5

5

BAB II

Elektron Dalam Struktur Kuantum

Perilaku pembawa muatan (elektron/hole) pada devais berstruktur kuantum seperti

quantum well, quantum wires, serta quantum dot sangat menarik untuk dikaji

karena efek mekanika kuantum sangat berperan dalam menentukan sifat-sifat

devais tersebut. Devais berstruktur kuantum dibentuk dari dua material yang

memiliki pita energi berbeda sehingga terbentuk band gap discontinuity ΔEc/ΔEv.

Agar mampu mengurung pergerakan pembawa muatan, devais tersebut harus

berukuran 10Ǻ – 1000Ǻ atau ekivalen dengan 10 – 1000 lapis atom (jika

diasumsikan satu lapis atom memiliki tebal 1 Ǻ) sehingga ukuran devais lebih

kecil dibandingkan panjang gelombang elektron.

Gambar 2.1: Semikonduktor paduan AlGaAs dan GaAs yang membentuk sumur

potensial akibat perbedaan pita energi.

Regime devais dengan ukuran hanya beberapa lapis atom dikenal dengan istilah

mesoscopic regime. Pada regime tersebut, sifat kimia, fisika, optik, maupun sifat

elektronik bergantung pada ukuran dan bentuk material. Khusus untuk material

semikonduktor, regime tersebut terkait dengan panjang gelombang de Broglie.

Dimana ukuran semikonduktor pengurungannya harus lebih kecil dibandingkan

panjang gelombang de Broglie.

ph

=λ , (2.1)

dengan vmp ∗= adalah momentum elektron, ∗m adalah massa efektif elektron,

dan v adalah kecepatan elektron. Jika diasumsikan thvv ~

6

6

∗=mKTvth

3 , (2.2)

dengan thv adalah kecepatan thermal, K adalah konstanta Boltzmann, dan T

adalah temperatur, diperoleh

nm

300

22,6

0

Tmm∗

=λ , (2.3)

sehingga ukuran devais berstruktur kuantum harus lebih kecil dibandingkan

dengan panjang gelombang de Broglie yang diberikan oleh persamaan (2.3).

Pada bab ini akan dibahas secara detail mengenai elektron dalam struktur quantum

well, quantum wires, dan quantum dot (ukuran devais lebih kecil dari panjang

gelombang de Broglie elektron) yang melibatkan aspek pengurungan kuantum

berturut-turut satu-dimensi, dua-dimensi, dan tiga-dimensi.

2.1 Quantum Well

Quantum well difabrikasi dengan menumbuhkan satu lapis material A diantara dua

buah lapisan material B dengan syarat pita energi material A lebih kecil

dibandingkan dengan pita energi material B [12] seperti terlihat pada gambar 2.2a.

Band discontinuity antara material A dan material B menyediakan semacam sumur

potensial pengurungan untuk elektron/hole.

Gambar 2.2: (a) struktur dan (b) energi potensial quantum well.

(a) (b)

7

7

2.1.1 Fungsi Gelombang dan Sub Energi

Untuk memudahkan analisa, sumur potensial dianggap ideal berupa fungsi tangga

berikut (gambar 2.2b):

( )⎩⎨⎧

≥≤

=2zuntuk 2untuk 0

LVLz

zVb

, (2.4)

dengan Vb, dan L berturut-turut adalah kedalaman, dan ketebalan sumur potensial.

Karena fungsi potensial hanya fungsi dari sumbu-z saja, maka pergerakan elektron

pada sumbu x dan y bersifat bebas dan dapat dinyatakan dengan sebuah fungsi

gelombang bidang (plane wave). Dengan teknik separasi variabel, fungsi

gelombang elektron dapat ditulis menjadi

( ) ( )zezyx yikxik yx χψ +=,, , (2.5)

Persamaan Schrödinger untuk fungsi gelombang ( )zχ adalah

( ) χχ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

∂∂

− ∗∗ mk

EzVzm 22

2||

2

2

22r

hh , (2.6)

dengan ( )yx kkk ,2|| =r

dan kuantitas ( ) ∗mk 22||

2r

h adalah energi kinetik elektron

pada sumbu x dan y. Jika didefinisikan kuantitasε yang menyatakan energi pada

arah sumbu-z

∗−=mk

E2

2||

2r

hε , (2.7)

