Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c.

Turunan pertama dari fungsi f di titik c ditulis '( )f c didefinisikan

sebagai: ( ) ( )

'( ) limf x f c

f c−

= ( ) ( )

'( ) limx c

f x f cf c

x c→

−=

−

bila limitnya ada. Dengan penggantian x c h= + , jika 0x c h→ ⇔ → dan x c h− = , turunan fungsi f di c dapat dituliskan dalam bentuk:

0

( ) ( )'( ) lim

h

f c h f cf c

h→

+ −=

Hitunglah '(2)f jika ( ) 2f x x=

Jawab

( ) 2f x x=

(i) ( ) ( )

'( ) limx c

f x f cf c

x c→

−=

−

2 ( 2)( ) (2) 2 2(2) xf x f x −− −

2 2 2

2 ( 2)( ) (2) 2 2(2)'(2) lim lim lim

2 2x x x

xf x f xf

x x→ → →

−− −= = =

− − 2x − 2lim 2 2x→

= =

(ii) 0

( ) ( )'( ) lim

h

f c h f cf c

h→

+ −=

0 0 0

0

(2 ) (2) 2(2 ) 2(2) 4 2 4'(2) lim lim lim

2 lim

h h h

h

f h f h hf

h h h

h

→ → →

→

+ − + − + −= = =

=h 0

lim 2 2h→

= =

• Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (a, c]. Turunan kiri dari fungsi f di

c, ditulis ' ( )f c− didefinisikan sebagai:

' ( ) ( )( ) lim

x c

f x f cf c

x c−−→

−=

− atau '

0

( ) ( )( ) lim

h

f c h f cf c

h−−→

+ −=

bila limitnya ada

• Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (c, b]. Turunan kanan dari fungsi f• Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (c, b]. Turunan kanan dari fungsi f

di c, ditulis ' ( )f c+ didefinisikan sebagai:

' ( ) ( )( ) lim

x c

f x f cf c

x c++→

−=

− atau '

0

( ) ( )( ) lim

h

f c h f cf c

h++→

+ −=

bila limitnya ada

• Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat titik c. Fungsi f terdiferensialkan (mempunyai turunan) di titik c jika dan hanya

jika ' '( ) ( )f c f c− +=

Selidiki apakah ; 0

( ) ; 0

x xf x x

x x

≥= = − <

mempunyai turunan di 0x = !

Jawab

• Turunan kiri fungsi f di 0x = adalah sebagai berikut:

' ( ) (0) 0f x f x− − −'

0 0 0

( ) (0) 0(0) lim lim lim ( 1) 1

0x x x

f x f xf

x x− − −−→ → →

− − −= = = − = −

−

• Turunan kanan fungsi f di 0x = adalah sebagai berikut:

'

0 0 0

( ) (0) 0(0) lim lim lim (1) 1

0x x x

f x f xf

x x+ − −+→ → →

− −= = = =

−

' '(0) (0) ( ) tidak mempunyai turunan di 0f f f x x− +≠ ⇒ =

• Jika f mempunyai turunan di c , maka f

kontinu di c.

• Jika f(x) tidak kontinu di c maka f tidak

mempunyai turunan di c. mempunyai turunan di c.

• Dengan kata lain kekontinuan adalah syarat

perlu untuk keterdiferensialan.

• Artinya, Jika f kontinu di c, maka belum tentu

f diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh

contoh berikut.

Tunjukkan bahwa 1, 1

( ) | 1|1, 1

x xf x x

x x

− ≥= − = − + <

kontinu di x = 1

tetapi tidak diferensiabel di x = 1 Jawab : 1. Akan ditunjukkan bahwa f kontinu di x = 1

•1. Akan ditunjukkan bahwa f kontinu di x = 1

• f(1) = 0

• 1 1

lim ( ) lim ( 1) 0x x

f x x− −→ →

= − + =

1 1

lim ( ) lim 1 0x x

f x x+ +→ →

= − =

1

lim ( ) 0x

f x→

=

• Jadi 1

lim 1x

f(x) f( )→

=

• Jadi ( ) | 1|f x x= − kontinu di x = 1

2. Selanjutnya selidiki apakah f(x) diferensiabel

di x = 1 atau ' '(1) (1)f f− += ?

