Teori Peluang

AdaptifHal.: 2 PELUANG

Permutasi dan kombinasi

Definisi dan Notasi faktorialDefinisi:Hasil perkalian semua bilangan bulat positip dari satu sampai dengan n disebut n faktorial, dan diberi notasi n!.

1 x 2x 3 x … x (n-1) x n, n x ( n-1) x (n-2) x … x 2 x 1

dengan

1! = 1

Jadi n! =n! =

0! = 1 dan

atau

AdaptifHal.: 3 PELUANG

Masalah Permutasi

Masalah

Misalkan diadakan undian untuk memperebutkan 2 hadiah (hadiah I dan II).

Jika yang memperebutkan hadiah itu ada 3 orang (A, B, dan C), ada berapa cara kedua macam hadiah itu dapat diberikan kepada para pemenang?.

Jawab:

Menurut Prinsip Perkalian = 3×2

1123

)!23(!3

nrP )!rn(

!n

=32P

32P

ObyekEksp.

A

B

C

Cara Eksp.

Diundi untuk

memperebutkan 2 hadiah

A

B

C

B

C

A

C

A

B

(B,A) = permutasi ke-3 = p3

(A,B) = permutasi ke-1 = p1

(A,C) = permutasi ke-2 = p2

(C,A) = permutasi ke-5 = p5

(C,B) = permutasi ke-6 = p6

(B,C) = permutasi ke-4 = p4

...

...

...

...

...

...

S, n(S) =

3 cara2 cara

32P

Banyaknya cara: n(S) =

= 3×2 = 6 ==

AdaptifHal.: 4 PELUANG

Masalah Permutasi

Permutasi Dengan Beberapa Unsur SamaAda berapa cara untuk membuat susunan huruf yang berbeda dari kata “MAMA”?.

Jawab

MMAAMAMAAMMAAMAMAAMMMAAM

Ada 6 cara

Jika salah satu anggota diberi indeks

M1 A 1 M2 A2

M2 A2 M1 A1

M1 A2 M2 A1

M2 A1 M1 A2

cabang) 4 memuat anggota 6 dari anggota masing-(masing 4berlainan) huruf 4 dari huruf 4 permutasi (banyaknya 4!

= ) Adan Adari (permutasi 2! )M dan M dari (permutasi 2!

4!

2121 = 2! !2!4

Selanjutnya perhatikan bahwa

=

6 =cabangmemuatindeksdiberisetelahanggotadarigsinmagsinMa

hurufbanyaknyasesuaiindekasdiberiAdanMsetelahpermutasiSeluruh46

AdaptifHal.: 5 PELUANG

Masalah Permutasi

Berapa banyak cara untuk membuat susunan huruf dari kata “KAKAKKU”?

Jawab

!1!.2!.4!7

=2471C

74C × ×47

2C

1! 2! !4!7

1! 2! !42).(1) . (3 . 4) . 5 . 6 . 7(

=7)1,2,4(P

Secara umum, dengan

n1= + n2 + + nkn

. Banyaknya cara mengambil 2 huruf A dari (7 – 4) huruf sisanya ada ,

dan banyaknya cara mengambil 1 huruf A dari (7 – 4 – 2) huruf sisanya ada .

Maka menurut prinsip perkalian banyaknya cara untuk membuat susunan huruf dari kata KAKAKKU ada:

74C

472C

2471C

Karena ada 4K, 2A, dan 1U, maka banyaknya cara =

!n...!n.!n!n

k21=

n)n,...,n,n( k21

P

Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama

7)1,2,4(P = = 105 cara

Secara matematika formal, banyaknya cara mengambil 4 huruf K dari 7 huruf ada

AdaptifHal.: 6 PELUANG

Masalah Permutasi

Permutasi Siklis

A

C B

C

B A

B

A C

Secara umum banyaknya permutasi siklis dari n obyek =

nsiklisP

Misalkan 3 orang anak A, B, dan C diminta naik ke permainan roda putar

Dari 3 tempat duduk pada permainan roda putar itu sebenarnya hanya ada 2 saja yang berbeda susunannya, yakni ABC dan ACB. Sehingga hanya ada 2 permutasi siklis.

Maka berarti ketiga permutasi siklis tsb sama, yakni ABC = CAB = BCA. Untuk melihat kesamaannya perhatikan bahwa:

CAB.CAB = BCA.BCA = ABC (Pandanglah A sebagai titik awal).

Secara umum banyaknya permutasi siklis dari n obyek = = (n – 1)!

AdaptifHal.: 7 PELUANG

Masalah Permutasi Permutasi r unsur dari n unsur dengan beberapa

unsur yang sama (unsurnya k1,k2……kn)

P=n! (n-1)!.k1!.K2!.....kn

Contoh: buatlah susunan 4 huruf dari huruf2 SALSABILAN=9 r=4k1=s=2K2=a=3K3=l=2P= 9! = 9*8*7*6*5! =126

(9-4)!.2!.3!.2! 5!.2.6.2

Adaptif

sekian persentasi dan

terimakasih

Hal.: 8 PELUANG