1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Didalam suatu perhitungan matematika yang bisa digunakan salah satunya dengan

menggunakan suatu metode perhitungan apa yang namanya integral , dimana suatu integral

ini dibagi menjadi beberapa bagian bagian yaitu integral tentu dan tak tentu, yang dimana

integral tersebut bisa digunakan untuk menghitung benda benda ruang yang ada didalam

kehidupan kita sehari hari dengan menggunakan metode integral tadi dengan menghitung

luas dan volumenya. Integral juga adalah salah satu bagian dari suatu kalkulus yang bisa

disebut juga sebagai anti differensial.

Dalam pembahasan integral akan di bicarakan tentang fungsi intergral yang continue

integral yang kita ketahui belum tentu dapat dipenuhi maksudnya, dalam definisi dari intergal

yang dikait kan dengan limit . sehingga apabila fungsi integral tertutup yang terbatas, sudah

jelas ada nya intergral selalu terjamin yang dimaksud dengan integral ganda / (multi integral)

dalam pembahasan ini meliputi : integral berulang , berulang,tripple yang akan di bahas

dalam bab ini.

1.2 Tujuan Materi

1. Mahasiswa dapat memahami dan mengenal apa itu integral rangkap 2 dan rangkap

3

2. Mahasiswa dapat menghitung luas dan volume suatu benda ruang dengan metode

integral

3. Mahasiswa dapat mengerti konsep integral rangkap 2 dan rangkap 3

4. Mahasiswa dapat menentukan luas permukaan putar pada kurva.

5. Mahasiswa dapat menentukan nilai, bentuk integral, dan menggambar kurva untuk

luas bidang rata

1.3 Sistematika Penulisan

Kata Pengantar

Daftar Isi

Bab I. Pendahuluan

1.1 Latar Belakang

1.2 Tujuan Materi

2

1.3 Metodelogi Penulisan

1.4 Sistematika Penulisan

Bab II. Materi

2.1 Integral Rangkap 2

2.2 Aplikasi Integral Rangkap 2

Bab IV. Kesimpulan

Daftar Pustaka

3

BAB II

Materi

2.1 Integral Rangkap DuaJika 0),( yxf pada R sehingga dapat kita tafsirkan integral lipat dua sebagai volume dari bendapejal dibawah permukaan gambar 1

V = R

dAyxf ),( , R = { },:),( dycbxayx .

Gambar 1.2

Iris :

Iris benda pejal itu menjadi kepingan-kepingan sejajar terhadap bidang xz (gb. 2a)

b

a

a b

R

Gb. 1

4

`

Irisan bidang y = k, kepingan volume yang berpadanan ≈ A(y) y

Volume v dari kepingan secara aproksimasi diberikan oleh v ≈ A(y) y , diintegralkan ,

V = d

c

dyyA )( , untuk y tetap kita hitung A(y) dengan integral tunggal biasa :

A(y) = b

a

dxyxf ),( , sehingga : V = d

c

b

a

dydxyxf ]),([ …….. (2)

Dari (1) dan (2) :

R

dAyxf ),( = d

c

b

a

dydxyxf ]),([ begitu juga R

dAyxf ),( = b

a

d

c

dxdyyxf ]),([

LA(y)

yx

y

z

yGb. 1.3

Gb. 2b

5

2.1.1 Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegi Panjang

Konsep integral tentu untuk fungsi satu peubah dapat kita perluas untuk fungsi banyak

peubah. Integral untuk fungsi banyak peubah dinamakan integral lipat atau integral rangkap. Pada

integral lipat satu, fungsi yang dipakai dibatasi, yaitu fungsi tersebut dibatasi pada selang tertutup di

R1. Untuk integral lipat dua dari fungsi dua peubah , pembatasannya adalah fungsi tersebut

terdefinisi pada suatu daerah tertutup di R2. Berikut akan kita bahas tentang integral lipat dua juga

integral lipat tiga.