Maka persamaan (2.6) dapat direduksi menjadi persamaan satu dimensi berikut

( ) εχχ =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

∂∂

− ∗ zVzm 2

22

2h , (2.8)

Untuk kasus bound state dengan bV<ε , solusi persamaan Schrödinger di luar

sumur adalah

( )( )

( )⎩⎨⎧

−≤≤

=+

−−

2untuk 2untuk

2/

2/

LzBeLzAe

z Lzk

Lzk

b

b

χ , (2.9)

dengan ( ) 22 hbb Vmk −−= ∗ ε

8

8

Sedangkan solusi persamaan Schrödinger di dalam sumur adalah kombinasi linier

dari fungsi gelombang bidang berikut

( ) zkDzkCz ww cossin +=χ , (2.10)

dengan 22 hε∗−= mkw , dan A, B, C, serta D adalah konstanta sembarang.

Pada kasus ini, solusi umum didapat dengan mengkombinasikan solusi genap dan

ganjil dengan syarat BA = untuk solusi genap dan BA −= untuk solusi ganjil.

Untuk solusi genap

( )( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤≥

=−

2zuntuk cos2zuntuk 2/

LzkDLAe

zw

Lzkbm

χ , (2.11)

Untuk solusi ganjil

( )( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤≥±

=−

2zuntuk sin2zuntuk 2/

LzkCLAe

zw

Lzkbm

χ , (2.12)

Tahapan berikutnya adalah matching function serta turunannya pada titik

2Lz ±= , untuk solusi genap diperoleh

ALkD w =2cos

bww AkLkDk =2sin , (2.13)

untuk solusi ganjil diperoleh

ALkC w =2cos

bww AkLkCk −=2sin , (2.14)

Dari Persamaan (2.13) dan (2.14) dapat diperoleh ungkapan akhir tingkat energi

pada quantum well berikut

( )222

, 2|| yxnkn kkm

E ++= ∗

hr ε , (2.15)

dengan 2

222

2 Lmn

n ∗=πε h . Pengurungan elektron pada arah-z yang dinyatakan oleh

nε , memunculkan sub-sub energi (subbands energy) yang mempengaruhi

spektrum energi sistem seperti terlihat pada gambar 2.3. Keberadaan sub-sub

energi tersebut merubah beberapa karakteristik perilaku elektron dibandingkan

pada bulk material. Sebagai contoh, pada bulk material, adanya impuritas

9

9

(impurity) menciptakan sederetan level energi pada pita elektron, sementara pada

quantum well, setiap sub energi membangkitkan sederet level-level impuritas.

Gambar 2.3: Spektrum energi elektron dua-dimensi.

2.1.2 Rapat keadaan energi quantum well

Pada penjelasan sebelumnya diketahui bahwa spektrum energi quantum well agak

kompleks dan terdiri dari sub-sub energi. Spektrum energi masing-masing

subband tumpang tindih satu sama lain pada ||k tertentu. Karena faktor tersebut,

terkadang lebih nyaman melihat faktor pengurungan elektron dinyatakan dalam

rapat keadaan energinya. Rapat keadaan energi ( )Eg secara umum didefinisikan

( ) ( )∑ −=v

vEEEg δ , (2.16)

dengan v dan Ev berturut-turut adalah bilangan kuantum dan energi pada bilangan

kuantum v tertentu. Bilangan kuantum v melibatkan bilangan kuantum n, bilangan

kuantum spin s, dan vektor dua-dimensi ||kr

. Sehingga { }||,, knsvr

= dan rapat

keadaan energi quantum well menjadi

( ) ( )∑ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−−= ∗

yx kkn

yxn m

kkEEg

,,

222

22

hεδ , (2.17)

Faktor 2 menyatakan elektron dapat berada pada keadaan spin up maupun spin

down. Untuk menghitung ungkapan akhir rapat keadaan energi quantum well,

terlebih dahulu didefinisikan luas area quantum well: yx LLS ×= , dengan xL dan

10

10

yL berturut-turut adalah ukuran quantum well pada sumbu-x dan sumbu-y dan

dari nilai xk dan yk yang mungkin jika diasumsikan syarat batas sikliknya pada

sumbu-x dan sumbu-y

xxx Llk 2π= , yyy Llk 2π= , ... ,2 ,1 ,0, =yx ll , (2.18)

