1

IDEAL DAN SIFAT-SIFATNYA

Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Stuktur Aljabar II

Oleh:

Kelompok VI/kelas A1

Diah Ajeng Titisari (08144100009)

Frendy Try Andyasmoko (08144100041)

Herna Purwanti (08144100083)

Chusniatun (09144100014)

Lingga Badra Purwana (09144100061)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA

2012

2

IDEAL DAN SIFATSIFATNYA

Dalam grup kita mengenal subgrub normal. Dalam ring terdapat subring-

subring tertentu yang mempunyai peranan mirip dengan subgrup normal. Subring

yang peranannya mirip subgroup normal disebut ideal, yakni subring dari suatu

ring yang memilki sifat-sifat khusus.

Definisi 1.1

Diketahui ring R dan I Rmaka I disebut ideal dari ring R jika memenuhi

aksioma-aksioma berikut:

1. I subring dari R

2. , , maka dan

Definisi 1.2

Misalkan R adalah suatu ring dan I R dengan , I disebut Ideal kiri dari R

jika dan hanya jika:

i berlaku (x y) I

ii ( ) ( ) berlaku

Misalkan R adalah suatu ring dan I R dengan , I disebut Ideal kanan dari

R jika dan hanya jika:

1. , berlaku (x y) I

2. ( ) ( ) berlaku

Misalkan R adalah suatu ring dan I R dengan , I disebut Ideal dua sisi

(ideal kiri sekaligus ideal kanan), disebut juga Ideal dari R jika dan hanya jika

1. , berlaku (x y) I

2. ( ) ( ) berlaku ,

3

Ideal I disebut ideal trivial jika I = {0}dan disebut ideal sejati jika I R.

Ideal I dinamakan ideal tak sejati jika I = R. Ring yang tidak mempunyai ideal

sejati disebut ring sederhana (simple ring). Apabila R adalah ring komutatif maka

ideal kanan juga merupakan ideal kiri.

Catatan:

1. Ideal pasti merupakan subring dan tidak sebaliknya.

2. Syarat ke-2, ( ) berlaku , berarti bahwa .

Contoh:

1. Diketahui Z adalah ring dari bilangan bulat didefinisikan bahwa

,I ax by x y B . Selidiki apakah I ideal dari ring Z!

Penyelesaian:

Akan dibuktikan I adalah ideal dari Z

Ambil : 1 1 1,I ax by I

2 2 2,I ax by I

a. Akan dibuktikan I adalah ideal kiri

Bukti:

i) 1 2 1 2,I I I I I I

1 2 1 1 2 2I I ax by ax by

1 1 2 2ax by ax by

1 2 1 2ax ax by by

1 2 1 2a x x b y y

Misal: 1 2x mx dan 1 2y ny , maka

1 2 1 2a x x b y y am bn I Sebab m B dan n B

ii) 1 1I I r Z rI I

1 1 1rI r ax by

1 1 a rx b ry

4

Misal: 1rx s dan 1ry t , maka

1 1 a rx b ry as bt I

Sebab ,s t B

Karena (i) dan (ii) terpenuhi , maka I merupakan ideal kiri dari Z.

b. Akan dibuktikan I adalah ideal kanan

i) 1 2 1 2,I I I I I I

1 2 1 1 2 2I I ax by ax by

1 1 2 2ax by ax by

1 2 1 2ax ax by by

1 2 1 2a x x b y y

Misal: 1 2x mx dan 1 2y ny , maka

1 2 1 2a x x b y y am bn I Sebab m B dan n B .

ii) 1 1I I r I rZ I

1 1 1 1 ax by r a rx b ry

Misal: 1rx s dan 1ry t , maka

1 1 a rx b ry as bt I

Sebab ,s t B .

Karena (i) dan (ii) terpenuhi , maka I merupakan ideal kanan dari Z.

Jadi, karena I merupakan ideal kanan dan ideal kiri sehingga I

merupakan ideal dari Z.