• '

1 1 1

( ) (1) | 1| | 0 | ( 1)(1) lim lim lim 1

1 1 1x x x

f x f x xf

x x x− − −−→ → →

− − − − −= = = = −

− − −

• ' ( ) (1) | 1| | 0 | 1(1) lim lim lim 1.

f x f x xf

− − − −= = = = • '

1 1 1

( ) (1) | 1| | 0 | 1(1) lim lim lim 1.

1 1 1x x x

f x f x xf

x x x+ + ++→ → →

= = = =− − −

Karena ' '(1) (1)f f− +≠ maka ( ) | 1|f x x= −

tidak diferensiabel di x = 1

Periksa apakah fungsi berikut diferensiabel di

titik yang diberikan

a. 2 , 1

( )2 3 , 1

x xf x

x x

≤=

− > ; x = 1 a. ( )

2 3 , 1f x

x x

− > ; x = 1

b. 2 , 0

( )sin 1 , 0

x x xf x

x x

+ <=

+ ≥; x = 0

c.

2

2

, jika 0

( ) ,0 1 ; 0 dan 1

1 , jika 1

x x

f x x x x x

x x

≤

= < < = =+ ≥

Turunan ( )y f x= terhadap x dinotasikan dengan 'y atau

'( )f x . Notasi lain yang digunakan untuk menyatakan turunan

( )y f x= terhadap x di antaranya dalah:

dy d , ( ), , ( )x x

dy df x D y D f x

dx dx.

Notasi dy

dx dikenal sebagai notasi Leibniz.

Turunan Fungsi Konstan

Misalkan ( )f x k= , dimana k adalah sembarang konsatanta Riil maka

'( ) 0f x =

0 0 0 0

( ) ( ) 0'( ) lim lim lim lim 0 0

h h h h

f x h f x k kf x

h h h→ → → →

+ − −= = = = =

Contoh Contoh Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:

a. ( ) 2f x =

b. ( ) 15f x =

c. ( ) 22f x =

Jawab

a. ( ) 2 '( ) 0f x f x= ⇒ =

b. ( ) 15 '( ) 0f x f x= ⇒ =

c. ( ) 22 '( ) 0f x f x= ⇒ =

Turunan Fungsi Pangkat Bilangan Riil

Misalkan ( ) dimana ,nf x kx k n= ∈ � maka 1'( ) ( ) nf x nk x −=

Contoh Tentukan turunan dari fungsi berikut:

a. 3( ) 2f x x=

b. 3( ) 15f x x−=

c. 14( ) 5f x x=

Jawab

a. 3 3 1 2( ) 2 '( ) (3)(2) 6f x x f x x x−= ⇒ = =

b. 3 3 1 4( ) 15 '( ) ( 3)(15) 45f x x f x x x− − − −= ⇒ = − = −

c. 31 1 14 4 4

1 5( ) 5 '( ) (5)

4 4f x x f x x x

− − = ⇒ = =

Turunan Kelipatan Fungsi

Misalkan [ ]( ) ( )n

f x k u x= dimana ( )u x merupakan

fungsi dari x maka [ ] 1'( ) ( )( ) ( ) '( )

nf x n k u x u x

−=

Contoh Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:

a. 3( ) 2(3 4)f x x= −

b. 3( ) 15(4 1)f x x −= +

a. 3( ) 2(3 4)f x x= − 3 1

2

2

'( ) (3)(2)(3 4) (3 4)'

6(3 4) (3)

18(3 4)

f x x x

x

x

−= − −

= −

= −

2 18(3 4)x= −

b. 3( ) 15(4 1)f x x −= +

3 1

4

4

'( ) ( 3)(15)(4 1) (4 1)'

( 45)(4 1) (4)

180(4 1)

f x x x

x

x

− −

−

−

= − + +

= − +

= − +

Turunan fungsi trogonometri didefinisikan sebagai berikut:

(i) ( ) sin '( ) cosf x x f x x= ⇒ =

(ii) ( ) sin( ( )) '( ) cos '( )f x u x f x x u x= ⇒ = ⋅

(iii) ( ) cos '( ) sinf x x f x x= ⇒ = − (iii) ( ) cos '( ) sinf x x f x x= ⇒ = −

