Hitung Integral.pdf

8/16/2019 Hitung Integral.pdf

1/166

ffiffis.

k%d,&HaffiHM&ru

HIT

NTE

UNG

GRAL

ffiffi,

ffi

tr-$*'i.tS-ffi*ffi

ffi

ffi

ffi

ffiFiHliif,ii:,

rii,i.I#:i*ii9rTl,?rWW

riFx

+,:i::iiisi'r.Bi.{;ii "{i11,.if.i


2/166

uu

u

u

g

A

N

KMKO Sipil Unhaskmkosipil.blogspot.com


3/166

HITUNG

INT'EGRA

Drs.Wardiman

Penerbit:

PT.

HANINDITA

GRAHA

WIDYA

Jln.

Tamansiswa

101 B

-

6

.0274l-

8N22,88193

Yogyakarta

Ttta lgtak

:

T.

lran

Disein

kulit

muka

: Hanindita

@

Hak Pengarang

dan

Penerbit

dilindungi

oleh

Undang-undang.

Cetakan

Ketiga,

Juli

1987

axclt

t olcli

: PT. HANINDITA

OFFSET

-

Yogyakarta

lsi

diluar tenggung

iawab

percetakan.


4/166

ua

sp

Z

oS

'ua

'

q

1

o

u

oo

n

ru

lun

u

o

W

d

'me

lo

n

o

-

eu

oo

u

td

lp

-

Wo

uy

lq

n

-mo

o

{

e

ow

o

-

rw

oq

ln

a

n

'ne

nn

lmo

o

u

w

e

a

p

loo

ma

ln

-

nm

lu

oou

o

m

p

o

-

u

WDp

w

nn

o

UN

V


5/166

u

€

a

J

s

e

I

B

pu

p

6

?

pu

c

g

n

O

e

$

Es

B

6

q

;

?

x

"

x

uu

f

x

I

9

s

:

{u

xu

uEc

u

,

:

{

leu

q

0

uu

:

Iu

p

B

rN

8

BB

S

e

t

us

Z

I

u4e

'V

U

Sn

t

uN

0

u

T

uB

IS

H


6/166

BAB

III

INTEGRASI

FUNGSI

HIPERBOLIK

l. Rumus-rumus dasar

fungsi

hiperbolik

2.

Rumus-rumus

dasar

integral dari

fungsi hiperbolik

3.

Substitusi

fungsi

hiperbolik

Soal-Soal

BAB

IV

RUMUS_RUMUS REDUKSI

l.

Rumus reduksi

untuk

Binomial

Differensial

Soal-Soal

2.

Rurn

us

red

uksi

un

tuk

trigonbme

tri

k

di

fferensial

Soal-Soal

BAB

V

DAFTAR

PENYELESAIAN

SOAL_SOAL

UJIAN

PUSTAKA

87

E7

88

9l

94

97

97

100

102

105

r06

160

lv


7/166

d

x

(

x

)

C

,

v

e

.T

(

.

rN

:

'D

x

:

u

leu

e

I

'u

-

O

Bp

D

+

e

B

TT

e

Z

_

u

)

-

B

Z

=

r

=

€

T

r

-e

.

n

le

5

E

,

+

,

'

u

e

1

BT

s

-

u

n

y

-

J

@

E

'

r

T

e

g

(

wN

N

nNH

N

1

]VN

U

S

'5

,

I


8/166

C.

I

l.

C

ul*

C.

C.

,l;'

*

=

#T

+

c,

m

I

-r'

F

="'lul*'

fuou=#*"

+c,a;'o,

1

[.'ou=.u*..

)

f"t"udu=-cosu=c.

["."udu=slnu+c.

frr"du=rnl"""ul*..

f".,

, du

=

ln

lsln

u[

*

..

("""

u

du

=

ln.tse.

u

+

tg Uf

r

I

1"o"..

U dU

=

1r,

|

"o"""

U

-

ctg

1"""'

u

du

=

cs

u +

c.

1"."""'udu=-crsu+c.

t"..

,

tg U

dU

=

sec

U

+

C.

("o"."

U

ctg

U

dU

=

-

cosec U*

)

(du1u

);z;;r -;

arc

ts-

{

c'

('du

lffi

=

arc"in

+

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

tr:

13.

t4.

15.

L6.

t7.

18.

19.


9/166

\

"

t

5

'3

e

'c

+

n

z

+

l

'

'

N

B

*

l

N

+

:

f

z

N

'o=

B

T

B

0

x

3

-

b

+^

L

lee

uo

'3

+

f

Z

.

,

'3e=

EZ

t

'9

.S

.

'T

'o

B

z

e

B

3


10/166

,.\.

(

)

4

*3

*2

+c.

*512

*

c.

*16x+C.

lL

+-'

+c.

x

2.-

dx;

-Ll4

ilJ

e.

Illtunglah

:

,"

.t

k3

+

z)2

(

(a*2

a*

'c)');{;r}

Penyelesalan

:

Untuk

mempermudah

penyelesaian,

dlmlsalkar,

, *3

+

2

=

U,

oaka

dffferen-

slal

darl

U

adalah

:

dU

=

3

*2d*.

(").(

(*3

* z)2

t*2

d*

=(u'

ur=

+u3

*.

=

i,*'

+

213

+

c-

)- )

J

J

"r.l(*1

+ z)\ *20*

=tfut

u,

=3u''2

*c=i

r*'*z:ttz

*c.

,",.t#

=

;

I

(*3

*

z>-3.3

*2

d*

=

i

ru-3

au

=

i

,

-r"u-')

*

c

=

3

*2

d*

\/T

(x

3

t_

9

=+\

(*3

+

z)

-

+

,u3to

)

,.,

.,

3

*z>2

-r/4

.

*C=

+c.


11/166

C

's

z

x

g

9

"

x

Z

.A

'c

E

+

I

(J

,U

\

U

)

'c

+

e

e

r

(

x

+

,

,

,

'z

l=z

=

=

=

=

f

I

E

I

e

T

,

E

n

I

t

7

,

,

'

'n

(

,

S

"

"

l

n

T

s

z

(

8

,

,

xG

'x

+

B

x

B

z

T

r

1

t

,.

g

x

)

'=

^

-

l

.

*

z

\

'x

-

BBun

T

'x0


12/166

rs

f*tl


13/166

'

x=

t

*

'3

+

=

x

r

:

p

a

tx

u

u

*

x

.

I

+

l

{u

'+

z

"

B

e

E

x

a

x

=

q

x

9

'

=

N

r

=

-

'x=

*

'X-

X

'

,

*

,

*

-

'x

:p

ea

q

Iu

*

x

'3

'

*

*

t

.z=

x

t

\

t

\

5

\


14/166

33. [,"'*

+

"5x.

1

5x

5x

)')

d*

=i.'*

*rfo;

*c

-i,.'*

*1|;l

*

c.

Soal-Soal sesuai

dengan rrmrue

2.8

s/d

2.17

c.

+c.

x)

2x)

--*"o"32**c.

3

ax

*

C.

0=tlnsec

2xiC.

2*c.

x

la*

)

c.

1

)-isec3r+C.

sLx+

cos4x

2xd(2

n2xd

(cos

2x)

I

=

:- s1n

5a

(coe

2

cos2x

ln

sln

x

x+1)d

sln 2x

;os-E

3]l*

x

x*C.

3

tgx

+

t d(3r

co

1

4

Yzxdx

=

,(

sln

x

dlx

-

-

zcos

)

4

x

dx

=

i\sln

4

x d

(4x)

=

-

|

"o"

2

2*

"1.,

2

x

dx

=

,r(

"or2

2

x sln'2

x

)

=\("or2

zx

(

sln 2

)

=-\t""r.22*d(co

3

ax dx

=

*|cos

3

ax d

(3

"*)

=

*

2x dx

={**

d

(2x)

=

rJ"*

,s

*2

dx

=\(".,

*2

a

(

*2

;

=

r,

t'

)

2x

-

r)2

a*

=(,.r'

z

x

-

z tg

z

x

+

-\l(tsz

zx*

r)

-

2

*

=

(

,r""' zx

-

2

sin

1;

)

-cos2x

=\tgZx*lncos2x

2

3

'("..'*3d*3=1.,

ec

x dx

=

5_1

u". x

trx

3ttg3tdt=+rsec3t.ts3t

34

'

,"*

3s.

t"*

36.

[.."

37

.

t"""

38.

t.'

:.

{;,.

or.

\*'

0,.

\.""


15/166

6

'3

-

-

-

(

-

L

-

x

'3

"

3

\

t

J

c

T

x

"

x

'x

'

x

t

D

E

=

t

c

-

a

i=

0

'

az

z

'C

x

@P

x

)

'D

J

t

\

\

\

r

'

)

0

0

P

B

0

c

.B

x

x

0

0

(

x

,

\

c

\

E

Z

)

,

,

t

-

T

P

z

r


16/166

1

3

t

dx

dx

t

\

54

tr.f

*2

-

4 x

*

13

Pantlang

bentuk

*2

-

4

x

*

13

,

dapat

dttulls

nen-

jadr

:

*2

-

4

x

*

4

+

9

,.

