Dosen : Nimas Mayang Sabrina S., STP, MP, MSc Kelas : L...
-
Upload
truongnhan -
Category
Documents
-
view
232 -
download
5
Transcript of Dosen : Nimas Mayang Sabrina S., STP, MP, MSc Kelas : L...
MATEMATIKA INDUSTRI 1
RESUME INTEGRAL DAN APLIKASI
Nama : Syifa’ Robbani
NIM : 125100301111002
Dosen : Nimas Mayang Sabrina S., STP, MP, MSc
Kelas : L
Nimas Nimas Mayang Sabrina S., STP, MP, MSc
Mayang Sabrina S., STP, MP, MSc
JURUSAN TEKNOLOGI INDUSTRI PERTANIAN
FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
MALANG
2012
Integral
1. Pengantar
Kegunaan integral sebagai ilmu bantu dalam geometri,
teknologi, biologi dan ekonomi tak dapat disangkal lagi. Orang yang tercatat
dalam sejarah pertama kali mengemukakan ide tentang integral adalah
Archimedes seorang ilmuwan bangsa Yunani yang berasal dari Syracusa
(287 – 212 SM). Archimedes menggunakan ide integral tersebut untuk
mencari luas daerah suatu lingkaran, daerah yang dibatasi oleh parabola
dan tali busur dan sebagainya. Sejarah mencatat orang yang paling berjasa
dalam hal pengembangan kalkulus integral adalah Georg Friederich
Benhard Riemann (1826 – 1866).
Integral adalah suatu fungsi f(X) secara matematis ditulis dan
dinyatakan sebagai antiturunan atau kebalikan dari diffrential
Secara umum ditulis ∫f (x)dx =F(x)+ c
∫dx : Lambang integral yang menyatakan operasi anti turunan
f(x) : fungsi integran, yaitu fungsi yang dicari antiturunannya
c : konstanta
Jenis Integral
1. Integral tak tentu (anti turunan) adalah integral yang mana nilai x dari
fungsi tidak disebutkan sehingga dapat menghasilkan nilai dari fungsi
tersebut banyak.
TEOREMA-TEOREMA DALAM INTEGRAL TAK TENTU
TEOREMA 1 : Jika n bilangan rasional dan n≠1, maka Xndx = 1/n+1 Xn+1 +c,dengan c
adalah konstanta
TEOREMA 2 : Jika f fungsi yang terintegralkan dan k suatu konstanta, maka: ∫kf(x)dx =
k∫f(x) dx
TEOREMA 3 : KELINIEARAN
Jika f dan g fungsi-fungsi yangterintegralkan, maka :
∫f(x) ± g(x) dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx
TEOREMA 4 : ATURAN INTEGRAL TRIGONOMETRI
1. ∫cos (ax + b) dx = 1/a sin x + c
2. ∫sin (ax + b) dx = - 1/a cos x + c
3. ∫ 1/cos2(ax+b) dx = 1/a tan x + c
RINGKASAN FORMULA INTEGRAL TAK TENTU
1. ∫xn dx = xn+1/ (n+1) + c, n ≠ -1
2. ∫sin x dx = - cos x + c
3. ∫cos x dx = sin x + c
4. ∫sec2 x dx = tan x + c
5. ∫cosec2 x dx = -cot x + c
6. ∫sec x tan x dx = sec x + c
7. ∫cosec x cot x dx = -cosec x + c
8. ∫tan x dx = - In|cos x| + c
9. ∫cot x dx = In |sin| x + c
10. ∫1/x dx = In|x| + c
11. ∫ex dx = ex + c
12. ∫ax dx = ax/In a + c, a> 0, a≠ -1
13. ∫1 √ = sin 1 (
) +
14. ∫1 √ + =
tan 1 (
) +
APLIKASI INTEGRAL TAK TENTU
Pada umumnya aplikasi di sini berkaitan dengan mencari fungsi-fungsi
ekonomiyang merupakan fungsi primitif (fungsi asal) dari fungsi marginalnya.
Mencari fungsi biaya total dari fungsi biaya marginal, fungsi penerimaan total dari
fungsi penerimaan marginal, fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal, fungsi
tabungan dari fungsi tabungan marginal serta fungsi kapital dari fungsi investasi.
Fungsi Biaya Total (C)
Fungsi biaya total merupakan integral dari biaya marginalnya, dan
sebaliknya biaya marginal merupakan turunan pertama dari fungsi biaya total.
C =∫ MC dq
Fungsi Penerimaan Total (R)
Fungsi penerimaan total merupakan integral dari penerimaan
marginalnya, dan sebaliknya penerimaan marginal merupakan turunan pertama
dari fungsi penerimaan total.
