ILMU KOM PUTER FAK MIPA UGM

ILMUKOM

PUTER

FAKMIPAUGM

GP DALIYOGP DALIYO

GP DALIYO

GP DALIYO

GP DALIYO

GP DALIYO

GP DALIYO

Logika Proposisional[Manipulasi Formula Proposisional]

Bentuk normal yang lain adalah :

Bentuk Normal Kunjungtif (BNK) dan Bentuk Normal Kunjungtif Penuh (BNKP)

Dengan konsep yang similar dengan BND/BNDP maka di dapat konsep sebagai berikut : Untuk sebarang formula dalam n variabel proposisional p1 ,p2 , . . pn yg bukan tautologi ( yaitu setiap interpretasi nya merupakan suatu model) terdapatlah suatu formula yang ekuivalen logis daripada bentuk : U W V . . . . (suatu disjungsi dp sejumlah suku) dimana disjungan U, V, W, . . Yg masing-masing mempunyai bentuk : P1 P2 . . . Pn , (suatu konjungsi daripada tepat n suku) dimana Pi adalah salah satu pi atau pi (negasi dp variabel ke i)

BNK/BNKP


Bentuk Normal Kusjungtif Penuh (BNKP).

Perhatikan bahwa formula : U V W . . . tidak di tentukan berapa banyak suku, tetapi dalam formula : P1 P2 . . . Pn , banyaknya suku tepat n buah ; Formula berbentuk tsb disebut dengan :

Bentuk Normal Kunjungtif Penuh (BNKP).

Jika ada yang kurang dari n suku ataupun lebih maka dinamakan :

Bentuk Normal Kusjungtif (BNK).


Untuk menuliskan suatu formula dalam bentuk BKNP,ambil setiap entri F dalam tabel kebenarannya, ekspresikan entri tsb sbg suatu disjungsi dp semua variabel-2 (jika F) atau negasi mereka (jika T) , dn kemudian konjungsikan mereka Contoh : ((p q) ((p) (r)))


BNKP – nya adalah : (p q r) (p q r)

Perhatikan bahwa cacah konjungan dalam suatu BNKP adl samadengan cacah F pada entri di tabel kebenaran

p

TTTTFFFF

q

TTFFTTFF

r

TFTFTFT F

((p q) ((p) (r)))

T F F T T T T T

Konjungan

p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r


p

TTTTFFFF

q

TTFFTTFF

r

TFTFTFT F

((p q) ((p) (r)))

T F F T T T T T

Konjungan

- p q r p q r - - - - -

Perhatikan bahwa satu suku untuk setiap entri F pada tabel kebenaran dan masing-2 disajikan dengan disjungsi daripada negasi daripada ni lai variabel (kalau nilainya T maka dinegasikan jika F tidak dinegasikan) untuk entri tersebut. Setiap suku seperti mis. p q r sekarang bernilai T disemua baris kecuali disatu baris tertentu yaitu baris dimana p = T, q = T, dan r = F , (cek : p = T, q = T, r = T (brs ke 1) maka ia bernilai T, yang lainnya silahkan dicoba!!!)


Sekali lagi kita gunakan BNK (Bentuk Normal Konjungtif) sebagai lawan/pasangan daripada BNKP (Bentuk Normal Kongjungsi Penuh) untuk menggambarkan formula dimana tidak semua va riabel diperlukan untuk muncul dalam setiap kon jungan


Negasi daripada formula proposisional

Definisi : Diberikan suatu formula P , negasi daripada P ada lah P. Jika suatu formula dinegasikan diperlukan metode- metode seperti disebutkan/dibicarakan diatas

Contoh : Tuliskan dalam logika proposisional dan kemudian negasikan kalimat “ Jika makluk hidup bertelinga panjang dan bergigi besar ia adalah kelinci”



Jawaban : Andaikan : p adalah “Makluk hidup bertelinga panjang” : q adalah “Makluk hidup bergigi besar” : r adalah “Makluk hidup adalah kelinci” maka : (pq)r = (pq)r = pqr , dinegasikan : (pqr) = pqr didapat : “ Makluk hidup mempunyai telinga panjang, (dan) gigi besar dan adalah bukan kelinci”



“Perlu memiliki password yg sjah agar Anda bisa log on ke server.”a. Nyatakan pernyataan diatas dalam bentuk proposisi Jika…maka …b. Tentukan negasinya, inversinya, dan kontraposisinya.

Jwb : Misalkan : p = Anda bisa log on ke server q = Anda memiliki password yg syah.

a. Jika Anda bisa log on ke server maka Anda memiliki password yg syah.

i). Negasi : Anda bisa log on ke server dan Anda tidak memiliki password yang syah.

ii). Inversi : Jika Anda tidak bisa log on ke server maka Anda tidak memiliki password yang syah.



iii) Kontraposisi : Jika Anda tidak memiliki password yang syah maka Anda tidak bisa log on ke server.

iv) Konversi : Jika Anda memiliki password yang syah maka Anda bisa log on ke server.