(x

-

z)z

+

g

(x- z)2+g

x-2

arc

tC

:f

+

C.

Maka

_(

)

,u.[+

=ir,,

*i

)

x

-4

*2-

4

x

* 13

\

(x-2)2+32

d

(x

+

1)

+1

+c.

x

+

I

+f

x

=

14

ar< tg

+c.

'

l*2

*

z x

*

5

(x

+

1\2

*

z2

Soal-soal

sesuai

dengan

rumus

2.2L

sld

2.26

z arc

'ir

5*

+

c

=

2

arc

"r,

Z5-l

+

c.

+

c.

,

t#;

=+\if:;

=i,,"li=+1..

=+\a:*7=i,

"l;::t

'l;I?

,r.(

cos

o

{o

)L-sLn/b

-(

a"roo

)o-t.n?o

2

*

sln

0l.

r.

2

-

sin

0l'

"'

*5

dx

f;;?

i,"

*x*I

ln

l.

''

x-2

(*

+

\)2

lo


17/166

I

'3

:

u

B

u

x

'8

+

T

x

z

x

(

x

x

u

+

u

+

x

z

r

-

I

(

z

x

'3

x

'3

'8

'

'e

'2

x

x

=

X

:

'

.

'

L

,

.

,

:

-

l

x

xc

'

x

r

x

I

D

+

u

'

.

v

,

-

.

/

-

,

/

.

s

.

+

'3

'3

c

\

)

T

T

'c+

t

i

T

x

z

+

'C


18/166

70.(

(x

+

3)

u*

hm

10-4x*x

-\fT;*3Ln(x+ilJ],,

=fffi..

+

c.

2

d,,

,r.5

3

-

2x

-

*2'd*

(x

+

1)2

a*

*3ln

x*l

2

=*,

,.tF:f;

=-* t'fffi.'

1_2

=-;ln(4x--4x-

,('


19/166


20/166

,t,\

d

(ln

x)

sin(]r"*)+c

=5tt

t4

\:

\"

\,

I

'1r

2

x

x

os

in

4x

9ln

ao.(-4--:r-

dx

J9

+

stn'

4

"

tft=jf

=2

1

4

1

4

1

4

I

=+

4

t

x

2sin4xd(sln4x)

o.=1,

9+sln44

,2

sr-n q

x

rg

-

r-

9

q

9

*sin 4

(stn2

4*)

+

sln4

4x

8x-12

x--11

Sxdx

4x--11

I

=

'-

arc

t2

+c.

dx

n(

dx

-T);";

(4*2-11

)

itrr",ffil*..

r^\

=-*ln(4*2*4*-

-

E\

o?.0

"

-3

|

6;z;d(x

3)

)

-L

,.1f,*7;*|r,

(xYT+

2

zo(

dx

ux

r

-=r

-

u^'8)

(2x+1)z-4.

3)

+

i6

'"1*i+l*..

_1

\6

_1-

VT

'1.''

a,

(

G+2)

dx

"-')tE;;

(x+1+

,r.(

(2--

x)

dx

)

4xz+4x-3

=-*ttr;ft

=-'f-?iffi*

=*t

8x*4

Zx-3*ln

.,

'+

2

x

-

3)

+

C.

l4


21/166

S

r

,

-

0

)

s

6

,

58

,

r4

x

:

"

:

_

"

.

"

e

'

x

z

*

.

,

:

FE

+

'

_

(

1

x

'x

A

'c

=

,

#

'3

z

+

#

,


22/166

a

+

bxnldx

-1

3x

x

-1

I

38

I

3s.

t

37.

dx

23.

f

24'

I

25.

I

26'

f

27'

I

dr

l+e3x

2

x

+4

-OX

x

(x-lnx)

-dx

x

x

-t-


23/166

L

a

*

,

*

)

€

x

r

x

3

\

x

x

x

x

*

*

i

t

*

,

T

\

x

"

#

x

x

T1

-

=

r

x

,

E

'8

'1

'9

t

5

+

'0

'6

x

9

9

9

t

5

\

{

x

x

x

7e

"J

x

-

x

-

x

x

-

_

T

(

I

f

x

e

r

*

x

T

'

*

,

x

,s

_

"

*

-

z

x

x

"

Z

x

)

"

x

x

.

s

z

z

"


24/166

Ge.f"*

-

1

dx

).*

+

r

,,J#..

'rr.t(.*

-

*")

d,

,r.(

u*

)f,,17

,r.

(--u*-

)5x+x

'-J-#

,'t*

dx

',r.

(---a*--

hr;"

fdx

,r.\ffi4

87

dx

;;;;7

88

89

eln

18

x

dx

8

dx

9+sln49x

2

8ec

x

L-4rr'*

dx

ffi

-\##

dx

sL.(ry

)m

(8x-3)

4x

27+6x-x

t8


25/166

6

#

:

x

_T

)E

1

x

TzT

z

'T

l

*

z

o

'

l

'o

'

u

o

s

-

e

,

fs

€

,

_

l

)

z

+

+

(o

x

.

-F

)e

.

_

.

+

r

-

x

)

.

'A

-

o

'

^

'

u

,

*u

f

-

_

r

x

f5


26/166

r18.(

(3x

+

2)

dx

)ffi

,rr.((l*-z)

a*

)ffi

,ro.f

(+*

+

s) a*

)fi-

*,.t\#

,rr.fffi

,rr.fffi#

,ro.(

Q"

+

t)

a*

)f,;F

,rr.((ax

-

r)

ax

)ffi

,rt.tm

,rr.((+

*

+

s)

ax

)1fT

,,,fffi*

r zq f

-Q-

-

a-r)---gr

--)rm

20


27/166

t

'0

'6

'8

.

L

'9

.

.

?

.E

x

x

,

i3

x

t

t

-

L

+

z

(

rz

T

Z

rT

T

J

r

z

E

T

rFT

)e

x

x

r

-

x

r

r

"

*

,

-

)

x

i


28/166

l.

TTUIEGRAST

pARS[r

(

TNTEGRAnOil

By

PARTS

I

Suatu

bentuk

lntegral

yang

serlng

timbul,

ialah

flretu lotegre'l

yang

lntegrannya

merupakan

hasil

ganda

dari

euatu fungcl

x,

deagau

dlfferenelal

dart

fungsl x

yang

1aln.

Andalkan

U

dah

V

adalah

fungsl

d,prl

x,

maka

dlcarl

haall.

darl

bentuk

:

/

t u.a,

)

Delao

hltung dlfferenslal telah dlketahut,

bahwa :

d(u.v)-udv+vdu

l,taka:

Udv=d(u.v)

-vdu

etaJ

f,

u,

-

u.v

-

f

,

d,

Agar

klta

dapat menggunakan

rumus lnl,

bEntuk lntegrau

darl

ln-

tegraL

yang

dlketahul, herue

dlbuat

menJadl

dua.baglan :

satu

bag16n

eesual

dengan

U

dan

Baglan

yang

laln

bersama-sama

dengan

dx ceerra .

dengan

dV.

Untuk

Jelasnya,

klta ambll

beberafa

contoh soal

r:

Tenrukan

(*

"o"

2

x

dx.

J

Penyelesalan

:

Dlslnl

ada

beberapa

plIlhan

atau

kemungklnan

:

a). U

-

x cog

2

x,

dV

- dx

;

b).

U

=

cos

2

x,

dV

-

x

dn

c). U -

x,

dV

-

co6 2 x

dx

a).

Untuk

U

=

x

cos

2

x, dU

=

(cos

2 x

-

2

x sln

2x) dx

dV=6*

,V=X

Maka

:

f>..""

2

x

dx

=

x.x

cos

2x

-f

:<

,""t

2x

-Zx

ein

2x)dx'

Ternyata

hasll

lnregralnya

rldak

lebih sederhana

darl

pada

lntegral

yang

semula

dan

bencuk

ini

ridak

dlpillh.

11

LL


29/166

€

.

au

x

)

.

+

,

g

'x

i

,

x

"

'€

x

'

BB

x

"

€

xp

T

:E

*

z

E

3

(

(

"

:

B

?

=

D

=

x

x

T

'xm

'C

*

=

"

)

:

x

=

p

x

'

p

u'an

u

e

IB

e

e

'x

u

t

z

x

"

6

:

s

Z

xT

p

=


30/166

Dlanbll:

U=arceLnx

,

dV=dx

Maka

dU=

I

{-

d:(

t

("r"

sln

x

dx =

x

arc sln

- -l-.

)

,

V

=

x.

=xarcstnx*

1m

5.

Tentukan

Penvelesalan

Dlanbll

Maka

6.

Tentukan

Penvelesalan

Dlanbtl

Maka

tg x

dx.