Gambar 1.1

Tetapkan R berupa suatu persegi panjang dengan sisi-sisi sejajar sumbu-sumbu koordinat,

yakni misal : R : {(x,y) : ,bxa dxc }. Bentuk suatu partisi dengan cara membuat garis-

garis sejajar sumbu x dan y. Ini membagi R menjadi beberapa persegi panjang kecil yang jumlahnya n

buah, yang ditunjukkan dengan k = 1,2,...n. Tetapkan kx dan ky adalah panjang sisi-sisi kR dan

kA = kx . ky adalah luas. Pada kR ambil sebuah titik misal ),( kk yx dan bentuk penjumlahan

Riemann k

n

kkk Ayxf

),(1

.

Definisi :

Integral lipat dua

Andai suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R, jika :

x

b

a

dc

z

y

6

0limIpI

k

n

kkk Ayxf

),(1

ada . maka f dapat diintegralkan pada R, lebih lanjut R

dAyxf ),( , yang

disebut integral lipat dua dan pada R diberikan oleh

R

dAyxf ),( =0

limIpI

k

n

kkk Ayxf

),(1

2.1.2 Sifat-sifat Integral Lipat Dua :

1. Jika f(x,y) dan g(x,y) masing-masing kontinu dalam daerah R maka:

R R

dAyxfkdAyxkf ),(),(

R R R

dAyxgdAyxfdAyxgyxf ),(),()],(),([

2. R R R

dAyxfdAyxfdAyxf1 2

),(),(),(

3. Sifat pembanding berlaku jika f(x,y) g(x,y) untuk semua (x,y) di R, maka :

R R

dAyxgdAyxf ),(),(

2.1.3 Perhitungan Integral Lipat dua

Jika f(x,y) =1 pada R, maka integral lipat dua merupakan luas R, maka integral lipat dua merupakan

luas R.

R R

dAyxfkdAyxkf ),(),(

= R

dAk 1

= k.A(R)

Contoh Soal

7

1. Andai f sebuah fungsi tangga yakni :

f(x,y) =

32,30,3

21,30,2

10,30,1

yx

yx

yx

hitung R

dAyxf ),( dengan R = { }30,30:),( yxyx

jawab :

misal persegi panjang R1, R2, R3

R1 = { }10,30:),( yxyx

R2 = { }21,30:),( yxyx

R3 = { }32,30:),( yxyx , lalu gunakan sifat penjumlahan di integral lipat dua, sehingga :

R

dAyxf ),( 1

),(R

dAyxf + 2

),(R

dAyxf + 3

),(R

dAyxf

= 1.A(R1) + 2. A(R2) + 3.A(R3)

= 1.3 + 2.3 + 3.3

= 18

2. Hampiri R

dAyxf ),( dengan16

864),(

2yxyxf

,

R = { }80,40:),( yxyx . Kerjakan dengan menghitung penjumlahan Riemann!

Jawab :

8

Penjumlahan Riemann yang diperoleh dengan membagi atas 8 bujur sangkar yang sama dengan tiap-

tiap pusat bujur sangkar sebagi titik. Titik-titik contoh yang diperlukan dan nilai-nilai yang

berpadanan dari fungsi itu adalah :

),( 11 yx = (1,1), f ),( 11 yx =16

17

),( 22 yx = (1,3),f ),( 22 yx =16

65

),( 33 yx = (1,5), f ),( 33 yx =16

81

),( 44 yx = (1,7),f ),( 44 yx =16

105

),( 55 yx = (3,1),f ),( 55 yx =16

41

),( 66 yx = (3,3),f ),( 66 yx =16

49

),( 77 yx = (3,5),f ),( 77 yx =16

65

),( 88 yx = (3,7), f ),( 88 yx =16

89

Jadi karena kA = 4, kA = kx ky = 2.2 = 4

R

dAyxf ),( ≈ kk

kk Ayxf

),(8

1

4

8

(4,8)

(0,8,8)

(4,8,6)

(4,0,2)

