INDUKSI MATEMATIKA

❖ Notasi Sigma

∑ 𝑛𝑖=1 Ui = U1+U2+U3+…..+Un

1 = batas bawah i = indeks

n = batas atas Ui = suku umum

Contoh :

• ∑ 3𝑏 + 2 = (3 × 4 + 2) + (3 × 5 + 2) + (3 × 6 + 2)6𝑏=4

❖ Sifat Notasi Sigma

• Variabel tak berindeks

a) ∑ 𝑘 = ∑ 𝑖𝑛𝑖=1

𝑛𝑘=1

b) ∑ 𝑐 = (𝑛 − 𝑚 + 1)𝑐𝑛𝑘=𝑚 dengan c konstanta

c) ∑ 𝑐 𝑘 = 𝑐 ∑ 𝑘𝑛𝑘=1

𝑛𝑘=1 dengan c konstanta

d) ∑ 𝑘 = ∑ (𝑘 − 𝑝) = ∑ (𝑘 + 𝑝)𝑛−𝑝𝑘=𝑚−𝑝

𝑛+𝑝𝑘=𝑚+𝑝

𝑛𝑘=𝑚 dengan p bilangan bulat

e) ∑ 𝑘 + ∑ 𝑘 = ∑ 𝑘𝑛𝑘=1

𝑛𝑘=𝑚

𝑚−1𝑘=1 dengan m < n

f) ∑ 𝑘 = 𝑠𝑠𝑘=𝑠

• Variabel berindeks

a) ∑ 𝑎𝑘 = ∑ 𝑎𝑖𝑛𝑖=1

𝑛𝑘=1

b) ∑ 𝑐 𝑎𝑘 = 𝑐 ∑ 𝑎𝑘𝑛𝑘=1

𝑛𝑘=1 dengan c konstanta

c) ∑ (𝑎𝑘𝑛𝑘=1 ± 𝑏𝑘) = ∑ 𝑎𝑘

𝑛𝑘=1 ± ∑ 𝑏𝑘

𝑛𝑘=1

d) ∑ 𝑎𝑘 = ∑ 𝑎(𝑘−𝑝) = ∑ 𝑎(𝑘+𝑝)𝑛−𝑝𝑘=𝑚−𝑝

𝑛+𝑝𝑘=𝑚+𝑝

𝑛𝑘=𝑚 dengan p bilangan bulat

e) ∑ 𝑎𝑘 + ∑ 𝑎𝑘 = ∑ 𝑎𝑘𝑛𝑘=1

𝑛𝑘=𝑚

𝑚−1𝑘=1 dengan m < n

f) ∑ 𝑎𝑘 = 𝑎𝑠𝑠𝑘=𝑠 ; 𝑠 = 1,2,3,×××, 𝑛

❖ Induksi Matematika

• Induksi matematika sederhana

1) Langkah dasar: Pada langkah ini, harus membuktikan bahwa suatu pernyataan

berlaku untuk P(1) atau P(n).

2) Langkah induksi: Jika suatu pernyataan berlaku untuk P(1) atau P(n), maka

pernyataan itu juga harus berlaku untuk p(k) atau P(k + 1).

Anggapan bahwa pernyataan P(k) benar disebut sebagai hipotesis induksi.

• Induksi matematika diperluas

1) Langkah dasar: Pembuktian bahwa suatu pernyataan berlaku untuk P(m).

2) Langkah induksi: Pembuktian bahwa jika pernyataan berlaku untuk P(k),

dengan k≥m, maka pernyataan tersebut juga berlaku untuk P(k + 1).

• Induksi matematika kuat

Jika sebelumnya cukup membuktikan bahwa P(1) benar, maka pada induksi matematika

kuat ini, pernyataan harus bernilai benar untuk P(1), P(no + 1), P(no + 2), …, P(k). Selain

itu, juga harus membuktikan pernyataan benar untuk P(k + 1).

1) Langkah dasar: Buktikan bahwa P(no) benar.

2) Langkah induksi: Jika P(no), P(no + 1), P(no + 2), …, P(k) benar untuk k ≥ no, maka

gunakan hal itu untuk membuktikan bahwa P(k + 1) juga benar

➢ Contoh soal

Buktikan bahwa penjumlahan n bilangan asli berurutan berlaku!