(iv) ( ) cos( ( )) '( ) sin '( )f x u x f x x u x= ⇒ = − ⋅

(v) 2( ) tan '( ) secf x x f x x= ⇒ =

(vi) 2( ) tan( ( )) '( ) sec ( ( )) '( )f x u x f x u x u x= ⇒ = ⋅

Tentukan rumus fungsi berikut:

a. ( ) sin(5 )f x x=

b. 2( ) sin( 2 )f x x x= +

c. 1( ) cos( )5f x x=

d. 3 2( ) cos(2 4 )f x x x x= − +

e. ( ) tan(2 )f x x=

f. 3 2( ) tan( 3 )f x x x= −

a. ( ) sin(5 )f x x=

'( ) cos(5 ) (5 ) ' cos5 5 5 cos(5 )f x x x x x= ⋅ = ⋅ =

b. 2( ) sin( 2 )f x x x= + 2 2'( ) cos( 2 ) ( 2 ) 'f x x x x x= + ⋅ +2 2

2

2

'( ) cos( 2 ) ( 2 ) '

cos( 2 ) (2 2)

(2 2) cos( 2 )

f x x x x x

x x x

x x x

= + ⋅ +

= + ⋅ +

= + +

c. 1( ) cos( )5f x x=

1 1 1 1 1 1'( ) sin( ) ( ) ' sin( ) ( ) sin( )5 5 5 5 5 5f x x x x x= − ⋅ == − ⋅ = −

d. 3 2( ) cos(2 4 )f x x x x= − + 3 2 3 2

3 2 2

2 3 2

'( ) sin(2 4 ) (2 4 )'

sin(2 4 ) (6 2 4)

(6 2 4)sin(2 4 )

f x x x x x x x

x x x x x

x x x x x

= − − + ⋅ − +

= − − + ⋅ − +

= − − + − +

e. ( ) tan(2 )f x x= e. ( ) tan(2 )f x x= 2

2

2

'( ) sec (2 ) (2 )'

sec (2 ) 2

2sec (2 )

f x x x

x

x

= ⋅

= ⋅

=

f. 3 2( ) tan( 3 )f x x x= − 2 3 2 3 2

2 3 2 2

2 2 3 2

'( ) sec ( 3 ) ( 3 )'

sec ( 3 ) (3 6 )

(3 6 )sec ( 3 )

f x x x x x

x x x x

x x x x

= − ⋅ −

= − ⋅ −

= − −

Turunan Jumlah, Selisih, Hasil Kali, dan Hasil Bagi Dua Fungsi

Misalkan fungsi f dan g terdifersensialkan pada selang I maka fungsi

, , , ( ( ) 0)ff g f g fg g xg+ − ≠ terdiferensialkan pada selang I dengan aturan

sebagai berikut: sebagai berikut:

a. ( ) '( ) '( ) '( )f g x f x g x+ = +

b. ( ) '( ) '( ) '( )f g x f x g x− = −

c. ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) '( )fg x f x g x f x g x= +

d.

'

2

'( ) ( ) ( ) '( )( )

( ( ))

f f x g x f x g xx

g g x

−=

a. ( ) ' ' 'u v u v+ = +

b. ( ) ' ' 'u v u v− = −

c. ( ) ' ' 'uv u v uv= +

d. '

2

' 'u u v uv

v v

− =

Contoh Tentukan turunan dari fungsi berikut ini!

a. 3 5( ) 2 ( 5)f x x x= +

b. 4

3

5( )

(2 1)

xf x

x=

−

Jawab Jawab

a. 3 5( ) 2 ( 5)f x x x= +

Misalkan 32u x= dan 5( 5)v x= +

2' 6u x= dan 4' 5( 5)v x= +

2 5 3 4

2 5 3 4

( ) ' ' '

(6 )( 5) (2 )(5( 5) )

6 ( 5) 10 ( 5)

uv u v uv

x x x x

x x x x

= +

= + + +

= + + +

2 5 3 4'( ) 6 ( 5) 10 ( 5)f x x x x x= + + +

b. 4

3

5( )

(2 1)

xf x

x=

−

Misalkan 45u x= dan 3(2 1)v x= −

3' 20u x= dan 2' 6(2 1)v x= −

'' 'u u v uv−

( )