R =∫ MC dq
Fungsi Konsumsi (C)
Fungsi konsumsi merupakan integral dari konsumsi marginalnya (MPC),
dan sebaliknya konsumsi merupakan turunan pertama dari fungsi konsumsi.
C= ∫ MPC dv
Fungsi Tabungan (S)
Fungsi tabungan merupakan integral dari tabungan marginalnya (MPS),
dan sebaliknya tabungan marginal merupakan turunan pertama dari fungsi
tabungan.
S= ∫ MPS dv
Fungsi Model (K)
Fungsi (pembentukan) modal atau fungsi (pembentukan) kapital
merupakan integral dari (aliran) investasi bersih (I) dan sebaliknya investasi
bersih merupakan turunan pertama dari fungsi kapital.
Kt = ∫I (t) dt
Agar lebih jelas bagaimana fungsi asal dapat di dapat melalui integrasi fungsi
marginalnya, di bawah ini diberikan beberapa contoh. Untuk dapat
membedakan konsumsi (C), biaya total (C) dengan tetapan/konstanta integrasi
(C), khusus dalam integrasi biaya marginal dan konsumsi marginal, maka
tetapan integrasi di simbolkan dengan K.
Contoh 1
Biaya Marginal di tunjukkan oleh MC=150-70q+12q2. Biaya tetapnya adalah
135. Carilah fungsi biaya totalnya, fungsi biaya rata-rata dan fungsi biaya
variabelnya.
Penyelesaian
Fungsi biaya total,
C = ∫ MC dq
= (150q - 70q + 12q2)dq
= 150q- 35q2 + 4q3
(K = Konstanta Integrasi)
Bila q = 0 dimasukkan ke dalam fungsi C = f(q) tersebut, didapat biaya tetap
(FC) sebagai berikut :
FC = 150 (0)- 35 (0)2 + 4 (0)3
135 = K = FC
Jadi, fungsi biaya totalnya adalah :
C = 150q- 35q2 + 4q3+ 135
Fungsi biaya rata
AC= C/q = (150q- 35q2 + 4q3+ 135)/q = 150- 35q + 4q2 + 135/q
Fungsi biaya variabel
VC = C – FC
= (150q- 35q2 + 4q3+ 135) -135
= 150q- 35q2 + 4q3
Contoh 2: Penerimaan marginal di tunjukkan oleh MR = 20 – 8q, (q = kuantitas
barang)
Tentukanlah :
(a) Fungsi penerimaan total
(b) Fungsi permintaan
Penyelesaian
(a) Fungsi penerimaan total
R = ∫ MR dq
= ∫ (20 – 8q) dq
= 20q – 4q2 + C
Bila q = 0, maka R = 0. Selanjutnya nilai C (konstanta Integrasi) dicari
dengan memasukkan q = 0 dan R = 0 ke dalam persamaandi atas akan di
dapat nilai C sebagai berikut :
R = 20 q – 4q2 + C
0 = 20 (0) – 2 (0)2 + C
C = 0
Jadi, fungsi penerimaan totalnya adala :
R = f(q)
= 20q – 4q2
(b) Fungsi permintaaan
R = q.p → =
=
= 20 → = 1
+
Jadi, fungsi permintaannya adalah q = =
+
Contoh 3
Hasrat marginal untuk konsumsi (MPC) adalah 0,8. Bila pendapatan nol
(y = 0) maka besarnya konsumsi adalah 50.
Tentukanlah besar konsumsinya.
Penyelesaian:
C = ∫ MPC dy
= ∫ 0,8 dy
= ∫ 0,8 y + K
Selanjutnya di cari terlebih dahulu nilai K (Konstanta Integrasi) degan
memasukkan y = 0 dan C (konsumsi) = 50, ke dalam persamaan di atas akan di
dapat K sebagai berikut :
C = 0,8 y + K
50 = 0,8 (0) + K
K = 50
Jadi, fungsi konsumsinya:
C = f(y)
= 0,8 y + K
= 0,8 y + 50
2. integral tentu
Sifat- sifat integral tentu:
1. Teorema Linier : Jika f dan g terintegralkan pada interval [a, b] dan k suatu
konstanta, maka:
(i) ∫ k f(x)dx = k
∫
( )
(ii) ∫ ( ) ( ) = ∫ ( ) ∫ ( )
2. Penambahan interval: Jika f terintegralkan pada interval yang
memuat tiga titik a, b, dan c, maka
∫ ( ) = ∫ ( ) ∫ ( )
3. Sifat Pembandingan :Jika f dan g terintegralkan pada interval [a, b] dan f(x) g(x)
untuk semua x dalam [a, b],
∫ ( ) ∫ ( )
4. Sifat simetri,
(i). f fungsi genap maka: ∫ ( ) = 2∫ ( )
(ii). F fungsi ganjil, maka : ∫ ( ) = 0
APLIKASI INTEGRAL TENTU
Aplikasi Integral Tentu
Antara lain digunakan dalam mencari: Luas diantara 2 kurva , Volume benda dalam
bidang (dengan metode cakram dan cincin) , Volume benda putar (dengan metode kulit
tabung) ,Luas permukaan benda putar ,Momen dan pusat massa .