Pembahasan:

Langkah dasar:

Oleh karena P(1) = 1, maka jelas benar (berlaku), artinya P(no) = benar

Langkah induksi: Jika P(1) benar, maka pernyataan tersebut harus benar untuk P(k+1)

dengan k ≥ no,

benar

Sehingga:

Oleh karena P(k + 1) mengikuti bentuk pernyataan P(n), maka P(k) bernilai benar.

bernilai benar untuk semua bilangan n ≥ 1.

PROGRAM LINIER

❖ Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Langlah penyelesaian :

1. Cari titik x saat y = 0 dan y saat x = 0

2. Gambar grafik yang menghubungkan kedua titik

3. Arsir daerah yang bersesuaian dengan tanda

Langkah menyusun PtLDV suatu daerah penyelesaian :

1. Menentukan persamaan garis pembatas

Garis memotong ( 0 , a ) dan ( b , 0 ) → ax + by = ab

2. Melakukan uji titik untuk menentukan tanda ketidaksamaan

❖ Program Linear

• Model Matematika

Merubah permasalahan sehari-hari ke dalam bahasa matematika dalam bentuk persamaan,

pertidaksamaan, dan juga fungsi.

Contoh :

Suatu adonan roti basah dibuat dengan menggunakan bahan 2 kg tepung dan 1 kg gula.

Sementara satu adonan roti kering dibuat dengan memakai 2 kg tepung dan 3 kg gula. Ibu

mempunyai persediaan tepung sebanyak 6 kg dan gula sebanyak 5 kg. Apabila pada masing-

maisng satu adonan kue basah bisa memberikan keuntungan Rp75.000,00 serta masing-

masing adonan kue kering bisa memberikan untung Rp60.000,00. Berapakah banyak

kombinasi adonan roti yang bisa dibikin untuk memperoleh keuntungan maksimal?

Jawab:

Misalnya:

x = adonan roti basah

y = adonan roti kering

Jika garis pembatas utuh (⸺⸺) dipilih tanda ketidaksamaan ≤ atau ≥

Jika garis pembatas putus-putus (− − −) dipilih tanda pertidaksamaan < atau >

Sehingga akan didapatkan model matematika :

x ≥ 0 y ≥ 0

2x + y ≤ 6 x + y ≤ 5

• Fungsi Tujuan

Fungsi objektif merupakan fungsi yang menjelaskan tujuan berdasarkan batasan-batasan

yang ada. Fungsi objektif umumnya dinyatakan dengan f(x,y)=ax+by.

• Menentukan Nilai Optimum Fungsi Tujuan

a) Metode Garis Selidik

1. Mencari daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan yang diberikan.

2. Mencari persamaan garis selidik f(x,y) = ax + by = k, dengan k merupakan bilangan

real.

Apabila arah geser garis selidik ke arah kanan maka:

a. Apabila titik (x1.y1) merupakan titik pada daerah penyelesaian yang

pertama dilewati oleh garis selidik maka nilai minimum diwakili oleh titik

tersebut.

b. Apabila titik (x2.y2) merupakan titik pada daerah penyelesaian yang terakhir

dilewati oleh garis selidik maka nilai maksimum diwakili oleh titik tersebut.

Geser garis selidik yang sudah dibikin pada langkah nomor 2 atau buatlah

garis-garis lain yang sejajar dengan garis selidik yang sudah dibikin pada

arah daerah layak.

Apabila arah geser garis selidik ke kiri, maka:

a. Apabila titik (x1.y1) merupakan titik pada daerah penyelesaian yang

pertama dilewati oleh garis selidik maka nilai maksimum akan diwakili oleh

titik tersebut.

b. apabila titik (x2.y2) merurpakan titik pada daerah penyelesaian yang terakhir

dilewati oleh garis selidik maka nilai minimum diwakili oleh titik tersebut.

b) Metode Uji Titik Pojok

1. Mencari berbagai garis dari sistem pertidaksamaan yang menjadi fungsi kendala dari

persoalan yang diberikan.

2. Mencari berbagai titik pojok yang merupakan koordinat pembatas daerah yang

memenuhi fungsi kendala.