U,=

arc

tg

x

dV-dx

a

\

"'.

I

d

=

__-7--

dx

1+xz

V=x

(r*

rg x dx

=

x

arc

rs

x

-f-.

#..

=

x

arc Eg

x

-

L

ln

{1

+*2)

+

C.

,J

"""'

*

o*

: U=secx ,dU-SecxtBxdx

dV

-."."2

*

dx

=

d

(tg

x)

,

V

=

tg

x

'

Sr""'

x dx

o

sec

x

ts

x

-

t".x

tg2

x

dx

-

gec

x

tg

x

-l'"t

t

("t"2

x

-

1)

dx

=

sec

x

tg

x

-

fr""'

o*

*

fe""

*

a*

Suku

kedua

bagian

sebelah

kanan,

dlbawa

keklrl,

maka

terdapat

:

zlr"r3

x

dx

=

sec

x

tg x

+

f"t"

*

a*

'f"""'x

dx

-

h["""

x

tg

x

+

ln

(sec

x

+

tg

xf

+c.

24


31/166

s

t

"

"

x

%

=

s

"

:

P

*

x

O

=q

x

B

"

-

E

X

-

*

*

*

:

*x

xp

s

BP

.C

+

O

x

*

:T

(

7

x

*

:

e

E

T

u

Ta

.

s

x

x

x

*

x

x

*

Z

B

'X=

.

Z

O

B

'B

u

Tp

a

E

e

6E

x

u

*

g

"

+

+

r

*

"

+r

x

f

z

]

*

,


32/166

-

II"'-

sln

x

dx

Suku

ketlga

darl

baglan

kanan

dlbawa

keklrl,

naka terdapat

?1"'-

sln

x u*

--*

"2*

(2

"i'

x

-

coe x)

Jadl:

l:-

eirr

x

dx

=

-

"2*

(,

sin

x

-

coa

x)

+

c.

9.

Tentukan

Penyelesalan

Dlambll

llaka

-

1*x

ln

-

dX.

I-x

1-x

.(1

-

x).1

-

(1

t

I)

(-1)

dx

1

r

-

*')2

=1n+I*,

ilv

=

x

fr'T

V--

f x

-

l*x

l-rFr--GX=-

hf,P

r-x

/'F----.

,

(-1r

-

I'.

a*

)

L.

x'

2(

d*

ltf,P

=

-

L

-*2

r"|**

t

2 arc

sln

x

*

c'

(

----=--

,,

26


33/166

L

[

'c

c

+

E

,

,

:

o

u

B

'c

,

:

T

8B

x

r

x

z

x

r

r

tT

o

r

€

r

,

'x

=

Z

x

,

t

B

xxp

.B

*

d

x

B

'

"

T

u

u

T

x

d

-

u

.

n

z

P

x

d

x

-

o

-

B

T

EE

xB

t

x

x

u

0


34/166

Jadl

:

tr""txdx=tl,"."

170.

(

hxdx

)

t*

*

1)\E+

i

LIL.

(*

"."2

*

d*

)

L72.

(

*3ffi

u*

I

173.1-+-

L74.

(*

"."

eec

x

dx

L75..'S

"'*

eln

2 x

dx

L76.

(.o"."3

* d*

)

L77.

(t.,2

* a*

)

a

178.

l*V*+1dx

/

,rr.

|

*'

"-*'

u*

,ro.

f

*2

"3*

d*

,rr.fffi

182.

(

*'

"r"

sln x

dx

)

"''f.*7dx

,rr,.

(

*2

.-* d*

)

185.

f

^r"

tgrlF ax

r8b.

(

rr"

cosec xl|

dx

)

3

*

ts x

*

3

[sec

x tg x

+

ln

(aec

x

tg

x)ll

*

a.

tB7.

("r"coe2xdx

)

,rr.

I

xn ln

x dx

,as.l

*

"*

d*

,."o"22xdx

"-tl|

srn

('tl4;

dr

rsz.

(fl.--;ix

eln

2

x

dx

)

,rr.

f

@2-2x*5)e-xdx

,so.

f

(*2

+

5

x

+

6) coa

2

x

dx

195.

fsr"

(

ln

x

)

dx

r.e6.

f

*

,"

|;f

u*

,tr.

l*2r[r?

a*

198.

|


35/166

6

*

x

c

|

x

-

X

'

.

.

L

'g

'5

x

*

x

+

/

t

'e

'zz

.

IE

'0

'6

.

_

I

x

g

8

*

E

\

r

x

"

.

"

*

x

xJ

x

Z

f

*

z

"

J

r

-

1

.

*

"

x

E

w

*

z

*

J

(

+

f


36/166

D

BAB

II

METODE

INTEGRASI

I.

INTEGNAL

DARI

BENTUK FUNGSI

GONIOMETRI

Rumus-rumus

dasar

dalam

gonLometrl

yang

banyak

dlpalcal,

eebagal

pembantu

dalarn

menyelesalkan

lntegral,

adalah

:

1. sln2*+cos2x=l

2. 1+tg2*-"."2*

.22

J. I+ctg

x-cosec

x

4.

"1rr2

*

=

L

(1

-

cos

2 x)

2

5.

cos

x=\(

1*cos2x)

6. glnxcosx=11 sln2x

?. stn

x

coB

y

-

L

[sfn

(x

-

y) *

sln

(x

+

y1]

8.

eln

x

sin

y

= t

[cne

(x

-

y)

-

cos

(x

+

y.y]

g.

cos

x coa

y.=

k

["o"

(x

-

y)

+

eos

("

+

y).1

LO. 1

-

cos

x

=

Z

sla?

\x

11. 1*cogx

-2"or2k*

L2. lislnx =1*cos (L[-x)

e.

lntegral

dail

bentuk

Isin'xGosnxdx

I

30


37/166

I

r

,

(

:T

z

BE

T

a

:eG

'x

Z

e

,

|

'c

S

(

J

x

1

iu

z

z

,

.

P

x

_

=

X

z

:

1

a

x

*

.

B

eT

B

g

.

(

l

,

(

x

IZ

*

u

,

:T

r

,z

x

rZ

rT

o

*T

:B

'

+

u

T

(

P

u

I

IP

u{

u

:T

I

IZ

x

ur

u

,U

:

'

ZB

T

T

.P


38/166

=

f.oro

z

x

(L

-

"o"2

2x) eln 2

;

dx

=

-L('["o"42

,'

-.o"62

x] a

(coe

2x)

Lt

7

^

1 5

=

I-4

cos

z

rr

-fu

"o"5

2

x

t

c.

53*d*.

(.oro2xsln32xdx

)

3).

Tentukan

,

('"rr,3

3

x

cos

)

-Penyeleealan

:

Oleh

L,arena

kedua euku

dalam

lntegran

memprmyal

pangkat

ganJll,

'

naka

kl.ta

rubah

suku

yang

mempunyal

pangkat

terkecll.

'

Jad13

("ro3

3 x

co"5

3

x

dx

-

(


39/166

t

T

B

u

Iu

'e

E

x

{

(

,

?

-

(

e

(

x

,

c

x

z

*

U

,

x

x

x

z

"T

+

x

x

x

xT

:B

x

zsz

=

z

x

,e

z

?

,

:

:

u

x

'q

'u

-

u

T

P

q

BT

.

+

t

"

u

x

.

+

x

Z

+

x

z

t

,

:

EE

.

f

x

?

2

x

uFu

u

'x

:

uu


40/166

dx"-

l

fd(;)

;;=2kLl

.

n;--n*

dan

J

s,.n

Tcos

z

dx

(dlo+$)

"o"\-l","\-;5

Contoh

-

contoh

soal

9).

Tentukan

,

(#

,l

sln-

2

*

.o"4

2*

Sgrysles"lan

:

tffi=f.or""22*"".42*u"

=\(o

*-#--I.

(1

+tg2

2x)d

(te2x)

) tgz2x

=ufe+te22x**rd(rg2x)

)

tg

2x

=te2"**re}z--+7T

+c.

10).Tentukan

,

[+

/cosx

Penyelesaian :

lX;

=f

'*'

x

d (tg

x) =f

u +

tsl

x) d

(tg

x)

tgx*|.g3*c.

11).rentukan

,

(

.+-

Penyelesaian

,'/

srn

x

(

dx

._t

(

_a*

_L(-^-3

x---5x,--

J

*,J-"

=;');F-F+

=

tJ'u Tsec

ro*

t

(g+t-gX

sec.

xt.

dx.

6)-.JI,

-

""'

xt

z

c'x'

34


41/166

s

(

,

x

,a

,

t

O

:eJ

x

,

e

'c

(

x

,

,

f

,

x

?

x

,

S

x

:

E

'

x

E

u

E

'3

r

+

"

\

(

P

Z

x

x

(

ea

x

,

n

7

a

e

P

e

eu

fa

-

T

nB

D

z

u

'1

e

T

xx

x

zx

,

u

lnu

u

q

1

'

(x

1

o

x

7

T

zx

,


42/166

=*f'*'3'(tg2

-irr*ul*+f,

3xfl)d(tg3x)

,ro , x

*

c.

