METODE ITERASI GAUSS-SEIDEL DALAM SISTEMPERSAMAAN LINEAR

Penulis: Dr. Eng. Supriyanto, M.Sc, email: supri@fisika.ui.ac.idStaf Lab. Komputer, Departemen Fisika, Universitas Indonesia

Pengenalan metode iterasiMetode Iterasi Gauss-Seidel merupakan modifikasi dari metode Iterasi Jacobi. Modifikasitersebut terletak pada rumus berikut:

x(k)i =

i1j=1(aijx

(k)j

)nj=i+1

(aijx

(k1)j

)+ bi

aii(1)

dimana i=1,2,3,...,n.

Untuk lebih jelasnya, marilah kita perhatikan contoh berikut, diketahui sistem per-samaan linear Ax = b yaitu

10x1 x2 + 2x3 = 6x1 + 11x2 x3 + 3x4 = 252x1 x2 + 10x3 x4 = 11

3x2 x3 + 8x4 = 15

Lalu, sistem persamaan tersebut diubah susunannya menjadi seperti ini

x(k)1 =

1

10x(k1)2

2

10x(k1)3 +

6

10

x(k)2 =

1

11x(k)1 +

1

11x(k1)3

3

11x(k1)4 +

25

11

x(k)3 =

2

10x(k)1 +

1

10x(k)2 +

1

10x(k1)4

11

10

x(k)4 =

3

8x(k)2 +

1

8x(k)3 +

15

8

Misalnya kita tentukan nilai-nilai awal x(0) sebagai berikut x(0)1 = 0, x(0)2 = 0, x

(0)3 = 0

dan x(0)4 = 0. Atau dinyatakan seperti ini x(0) = (0; 0; 0; 0)t. Maka pada k = 1 kita akan

1

memperoleh nilai-nilai x(1) sebagai berikut

x(1)1 = 0, 6000

x(1)2 = 2, 3272

x(1)3 = 0, 9873

x(1)4 = 0, 8789

Lalu proses perhitungan diulangi lagi dengan k = 2. Begitu seterusnya proses ini diulang-ulang lagi untuk nilai-nilai k berikutnya sampai x(k) mendekati solusi yang sesungguhnya,yaitu

x = (1; 2;1; 1)t

Marilah kita amati hasil seluruh iterasi. Tabel di bawah ini menampilkan hasil perhitunganhingga iterasi yang ke-5. Kita bisa saksikan bahwa dibandingkan dengan iterasi Jacobi,problem sistem persamaan linear yang sama, bisa diselesaikan oleh metode iterasi Gauss-Seidel dalam 5 kali iterasi.

k 0 1 2 3 4 5

x(k)1 0,0000 0,6000 1,030 1,0065 1,0009 1,0001

x(k)2 0,0000 2,3272 2,037 2,0036 2,0003 2,0000

x(k)3 0,0000 -0,9873 -1,014 -1,0025 -1,0003 -1,0000

x(k)4 0,0000 0,8789 0,9844 0,9983 0,9999 1,0000

Dari kasus ini, bisa kita simpulkan bahwa iterasi Gauss-Seidel bekerja lebih efektif diband-ingkan iterasi Jacobi. Ya.., memang secara umum demikian, akan tetapi ternyata dite-mukan kondisi yang sebaliknya pada kasus-kasus yang lain.

Algoritma Iterasi Jacobi

Langkah 1: Tentukan k=1

Langkah 2: Ketika (k N) lakukan Langkah 3-6

Langkah 3: Untuk i=1,...,n, hitunglah

xi =i1j=1 aijxj

nj=i+1 aijXOj + bi

aii

2

Langkah 4: Jika xXO < , maka keluarkan OUTPUT (x1, ..., xn) laluSTOP

Langkah 5: Tentukan k=k+1

Langkah 6: Untuk i=1,...n, tentukan XOi = xi

Langkah 7: OUTPUT (Iterasi maksimum telah terlampaui) lalu STOP

Program dalam Fortran

IMPLICIT NONE

DIMENSION A(10,10),B(10),X(10),XO(10)REAL A,B,X,XO,EPS,NORM,S1,S2

INTEGER N,I,J,K,ITMAX

WRITE(*,*)WRITE(*,*) ==> ITERASI GAUSS-SEIDEL UNTUK SISTEM LINEAR

WRITE (*,(1X,A,I2,A)) XO(,I,) ? READ (*,*) XO(I)

72 CONTINUE

WRITE (*,*)C MENAMPILKAN MATRIK A

WRITE (*,(1X,A)) MATRIK A:DO 110 I = 1,NWRITE (*,6) (A(I,J),J=1,N)

110 CONTINUEWRITE (*,*)

C MENAMPILKAN VEKTOR B

WRITE (*,(1X,A)) VEKTOR B:DO 111 I = 1,N

WRITE (*,6) B(I)111 CONTINUE

WRITE (*,*)C LANGKAH 1

K = 1

C LANGKAH 2

100 IF(K.GT.ITMAX) GOTO 200C LANGKAH 3

DO 10 I = 1,NS1 = 0.0DO 20 J=I+1,N

S1 = S1-A(I,J)*XO(J)20 CONTINUE

S2 = 0.0DO 23 J=1,I-1

S2 = S2-A(I,J)*X(J)23 CONTINUE

X(I) = (S2+S1+B(I))/A(I,I)10 CONTINUEC SAYA PILIH NORM-2. ANDA BOLEH PAKAI NORM YANG LAIN!

NORM = 0.0

4

DO 40 I=1,NNORM = NORM + (X(I)-XO(I))*(X(I)-XO(I))

40 CONTINUENORM = SQRT(NORM)WRITE(*,(1X,A,I3)) ITERASI KE-, KWRITE(*,(1X,A,F14.8)) NORM-2 = , NORMWRITE(*,(1X,A,I3,A,F14.8)) (X(,I,) = , X(I),I=1,N)WRITE(*,*)

C LANGKAH 4

IF(NORM.LE.EPS) THENWRITE(*,7) K,NORMGOTO 400

END IF

C LANGKAH 5

K = K+1

C LANGKAH 6DO 30 I=1,NXO(I) = X(I)

30 CONTINUEGOTO 100

C LANGKAH 7

200 CONTINUEWRITE(*,9)

400 STOP

5 FORMAT(1X,I3)6 FORMAT(1X,(6(1X,F14.8)))7 FORMAT(1X,KONVERGEN PADA ITERASI YANG KE- ,I3,

* , NORM= ,F14.8)9 FORMAT(1X,MELEBIHI BATAS MAKSIMUM ITERASI)

END

Demikianlah catatan singkat dari saya tentang metode Iterasi Gauss-Seidel. Sayacukupkan sementara sampai disini. Insya Allah akan saya sambung lagi dilain waktu.Kalau ada yang mau didiskusikan, silakan hubungi saya melalui email: supri92@gmail.com.

5