3. Menghitung nilai optimum f(x,y) dari titik-titik pojok yang diperoleh.

4. Memperoleh nilai maksimum atau minimum sesuai dengan permasalahan.

tFl-rlEIo(,al .

.S1

€{sFF

E'tp'(s.-fi.(tIFl,J

sFls

F.EF

\.-I .cxI-vI ------1.,l.nl,,s*l*l-I s9

lnl.-I --<xlY-I

------t:l.<x r

I E; I

l_1

5

7.-e(

.-j-9._t9r5- 9

?ri(tr3Tr.f419e?.--PA.st+c:7.-F

l: \=l: \?

|II:l?lgIil

Ll.I

trl.r,ox,

€(a

;fFFF

.-'- .<l.r ; &-<' lF dlEs < lralL+ fi lsFl: r q G lr <13= -*i lsE> F X3 b 4

; + GG ;

r;.

? ? €=t,i !1 3 t -g>( : g d;,5 i J:T :Shr.eSGG f a ?E',u,:G,-r e gq + \J+\/s !t,A5

G rpi

qs

-TFJ3i tiC".- F; -c i 17cF -

eF ! + \;

= l3r 5 te* G"sllii= A l:F -,sis li i ___/ I:?I ., t t_F

+ l- - wrJ F ;-,E

srF€rc-GG*' '>-F! :g ee3 t: :*

i L) :i

F- \--l

€t-+-s

\J

.,sr{<+.+<

7 f - i ': t t i 7' d36 a' A'F = oi -t-. : -:, I i I ) a j.') s- G, f ', ?.f F 3

6; E =E: I _-y'_ f iY s' sf > r-' cF:' d B sF 5 \-J e- t os g r. e ?!S /t o. L3 e *-t g t 'A P

\'**z t ?. '- 5 B ss F 3 +*1 : l'g';5 :I \s! .! .s:- S,.r

_-5

;? li e?&{ 15. & r,v9f,".J

<'{>7

=a1,t

)-ci"9<€

4x5:tl Cl

>6

)L:z f

i, '<

-|(>-*3

,Act.<cri: e<.:?

5-+2f69

\1

,-+tt,s*x

--- -,,iJc-

t c l=---/ l*

- 3u.

CO d56

I,J

\J

\E1Ja"-E

/-vct-- 6, lz-/

lx?j;Yl?-eB E\---l i

L9\-/

?<rt r

.4, d-Lo -,q-l l3

l.<lu

64 l*--/

g

1(-I

dt1

v

Q+.-> x.i

-a t-o, lr\-, llt;J;

a,9/lu1

Gq>x

'ri vclI o lr

19X :* $.

t1

I

dv

- c l-tile

Jx o

Ir(

15y

a>_.'i

. vo-!

-.<- >

*- j (-

:5C,'-Lc lE

:lx.sx t

-)><l-,1.tl.-z I

I

E\;1IF

ti

)F

3.>/

a!9*f

rl:x

tfl aracay\ % ma{s,BKgQmotn*t 6qns "^ol*o d,oo t bcrns"

ve/ " t4 1o t) berorch r*4

@ fnotdfs Ko\orvr * +ordsfl t*rrs { ro\om,,b ul

" ('.\ o*.a" 4'\\,/

nAaftrk toten$ta* ,,,' CkvvrevtS -n\.lq rd dlqqpyror\ qharhs=,{

O rr*tn'l t gorseqi Banqak v)oi.vls . baqa.kkotomvt-,o/ : ! =

c[tag o I crt vlamo.qarh(jt4,

Mqtfikq 0mqonot Co), ttcrvretn ? -nqq nolc gtQ.ruern gade drqqono..l

SqvuUq O gR ' '(i

'[--! i )L) ' [',

ArB:

slSI

o 6\o o'lo Ol

rrtqnncrtdk

o 0\,01o o)

S1AY P' BBlg

ilr." ^ =[1 ,i il 0,"[i

ii]

D O\L'. )

\11 t"s sc{\a bounra c u)u Q,tcMout dia,1s5 &agonaf uta.ntq >_Oqx : L=/ lroa Ilg\i)\ q E\6/

lYtatri[u t,aqntqa c^hrrs Cu)0 g\€v\cn & borr:"tL o[toqono.\ t$orna = o

LY 'u=[4 8 z 1(,:: ,r)

e.! + t.3\r.5 +t.q)

o bertaku csitcL{ h$MuhO,ktfo $tot FsovioHq\ et

4*B : B+e

Ig oPE R es q &{ BrEJ n6.]r e '..' Fj ,. i, . ri 1.,t r. t-i i.;- ,' l".i r.