15.

Tentukan

,

(.r3

*

a*

Penvelesalan

:

/

l'*'

x

dx

=

(G""2

).,

-a

=\tg

16.

Tentukan

,

f.te

Pe".vSl"salan

t

r)

Eg

x

dx

=

fr""z

x

ts

x

ax

-ftr

x

dx

lneosx*C.

dx.

("rsa

x

dx

=

("rr'*

("o"."2

x

-

1)

dx

))r22rz

:

[i".,,"::"

r,:.":";

J."

l',,

=-1".g3*

+'"tgx*x*C.

17.

Tentukan,

fr".a

2 x

dx

x-

xt

4

x

xdx

dx

Penyelesalan

:

(r""4

2xdx

=(t""'

2x(r

+tgl

2x)dx

)

Jr

)

=,-r)(1

+

rg-

2 x)

d tg

2

x

=,"etg2x**tt'2x*C.

18.

Tentukan

,

Go"."6

*

d*

Per,yelesalan

,

/

Go"""t

x dx

=

(


43/166

t

.

A

e

-

-

:

nu

g

'

f

"

^

=

*

f

*

lJ

e

1

.

z

z

+

J

:

E

r

.

ZE

S

+

Dn

.

*

f

+

J

X

:E@

x

u

:

x

*

[

J

*

(

J

x

"

n

.+

(

p

[

8

I

:

@

f

x

n

f

t

a

a

s

:

-

ou

"

E

(

"

u

(


44/166

=-5r,,[.o"

rf

-z*l

24. Tentukan

,

Gfo

3 x

sin 5 x

dx

t

Penvelesaian :

/'"ro

J

x sin

5

x

dx

=

ra

(6os

2

x

_

t

;). ^

1

=Z-s1n

r*-T6

Soal

-

soal

:

-

cts

(+

-

z

x)

|+

c.

cos

8

x)

dx

slnSx*C.

224.

I".gs3xdx

223.f"o"".82xdx

zzo.

rc3

i

"..3

|

a*

zz7.

(


45/166

6

'3

n

J

I

4

,

:

B

n

n

+

=

:

P

T

.

B

up

e

'a

e

q

u

B

e

n

y

a

s

B

.x

e

J

Tu

E

BT

B

e

B

-qp

?n

e

u

-

e

J

E

E

VN

Z

's

J

x

r

x

-

z

s

s

z

x

7

J

I

J

J

T

J

J

J

x

€

x

.

r

"

x,

"

x

)

x

F

J

'

.

E

'2

'T

'o

x

x

x

x

z

x

.

*

s

,

x

x

3

t

x

x

'E

4

z

,

u


46/166

Oleh karena

bentuk

integral

tak

Eertentu

adalah

dari

fungsl

x,

maka

pada

hasil

yang

terakhir,

perubah

u harus

'dikernbalikan

ke

furigst

dengan

perubah x.

Ilenggantl

perubah dalam suatu

integral tak Eertentu,

dllakukan'sesual

dengan

bentuk integrannya.

a.

Substitusi

fungsi aliabar

(1)

Jika lntegran

memuat

pang,kat pecahan

dari bentuk

a

*

bx.

Dlambll

substitusi,

untuk

a

*

bx suat,u

U yang

nempunyai

pangkat,,

sehingga

sesuai

dengan

a

*

bx.

Contoh

-

contoh

soal.

1).

Tentukan

-)

.[

x-

)

e+3xy2/t

1-

,r7

-L

53" 9

Penyelesalan

:

Pangkat pecahan

dari

2

*

3

x

adalah

z

_213

dan

U'

=

(2

*

3

x/

?

3

U-

dU

=

3 dr

__+dx

j

Dari lJ'=

2

*

l

x

----+

x

Jadi :

makadiambtlU3

*2*3x

(u3

-

z)2. u2

gu

-4u3+4)du

U2

uo

*

t

u

+

c.

I

J,

=

tJ2

1

3

tl*'

f

du.

(u3

-

z)

r2

lx clx

)

u;;m=

Maka:

( *2d*

),';;7"

+

t

xy4l3

*t


47/166

I

'

[

?

*=

la

=

_

(

.

o

x

"T

:

uu

BE

t

=

.

+

f

"

J

+

i

-

:

eu

T

+

:

eu

c

n

L

*

=

z

:

TG

x

'c

*

x

'c

L

'c

7

,

+

'

"

r

U

-

x

"

G

u


48/166

Jadi

:

f

l':e:A

.

l--OX=

lx

)

Tentukan

,

(

I

Penyelesalan

:

/

2

Andaikan

:

U

,l

+3ln

xdx

F+

t'

=x*3

--t

2UdU=6;

2

x

=

U-

-

3.

3

-

It:n

3

+

\G_ln

l*

..

4).

Mak

I

'x

dx

=r/'(u'-r)

uuu

)u

=

,

{,

23

=5u

u2-:)uu

-

6 u

+

c.

Jad

2

3

-

ol[Jl

+

c.

(ff).

Jika

Integran

memuat,

pangkat

pecahSn

dari

bentuk

a

+

bxn.

.Dlambil

substitusi,

untuk a

+

bxn

suatu u.yang

oenpunyal-

pangkat

sehingga

sesuai

dengan

a

+

bxn.

Contoh

-

contoh

soal :

r ,

2

2,312

5).

Tentukan

.

|

(x

-

a

)

dx

)x

,

Peqyelesaian

:

Andalkan

,

u2=*2-^2-2udu=2xdx.

yang

klta

butuhkan

bukan

x

dx, akan

retapi

*.

Ma

k

",

*

=tg=,

selanjurnya

:

U +a

(

G'

-

,2)3tz

o*

-

(,,,

-

u

)

x

-"=)"';+

*=l#

(2

2

^4

I

(u

-

a-

+

;----i

du

)

ur+rt'

13'.ra

=ir'-^'n+aJarc.g9*c.

.ladi

hasll

inregralnya

i

42


49/166

€

'0

.Z

.

-OO+

,,

U

x

€

:

'3

+

4

o

u

nT

o

u

z

-

Z

n

7

V

/

EEX

xE

,

u

:

a

eu

'n

z

B

*

O

+

Z

*

"

r

E€

\

"

nu

x

z

+ 'c

:

'C

L

Qt

=

T

z

,=

o

(

,

Q

x

r

+

*

=

O

c

3

'o

x

,

'$

E

7

eZ

T

.

zz


50/166

(111

)

.

Binomlnal dlf ferenslal

(1).

(11).

Bentuk

dlfferenslal

xm

(a

+

uxn;p/O

O*,

dimana

q)Pn#0,

p

dan

g

semua

bilangan

bulat dlsebut

bigomlnal

dtfferen-

glal,

(Sedang

m

dan

n bllangan raslonal).

Bentuk

lnregral

, ** ("

+ uxn;P/e u".

dapat

dlselesalkan, dengan

menggunakan substltusl

:

subsrltuel

uQ

=

a

+

bxn,

urra

Lp

=

bulat

atau nol

subsrltusi

UQ

xn

=

a

+

bxn,

blla

t+f

*

*

=

bulat

atau

nq

nol.

Kedua

sy at

diatas inl

dlsebur Syarat Chebyshev.

8).

Tentukan

Penyelesal-an

Dlslnl

Maka

Jlambll

Tentukan

Penvelesalan.

Dlslni

at

t

m

I+

-\*L_c

4

F'

1lot

=--.n=-. =-

2"', 4

q

3'

n*l

=

(u3

-D4

dU

l+xk=u3

dx

=

12

-----)

2

(u3

-

r)3

Ja

l

_ireu*=

v"

dl

"/**/.,

74

L2

(i-f,

*.

T2

=J(

f

13d*

)

\

";;77'I1

m=3;n=2;p=-31'q*2

=

nl


51/166

s

x

'c

=

T

t

z

z

o

'

.

Z

.n

b

uZ

T

E

Bq

T

o

:

P

3

x

,

:

*

-

nTZ

x

f=€=

:

nT

e

IP

T

b

,

d

l1

r

.

*E

d

n

4

o

n

z

o

Z

.

rZ

x

u

*

T


52/166

=

(?

*2

-

t)-(t

+

x2r\

+

c.

-;J.