Pernyataan : Untuk mendapatkan satu kupon undian, Anda cukup membeli dua barang seharga Rp. 50.000,00

i). Jika Anda membeli dua barang seharga Rp. 50.000,00 maka Anda mendapatkan dua kupon undian

ii). Negasi. ((pq)) = (p q) = p q jadi Anda membeli dua barang seharga Rp. 50.000,00 dan Anda tidak mendapatkan dua kupon undian.

iii) Konverse : q p iv) Inversi : p q v). Kontraposisi : q p


Generalisasi Hukum de Morgan

Andaikan P suatu formula yang menggunakan ku rung penuh (berarti untuk setiap kemunculan dari pada suatu operator baik monadika maupun diadi ka, operator tersebut dan operannya dikurung dlm satu kurung) yang hanya memuat operator-opera tor , , dan ; Kita telah tahu bahwa setiap for mula dapat disajikan dalam bentuk ini (ingat him punan operator lengkap).


Generalisasi Hukum de Morgan

Selanjutnya kita definisikan P* sebagai formula yg didapat dari formula P dengan menggunakan dua aturan dibawah ini :

1). Gantikan setiap kemunculan dengan dan kemunculan dengan 2). Gantikan setiap variabel proposisional terne gasikan p dengan P dan sebaliknya setiap variabel proposisional tak ternegasikan p de ngan p


Generalisasi Hukum de Morgan (Contoh)

P P*

((p q)) ((p q))

(p q) (p q)

(((p1 p2 )) p3 (((p1 p2 )) p3 )


Generalisasi Hukum de Morgan (Teorema)

Negasi selain pada level daripada suatu variabel proposisional tidak dipengaruhi/tetap. Formula harus dikurung penuh agar keterikatan operator (yaitu operan pada mana mereka mengoperasi kan) tidak merubah dibawah tranformasi (lihat contoh pada slide sebelum ini)

Teorema : P* adalah negasi daripada P Bukti : menggunakan induksi lengkap !!!!


Disjungsi dan Konjungsi diperluas

Dengan menggunakan notasi (sigma) dan (produk) maka hukum de Morgan secara umum dapat dituliskan sebagai berikut :

n n (pi ) =T ( pi ) i=1 i=1 n n (pi ) =T ( pi ) i=1 i=1


Dualiti (Definisi menurut Alan Rose)

Untuk mencari Dual (ditulis PD) drpd sebarang for mula atau fungsi, ambil tabel kebenarannya dan gantilah T dengan F dan F dengan T dimana-mana [baik didalam (dalam formula/fungsi tersebut) maupun diluar (nilai daripada variabel-variabelnya)]. Contoh sederhana :

p q p q

T T T T F F F T F F F F

p q (p q)D

F F F F T T T F T T T T

p q (p q)D

T T T T F T F T T F F F

p q

T T T F



p q p q

T T T T F F F T F F F F

p q (p q)D

F F F F T T T F T T T T

p q (p q)D

T T T T F T F T T F F F

p q

T T T F

Terlihat bahwa : (p q)D =T p q ;

Dikatakan bahwa adalah operator dual drpd



Contoh lain : (p q) r Kita bentuk tabek kebenaran sebagai berikut :

p q r (p q) r

T T T T T T F F T F T T T F F F F T T T F T F F F F T T F F F T

p q r ((p q) r)D

F F F F F F T T F T F F F T T T T F F F T F T T T T F F T T T F



p q r ((p q) r)D

F F F F F F T T F T F F F T T T T F F F T F T T T T F F T T T F

p q r ((p q) r)D

T T T F T T F F T F T T T F F F F T T T F T F F F F T T F F F F

(p q) r

T F T F T T F T F F T T F T T T T F F F F T T T T F T T F F F T F T T F F F F F

Tunjukan !!!!Apa masih ada fungsi/formula lain ???Selain (p q) r



Didapat :

((p q) r)D =T (p q) r

Secara umum untuk sebarang fungsi f didapat :

f(p,q,r)D =T f(p, q, r)

karena dual dapat diperoleh dengan menegasikan variabel-variabelnya )p, q, r) dan juga hasilnya (f)


Dualiti (Definisi altenatif)

Dual daripada fungsi/formula f didefinisikan seba gai fungsi/formula yang diperoleh dengan meng gantikan simbol dengan simbol dan simbol dengan simbol dimana-mana . Formula harus dikurung penuh untuk menghindari masalah peng asosiasian dengan prioritas daripada operator, dan juga harus terdiri hanya operator-operator , , dan .