'- t:1 t.

0 , rnalrik-s gq cervrua Qltwnnqa nol [o)1ffi-J.e(: A = /6 _cr b\1 bl

A+b " (t 1) * (-!

0 oun*uronqon Mcrtf,tf,,'[\d.6h ber\o\u^ cif{rt Konu}atic

.- r

\A-s / s-A I

" hto+rih-r qq edonqa heAo ,hT&ok 6q,d;kurrau4r .

Qt: o'[e l) e= [\ 1) 4-6:

tr-15. l9 r \t+-v)-- t;;)- tl -1)= t'.:,)@ ?*ruuor s f.alar gnat6\cs

A " MutriK!

\c. V,i\onqoyr fgc,.\

?er Bol.r-avr \kcrLar matn k r -- [f A-;

e('E'r. p= tLi)rA a/t r \ . tz {\

\l A / L b B ) ,,

Lf : C= fa I \ O, I q 3\i,', / t+ q)

t'=tt I )tju'u) =tiill.il;;l x- ts \

ord"Ag / sA --"(A(Bc)fs), ' )A tgtcJ ' AB rhc / A Cb-6) . eB_Ac IK tAB) , ciA)b = A cng; (Qef = s'Ar (^'--\1 ffif'

Btrdq-s6rXo, ola.I*Ql^

tvtahf,ltr rbl Co) c( : , (t

B u$,mns?Os sunr6

gk,Wt{,o pod,. bon-f rru,r,.Tordi o,Lgqen eed"tcu(e rrr

DO

ep.tr'D,|

1

If

o99@N-9_LO

999 fo

SD 9 L(r6ilc

,ll;I 11.0ro 7\I p-.1-l- -I---, >{/?

LJ:aq-sl7ttrBo

6I : t'

Lr)

$

I2,a)Irlps'tz,7I5

B

;tt

FE

3arT'

ftn

=6D:

t3l0=ttl,la n

rl rt

x -!lts uJ F'

e :n! 1-rt V

gp{f.>llo

It,IA

9s?f

It d

o5@

,!.,'5,r -.lL

94e2

3

tlI

a+FJv1

e-e tn

E 8J18.7,.- b;rS 5.Lg 6I

'trF4f Ee/et B-Traia)t

FeZ

OrT-.|

-lrrlrc3Z

Z

ZCN

Fv\JJ \.

-)z

=z-1Ex

CN

PB(, ,?J.f,

9A:A9a6ts

bDrulr*s9+rio^F4-.oa

ldt 6:l

o,oa3IrTf,.t\

14

'rEft?I-a q-7C F

fip

nri ii"T:rp3 ?'o-'{63 61' -s; v1

-J(1:. C6- LtR

9vx; o

i'q'e>:1f))ciQO- q g

Tl 16)

raC, o-ff,I

:>'xrl

('lx

s0

>fis0-.,t92',>LoQ,ST

Eg,r 1l,bF3-36T^

E

3-? {!.r+av.L-+ /(\1i

'6r,

;Lt-o5lPtA 1\go;.l??D;-0'

er i--l

l 6 \../:r!)c/!

e1Jwa

llo 5

J-lx 7

N,\>

^ ,, A', Ttt-ril- rx I 'a.l ,-->

A.L E \-;s* 7

\-/ t+

pr$r3Jr9

9-or!t

I

I

,

I

EE-xG

iF -,

.--Flg (rSN

Aun -b -

q

l+

3,xlt1fgrG;f

5 4 06;o itl"93i P

Nhcj; jj

al99A

ebloh

aat, (.9

,c,

1-F )

\ ;,\

)rr I

tlll:ll-rll:l= u/)

B =e'5,:i1S' 1v1 tA

;pt, -tl; rik ea

s)\5c)?

l!'n St

-9uN9-.ffs,bG3..--$

t

$G

rl

G

Jxrl

vq