Ll).Tentukan

r dx

')W

Penyelesalan

:

Dlsinl:m=-2,n=4rP=

m*l D

-+

nq

Olen

kareua

ltu

diambtl

:

,'*o=15+x4

-3,q=4dan

?=

-

I

(bulat)

2+1

=-

4

t^

(u'

-

,>s

14

.---_-+

dx

16

4

U

-I

2u3

=-a_F

Jadt

:

fdx

(77ru.7Ft'-

)

/

-

z

u3u,

-

I


53/166

L

n

J

'

x

'

BB

uT

oO

n

O

'x

'3

Z

x

u

u

,

'

J

t

s

o

L

i

'n

L

,

Z

0

-

E

n

n

'c

E

+

.=

+

0

z

EB

u

uA

x

Z

I

'c

*

'C

O

O

E

u

*#=

%

s

o

g

g

7

O

*

*

T

EE

r

x

"

.T

;@

u


54/166

Pandangbentuk:2x

=4["."3uou

)

=2secutgU+2

rr,

l"u.

u

+

ts

u

l+

c

-%(x-1)

2-ox)+27=\(x-3)2

O"=isecutgUdu

Andaikan

Sedang

Maka

(

*2d*

l,n=

(

O

*

sin

g

j

.,"L

=

f,t

+

2 sin

=

fr,

*

2 sin

=|o

-

2

cos

)2

0+sln2Dd0

b

+'<

-

cos 2

b

d0

0-'


55/166

6

:

t

B

BT

>

9

€

d1

uP

,

r

i

-

n

n

-

e

E

e

a

I1

Iu

B

1

-

ea

e

x

-

SBP1BB

/

+

r

BB

le

T

x

z

T

:

.

t

o

B

u

le

ee

e

e

'U

(

.

fp

8

p

fH

s

e

.

a

+

7

'

a

J

B

u

0

g

+

Iu

s

B

eo

t

ls

'3

I

T

B

o

x

u

nB

lBu

'3O

T

E

o

z

8

r

n

B

T


56/166

(1).

Semua

f ak to

r

d

a

r

l_-pS_Ug gt_

l.Lltgf

dan

b e rlai

nan

.

Jika

pecahan

rrisional

yang

proper

f

(x),

penyebut

g

(x)

dapat

dinyatakan sebagai

perkalian

faktor-faktor

linler

yang

berlainan,

mlsalnya :

g(x)=(x-ar)(x

dlmana

:

a,

t

a,

*

a,

*

F(x)=lE=+=.

*a,

n

a)

n

rnaka :

i).

Tentukan :

Penyelesaian

:

Penyebut

:

Oleh

karena 1t

2x*1

A:

-+--_+

,-12 *-"3

BC

v.-2 x*3

A

Jn

x-a

n

+3)

Az

Untuk

menghitun8

A1,

nZ,

Ar.,

kedua

baglan

dlatas

dl-

samakan, atau

mengambil

harga-harga

x tertentu.

Jadl

dt-

slnl

ada

dua

methode

untuk

menghltung

koefflslen-koefflsl

en

tak tertentu tersebut. Agar

lebih

jelae

dlambll

bebe-

rapa contoh soal :

{:

2x*l

7x*6

*3-7x*6=(x-r)(x-2)(x

u,

pecahan

raslonal dapat ditulls

;

dx

-r)(x+3)+C(x-1)(x-2)

*-r

Maka

dipenuhi

2x*1=A(x

Untuk

mencari

Methode

A-

(x-1)

(x

bentuk :

-2)(x+

nl1ai

A,

B,

-

2)

(x

+

3).

3)+

dan

Bagian

kiri

i.dentik

effislen

dari

x

yang

harus

sama.

dengan

bagian kanan,

berpangkat

sama

dari

(x

-

1)

(x

+

3)

+

C

(x

-

1)

(x

-

2)

dlambil

dua

meEhode.

berarti koef

f lslen

-'ko-

kedua

bagLan tersebut-

B

C

50


57/166

IS

(+

Z

ee

h

tuz

-

T

3

eB

(

+

Z

[

,

x

fJ

n1

L

'sTu

s

\

u

C

T

g

=

V

=

t

:

u

qe

(

+

+

+

'g

a

3

u

(

l

^

c

l

t

z

"

"

+

\

'

'J

3Z

3

_

L

IA

U

f

x

U

AT

(

lU

n

e

Ja

]

JA

9

t

a

S

S

S

:

B

-

Pu

x

o

x

x

(

r

1

.

se

€

*


58/166

3

*2

+

32 x

-

88

=

A

(x

-

3)

C

(x

*

2)

Digunakan metode

B.

Untuk harga

: x

=

2

------+

X

=

3

---q

= -

4------+

-

-12=-6AdanA=2

35=

7B

danB=5

168=

42Cdarr

C=-4

dx

"-2

_3)

,I

(x

)s

dx=

J

I

adi

3*2 +

32 x

-

88

*'-*2

-:.4x+24

=2ln(x-2)+5ln

=ln

'(x

-

z)z

(

x

-

3

L

(x+4)'

3).

Tentukan

x

-2Ox*2

5*2+4*

Peny_elesajlan

:

Penyebut ,

*3

Maka :

Ternyata

:

)

25x'-20x*2=A

Digunakan

metode

B-_

Untukx=0--+

x=1

a

25x'-20x+2

=A

.'

B

3 .2 , x x-l

x-)x+4x

_

A

(x

-

1)

(x

-

4) +"Bx

(x

-

4)

+

Cx

(x

-

1)

x(x-1)(x-a)

+5

-4

(x-1)

(x-4)

-,f#r

4)+c

(ax

,|.

-l

ln(x*

+C

dx

3

x

'

-5*2*4x=x

C

*

---

-4

(x

-

1)

1"

-

4)

+

Bx

(x

-

4) +cx

(x

-

1)

2=

4AdanA=

'4

J=-3Bdans=-I

3

x=4

-)322=

12cdanc=191

6'

52

Jadl


59/166

r

z

(

(

'T

'

.

(

+

z

x

u

V

-

=

X

Z

S

u

un

B

-

,

"

IA

I

e

J

x

x

,

)

x

p

x

'0

-

un

=

<

=

-

x

e

=

,e

_

Z

o

f

r

z

-

-

z

:

,

x

-

us

.

TB

ZT

_

4

z

v

{

;

BT

T

g

,R

_q

i

u

'1s

e

q

E

ln

'

B

T

ln

t

'J

J

x

T

u

x

r

J

-

x

.Z

Z

z

p

x

*

Z

Z

x


60/166

It

-31a(x+2)**_f

+C.

5).

rentukan

fi-L

4'

lx-

(x

+

2)-

Penyelesaian :

/

*2-2 A B c D

E

1-2

=;--z--3-;-Tz -.

^.2

x-

(x+2)-

x

x

-

(x+2)

-

A

(x

+

z)2

x1=

+gx

(*

+

z)2 +

c

(*

*r)2

*

3

-.2

x

(x+2)2

*'

-

r=

A*2

(x

+

2)2

*

B*

(x

+

2)2

+

c(x

+

2)2 *

D*3

(x

+ 21 +trx3

UnEuk

x

x

-

0---------)-I= 4C

danC=-L4

=

-l

-------)

2--

SEdanE=-k

Harga

-

harga inl

dlma:;ukkan,

kemudlan

:

)')?

*'

-2+\

(x+2)t

4LuyJ

=

x

(x+

2)

Ax

(x

+Z)

+

B

(x+

Z\

+o*2

\,x

(x

+

2)

(x

+

4)

=

x

(x

+

2)

Ax

(x

+

2)

+B

(x

+

2\

+Dxz

)

*.

k +4) =Ax ( x

+ 2

) +B (

x

+ 2

)

+Dx'

untuk

x

=

0

--+

I

=

2

B

dan B

=

Le

x -

-

Z

---_*---+

tl=

4

D

dan

D

=.+

Sedang dengan

metode

A,

terdapat. bahwa

:

A

+

D=0--_-)A=-i,

Jadi:

(G2

-

2)

dx

t

(a*

.}3;;;r=-,)"

t[#r'r.kf*

r(+-r(\-

lx

Jx

54


61/166

s

.

ln

uE

uu

'c

'0

V

-

T

ZX

+

3

r

x

T

"

x

)

:

P

fT

x+

(

xC

i

H

(

Z

T

r

n

:

5

:

nu

r

u

ou

J

g

:

u

T

e

+

;

e

d

;

(

+

x

x

J

c

p

(

-

c

TT

x

l

z

+

I


62/166

.

*3**1*-*

*

z=g+n cx*D

'm=l*r*J*,

-

(*

*

r)

e*2

*

z)

*

(.*

*p)

(*2

*r)

(*2

*

1)

(*2

+

z)

Ternyara,

*3

+

*2

+

x

*

2=

(Ax

f

B)

(*2

+

Z)

+

+

(cx

+

D)

(*2

+

t).

dengan menggunakan

metode

A :

K.,effisier

*3--+l

=

A

*

C

i

Koefflslen

x2

-+

1

=

B

+

D

Koefflslen *1-1

=

2A

+

C

;

Koeffisten

xo

1

2

o

28

+

D

Dlstnl

ternyata

ada

empat

persamaan,

dengan

4

anu

yang

harue

dicarl.

