UJIAN TUGAS AKHIR

KAJIAN METODE JACKKNIFE DALAM

MEMBANGUN SELANG KEPERCAYAAN DENGAN

PARAMETER ARMA(p,q)

Disusun oleh :Novan Eko Sudarsono

NRP 1206.100.052

Pembimbing:

Dra. Nuri Wahyuningsih, M.Kes

Dra.Laksmi Prita W, M.Si

JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBERSURABAYA

2010

PENDAHULUANI

Latar Belakang

Data ResamplingEstimasi

Parameter

Selang Kepercayaan dan peramalan

Peramalan untukperiode yang akan datang

Rumusan Masalah

Permasalahan yang dibahas dalam tugas akhir

ini adalah:

1. Bagaimana membangun selang kepercayaan

berdasarkan metode Jackknife

2. Mendapatkan Peramalan data jumlah laba

bersih PT. Bank Central Asia Tbk, untuk

periode yang akan datang dengan

menggunakan model ARMA(p,q)

Batasan Masalah

Batasan yang digunakan dalam permasalahan tugas akhir ini

adalah adalah :

1. Data yang dipakai adalah data sekunder pada data

laba bersih di PT. Bank Central Asia, Tbk. Pada bulan

Januari 2010 – bulan Agustus 2010 yang didapat

dari data laporan keuangan publikasi bank di website

resmi Bank Indonesia http://www.bi.go.id

2. Distribusi yang digunakan adalah distribusi normal

3. Resampling dilakukan sebanyak 10 kali

Tujuan

Tujuan penulisan tugas akhir ini adalah :

1. Mendapatkan selang kepercayaan berdasarkan

metode Jackknife

2. Memperoleh data perkiraan jumlah laba bersih di

PT. Bank Central Asia, Tbk untuk periode yang

akan datang dengan menggunakan model

ARMA(p,q)

Manfaat

Manfaat dalam penulisan tugas akhir ini adalah dapat

memberikan kontribusi penelitian dalam bidang riset

operasi dan simulasi yang berhubungan dengan metode

jackknife serta memberikan informasi kepada pihak

terkait khususnya PT. Bank Central Asia, Tbk. Tentang

laba bersih yang mungkin akan didapatkan untuk

periode mendatang

TINJAUAN PUSTAKAII

METODE RESAMPLING JACKKNIFE

Metode Resampling Jackknife diciptakan oleh Quenouille pada

tahun 1949 yang mempunyai tujuan mengoreksi kemungkinan yang

bias dari untuk nilai n kecil. Tukey pada tahun 1958

mengumumkan bahwa prosedur dalam resampling Jackknife dapat

digunakan untuk membangun selang kepercayaan yang baik untuk

berbagai macam variasi dari estimator .

Rumus dasar dari Resampling Jackknife adalah , jika diberikan

yang ditetapkan sebagai estimator dari sampel ,

nilai bayangan ke-i dari adalah :

Yang mana, mempunyai arti bahwa sampel dengan

nilai ke-i dari dihapus dari sampel, sehingga merupakan sampel

yang berukuran n-1

MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION (MLE)

MLE dilakukan dengan memaksimumkan fungsi likelihood,

pada dasarnya estimasi parameter dengan menggunakan

MLE meliputi dua tahap, yaitu mengkontruksi fungsi

Likelihood dan memperoleh fungsi Likelihood tersebut.

Misalkan x variabel random dengan fungsi probabilitas

merupakan himpunan parameter yang tidak diketahui dan

saling independent maka pengkontruksian fungsi likelihood

dapat dinyatakan dengan

MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION (MLE)

Pengkontruksian fungsi Likelihood seperti pada persamaan diatas tidak

dapat dilakukan pada kasus Jackknife karena data pengamatan pada

Jackknife saling dependent, oleh karena itu fungsi likelihood pada

kasus time series dikonstruksi melalui perkalian dari distribusi-distribusi

bersyarat yang dapat dinyatakan dengan

Dimana adalah distribusi bersyarat untuk suatu nilai

tertentu, Sebagai fungsi Likelihood dikonstruksi langkah

selanjutnya adalah mencari nilai estimator yang memaksimumkan

fungsi Likelihood tersebut dalam hal ini memaksimumkan fungsi

Likelihood dilakukan dengan menurunkan fungsi Likelihood terhadap

parameter, kemudian persamaan hasil turunan tersebut

disamadengankan dengan nol, sehingga dapat diperoleh nilai estimasi

parameter yang memaksimumkan fungsi likelihood tersebut.