Formula : (pq)r

Ditulis kembali : (pq)r = ((p q)) r atau : = (p q) r

Dengan transformasi dualiti maka didapat :

((p q)) r = ((p q)) r

dan (p q) r = (p q) r



Teorema : Dual daripada suatu formula adalah suatu tautologi jika dan hanya jika formula tersebut suatu absurditi

Teorema tersebut dapat diekspresikan sebagai berikut : | A jika dan hanya jika | AD

Bentuk Normal/Normal Forms• Benarkan ke lima penghubung logika tersebut

diperlukan ? Apakah penghubung ¬, , , →, dan ↔ betul diperlukan ? (lihat slide sebelumnya)

• Ternyata penghubung , →, ↔, dan juga tetapan T dan F dapat di eliminasi dengan menggunakan ekuivalensi karena :

1. p↔q ¬(p¬q)¬(q¬p)2. p→q ¬(p¬q) -Jadi kita dapat ha-3. pq ¬(¬p¬q) nya menggunakan4. T ¬(p¬p) penghubung ¬ dan 5. F p¬p -jadi {¬,} himpunan konektiv yang cukup

GP DALIYO

Himpunan cukup lainnya, NAND dan NOR

• Tunjukan bahwa himpunan {¬,}, dan {¬,→) ,serta {F,→} juga himpunan yang cukup ?

• Terdapat suatu konektif lain yang disebut NAND (not and) dan NOR (not or) yang disajikan dng masing-masing (buku Burke menggunakan /) dan , tabel kebenarannya adalah :

GP DALIYO

p q pq pqT T F FT F T FF T T FF F T T

Nand dan Nor

• pq ¬(pq) , berarti not-and (NAND)• pq ¬(pq) , berarti not-or (NOR)• Selanjutan :1. ¬p pp, pq ¬¬(pq) ¬(pq) (pq)(pq) Karena {¬,} koneksicukup maka {} juga cukup.2. ¬p pp, pq ¬¬(pq) ¬(pq) (pq)(pq) Karena {¬,} koneksicukup maka {} juga cukup.

GP DALIYO

Definisi Literal

• Literal adalah salah satu, suatu variabel proposisional atau negasi daripada variabel proposisional. Untuk sebarang variabel proposisional p , literal p dan ¬p adalah literal saling komplemeter (complementary literal). Suatu anak kalimat (clause) konjungtif adlh suatu konjungtif daripada literal;suatu anak kalimat (clause) disjungtif adalah suatu disjungtif daripada literal

GP DALIYO

Definisi conjuctive clause dan disjunctive cluse

• Suatu anak kalimat (clause) konjungtif adlh suatu konjungsi daripada literal

• Suatu anak kalimat (clause) disjungtif adalah suatu disjungsi daripada literal

GP DALIYO

Definisi CNF dan DNF

• CNF (Conjunctive normal form) adalah suatu konjungsi daripada anak kalimat disjungtif

• DNF (Disjunctive normal form) adalah suatu disjungsi daripada anak kalimat konjungtif

GP DALIYO

Contoh

• (¬p → q) → (pr → qs)

¬(¬p→q) (pr → qs)

(p¬q) (¬(pr) (qs))

(p¬q) ((¬p¬r) (qs))

(p¬q) (¬p¬r) (qs)

Dan didapat bentuk dnf

GP DALIYO

Teorema

• Setiap proposisi adalah ekuivalen dengan suatu CNF dan juga ekuivalen dengan DNF

GP DALIYO

Prosedur merubah dari sebarang proposisi menjadi bentuk CNF atau DNF

Prosedur NorFor : Input : Sebarang proposisi w daripada PLOutput : Suatu CNF dan DNF yang ekuivalen dengan w1. Eliminasi koneksi →, ↔ dengan menggunakan hukum

implikasi dan bikondisional2. Gunakan hukum de Morgen untuk mendekatkan ¬

dekat/nempel pada variabel proposisional3. Gunakan negasi ganda untuk memperoleh salah satu, ¬

atau tidak sama sekali dengan sebarang variabel proposisional

4. Gunakan hukum distributif untuk memperoleh CNF atau DNF diinginkan

GP DALIYO

Contoh

• (p → (¬q→r)) (p→¬q)

(¬p(¬q → r)) (¬pq)

(¬p(¬¬qr)) (¬pq)

(¬pqr) (¬pq)

Jadi merupakan bentuk CNF (bentuk normal konjungtif) ,

atau denag hukum distributif menjadi :

(¬p¬p) (¬p¬q) (q¬p) (q¬q) (r¬p) (r¬q)

yang disederhanakan menjadi :

¬p (¬p¬q) (q¬p) (r¬p) (r¬q)

GP DALIYO

ILMU KOM PUTER FAK MIPA UGM

Documents

Transcript of ILMU KOM PUTER FAK MIPA UGM