Sehingga bentuk somasi persamaan (2.17) dirubah menjadi bentuk integral berikut

( )( )

( )⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∑ ∫∫yx kk

yxyx dkdk

LL

,22π

, (2.19)

Evaluasi persamaan (2.17) menggunakan bentuk integral persamaan (2.19) dapat

diperoleh rapat keadaan quantum well berikut

( ) ( )∑ −Θ=n

nyx E

LLEg ε

π 2 h, (2.20)

dengan ( )xΘ adalah fungsi Heaviside step: ( ) 1=Θ x untuk 0>x , dan ( ) 0=Θ x

untuk 0<x .

Gambar 2.4: Rapat keadaan energi quantum well dan bulk material (garis putus-

putus).

Perbedaan antara bulk material dan quantum well terletak pada beberapa sub

energi terendah karena untuk n yang besar rapat keadaan energi quantum well

hampir berhimpitan dengan bulk material.

11

11

2.2 Quantum Wires

Pada pembahasan sebelumnya diketahui bahwa pengurungan elektron pada satu

dimensi saja telah merubah karakteristik spektrum energi serta rapat keadaan

energi sistem elektron jika dibandingkan dengan karakteristik spektrum energi

serta rapat keadaan energi sistem elektron pada bulk material. Pada bagian ini

akan dibahas karakteristik elektron dalam pengurungan dua-dimensi yang dikenal

dengan istilah quantum wires. Salah satu cara fabrikasi quantum wires adalah

dengan teknik etching yakni dengan mereduksi lapisan material B dan A seperti

terlihat pada gambar 2.5.

Gambar 2.5: Struktur quantum wires.

2.2.1 Fungsi Gelombang dan Sub Energi

Fungsi gelombang elektron dalam struktur quantum wires yang melibatkan

pengurungan potensial dua dimensi ( )zyV , dapat ditulis

( ) ( )zyezyx xikx ,,, χψ = , (2.21)

Persamaan Schrödinger untuk fungsi gelombang ( )zy,χ

( ) ( ) ( )zyzyzyVzym

,,,2 2

2

2

22

εχχ =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

− ∗

h , (2.22)

dengan ∗−= mkE x 222hε adalah energi elektron pada sumbu-y dan sumbu-z. jika

solusi ( )zyi ,χ dapat ditemukan yang berkaitan dengan energi iε yang bersifat

diskret, maka akan didapat energi total elektron berikut

12

12

∗+=mk

E xi 2

22hε , (2.23)

dengan xk adalah vektor satu dimensi. Fungsi gelombang ( )zyi ,χ berkaitan

dengan tingkat energi diskret iε yang terlokalisasi pada bidang (y, z). Hal

tersebut mengandung arti bahwa elektron pada keadaan kuantum ke-i terkurung

pada bidang (y, z) di bawah pengaruh potensial pengurung ( )zyV , . Pada kondisi

tersebut, elektron hanya dapat bergerak dengan bebas pada arah sumbu-x saja.

Ungkapan potensial ( )zyV , yang sesuai dan dapat diselesaikan dengan mudah

adalah dengan mengambil bentuk potensial berikut

( )⎩⎨⎧

≥≥≤≤∞≤≤≤≤

=zy

zy

LzLyzyLzLy

zyV , ,0 ,0untuk

0 ,0untuk 0, , (2.24)

dengan Ly dan Lz berturut-turut adalah dimensi quantum wires pada sumbu-y dan

sumbu-z. Fungsi gelombang elektron ( )zy,χ dapat dinyatakan sebagai perkalian

antara fungsi gelombang pada arah sumbu-y dan sumbu-z berikut

( ) ( ) ( )21

, nn zyzy χχχ = , (2.25)

Sehingga solusi persamaan Schrödinger untuk masing-masing sumbu menjadi

( )yy

n Lny

Ly 1

sin21

πχ = , ( )

zzn L

nzL

z 2 sin2

2

πχ = , ... ,3 ,2 ,1, 21 =nn (2.26)