I*l,aka

:

A

=

0,

B

=

I,

C

= 1

dan

D

=

0.

Jadl :

(

13**2*x*z f dx r/xdx

Jr?;)-A.

r,

o*

=

)5,.);'.,

=

arc

tg

x

+'e

Ln

(x2

+

2)

+

c.

3

*

zo

*2

*

35

x

-

13

8)

.

L'entukan

,Iu

dx

*2(*2*4x+13)

PenJ,elesalan

:

7*3+zox2+35x-13

CxtD

*2(*2+4*+13)

*2

*

4

x

*

13

Maka :

7

*3

+

2o x2*

35

x

-

13

=

Ax

(x2

+

4

x+

13)

+

+

n

(x2

+

4

x+

t3)

+x2

1cx

+D).

Untuk x

=

0,

terdapat

-

13

=

13 B

dan B

=

-

1.

7 *3

+

2o x2+ 35

x

-

13

=

Ax

(x2

*

4x

*

13)

-

(*2

+

4x

+13) +

+

*2

(cx

+

D).

AB

=

-

+-=-*

xl

x

56


63/166

L

x

:

(

r

--

+

-

.

t

"

v

n

T

uJa

unu

:

u

-

u

T

t

s

gy

p

'T

-

U

-

8

:

1

u

e

T

T

n

e

n

E

-

oe

u

(

'E

e

P

n

e

'D

+

r

6

I

I

x

3

+

+

I

T

"

"

"

+

Z

-

x

x

x

€/

-++

x

t

T

,

J

f

L

e

+

+

(

Z

€

x

(

-

Z

[T

(

'6

O

e

'

Z

€

e0n

'

[

+

x

a

+

Z

Z

e


64/166

2

x

-x+4

(x-1)

(*2

+2x+D2

2+zx*Z

______;

dx

x+2\'

2+2*+D2

=---+

x-l_

IJx+C

Dx+E

A

2+(gx+c

(*2+2x*2

Dr.+E

x-1

(x-1) (x

+2x+2)

+(ZB+2C+D)x+2C+8.

x-1

Maka

:

*.2

-

*

*

4

=

a

(*2

*

2

x

+

D2

+

(Bx

+

c)

(x

-

1)

(*2

+

2

f*

2)

+

+(Dx+E)

(x-1)

Untuk x

=

1,

rerdapat 4

=

25

A

dan A

=

*.

Setelah

A

dlmasukkan

dan

dlbawah

klri,

terdapat,

bentuii

:

\.f

zs

G2 -

x

+

4)

-

4

(*2

+

2

x

*

Dl=(x -

1)

[tr*

*.1'

Z)

t-

(*2

*

z x

*

2)

+

(Dx

+

E)]

i,

G

*2

*

zo

*'

*

r) x

+ 84)

=

B*3

+

(2B

+

c)

x2

L2

B

60

B

dl

i

.2.

jad

dx

x-

(-

l(x

5

1s

'ja

d

"

menj

'f

+l

=

et

1

5

C

D

E

gtrl

4

1s

+

Jika digunakan

identit-as,

L

R.=--

-25

zB+c=-#

dan

2B+2c+D=_*dan

zc+E=-X

dan

Jadi,lntegralsekaran

(r*2

-

x

r

4)

dx

l'-=

l(x-1) (x-+2x+2))

t.erdapat

:

1

5

L2

=--=-.

)

:

1,

1l 4x+LZ

-qA

aE I o

" l*' I

2

x

t

Z

/

L2

+2

58


65/166

6

1

u

c

-

I

z

,Q

(

"

:

eu

(

L

(

c

+

t

+

T

i

B

I

T

:

e

?G

x

o

r

9

x

,

'3

o

,

3

z

O

Z

'g=T

a

(

n

Z

x

q

+

u

l

1

I

*

"

.

,

fJ

S

-

0

9

s

I

T

J

O

T

x

x

T

(

-

Z

-=

7

+

Z

.

(

{

x

Z


66/166

10).

Tentukan

Ery+sxles

Ditulis

koefflslen

koeffisien

koefflslen

x

Maka

Menggunakan

metode

A

,

terdapat :

(z*3*x*3

)-;r;;

o*

2 *3 + x * 3

(*2

+

z)2

Ax*B.Cx

+

D

-

-T--

2

x'*2

(x'+2)

Z

*3

+x *

3

=

(Ax

+

B)

(*2

+

2) +

Cx

+

D

3

1

i/.

:1

:3

x

x

o

dx-

teg

dx

_A

=

2A*C

=

2B*D

+2)

1

;

koeffisien

x' : 0

=

B.

dan

C

=

-3.

danD=2

bentuk

,3***

I

(

Jad

r

in

3

ral

:

(2x

=)t;;

=

ln

(*2

*2

*

.212

(

t"-z

)a;;7

-

. f-:---dl-

)r*'+z)2

dx

x

+2r

)r '*r)'

Dlselesaikan dulu

integral

:

(dx

J,:*

'

misalkan

:

x

=

.*E.

te

e'

dx

=1[r

see

*2-r2

=2(reZ

2eag

=2"""2g

o

=

kl?f"""

e+1)

2

eag

=

'4fr

f,

"

+

eos 20)

de

=

*

{Z

(o

+'"

sin

2e)

+

c

-

}YTarc

rs6.

-

--'T-

T

u'

4

(x-+2)

60


67/166

I

(

,z

n

Z

,

z

_

n

(

o

=

{=+

Z

-

L

-

l

(

'o

:

e

^

i=

z

x

a+

uT

u5

un

:

u

q

u

q

:

T

lq

Bp

e

'e

q

p

*

:

E

lesss

u

P

(

1

r

c

*

J

,

=

+

:


68/166

=,

f*,f*=

2

rnl

##l-'"lFi+l*..

2).

Tentukan

Penyelesaian

Andaikan

,(

)

:

x*1

"-1

z

egral adalah

:

u*=f,

#o,=-f*u,

x=

,3-L

Pandang

dulu bentuk

:

or3

613

a

(z

-

L)"

(r2*z+L)2

B

*

---------

z-L

.

Cz

+D

Ez*F

-c\;;Tf

-

*;;

Maka :

6

"3

=

t

(r2

*

z

* t)2

+

B

(z

-

L)

(r2

+

z

+

L)2

+

(cz

+D)

(z-t\2+

(Ez+F)

(r-t)2

(r2+z+L)

Untuk

z=

L-> 6

=

32

A

dan o= . Jlka dimasukkan terdapat :

6

.3

-

t

rr'

t

z

*1)2

=

(z

-

Ll[,


69/166

€

t

'z

I

T

.

,C

z

"

"

o

a

T

l

:

u

(

Z

+

+*

Z

'

,

+

f

,

*

z

z

{

:

npET

+

z

=

9

u

'

+

Z

+

(

O

+

r

E

2

g

e

z

z

$o

,

O

T

G

Z

z

Z

*

l

+

f

I

-

-

(

,

"

(

-

's

"J

-

z

f

r+

U

U

(

€


70/166

I'{a

I

ka

,

lntegral menjadi :

Maka

-

1T.'"

-|r,

I

p"."

2

e

ae

|

"..4

e

=l+

{T"o"2

o do

=

;

n

[t,

*

cos

2s)

d0

=i{:

arc

ts

?:;

2z*l

l' 612 2 2

)r*dz= -;;_"

+5,n

(

1

Z

-

L)

-

----

,t+r+L

L2(.2*z+t)

+C

2z-L7

L2

(r2

*

z

+

1)

-lr"

(,2*z+L).: i

^

*|rlT.'"

trLlJ

12(z'tz+L)

'

3

-BVtarctsL+J+c.

?

*-

2

*f,r.,+e_:-l)--"

3(z-1)

'

z-

+z +1

te4+ c,

3

Jadl, hasll

terakhlr

darl lntegral

,

adalah

(

liEa*=

64


71/166

s

s

l

+

(

T

in

=

L

(

z

z

L

_

n

+

n

X

\

:

@

:

t

:o

u

'

:

n

J

(

n

'=

t

:

Ts

Iu

1

a

r

+

Z

"

x

:

u

.

t

.

,

T

r

(

"

0

x

+

)


72/166

=1n

3x*2

l.'

4)

l-------i_-

+

3

-V7

x'

+

6 x

*

1

dx

(x-2)\El";

entukan

Penvelesaian

Andaikan

Penyelesalan

Andaikan

Sedang

Maka

x

{

^1

-l=ilrx=

1

dandx=_:2du

U

^

t

-3u2

-


73/166

L

*

i

n

'c

"

+

t

I

{

-

*

L

n

(

7

"

t

x

I

I

I

3

B

.

zz

z

z

T

u

unu

Tu

Z

:

Ts

T

sBp

:

B

x

"

T

.

I

,

T

Z

z

cg=

T

7

-

n@

z+

-

$L

z

z

x

*

z

.O

+

*

.


74/166

7).