'

2

3 3 4 2

23

3 3 4 2

6

' '

(20 )(2 1) 5 (6(2 1) )

(2 1)

20 (2 1) 30 (2 1)

(2 1)

u u v uv

v v

x x x x

x

x x x x

x

− =

− − −=

−

− − −=

−

3 3 4 2

6

20 (2 1) 30 (2 1)'( )

(2 1)

x x x xf x

x

− − −=

−

Misalkan ( )y f u= dan ( )u g x= . JIka fungsi g mempunyai turunan di x dan

fungsi f mempunyai turunan di u, turunan fungsi komposisi

[ ]( )( ) ( )y f g x f g x= =o ditentukan sebagai berikut:

[ ]( ) '( ) ' ( ) '( ) atau dy dy du

f g x f g x g xdx du dx

= ⋅ = ⋅o dx du dx

Jika y = f(u ) , u = g(v), dan v = h(x) maka : dy dy du dv

dx du dv dx= ⋅ ⋅

Contoh Tentukan turunan fungsi berikut ini dengan menggunakan aturan rantai!

a. 5(3 5)y x= +

b. 4 3 2 3(2 3 4 1)y x x x= + − +

c. 22 4 1y x x= − +

d. 4 3sin(2 3 )y x x= +

a. 5(3 5)y x= +

5 45dy

y u udu

= ⇒ = dan 3 5 3du

u xdx

= + ⇒ =

dy dy du

4

4

4

5 3

15

15(3 5)

dy dy du

dx du dx

u

u

x

= ⋅

= ⋅

=

= +

b. 4 3 2 3(2 3 4 1)y x x x= + − +

3 23dy

y u udu

= ⇒ =

4 3 2 3 22 3 4 1 8 9 8du

u x x x x x x= + − + ⇒ = + − 4 3 2 3 22 3 4 1 8 9 8du

u x x x x x xdx

= + − + ⇒ = + −

2 3 2

3 2 2

3 2 4 3 2 2

3 (8 9 8 )

(24 27 24 )

(24 27 24 )(2 3 4 1)

dy dy du

dx du dx

u x x x

x x x u

x x x x x x

= ⋅

= ⋅ + −

= + −

= + − + − +

c. 22 4 1y x x= − +

1 12 2

112 2

dyy u u u

du u= = ⇒ = =

22 4 1 4 4du

u x x xdx

= − + ⇒ = −

dy dy du

2

2

1 (4 4)

2

4( 1)

2 2 4 1

2( 1)

2 4 1

dy dy du

dx du dx

xu

x

x x

x

x x

= ⋅

= ⋅ −

−=

− +−

=− +

d. 4 3sin(2 3 )y x x= +

sin cosdy

y u udu

= ⇒ = dan 4 3 3 22 3 8 27du

u x x x xdx

= + ⇒ = +

dy dy du

dx du dx= ⋅

3 2

4 3 3 2

sin (8 27 )

sin(2 3 )(8 27 )

dx du dx

u x x

x x x x

= ⋅ +

= + +

Turunan kedua diperoleh dengan menurunkan turunan pertama yang sudah diperoleh. Dengan cara yang serupa kita akan peroleh turunan berikutnya, yang kita kenal dengan turunan tingkat tinggi.

Jika ( )y f x= maka

• Turunan pertama : ' '( )dy df

y f xdx dx

= = =

2 2d y d f= = =• Turunan kedua :

2 2

2 2'' ''( )

d y d fy f x

dx dx= = =

• Turunan ketiga : 3 3

3 3'' ' '''( )

d y d fy f x

dx dx= = =

• Turunan keempat : 4 4

(4) (4)4 4

( )d y d f

y f xdx dx

= = =

. .

. .

. .