Dan energi terkuantisasi iε

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ∗ 2

22

2

21

22

, 221zy

nn Ln

Ln

mπε h , (2.27)

Energi total elektron

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= ∗∗ 2

22

2

21

2222

22 zy

x

Ln

Ln

mmk

E πhh, (2.28)

13

13

2.2.2 Rapat Keadaan Energi Quantum Wires

Dengan merujuk kembali persamaan (2.16), rapat keadaan energi quantum wires

ditulis

( ) ( )∑=21

21,

,nn

nn EgEg , (2.29)

Kontribusi satu subband terhadap rapat keadaan energi quantum wires

( ) ∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= ∗

xk

xnnnn m

kEEg

22

22

,, 2121

hεδ , (2.30)

Faktor 2 pada persamaan (2.30) berkaitan dengan spin elektron. Bentuk somasi

persamaan (2.30) tersebut kemudian diubah menjadi bentuk integral terhadap

seluruh nilai kx yang mungkin sehingga diperoleh ungkapan akhir rapat keadaan

energi quantum wires berikut

( )

( )21

21

21

,,

2

0

22

,

12

2d

2

nnnn

x

xnnx

x

EE

mL

mk

EkL

Eg

εεπ

εδπ

−Θ−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

∗

∞

∗∫

h

h

, (2.31)

Gambar 2.6: Rapat keadaan quantum wires.

Secara skematik rapat keadaan energi quantum wires ditunjukkan pada gambar

2.6. Jika dibandingkan dengan rapat keadaan energi quantum well, karakteristik

kedua rapat keadaan tersebut sangat berbeda. Untuk kasus quantum well, rapat

14

14

keadaan energinya berupa fungsi tangga, sedangkan quantum wires memiliki

rapat keadaan energi yang infinite pada titik terendah subband-nya dan perlahan

menurun seiring dengan meningkatnya energi kinetik elektron.

2.3 Quantum dot

Pada pembahasan sebelumnya telah dibahas perilaku elektron yang terkurung

dalam semikonduktor heterostructure pada satu dan dua dimensi pengurungan

yang menyebabkan terjadi kuantisasi spektrum energi elektron sehingga

menghasilkan sub-sub energi pada satu dan dua dimensi. Pada struktur demikian

masih menyisakan derajat kebebasan elektron untuk bergerak pada dua dan satu

dimensi. Pada bagian ini, akan dibahas perilaku elektron yang terkurung dalam

tiga dimensi atau dengan kata lain seluruh derajat kebebasan elektron menjadi

terkuantisasi. Struktur semacam ini menunjukkan sifat seperti atom yang akan

dibahas secara mendetail di bagian ini.

2.3.1 Fungsi Gelombang dan Tingkat-Tingkat Energi Quantum dot

Ketika meninjau spektrum energi dari sebuah sistem berdimensi nol, perlu dikaji

persamaan Schrödinger bebas waktu:

Ψ=Ψ+Ψ∇− ∗ EVm

22

2h , (2.32)

dengan potensial yang merupakan fungsi dari tiga koordinat dan mengurung

elektron pada tiga arah. Bentuk potensial yang paling sederhana untuk

memodelkan quantum dot adalah potensial kotak:

( )0 di dalam kotak,

, ,di luar kotak.

V x y z⎧

= ⎨+∞⎩, (2.32)

Kotak yang dimaksud oleh potensial tersebut dibatasi kondisi 0 xx L≤ ≤ ,

0 yy L≤ ≤ , 0 zz L≤ ≤ .

15

15

Gambar 2.7: Model quantum box.

Solusi persamaan Schrödinger dengan demikian akan berbentuk

1 2 3

31 2, ,

8( , , ) sin sin sin ,n n nx y z x y z

n zn x n yx y zL L L L L L

ππ πψ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (2.32)

1 2 3

22 22 231 2

, , 2 2 2 ,2 *n n n

x y z

nn nEm L L Lπ ⎛ ⎞

= + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

h (2.32)

dengan 1 2 3, , 1, 2,3,...,n n n = bilangan bulat positif.