SELANG KEPERCAYAAN

Selang kepercayaan adalah sebuah interval yang

berdasarkan observasi sampel dan terdapat probabilitas

yang ditentukan. Interval mengandung nilai parameter

sebenarnya yang tidak diketahui Derajat kemungkinan

tersebut dinyatakan dengan tingkat kepercayaan

(confidence level) misalnya 95% atau 99% Jika tingkat

kepercayaannya tinggi dan menghasilkan interval yang

sempit maka nilai parameter tersebut dapat dikatakan

presisi. Probabilitas bahwa nilai variable acak berada

dalam batas dan adalah

Probabilitas selang kepercayaan dengan selang

kepercayaan sebesar untuk adalah :

Time Series : pengamatan yang diambil berdasarkan

urutan waktu dan antara pengamatan yang berdekatan

saling berkorelasi.

Pemeriksaan kestasioneran:

1. Stasioner dalam mean nampak pada plot time series

data akan tampak berfluktuasi di sekitar garis yang

sejajar sumbu waktu (t). Data yang tidak stasioner

dalam mean perlu dilakukan pembedaan (differencing).

2. Stasioner dalam varian nampak pada plot time series

simpangan data tidak terlalu besar atau variannya tidak

dipengaruhi deret waktu. Data yang tidak stasioner

dalam varian perlu dilakukan proses transformasi Box-

Cox [8].

Uji Signifikan Parameter

• Hipotesis

(parameter tidak signifikan)

(parameter signifikan)

Statistik uji

H0 ditolak jika atau

Artinya parameter signifikan

Uji Residual Bersifat white noise

Hipotesis

(Residual bersifat white noise)

(Residual tidak bersifat white

noise)

Statistik uji

H0 ditolak jika atau

Artinya residual tidak bersifat white noise

• Uji Residual Berdistribusi Normal

Hipotesis

(Residual berdistribusi normal)

(Residual tidak berdistribusi

normal)

Statistik uji

H0 ditolak jika atau

Artinya residual tidak berdistribusi normal

• In-sample

1. AIC (Akaike’s Information Criterion)

2. SBC (Schwartz,s Bayesian Criterion)

• Out-sample

1. MSE

2. MAPE

METODOLOGIIII

Metodologi

Mendapatkan estimasi parameter

Menguji Estimasi Parameter Menggunakan MLE

Menguji Estimasi Parameter Menggunakan unbiassed estimation

Membangun Selang Kepercayaan

Menguraikan teori dasar

Mencari sifat-sifat dari Metode Jackknife

Studi literatur

Mulai

A

A

Penentuan Banyak Data

Data < 30

Resampling

Jackknife Yang Lainnya

Membuat Plot Seluruh data

Data > 30

Data Sudah Stationer Dalam Varian

Tidak

Box-Cox

ACF+PACF

Ya

B

Metodologi (Lanjutan) B

Estimasi dan Pengujian Parameter

Residual White Noise

Penentuan Model

Tidak

Residual Berdistribusi Normal

Pengujian In Sampel

Model Terbaik

Hasil Peramalan

Selesai

PEMBAHASANIV

Bentuk umum resampling Jackknife

• Mean dari sampel asli adalah :

• Berdasarkan tabel nilai untuk setiap hasil resampling

bergantung kepada hasil resampling sebelumnya,

sehingga

• Dan rata-rata untuk setiap hasil resampling yang didapat

adalah :

• rata-rata dari seluruh hasil resamplingnya adalah

• Maximum Likelihood Estimation

pdf bersamanya adalah

Pengkontruksian MLE

MLE untuk mean

MLE untuk Varian

Misalkan , maka akan menjadi

Karena maka :

Unbiassed Estimator

• Pengujian unbiassed estimator pertama dilakukan untuk

menguji apakah terdapat error pada saat

• Karena dalam resampling Jackknife setiap data dalam

satu resampling bersifat independen maka

• Dalam pengamatan ke- bersyarat untuk untuk

tertentu berarti memperlakukan variabel random sebagai

variabel random yang tertentu, sehingga

• Pengujian unbiassed estimator kedua dilakukan untuk

menguji apakah terdapat error pada saat

• Karena maka :

• Sehingga adalah estimator bias dari , untuk

menjadikannya tak bias maka dapat dilakukan langkah-

langkah sebagai berikut

• Jadi adalah unbiassed estimator untuk

Selang Kepercayaan

• Selang Kepercayaan nya adalah

• Sehingga selang kepercayaannya adalah

Peramalan data

• Penentuan suatu data stasioner atau tidak dalam varian,

perlu dilakukan dengan plot time series dan box-cox,

Bentuk plot time series dan box-cox nya sebagai berikut

• Time series plot Box Cox Plot

• Dari plot box-cox diperoleh maka belum stasioner

dalam varian, sehingga untuk mengatasinya diperlukan

transformasi dengan sehingga memperoleh plot

time series dan plot box-cox sebagai berikut :

• Time series Transformation Box Cox Transformation

Plot ACF Plot PACF

• Tabel Kesignifikanan

Model Parameter EstimasiStandart

Errort hitung P-value

(0,1) -0,85053 0,05939 -14,32 < .0001

(2,1)