1. Luas diantara 2 kurva
Cara menghitung :
1. Bagi luasan S menjadi n irisan dg lebar yang sama besar kemudian tentukan
irisan ke-i dengan membuat persegi panjang beralas delta x dan tinggi
f(xi*)- g(xi*)
2. Jumlahkan semua persegi panjang yang telah dibuat
3. Tentukan batas kurvanya lalu jumlahkan Luas A yang dibatasi kurva y=f(x),
y=g(x) dan garis x=a, x=b dengan f dan g kontinu dan f(x)≥ g(x) untuk
semua x pada selang [a,b] adalah
= ∫ ( ) ( )
2. VOLUME BENDA DALAM BIDANG
Volume benda padat yang luas penampangnya A(x) dan berada antara
x=a dan x=b adalah
= lim → ∑ ( ) = ∫ ( )
Langkah-langkah mencari :
1.Gambarkan daerah yang volumenya akan dicari
2.Carilah luas A(x)
3.Carilah batas-batas integrasi
4.Integralkan
1. METODE CAKRAM
Misal daerah dibatasi oleh y= f(x), y= 0, x =1, dan x =b diputar dengan sumbu
putar x. Volume benda pejal yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa
volume benda padat tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat
di titik-titik pada selang (a, b).
Misal pusat cakram(x0, 0) dan jari-jari r= f (x0). Maka luas cakram dinyatakan :
0
2
0 xfxA
Oleh karena itu, volume benda putar :
b
a
dxxfV2
)(
Sedang bila grafik fungsi dinyatakan dengan dydancyxygx ,0),( diputar
mengelilingi sumbu Y maka volume benda putar :
d
c
dyygV2
)(
Bila daerah yang dibatasi oleh 0 xfy , )()(,0 xgxfxgy untuk setiap
bxdanaxbax ,, diputar dengan sumbu putar sumbu X maka volume:
b
a
dxxgxfV )()( 22
Bila daerah yang dibatasi oleh )()(,0,0 ygyfygxyfx untuk setiap
dydancydcy ,, diputar dengan sumbu putar sumbu Y maka volume :
d
c
dyygyfV )()( 22
2. METODE CINCIN
Bila sebuah benda putar kita potong-potong tegak lurus pada sumbu
putarnya kita akan memperoleh sebuah cakram yang lubang bagian
tengahnya (disebut cincin)
V = π ( r22 - r12) h
r1 = jari-jari dalam, r2 = jari-jari luar, h = tebal cincin
3. VOLUME BENDA PUTAR KULIT TABUNG
Sebuah kulit tabung adalah benda yang dibatasi oleh dua tabung
lingkaran tegak yang sumbu simetrinya berimpit.