Tentukan

Peny_elesaian

:

Andalkan :

Sedang

karang

2_

x

*x*'2=

')

u"-2

A-,

L+2V

(u

-

x)2

=

u2

-

2

xtJ

z(u2+u+z)

(1

+

2:rlr2

dx=

u2+u+z

l+2u

+x

dU

dU

dU

Se

I

I lr- 2

=-rfl

2

I

u+ 2

f

z$2+u+2)

t-

I

tL

+

2

q2

=lm

ll-+2u' 1+2u'

(du

-

)I

-

Ll

.

)u"-

2

t{}r"

+C

+C

integral

tersebut

diatas,

dlambll

2-22

=

(x-a)

U

lD

*

x

*

2

*

x

*

1E

(iv)

Integral dari

bentuk

,

yang

memuat

:

dimana

bentuk

tersebut

dapat ditulis

Untuk

menyelesaikan

substitusi

i

68

2***2

*x*2=

2**iz*x-

p+qp-x

p+qx-x

(x-a) (b-x)

atau

p+qx-x


75/166


76/166

'l#if,,"'

=

rl4-+du-4{#

=-irL_du-

,f

du

')G

-.)(7.

Pandangdulu

;substltusl:U-tg0

1u"

+

1;'

du

=

sec2

o do

sedang

u2

*

L

=

tgz o

+

I

=

"."2

g

MaLa

:

I**

=f*ae=l'o"2e

=

\g+ ksin

2g+c=\arc

tgu+

?

d0=LI(1+coe20)d0

)

+c

Ilasl1

terakhir

:

f2xdx

J----'---"-=_garc

)t*-6*2

,

(u'+Dz

rsu-zatc

rsu-jff1, +

c.

2V

tg

U

-

-+

C

u'+

1

.-10arc

2-*

c.

e.

Fungsi

rasional

dari sin

x

dan

cos

x

Jlka

lntegran

suatu

lntegral

,

merupakan

suatu

fungsl raelonal

darl

sln

x dan

cos x

,

maka untuk menyelesalkan

lntegral ter-

sebut

diambll

substltusi

:

=

-

1o

arc rs

, 1>\ -

z

,=

.ri dan

x - 2 arc tg

U,

U*

=ffi

5x-5-x

70


77/166

I

s

o

(

.

n

t

E

x

I

:

,

-s

n

-

C

=

O

-P

z

:

x

[

n

x

{+

+

_

-

z

r

O

*

O

r

.

nu

x

s

u

,

'c

{

,

o

-

x

:

U

z

o

'

-

C

-S

n

z

x

'

P

o

I

-

=

x

o


78/166

?r

du

;l

,,';T;T=

t t*i

+4

tC

--"-J--

--

fdx

)2

+

cosx

2

5

u+4

f

arc

tt,

L-1r

+

C.

2

=

,arc

+

c.

3).

Tentukan

Penyelesalan

Andalkan

Sedang

cos

x

4).

Tentukan

x=2arctBltdandx=

?

I

-

rr-

1+I'

2du

*sinx-cosx

l+I,

VJ"."ts(+ts\x)

*

c'

Je

ft

sx

t

x

co

d

d

+

2du

2

1

+u

dan

dx

2

3

dx

Penyelesalan

:

Andalkan

Sedang

Jadi

:x=2arcEg,

lJ

2u

:sl-nx=------;

L

1+U

:

2du

;;;r

1-u2

*sinx-cosx

f

u

(1

+u)

f

x

dancosx=-,

1+u-

2du

-*-a

1+u

--_-----v

2U L-TJ.

.---v

l+t-lz

l+u'

:tr,='ff?=-3""

tg-e*''

72

-fu

-(-*--=

ln

u

-

ln

(t

+

u)

+

c

/

"

/1+rr


79/166

I

J

,

-

x

=Te

,

%

x

x

tz

r

'c

h

+

c

3

T

gT

E

=

8

E

'c

,

,%

{

n

/

z+

t

z

)

.

?

e

+

,

,

I

z

o

z

7

=

z

J

cx

:JE

o

[

x

T

=

s

U

:

z

A

o

J

ss

uL

l

'

un


80/166

,?0.

I

(3x+r>y'*f*4x*1

*'lf*r"

zat.(

G

u*

)x

zaa'1,.-r#;r,

zas.

(

}6=?

)

v]-

,ro.

f

",,

Vr'ax

zer'{

afffi

zgz.(

x

dx

-

\r*-;?

,et.(

G2

-

a2)s/2

"'),:--;=l-dx

(1

+

vr)312

d'r;

x

-e

dx

u-?;

*2 dx

11*'Po*

2x

edx

F-l

,rr.

lffi

,rr.J,.

{I-7

dx

,oo.

frf.-*

,'

dx

,or.

f

*'V7I7

dx

dx

,rr.

(

*8

frP

o,

)

z7z.

1

x dx

-''')(3+sx'131s

273.

(

d"

)4+\6T;

274.

(

,[7

-?

o*

)x

275.

I

rEl

u.

)-

3

no'

J;rhu

dx

,rr.f#

zte.

(

dx

)

lilT

27s.

r

__g_

")*vJlrp

,ro.

1

*'

{.

*

*)k

a*

28r.

[

-2

lT*?

dx

)

zaz.

(

"'*

GII

u*

)

zat.

lr#=

za+'

{.-*5'"

285.

(

,

u*

=

.

)

,,1

t + e2x

,ro.

t

,rt.

,rr.

*r

.l

74


81/166

S

x

-

x

/

Lz

x

(

L

-

x

x

x

J

J

J

J

(

.

Z

x

x

,

i

o

-

t

Z

x

,

(

Z

l

x

x

(

L

x

,

,

(

t

x

(

+

,

x

l

x

(

+

(

c

,

r

z

r

|

x

x

,

x

i

z

x

*Y

x

,

i

)

8

0

"

x

o

'

e

*

-

u

*

-=

o

x

z

Ju

,

-8

:

x

*

g

"

*

[

'

Z

a

"

Y)

?

x

J

J

.

Jn

J

t

J

J

,z

l

x


82/166

wl

,ro.

I

3:,s.

I

,,o'

I

,rr.

I

na'

f

trr.

f

xo.

I

dx

-

(*'+6x+34)L

3

x clx

7;7W-

dx

x(9+4x-)

dx

*2

*,

x

-

3

*4**3

-g*2 -5x*6

*3**-1ox*8

dx

x

(*2-,r)

*3

dx

*2

-

4

x

*

3

*2

dx

6 _

3

x

-)x

+6

x

edx

"2**"*-2

dx

x(x-1)-

Y?

a"

(t+zx\2

dx

\rf

3so.

('*' -

'2

*

-

'g

dx

) (x+2)'(x-5)

348.

349.

(*4

+

*3

*

16

J

;;2.;g'.

(z:,3_+

u2

+_z

u +

z

dy

)

v

'

+

3

y'

+

2

dx

r.

I

dx

I

53

*5*913-9*2-9

*2

-

2

x

*

2

*3

*

2

*2

-

5

x

-

G

dx

/

z*2+jx*2

3s2.)ffi

'l*3*3x

2*3**

z

3s4.

I

*3

+

9x

f

f

I

I

I

I

f

34L.

342.

343.

344.

345.

346.

347

76

*3-5*2*17*a3

z*4

-2x*L

-T--

x

(2

x

-

1)

*4**2*2x*4

3

x

*4x

3ss.

[':

*]

+

g

*-+

r

.*

)

*o*3*

3s6.

fls++r}-el-

/x--5x-*6x

is7.(4*2tz*#a*

)

*

(*z

+2)z

3s8.

(--32-

l

x

+x

+x

3sg.

ltr-xz

+

o

^*

*t

+

3x

xo.

l1r;r_=

361.

(

d"

)t-"*

dx


83/166

L

T

x

'€

,

'

'0

'5

'8

.

L

x

x

x

x

(+

0

x

*

'+

L

x

x

'

(

S

,

-

*

'€

d

-

,

t

,

sx

5

?

'

'1

z

,

+

z

x

J

J

I

I

I

J

I

J

|

x

T

,

x

,

x

Z

1

,Ez


84/166

(x-1) (x2++)

*3

Vru

-

*2'

d*

"'f

;?*.-

yo.(

xdx

'"'l

(x-l) (x2++

nt.

{

*3

Vru

va.

(

dx

"'

)

."

("*

+

L\2

ns'f

-T+-

)

x

+

9x-

,'o'Irftr

381.

(

**

-''

)

x

(*2+r)2

$2.

(

=d*

J

*'+t

w'(

r5

)

x

+a

)

sa,-.

( x-

*-

x

dx

J

t*-r>

(xa+1)

fdx

385.

I

)

(*'+zx+z) (*2*2x+5)

(dx

386.

1

-

)

(*z

-4

x+3)

(*2+4x+5)

tl5

ao, I

x-

dx

,, x'*x- *2*2 *x*1

,rr.f

-

*5d*

'--')

(*3

+

t)

(*3

+

s)

trr.