Uniknya solusi persamaan Schrödinger untuk kotak kuantum sebagai model

quantum dot ini terletak pada kemunculan tiga bilangan kuantum diskret yang

berasal dari tiga arah kuantisasi. Keadaan ini berarti telah diperoleh tingkat-

tingkat energi yang bercabang tiga dan fungsi gelombang elektron terlokalisasi

pada seluruh tiga dimensi dalam kotak. Secara umum, seluruh energi memiliki

nilai yang berbeda, atau tidak ada degenerasi. Akan tetapi, jika dua atau seluruh

ukuran dimensi kotak ( , ,x y zL L L ) memiliki nilai yang sama atau perbandingannya

bilangan bulat, maka akan ada tingkat-tingkat energi yang sama untuk nilai

bilangan kuantum yang berbeda. Dengan kata lain, fungsi gelombang elektron

yang berbeda dapat memiliki nilai energi yang sama. Situasi ini menghasilkan

keadaan degenerasi: satu tingkat energi bercabang dua jika dua dimensi kotak

bernilai sama dan bercabang enam jika kotak benar-benar berbentuk kubus.

Spektrum energi diskret inilah yang membedakan kotak kuantum (sebagai model

quantum dot) terhadap bentuk-bentuk lainnya (quantum well dan quantum wires).

Dengan pemecahan persamaan Schrödinger yang telah diuraikan sebelumnya,

16

16

tampak jelas kemunculan sifat tingkat energi pada quantum dot yang pada

awalnya hanya teramati untuk atom biasa. Jadi sangatlah wajar para ilmuwan

menyebut quantum dot sebagai artificial atom.

Kemiripan sifat antara quantum dot dengan atom juga dapat dengan mudah dilihat

pada kasus spherical dot, dengan bentuk potensial V(r) berikut

( )⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤

≥= RrRrbVrV 0

, (2.33)

dengan r adalah besar dari suatu vektor berarah radial, dan R adalah jari-jari

quantum dot.

Solusi persamaan Schrödinger untuk kasus potensial di atas yang melibatkan

simetri bola dapat diselesaikan dengan metode separasi variabel, dimana solusi

umum dari kasus di atas merupakan perkalian dari fungsi gelombang arah radial

dan fungsi gelombang arah azimutal berikut

( ) ( ) ( )φθϕθψ ,,, ,mlYrRr = , (2.34)

Besaran l, m berkaitan dengan bilangan kuantum magnetik dan proyeksinya

terhadap sumbu-z. Untuk fungsi berarah radial, persamaan Schrödingernya

menjadi:

( ) ( ) ( ) ( )rErrVr

rm e χχχ

=+∂

∂− ∗ ff2

22

2h , (2.35)

dengan

( ) ( )rrRr =χ , ( ) ( ) ( )2

2

ff1

rllrVrVe−

+=h , (2.36)

Terlihat bahwa persoalan untuk kasus di atas dapat direduksi menjadi persoalan

satu-dimensi, yakni pada arah radial saja. Potensial efektif di atas hanya

bergantung pada variabel l saja, tetapi tidak bergantung pada bilangan kuantum m.

Dengan demikian, tingkat-tingkat energi pada quantum dot terdegenerasi oleh

bilangan kuatum m (dengan m = 12 +l ). Tingkat-tingkat energi merupakan fungsi

dari bilangan kuantum utama n dan bilangan kuantum l.

17

17

Dalam quantum dot, elektron terkurung pada suatu sumur potensial yang memiliki

kedalaman sangat besar, sehingga dapat diasumsikan bahwa ∞→bV . Sehingga,

fungsi gelombang pada arah radial menjadi

( ) ( )rkJrkrR wl 2/1

2+=

π , (2.37)

dengan ( )rJ l adalah fungsi Bessel speris, dan 2

2h

Emkw

∗

= . Fungsi Bessel sferis,

yang didefinisikan sebagai

1/ 2( ) ( )2l lj x J x

xπ

+= , (2.38)

dengan menggunakan fungsi duplikasi Legendre

( ) ( )2 1 1/ 2! 1/ 2 ! 2 2 1 !zz z zπ− −+ = + , (2.39)

diperoleh

( )

( )