Pada tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut
memiliki 1r dan 2r , tinggi tabung h. Maka volume kulit tabung adalah :
rrhhrrV 212
rrrjarijarirataratarrr
dengan
1212 ,,
2:
Bila daerah yang dibatasi oleh bxaxyxfy ,,0),( diputar
mengelilingi sumbu Y maka dapat kita simpulkan bahwa jari-jari
xrdanxr dan tinggi tabung )(xfh Oleh karena itu volume benda
putar yang terjadi adalah
dxxxfV
b
a
2
Misal daerah dibatasi oleh kurva
bxdanaxbaxxgxfxgyxfy ,,),()(,, diputar mengelilingi sumbu
Y. Maka volume benda putar
dxxgxfxV
b
a
)()(2
Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan x = f(y), x =0, y=c, y=
d diputar mengelilingi sumbu X, maka volume =
dyyfyV
d
c
)(2
Sedang untuk daerah yang dibatasi oleh
dydancydandcyygyfygxyfx ,,),()(,, diputar mengelilingi
sumbu X. Maka volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan
dxygyfyV
d
c
)()(2
4. LUAS PERMUKAAN BENDA PUTAR
Diketahui x=f(t) dan y=g(t), a t b, adalah persamaan kurva licin pada
bidang xy yang terbagi menjadi n bagian. Bila kurva itu diputar mengelilingi
sumbu x, ia akan membentuk suatu permukaan dan bagian akan
membentuk permukaan bagian. Luas bagian ini dapat didekati oleh luas kerucut
terpancung yakni 2
Kurva y=f(x) pada batas a x b, diputar mengelilingi sumbu x, maka
luasnya adalah = 2 ∫ ( ) √1 + ( )
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
1. ∫sin x dx = -cos x + c
2. ∫cos x dx = sin x + c
3. ∫sec2 x dx = tan x dx
4. ∫ cosec2 x dx = -cot x + c
5. ∫ sec x tan x dx = sec x + c
6. ∫ cosec x cot x dx = -cosec x + c
INTEGRAL SUBTITUSI TRIGONOMETRI
Fungsi integral Subtitusi dengan Hasil subtitusi
Akar a2 – x2 X= a sin α a cosα
Akar a2 + x2 X= a tan α a sec α
Akar x2 – a2 X = a sec α a tanα
INTEGRAL METODE SUBTITUSI
Andaikan g suatu fungsi yang terdiferensialkan dan andaikan F adalah suatu
anti-turunan dari f. sehingga, jika u = g(x), maka
∫f(g(x)) g'(x) dx = ∫f(u) du = F(u) + c = F(g(x)) + c
Langkah untuk mengintegralkan dengan metode subtitusi adalah sebagai
berikut.
1. Memilih fungsi u = g(x) sehingga ∫f ( g(x) ) g'(x) dx = f(u) du
2. Tentukan ∫f(u) du
METODE SUBSITUSI DALAM INTEGRAL BENTUK TRIGONOMETRI
Bentuk ∫sinn xdxdan ∫cosn xdx
Apabila n bilangan bulat ganjil dan positif, setelah mengeluarkan faktor sin x
atau cos x, maka gunakanlah persamaan : Sin2 x + cos 2 x = 1
Apabila n bilangan bulat genap dan positif, gunakan rumus setengah sudut
berikut : Sin2 x =( 1- cos2x)/2 dan cos2 x= ( 1 +cos2 x)/2
Bentuk ∫sinm x cosn x dx
Apabila m dan n ganjil dan positif, keluarkan faktor sin x atau cos x, kemudian
Gunakanlah persamaan : Sin2 x + cos 2 x = 1
Apabila m dan n bilangan bulat genap dan positif, gunakan rumus setengah
sudut berikut : Sin2 x =( 1- cos2x)/2 dan cos2 x= ( 1 +cos2 x)/2
Bentuk ∫sina x cosb x dx , ∫cosa x sinb x dx , ∫sinax sinbx dx , ∫cosa x cosb x dx
Untuk menyelesaikan integral dalam bentuk tersebut, gunakan kesamaan
berikut ini :
(1). sin ax cos bx = ½ [sin (a + b)x + sin (a – b)x]
(2). cos ax sin bx = ½ [sin (a + b)x – sin (a – b)x]
(3). cos ax cos bx = ½ [cos (a + b)x + cos (a – b)x]
(4). sin ax sin bx = - ½ [cos (a + b)x – cos (a – b)x]
INTEGRAL METODE PARSIAL
Apabila pengintegralan dengan metode subtitusi tidak berhasil, kita dapat
menggunakan teknik pengintegralan lain yang disebut Metode Parsial.
Misalkan u dan v adalah fungsi yang dapat dideferensialkan.
∫u dv = u. v - ∫v du
Ada dua hal yang perlu diperhatikan dalam menggunakan metode parsial, yaitu :
1. Pemilihan dv harus dapat diintegralkan untuk memperoleh v, yaitu v = ∫dv
2. ∫u du harus lebih mudah diselesaikan daripada ∫u du
DAFTAR PUSTAKA
Chiang.C. Alpha. & Kevin W. 2002. Fundamental Methods Of Mathematical
Economics. The Fourth Edition. New York: McGraw-Hill Book
Company.
Purcell, Edwin J. 2003. Kalkulus dan Geometri Analitis. Jakarta : PT. Gelora Aksara
Pratama
Stroud, K. A. 2001. Engineering Mathematics. Industrial Press Inc. : New York
Weber, Jean E. 1982. mathematical analysis, Business and Economics applications.
Ed. Ke -4 Bab 4. new york : harper & Rao, publisher
Zaelani, Ahmad, Dkk. 2008. 1700 Bank Soal Bimbingan Pemantapan Matematika.
Bandung :Yrama Widya