(0,0,4)

y

z

x

9

= ),(48

1k

kk yxf

=16

89654941105816557(4

= 1383

2

2.1.4 Perhitungan Volume

Contoh soal :

Hitung volume V dari benda pejal diatas yang dibatasi oleh z = 4 – x2 –y dan dibawah persegi panjang

R = { }20,10:),( yxyx

Jawab :

Jawab :

V = R

dAyxf ),(

1

2

(1,2)

(0,0,4)

(1,0,3)

(1,2,1)

(0,2,2)

y

z

x

10

= R

dAyx )4( 2 = dxdyyx )4(2

0

1

0

2

= dyyxxx ]]3

14[[ 1

03

2

0

= dyy)3

14(

2

0

=3

16satuan volum

2.1.5 Integral Lipat Dua Atas Daearah Bukan Persegi Panjang

Gambar 2.1

Himpunan S terrtutup dan terbatas di bidang (Gb.1) keliling S oleh suatu persegi panjang R dan

sisinya sejajar sumbu-sumbu koordinat (Gb.2). andai f(x,y) terdefinisi pada S dan didefinisikan

f(x,y)=0 pada bagian R diluar S (Gb.3), f dapat diintegralkan pada S jika dapat diintegralkan pada R.

S

dAyxf ),( = R

dAyxf ),(

2.1.6 Perhitungan Integral Lipat Dua Atas Himpunan-himpunan Umum

Suatu himpunan S adalah y sederhana (gb.4) jika terdapat fungsi-fungsi kontinu 1 dan 2

pada [a,b] sedemikian sehingga :

Gb.1Gb.2

Gb.3

S S

f(x,y)=0

z = f(x,y)

S

11

}),()(:),{(: 21 bxaxyxyxS

Gb.2.2 Gb. 2.3

Sebuah himpunan y sederhana sebuah himpunan x sederhana

Bukan himpunan x sederhana

Atau y sederhana

Suatu himpunan S adalah y sederhana (gb.4) jika terdapat fungsi-fungsi kontinu 1 dan 2

pada [a,b] sedemikian sehingga : }),()(:),{(: 21 bxaxyxyxS . Sedangkan suatu

himpunan S adalah x sederhana (gb.5) jika terdapat fungsi-fungsi kontinu 1 dan 2 pada [c,d]

sedemikian sehingga : }),()(:),{(: 21 dycyxyyxS . Jika kita ingin menghintung

baS c

d

x= )(1 y x= )(2 y

x

yy= 2 (x)

y= 1 (x)x

y

00

S

S

y= 2 (x)

y= 1 (x)

x

y

0

S

R

xa b

Gb.2.4

12

integral lipat dua dari suatu fungsi f(x,y) atau suatu himpunan S yang y sederhana. Kita lingkungi S di

dalam suatu persegi panjang R (gb.6) dan membuat f(x,y)=0 di luar S, maka :

S

dAyxf ),( = R

dAyxf ),( = b

a

d

c

dxdyyxf ]),([

=

b

a

dxdyyxf ]),([2

1

, secara ringkas

S

dAyxf ),( =

b

a

x

x

dydxyxf)(

)(

2

1

),(

Dalam integral sebelah dalam, x dipertahankan tetap. Pengintegralan itu adalah sepanjang

garis tebal dari gambar 6. pengintegralan menghasilkan luas A(x) dari gambar tersebut, akhirnya A(x)

diintegralkan mulai dari a sampai b. Jika himpunan S adalah x sederhana, maka

S

dAyxf ),( = d

c

y

y

dxdyyxf)(

)(

2

1

),(

a

b

A(x)

z=f(x,y)

Gb.2.5

y= 1 (x) y= 2 (x)x

z

y

13

2.1.7 Integral Lipat Dua Dalam Koordinat Kutub

Jika z = f(x,y) menentukan suatu permukaan atas R dan andaikan f adalah kontinu dan tak

negatif, maka volume V dari benda pejal dibawah permukaan ini dan diatas R adalah

V = R

dAyxf ),( ...... (1)