2 2 1/ 22 2 2 1

1/ 20

22

0

( 1) 2 ( )!( )2 2 2 1 ! ! 2

( 1) ( )!2! 2 2 1 !

s ls l

ls

l l s

s

s n xj xx s l s

s lx xs s l

ππ

+ ++ +∞

=

∞

=

− + ⎛ ⎞= ⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠

− +=

+ +

∑

∑, (2.40)

Untuk kasus khusus 0=n , diperoleh

( )( )

20

0

1 sin2 1 !

ss

s

xj xs x

∞

=

−= =

+∑ , (2.41)

Selanjutnya, fungsi Bessel sferis untuk orde lebih tinggi dapat diperoleh melalui

rumus rekursi berikut:

1( ) ( ) ( )l l ll dj x j x j xx dx+ = − , (2.42)

18

18

5 10 15 20

-0.4

-0.2

0.2

0.4

Gambar 2.8: Fungsi Bessel sperik ( 40 −=l ) untuk mencari tingkat-tingkat energi

pada quantum dot.

Pada r = a (jari-jari dot) , haruslah dipenuhi R(a) = 0. Sehingga, akar-akar dari

persamaan ( ) 0=akj wl akan menyatakan tingkat-tingkat energi pada quantum

dot. Dalam teori spektrum atom, bilangan kuantum l = 0, 1, 2, 3, … menyatakan

orbital s, p, d, ... Dengan mengurutkan nilai akar-akar persamaan, yang

bersesuaian dengan nilai eigen energi, diperoleh deret tingkat-tingkat energi pada

quantum dot

1s(2), 1p(6), 1d(10), 2s(2), 1f(14), 2p(6), …

Angka dalam kurung menunjukkan jumlah elektron yang terdapat pada tiap

tingkat energi.

2.3.2 Rapat Keadaan Quantum dot

Terkurungnya elektron dalam tiga sumbu koordinat pada kasus quantum dot

berbentuk kotak menyebabkan rapat keadaan energinya pun berupa sekumpulan

fungsi delta

( ) ( )∑ −=v

vEEEg δ , (2.43)

dengan ( )321 ,, nnnv = . Pada kondisi ideal, puncak-puncaknya sangat sempit dan

tak berhingga seperti terlihat pada gambar 2.8.

j0

j1

j2

j3

j4

19

19

Gambar 2.9: Rapat keadaan energi quantum dot.

Untuk keadaan nyata, interaksi antara elektron-elektron dan ketidakmurnian

material akan menyebabkan pelebaran tingkat-tingkat energi diskret. Sebagai

hasilnya, puncak-puncak rapat keadaan memiliki amplitudo yang berhingga dan

lebar tertentu. Akan tetapi, semakin kecilnya ukuran bahan (sekitar orde

nanometer) dan temperatur yang rendah justru dapat menyebabkan rapat keadaan

quantum dot menuju sistem ideal.

Dengan menggunakan beberapa pendekatan, jumlah keadaan pada volume

x y zΔ Δ Δ dapat diturunkan dari rumusan rapat keadaan. Hasilnya adalah

3

23k x y zρ

πΔ Δ Δ

Δ = , (2.44)

dengan

2( ) 2 * ( ) /k r m V r=r r

h , (2.45)

Integrasikan pada seluruh koordinat klasik untuk mendapatkan jumlah keadaan

energi dalam sebuah quantum dot, yaitu 3/ 2

3/ 22 2

2 2( *) ( )3t

mN dxdydx V rπ

= ∫r

h, (2.46)

Sebagai contoh, untuk sebuah kotak dengan kedalaman potensial berhingga Vb,

dapat diperoleh

20

20

3/ 23/ 2

2 2

2 2( *)3t b x y z

mN V L L Lπ

=h

, (2.47)

Andaikan seseorang membuat quantum dot dengan

10 nm,x y zL L L= = = 0,2 eVbV = , dan massa efektif elektron pada material

quantum dot adalah elektron* 0,067m m= , maka didapatkan jumlah total keadaan

energi di dalam kotak adalah Nt = 75. Jumlah elektron sebenarnya yang

terperangkap dalam quantum dot seharusnya kurang dari Nt terkait reduksi oleh

ketidakmurnian material. Teknologi saat ini bahkan sudah memungkinkan untuk

mengontrol jumlah pembawa muatan terlokalisasi dengan pemberian tegangan

luar.