1,72908

-0,72908

0,85523

0,26344

0,26197

0,20863

6,56

-2,78

4,10

< .0001

0,0068

0,0001

([5,6],1)

0,39147

0,57013

-0,68407

0,12705

0,12698

0,09964

3,08

4,49

-6,87

0,0029

< .0001

< .0001

(1,0) 0,98589 0,02260 43,62 < .0001

Uji Asumsi Residual White Noise

Model Lag Q DF Pr>ChiSq Ket

(1,0)

6

12

18

24

2,48

6,72

7,01

7,05

11,0705

19,6751

27,5871

35,1725

5

11

17

23

0,7789

0,8210

0,9835

0,9994

White

noise

(0,1)

6

12

18

24

334,12

648,04

937,69

1200,74

11,0705

19,6751

27,5871

35,1725

5

11

17

23

< .0001

< .0001

< .0001

< .0001

Tidak

White

noise

(2,1)

6

12

18

24

1,17

5,21

5,52

5,53

7,81473

16,9190

28,8693

32,6705

3

9

15

21

0,7595

0,8159

0,9867

0,9997

White

noise

([5,6],1)

6

12

18

24

35,08

41,48

42,88

42,99

7,81473

16,9190

28,8693

32,6705

3

9

15

21

< .0001

< .0001

0,0002

0,0032

Tidak

White

noise

• Uji Kenormalan

• Dengan tidak mempertimbangkan uji asumsi residual

normal maka diperoleh model yang memenuhi adalah

model ARMA(1,0) dan ARMA(2,1) sehingga untuk

menentukan model terbaik maka perlu dilakukan

pengujian in-sample dengan membandingkan nilai AIC

sebagai berikut :

• Nilai AIC

Model P-value Keputusan Kesimpulan

(1,0) < 0,0100 Tolak Tidak Normal

(2,1) < 0,0100 Tolak Tidak Normal

Model Nilai AIC

(1,0) 6367,27

(2,1) 6367,864

• Hasil Peramalan

PeriodeHasil

Peramalan

Data

TransformasiL95 U95

81 2,233963E17 2949,953669 2659,23 3157,43

82 2,202432E17 2941,5789 2477,14 3221,95

83 2,171346E17 2933,227896 2288,11 3265,91

84 2,140699E17 2924,900665 2058,98 3299,63

85 2,110484E17 2916,59692 1706,13 3327,02

86 2,080696E17 2908,316897 1421,33 3350,04

87 2,051328E17 2900,060256 1892,68 3369,83

PENUTUPV

• Kesimpulan

• Metode resampling Jackknife yang dilakukan dengan

menggunakan pengestimasian dengan dua metode yaitu

Maximum Likelihood Estimation (MLE) dan Unbiassed

Estimation menghasilkan

• Maximum Likelihood Estimation

Untuk mean :

Untuk varian :

Unbiassed Estimator

Untuk mean :

Untuk varian :

• Sehingga dari hasil pengestimasian secara MLE dan

unbiassed estimation dibuat selang kepercayaan

100% untuk dengan dan s yang merupakan rataan

dan simpangan dari suatu populasi adalah :

• Hasil Ramalan Tahun Periode Peramalan

2010

September 2949,953669

Oktober 2941,5789

November 2933,227896

Desember 2924,900665

2011

Januari 2916,59692

Februari 2908,316897

Maret 2900,060256

Saran

Saran yang dapat diberikan pada penelitian berikutnya

adalah Menggunakan metode Resampling yang

lainnya seperti metode resampling Bootstrap,

sehingga hasilnya bisa dibandingkan untuk

mengetahui keakuratan hasilnya.

DAFTAR PUSTAKA

Daftar Pustaka

Amstrong, J.Scout. 2002. Prinsiples of Forecasting. Kluwer Academic

Publishing.

Atiqoh Zahroh. 2005. Estimasi Parameter Arma Untuk Peramalan Debit Air

Sungai Menggunakan Goal Programming. Jurusan Matematika ITS.

Surabaya

Cahyaningrum Puspasari, 2003. Kajian Estimasi Parameter Model ARMA.

Jurusan Matematika ITS. Surabaya.

Efron Bradley, 1994. The Jackknife, The Bootstrap and The Other

Resampling Plans, Department of Statistics Stanford University

Makridakis, W. M. G. 1999. Metode dan Aplikasi Peramalan. Edisi kedua.

Bina Rupa Aksara. Jakarta.

Salamah, M., Suhartono., dan Wulandari S. 2003. Analisis Time Series.

Surabaya: Jurusan Statistik ITS

Sawyer. S, 2005. Resampling Data: Using a Statistical Jackknife,

Washington University

Wei, W.W.S. 1990. “Time Series Analysis : Univariate and Multivariate

Methods”. United State of America : Addison-Wesley Publishing Company.