I

I

4+g*3-*2+2xrl

(*2

+

*)

(*3

+

t)

dx

0.

1.

39

39

fdx

J{n;

'6x2-12x+3

dx

3rr.

I

xU2+x-x

r-L

/

"Yxz+x+1

uo[+

.ro<

[

"*

dx

""

)

("*

-

t)2

(.2*

-

1)

3s6.

(

:

d*

,l*o-a

w'[F;;k

$a.

(

,d*

,l

**+t

w

lFft

^rr.fi;I

aot.( I-18

dx

)o*t

r9x

78


85/166

6

e

z

x

x

.

'€

.

.

T

'0

'6

'8

'L

'9

's

'

I

7

x

.

"

r

x

,

x

A

a

x

"

,e

x

(

,

z

e

+

z

e

+

r

+

s

g

J

I

I

I

J

J

I

E

"€

x$

"

I

*

)


86/166

414.

f

415.

I

oru.

I

4Lr.

f

5x*9

1*

-l,lm

o"

2

xdx

G

";fiz

dx

(x-2)\-(*-213/t'

x*2

dx

x

G-

:

,'

y',.

*

J

dx

dx

m

dx

?

a;5'tr

(6

x

-

xz)312

$1.

(_lE.J_

6*

)

1T+r-r

432.

(

--ts"^-

dx

)

x-x

433.

(

o*

)

**

z

1f,+s

o"'l*o-

,rzo.

|

"s

1a

+

x3)3/2 dx

dx

t

27

t,

I

428

429

orr.

f

4te.

I

+zo.

f

ax'

f

o"'Ja##'"

dx

t

34

'f

(x+l)k-

(x+t)514

5

xdx

424.

,_-:: am

a

*

bx-)

425.

dx

*3

(1

+x

426.

( o'

=,=

)

0+x7312

I

I

437.

(

"

at

-'"

)

Qv+tral'

(x+3)dx

(x+5)Vx+4

5

xdx

(t

+

*3)312

ue'

I

otr.

f

a-x.

-

.-)dx

a+x

x

Yx-+3x+25

r+x3

80


87/166

x

x

l

.

c

x

.

|

I

x

f

x

I

I

I

I

,

Z

'6

'g

.

L

'9

'9

'

.

E

"4

Z+

'x

f

|

J

J

x

,

,

l

x

,

{

"

J

"

*

-

x

'x

x

x

A

e

,

x

"g

|

,G

.

x

'z

gL

z

x

5

x

'z

-

z

e

,

x

z

x

-

o

U

z


88/166

464

(

{{-;

"'

)v

465.

467

.

468.

Vr

*

4 x

*

5

x'

1fr

*

z

{f"-

x

+

\f;;f

4dx

*-,l[7-;

*

*,

dx

*

r6?-i*

-

,.

dx

orr.

I

.l?;

466

[:

,rr.

I

'tl.*

dx

,rr.

I

dx

4bs.

f

*'

u*

)

\[;--r

1-

Yx

+

V

x

rdx

480.

|

-rir--ffi

)

x

-x

,rat.(

x

(1

+*3)1/3a*

)

/du

482')G

-;7n

/dx

o83.

|

----:

)

*o

V*'-,

(*3+aa.l --*-

dx

)

',1

x

-

I

dx

470.

o',r.

f

*2m

4xdx

w

dx

*2

\[;:?'

dy

,'

,[7

-i

dx

*'v7l

^rr.

I

ort.

I

oro.

f

^r''

I

^*'{

^rr.l

I

f

2

a*

o"'lu*7'

(x-

^*|

dx

82

(*2

-

4)\[-T


89/166

t

r

z

x

*

*

J

J

J

J

x

J

J

J

l

J

O

J

O

x

J

x

.E

.

,

x

-

t

x

9

Y

J

|

I

i

x

z

J

T

x

x

z

/

3

x

i5

j

-

S

x

*

,

,

x

,

+

x

'€

J

I

t

[

x

x

f

*

J

.

,

(

-

*s

J

x

)

+

'

.

-

z

*

-

)

z


90/166


91/166

s

x

x

*

,

,

x

x

+

{

J

iE

_

g

"

xs

x

x

x

f

I

I

J

J

J

J

u

O

s

x

J

J

J

I

I

t

|

x

T

e

t

J

U

T

t

x

x

x

x

S

x

us

x

x

z

x

x

x

z

t

x

t

J

.

IE

'0

'6

'8

.

LE

'g

06

s

O

xs

,

x

r

T

,

x

.

x

J

x

'

x

-

J

r

o

qc

x

?


92/166

2

x-cosx

dx

s

)

x

d

Cr

7t

T

15

)-

dx

dx

x

x-

sln

tgx

x

7E.

4'

;;

sLn

s(5

10x

sin

(

,2

st.n

(x+

xco

;

3co

sin

arc

sin

sln

--T-

1n

t

I

{

I

f

f;

584.

s85.

586.

587.

588.

589.

dx

s7o.

I

sr:-.

I

5?r.

I

5,73.

I

5?4.

I

5?5.

I

5?6.

I

5??.

I

s1n 2x

cos

(2x

+

6)

dx

dx

"or2*

*

sin

2x

*

2

"irr2

*

dx

5 + 4

cosx

dx

3*cosx

dx

4s'e.x+5

ctgx-coqecx

sin

x

dx

til

sin x

dx

2

zs1n

x-Jcosx

I-slnx*cosx

Fua

1*slnx-cosx

dx

sin

x dx

5?8.

I

5?r.

I

silo.

I

ffi

cos

x

dx

"1rr2*-6slnx*LZ

dx

581

582

'

|

"1r,2

ctg

x'dx

arc

sin

(tg

x)

+

sin2 x

x-5slnxcosx

86


93/166

L

A

O

l

n

6

7

z

+

I

z

f

J

z

Z

u

z

r

-

(

O

'

a

n

'

'

=

a

o

-

z

a

n

a

o

Z

a

o

a

r

=

a

s

a

a

n

I

nu

u

(

'1

lo

y

Iu

nu

O

T

e

p

a

UB

1

e

1

'

eu

r

a

su

e

To

ls

n

x

x

T

ps

s

)1HSS

)OH

S

SN

l


94/166

5).

I

-t:tB

7).

sin

2

8).

sin

9).

cos

10).

sln

L

1f).

sin

L

L2).

cos

f3).

cos

2

u

=

-

"o"..'",r,

tl

=

2sin

Il

cos

ll

ll+cos

V=2cos

tr-cos

V=2sin

2

b). cos

(,

*sln2'',="ot

2v

(ll+V)=sin

Ucos

V*cos

(U+V)=cos

Ucos

V+stn

*sln V=2sin

-fY"o"

u+v

-

sln

r/

=

2

cos

-7r

stn

Ir+v

--T-

u+v

1I

sin

V

t.l

sln

V

u-v

-z-

u-v

'T-

tr-v

T

tr-v

-T-

cog

sin

Darl

rumus-rumus

dasar

fungsi hlperbollk dlatas,

dapat dlturun-

kan

rumus-rumus

dasar inteEiral

untuk

fungel

hlperbollk.

2.

RUMUS-RUMUS

DASAR

INTEGRAT

DARI

FUNGSI HIPERBOLIK

/'

I).fsln

ndU=cos

U+C

)

\.(cos

t,dll=sln

u+C

)

3).

/sec

Q.

f"""

2

t,

2u

dU=tB

tr+C

dU=-ctg

tl+C.

,r.f

Ir

=arccos -+C

e

u.rc, jlkalul=r

B

II+c,iikalLl>1

arc

tB

arc

ct

88

D.f

*"a+T-


95/166

6

:

u

J

-

'

.

-

u

GY

'c

1

'c

(

o

=

"

#

"

*

:F

*

u

-

'

x

t

-

I

,

z

(

x

,

I

x

f

)

(

/

AE

s

(

x

Z

uu

un

(

I

xx

uBE

un

(

x

-

'c

'c

'3

'

I

l

=

x

s

e

,

-

:

c

-

I

e

J

-

,

x

,+

u

(

q

\

g

o

z

A

#

q

US

t

1

+

'

+

f

x

'

tEx

F

'3


96/166

f

5).

Tentukan

sectr

1T-

tg

V?

fi.-

:

fx

sin

Penyelesalan

:

f*

"ir,

*2

d*

=

\

frn

=Icos

a*=Jr""

=-2sec

*2

d*

,)

x.2

2

x *

C.

x dx

=

'u{r*

\E

ts

\f.2d(\fi)

V?+

c.

2

^Z

xdx

7). Tentukan

,C"rn

xdx

)

.

Penyelesaian

:

Untuk menyelesaikan

soal ini,

fr

Ixsin

xdx=fxd(cos x)

))

=xcos

Hitung Integral.pdf

Documents

Transcript of Hitung Integral.pdf