2.4 Eksiton Dalam Struktur Kuantum

Eksiton adalah ikatan pasangan elektron-hole yang disebabkan penyerapan photon

pada semikonduktor. Secara khusus dapat dikatakan bahwa terdapat elektron di

pita konduksi dan hole di pita valensi semikonduktor dan keduanya saling

berinteraksi melalui interaksi Coulomb. Eksiton sendiri bermuatan netral.

Terdapat dua jenis eksiton, yakni eksiton Mott-Wannier, dan eksiton Frenkel.

Interaksi elektron-hole pada eksiton Mott-Wannier lemah dengan energi ikatnya

berada pada orde 10meV sehingga pasangan elektron-hole tersebut relatif terpisah

jauh. Berbeda dengan eksiton Frenkel dengan energi ikat berada pada orde

100meV, interaksi Coulomb antara elektron dan hole kuat.

Gambar 2.10: Jenis-jenis eksiton.

21

21

Gambar 2.11: Spektrum optik eksiton.

Eksiton dapat diamati pada spektrum penyerapan semikonduktor bulk. Pada

umumnya eksiton muncul di bawah energi gap semikonduktor. Hal tersebut

karena energi eksiton lebih rendah dibandingkan dengan energi gap akibat

pengurangan oleh energi ikatnya bindinggexc EEE −= dengan gE adalah energi gap

semikonduktor.

2.4.1 Jari-Jari Bohr Eksiton dan Energi Ikat Eksiton

Jari –jari Bohr pasangan elektron-hole diungkapkan melalui persamaan berikut

00

am

aexc ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

με

, (2.48)

dengan μ , ε , 0m , dan 0a berturut-turut adalah massa reduksi eksiton, konstanta

dielektrik material, massa diam elektron, dan jari-jari Bohr ( Α= 528,00a ). Energi

total eksiton relatif terhadap batas ionisasinya adalah perbedaaan antara energi

kinetiknya dan energi potensial Coulomb

20

22

421

rqmvEtot πεε

−= , (2.49)

karena

20

22

4 rqmv

πεε= , (2.50)

22

22

diperoleh

( )

20

2

20

2220

40

20

2

1

142

1

421

nmR

nmqm

rqEtot

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

εμ

εμ

πε

πεε

h, (2.51)

dengan R adalah konstanta Rydberg. Energi ikat eksiton adalah perbedaan energi

antara pasangan elektron-hole pada orbit n tertentu dan pada n tak berhingga

20

2

220

2

1

11

nmR

nnmR

EEE nbinding

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−=

∞

∞

εμ

εμ ,

(2.52)

2.4.2 Cakupan Pengurungan

Terdapat tiga cakupan pengurungan yang terkait dengan struktur yang telah

dibahas yakni cakupan pengurungan kuat, pengurungan menengah, dan

pengurungan lemah. Ketiga cakupan tersebut bergantung pada jari-jari Bohr

eksiton.

• Pengurungan kuat

Jenis pengurungan ini dapat dijumpai pada material nano berukuran kecil. Ukuran

material lebih kecil dibandingkan dengan jari-jari Bohr elektron dan jari-jari Bohr

hole. Pada kondisi ini, sifat optik material sangat didominasi oleh efek

pengurungan kuantum dari elektron dan hole.

• Pengurungan menengah

Pada kasus ini, ukuran material lebih besar dibandingkan dengan jari-jari Bohr

salah satu pembawa muatan dan lebih kecil dibandingkan dengan jari-jari Bohr

23

23

pembawa muatan lainnya. Karena massa efektif elektron lebih kecil dibandingkan

dengan massa efektif hole, maka ukuran material eBhB aaa ,, << .

• Pengurungan lemah

Pada kasus ini, ukuran material eBhB aaa ,, ,> . Sebagai konsekuensinya, energi ikat

eksiton lebih besar dibandingkan dengan energi pengurungan elektron dan hole.

Energi transisi optiknya adalah selisih antara energi gap dan energi ikat eksiton.