titik belok di p є I jika di sekitar p terjadi perubahan kecekungan dari kurva f, dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah atau sebaliknya. Selanjutnya (p,f(p)) dinamakan titik belok dari fungsi f.

Untuk fungsi y = f(x) yang mempunyai turunan kedua pada selang terbuka I yang memuat titik p,▪ jika f’(p) = 0 dan f’’(p)< 0, maka fungsi f mencapai maksimum lokal di x = p dengan titik maksimum lokal (p,f(p)), ▪ jika f’(p) = 0 dan f’’(p)> 0, maka fungsi f mencapai minimum lokal di x = p dengan titik maksimum lokal (p,f(p)) contoh:untuk fungsi f(x) = x4 – 8x2, tentukan semua titik ekstrim dari f beserta jenisnyajawab:fungsi turunan pertama dan dan kedua dari f(x) adalah f’(x)=4x3 – 16x = 4x(x2 -4) = 4x(x + 2)(x - 2) dan f’’(x) = 12x2 – 16Titik stasioner dari fungsi f tercapai jika f’(x) = 0 yang menghasilkan x = 0, x = 2 dan x = -2, dengan f’’(0) = -16, f’’(2)=32 dan f’’(-2) = 32. nilai fungsi di titik stasioner adalah f(0)=0,f(2)= -16 dan f(-2)=-16

▪ karena f’(0) = 0 dan f’’(0) <0, maka fungsi f mencapai maksimum lokal di x = 0 dengan titik maksimum (0,0).▪ karena f’(2) = 0 dan f’’(2) > 0, maka fungsi f mencapai minimum lokal di x = 2 dengan titik maksimum (2,-16).▪ karena f’(-2) = 0 dan f’’(-2) >0, maka fungsi f mencapai minimum lokal di x = -2 dengan titik maksimum (-2,-16).

Teorema L’Hospital1. jika lim f(x)=0=lim g(x) dan lim f’(x)/g’(x) = L, maka lim f(x)/g(x)=L

2. jika lim f(x) = = lim g(x) dan lim f’(x)/g’(x) = L, maka lim f(x)/g(x) = L

xc xc xc

x x x x

Contoh:Hitunglah lim

jawab:

lim = lim

= (½ - 2)/(½+1)= -1

√(x-2) – 2x + 5

√(x-2) + x – 4

x3

√(x-2) – 2x + 5

√(x-2) + x – 4

x3

1/2√(x-2) – 2

1/2√(x-2) + 1x3