Dalam koordinat kutub, suatu persegi panjang kutub R berbentuk :

R = { },:),( brar

R

z=f(x,y)=F(r, )

x

y

z

r=a

r=b

R

Gb.2.6

Gb.2.7

14

Dengan 0 dan 2 . Persamaan permukaan diatas dapat ditulis sebagai

z = f(x,y) = ),()sin,cos( rfrrf

Sehingga :

V = RR

rdrdrrfrdrdrf )sin,cos(),( ........ (2)

Dari (1) dan (2) :

R

dAyxf ),( = R

rdrdrrf )sin,cos(

Jika pada integral lipat dua diatas daerah bidang yang telah kita pelajari yang lalu kita

mengenal istilah himpunan x sederhana dan himpunan y sederhana, pada pengintegralan kutub ini,

kita mengenal istilah istilah himpunan r sederhana dan himpunan sederhana. Himpunan r

sederhana berbentuk }),()(:),{(: 21 rrS dan disebut sederhana jika

berbentuk :

Rk

Rk

R

k

Partisi R dalam persegi panjang kutub yang lebih

kecil R1, R2

, …. Rn. dengan menggunakan suatu kisi kutub

pada gambar diatas luas A(Rk) dapat ditulis :

kkkk rrRA )( dengan kr adalah radius

rata-rata Rk. Jadi V kkkk

n

k

k rrrf

),(1Gb.2.8

15

2.1.8 Penerapan Integral Dua

Penerapan integral dua selain untuk mencari volume benda pejal, penerapan lain yaitu

mencari massa, pusat massa dan momen inersia.

a. Massa

Andai suatu lamina mencakup daerah s di bidang xy dan jika kerapatan (massa/ satuan luas)

di (x,y) dinyatakan oleh ),( yx . Partisikan s dalam persegi panjang kecil .21 ,..., kRRR Ambil

titik ( ), kk yx pada kR . Massa kR secara hampiran kARyx ),( dan massa total lamina

secara hampiran )(),(1

k

n

kkk RAyxm

Massa (m) diperoleh dengan mengambil limit rumus diatas untuk norma partisi mendekati

nol, sehingga :

)(),(lim10

kkkk

n

PRAyx

Limit jumlah tersebut membentuk integral rangkap 2:

S

r= )(1

r= )(2

Gb.2.9

Himpunan r sederhana

S

= )(2 r

= )(1 r

r=a r=bGb.2.10

Himpunan sederhana

16

s

dAyxm ),(

b. Pusat Massa

Jika nmmm ,..., 21 adalah kumpulan titik massa yang masing-masing ditempatkan di (

), 11 yx ,( ), 22 yx ,.......,( ), nn yx pada bidang maka momen total terhadap sumbu y dan

sumbu x.

n

kkky mxM

1

,

n

kkkx myM

1

. Koordinat ( ),yx dari pusat massa:

Koordinat ( ),yx dari pusat massa.

s

sy

dAyx

dAyxx

m

Mx

),(

),(

dan

s

sx

dAyx

dAyxy

m

My

),(

),(

Pusat massa diatas jika lamina tersebut tak homogen (kerapatan tak sama), tapi jika

kerapatannya sama (homogen), maka pusat massa menjadi:

s

s

dA

xdA

x

dan

s

s

dA

ydA

y

c. Momen Inersia

Definisi:

Momen inersia dari suatu partikel adalah hasil kali massa dan kuadrat jarak

terpendek dari partikel terhadap sumbu. Jika m adalah massa dan r adalah jarak, sehingga :

n

kkknn rmrmrmrmI

1

22222

211 ....

Suatu lamina tak homogen dengan kerapatan ),( yx yang mencakup suatu daerah s dari

bidang xy, lalu dipartisi seperti pada gambar 1, hampiri momen inersia tiap keping kR , ambil

17

limit dan dbawa ke rumus diatas, sehingga momen inersia terhadap sumbu x, y dan z adalah

xI , yI , danzI

n

k s

kkP

x dAyxyymI1

22

0),(lim

n

k s

kkP

y dAyxxymI1

22

0),(lim

s

yxz dAyxyxIII ),()( 22

Cotoh soal:

Sebuah lamina dengan kerpatan xyyx ),( dibatas sumbu x, garis x =8 , kurva3/2xy .