• Turunan ke-n : ( ) ( ) ( )n n

n nn n

d y d fy f x

dx dx= = =

Tentukan turunan pertama, kedua, ketiga, dan keempat dari fungsi berikut ini!

a. 6 32 5y x x= +

b. siny x=

Jawab: Jawab:

a. 6 32 5y x x= +

5 2

4

3

(4) 2

' 12 15

'' 60 30

''' 240 30

720

y x x

y x x

y x

y x

= +

= +

= +

=

b. siny x=

( 4 )

' cos

'' sin

''' cos

sin

y x

y x

y x

y x

=

= −

= −

=

1. Tentukan dy

dx jika:

a. 3 22 4 5y x x x= − + − +

b. 3 2 14 2y x x x− − −= − +

c. 2 4 3(2 3 )( 3 )y x x x x x= − − +

22 1

1

x xy

x

− +=

−

d. 1 sin

cos

xy

x

−=

2. Dengan menggunakan aturan rantai tentukan turunan pertama dy

dari: 2. Dengan menggunakan aturan rantai tentukan turunan pertama dy

dx

dari:

a. ( )102 3y x= −

b. 2 3 1y x x= − +

c. 2

1

1

xy

x

+ = −

d. 3siny x=

e. ( )2cos 4y x x= −

f. ( )2 2sin 3 2y x x= −

Soal Latihan Pilihan Ganda

Bab : Turunan

1. Diketahui 1

( )f xx

= , '(3) ....f =

a. 1

9−

b. 1

9

d. 1

6−

e. Tidak ada jawab yang benar

9

c. 1

6

2. Turunan pertama dari 2

2 1y

x x= − adalah ….

a. 2 3

2 1y

x x

−′ = +

b. 2 3

2 2y

x x′ = +

c. 2 3

2 1y

x x

−′ = −

d. 2 3

2 2y

x x

−′ = +

e. 2 3

2 2y

x x′ = −

3. Misalkan 2 3( 2)( 1)y x x= + + . Turunan pertama dari y adalah ….

a. 4 25 6 2y x x x′ = + +

b. 4 25 3 1y x x′ = + +

c. 45 2 2y x x′ = + +

d. 4 25 6 2y x x′ = + +

e. 45 6 2y x x′ = + +

dy 1x−4. Nilai

dy

dx dari

1

1

xyx

−=

+ adalah ….

a. 2

2

( 1)

dy

dx x=

+

b. 2

1

( 1)

dy

dx x=

+

c. 2

2 2

( 1)

dy x

dx x

+=

+

d. 2

2

( 1)

dy x

dx x=

+

e. 2

2 1

( 1)

dy x

dx x

−=

+

5. Turunan kedua dari 10(4 7)y x= + adalah ….

a. 8(160 280)y x′′ = +

b. 81440(4 7)y x′′ = +

c. 840(4 7)y x′′ = +

d. 8360(4 7)y x′′ = +

e. 81440(160 280)y x′′ = +

13d y

6. Jika 1

3y

x=

−, berapakah nilai dari

3

3

d y

dy ….

a. 4

1

( 3)x

−−

b. 4

2

( 3)x −

c. 4

2

( 3)x

−−

d. 4

6

( 3)x −

e. 4

6

( 3)x

−−

7. Turunan ketiga dari sin(3 )y x=

adalah ….

a. 27cos(3 )y x′′′ = −

b. 9sin(3 )y x′′′ = −

c. 27sin(3 )y x′′′ = −

d. 9cos(3 )y x′′′ = −

e. 27cos(3 )y x′′′ =

c. 27sin(3 )y x′′′ = −

8. Misalkan 2 jika 1

( )2 1 jika 1

x xf x

x x

≤=

− > , nilai

dari (1)f ′ adalah ….

a. 0

b. 3

c. 1

d. 2

e. tidak ada

9. Nilai a, b, dan c dari 2( )g x ax bx c= + + bila g(1) = 5, g’(1) =3 dan g’’(1)=- 4

adalah ….

a. a = -2 , b = 4, c = 0

b. a = -2 , b = 0, c = 2

c. a = -2 , b = - 7, c = 0

d. a = 2 , b = 7, c = 0

e. a = -2 , b = 7, c = 0 e. a = -2 , b = 7, c = 0

10. Diketahui

2 3 , 1( )

1 2 , 1

x x xf x

x x

− + <=

+ ≥pernyataan berikut yang benar adalah

….

a. ( )f x differensiabel di 1x = dan '(1) 1f =

b. ( )f x differensiabel di 1x = dan '(1) 1f = −

c. ( )f x tidak differensiabel di 1x =

d. ( )f x tidak differensiabel di 1x = −

e. Tidak ada jawab yang benar