Tentukan :

a. Massa

b. Pusat massa

c. Momen inersia terhadap sumbu x, y dan z

Jawab :

a. s

dAyxm ),(

= 8

0 0

3/2x

xydydx

= dxxy3/2

02

8

02

1

= dxx8

0

3/7

2

1

18

= 803/108

0 10

3

2

1x

2.2 Integral Rangkap Tiga

2.2.1 Integral Rangkap Tiga Pada Koordinat Kartesius

),,( kkk zyx

Perhatikan suatu fungsi f tiga peubah yang didefinisikan atas suatu daerah berbentuk balok B

dengan sisi-sisi sejajar sumbu-sumbu koordinat. Bentuk suatu partisi P dari B dengan meletakkn

bidang-bidang melalui B sejajar bidang koordinat, jadi memotong B ke dalam balok-balok bagian,

yaitu: nk BBBB ,....,....,, ,21 . Pada kB , ambil satu titik contoh ),,( kkk zyx dan dengan penjumlahan

Riemann diperoleh:

n

k

kkk zyxf1

),,( kV

y

x

z

∆y

∆z

∆x

B

BkGb. 3.1

19

Dengan kV = kkk zyx ,, adalah volum kB . Jika P adalah panjang diagonal terpanjang dari

setiap balok bagian, maka kita definisikan integral lipat tiga sebagai berikut:

n

kkkkk

BP

VzyxfdVzyxf1

0),,(lim),,(

Jika limitnya ada, seperti halnya pada integral lipat dua. Pengertian integral lipat tiga mempunyai

urutan pengintegralan serupa seperti pada integral lipat dua. Sehingga integral lipat di fungsi f(x,y,z)

atas daerah B ditulis sebagai berikut:

B

dVzyxf ),,( , misalnya kita tuliskan B

dxdydzzyxf ),,( , yang mempunyai arti:

a. Pengintegralan pertama dilakukan terhadap x dengan menganggap y dan z sebagai

konstanta

b. Pengintegralan pertama dilakukan terhadap y dengan menganggap z sebagai konstanta

c. Terakhir, hasil dari b, diintegrasikan terhadap z.

Begitu juga jika pengintegralannya ditulis dalam bentuk yang lain ururtan pengintegralannya

menyesuaikan. Sebagaimana pada integral lipat dua, jika f adalah fungsi pada daerah tertutup maka

untuk menghitung integral tentu digunakan integral berulang dua kali, demikian pula untuk

menghitung integral lipat tiga, digunakan tiga kali, asalkan f kontinu. Sehingga bila B balok persegi

panjang yang dibatasi. fzedycbxazyxB ,,:),,{( }

x

z

y

b

dc

a

e

f

Gb. 3.2

20

Bila fzedycbxazyxB ,,:),,{( }, maka untuk menghitung integral lipat tiga

atas benda B adalah:

B

b

a

d

c

f

e

dxdydzzyxfdVzyxf })),,(({),,( }

Merupakan bentuk perhitungan integral lipat tiga.

2.2.2 Penerapan Integral Rangkap 3

Andai f(x,y,z) terdefinisi pada S dan f(x,y,z) bernilai nol, bila diluar S. Andai S himpunan z sederhana

dan xyS adalah proyeksi permukaan benda S pada bidang xy, untuk lebih jelasnya perhatikan

gambar berikut:

Sxy

x

y

z

Sxy

y

x

Gb. 3.3

Gb. 3.4

21

Bila f kontinu dan terintegral pada benda pejal S, maka diperoleh:

S S

yxz

yxzxy

dAdzzyxfdVzyxf),(

),(

2

1

]),,([),,(

Dimana adalah proyeksi permukaan benda S pada bidang xy. Selanjutnya jika Sxy daerah pada

bidang xy yang berbentuk y sederhana, seperti pada gambar 3.4 . yang dibatai oleh:

}),()(:),{( 21 bxaxyyxyyxSxy , sehingga dengan integral berulang diperoleh:

S S

yxz

yxzxy

dAdzzyxfdVzyxf),(

),(

2

1

]),,([),,(

= b

a

xy

xy

yxz

yxz

dxdydzzyxf)(

)(

),(

),(

2

1

2

1

])),,(([

Dari rumus di atas perlu diperhatikan bahwa batasan integrasi harus sesuai dengan urutan-urutan

pengintegralannya.

Sxy

22

3.1.3 Kumpulan Soal

1. Hitunglah luas suatu daerah yang dibatasi oleh y = x2 + 4x dan garis y = 2x + 6 menggunakan

integral yang dilakukan y terlebih dahulu kemudian ke-x.

Jawaban :

= ∫ ∫= + − ( + )= + −= [ + − ]

= [ ( ) + ) − ( ) − [ ( ) + ( ) − ( )= [ , + − ] − [ + − ] = ,

2. Hitunglah Volume suatu benda dengan fungsi f(x)= 4x2y + xy2 yang dibatasi olehy= 3x+2 dan garis y=x-3 dengan batas y=2 dan y=1?= (4 + )

= 42 + 12 3 + 2− 3= 2 + 12 3 + 2− 3= 2 + 12 . (3 + 2) ( − 3)= 2 + 12 . ( 3 + 7 − 6)

23

= 6 + 312 − 12 − 3= 65 + 318 − 14 − 32 21= 65 (2) + 318 (2) − 14 (2) − 2 (2) − 65 (1) + 318 (1) − 14 (1) − 2 (1)= [(38,4 + 62 − 2 − 8)] − [(1,2 + 3,87 − 0,25 − 2)]= [ 90,4 − 2,82] = 87,18

3. Tentukan massa dari suatu kubus yang rusuknya = 6, bila kerapatannya = 0,5 pada setiaptitiknya sebanding dengan kuadrat jarak titik itu kesalah satu rusuk kubus= == += ( + )== ( + )

= ( + )= [ ] 60 ( + )= 6 ( + )= 6 + 3 60= 6 63 + 63 60 = . 6 63 + 63 60= 0,5 6 63 + 63 = 3 [ 432 + 432] = 2592

24

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Integral dapat disimpulkan dalam beberapa kesimpulan, yaitu:

Hampir semua materi dalam matematika, langsung kita ketahui penerapannya dalam

kehidupan sehari-hari, seperti integral yang kegunaannya untuk menghitung luas daerah

Matematika Itu bersifat hirarkis,sama seperti menghitung integral,untuk menghitung

integral tingkat lanjut, kita harus memahami lebih jauh tentang integral-integral dasar

Dalam mengerjakan/menyelesaikan soal-soal integral yang tingkatannya tinggi, diharapkan

untuk terlebih dahulu memahami soal2 integral dasar.

Cara paling ampuh dan paling jitu agar kita dapat mengerjakan integral dengan cepat dan

baik adalah "banyak berlatih", karena integral itu mempunyai banyak "tipe" dan setiap tipe

hanya dapat dikerjakan dengan metode yang tertentu pula

25

Daftar Pustaka

Ayres, Jr. Frank ; 1964 ; Differential and Integral Calculus ; New York ; Schaum’s OutlineSeries Mc Graw-Hill Book Company

Anonim. Integral. http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/files/2008/08/fr-bab-14-riemann.pdf

Anonim. Notasi Sigma.http://ns1.cic.ac.id/~ebook/ebook/adm/myebook/0004.pdf

Ayres, Jr. Frank, Lea Prasetio; 1985 ; Teori dan Soal-soal Diferensial dan Integral Kalkulus ;Jakarta ; Penerbit Erlangga