2. Misalkan R adalah ring dari semua matriks ordo 2x 2 dengan semua

komponennya bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan. Didefinisikan

0,

0

aK a b Z

b

. Selidikilah apakah K merupakan ideal kiri dari R!

Bukti:

5

Akan dibuktikan 0

,0

aK a b Z

b

merupakan ideal kiri dari R.

Ambil 0

0

cA

d

dan 0

0

eB

f

i) ,A B K A B K

0 0

0 0

c eA B

d f

0 0

0 0

c e

d f

0

0

c e

d f

Misalkan c e m dan d f n , maka

0

0

c e

d f

=

0

0

mK

n

ii) A K T R TA K

0

0

m n cTA

o p d

0 0

0 0

mc nd m n

oc pd o p

0 0

0 0

mc nd

oc pd

0

0

mc nd

oc pd

Misalkan mc nd s dan oc pd t , maka

0 0

0 0

mc nd sK

oc pd t

Jadi, K merupakan ideal kiri dari R karena syarat i) dan ii) terpenuhi.

6

3. Misalkan R adalah ring dari semua matriks ordo 2x 2 dengan semua

komponennya bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan. Didefinisikan

0,

0

aN a b Z

b

. Selidikilah apakah N merupakan ideal kanan dari R!

Bukti:

Akan dibuktikan 0

,0

aN a b Z

b

merupakan ideal kanan dari R.

Ambil 0

0

cA

d

dan 0

0

eB

f

i) ,A B N A B N

0 0

0 0

c eA B

d f

0 0

0 0

c e

d f

0

0

c e

d f

Misalkan c e m dan d f n , maka

0

0

c e

d f

=

0

0

mN

n

ii) A N T R TA N

Ambil m n

To p

0

0

m n cTA

o p d

0

0 0

mo n mc nd

o p oc pd

0 0

0 0

mc nd

oc pd

7

0

0

mc nd

oc pd

Misalkan mc nd s dan oc pd t , maka

0 0

0 0

mc nd sK

oc pd t

Jadi, N merupakan ideal kanan dari R karena syarat i) dan ii) terpenuhi.

4. R adalah suatu ring bilangan real dan Q adalah suatu ring bilangan rasional,

maka Q adalah subring dari R, tetapi Q bukan ideal kiri maupun ideal kanan

dari R, karena apabila a Q dan b R maka terdapat ab Q .

Teorema 1.1:

Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan I, J masing-masing

merupakan ideal pada R, maka kedua sifat berikut berlaku:

i. I J merupakan ideal pada R.

ii. I J merupakan ideal pada R.

Bukti:

i.

Karena I dan J masing-masing merupakan ideal, maka 0 ,I J dan akibatnya

0 I J . Dengan demikian I J . Diambil sebarang ,a b I J , maka

,a b I dan ,a b J . Karena I dan J merupakan ideal, maka a b I dan a b J .

Dengan demikian a b I J . Diambil sebarang a I J , maka a I dan

a J . Karena I dan J ideal, maka untuk sebarang r R , berlaku ar ra I dan

ar ra J . Dengan demikian ar ra I J .

Jadi, terbukti bahwa I J merupakan ideal pada R.

ii.

Diperhatikan bahwa { | , }I J x y x I y J . Karena I dan J masing-masing

merupakan ideal, maka 0 ,I J dan akibatnya 0 0 0 I J . Dengan demikian

I J . Diambil sebarang ,a b I J , maka 1 1a x y dan 2 2b x y untuk

8

suatu 1 2,x x I dan 1 2,y y J . Karena I dan J merupakan ideal, maka 1 2x x I

dan 1 2y y J . Dengan demikian,

1 1 2 2a b x y x y 1 2 1 2x x y y I J .

Diambil sebarang a I J , maka 1 1a x y untuk suatu 1x I dan 1y J . Karena

I dan J ideal, maka untuk sebarang r R , berlaku 1 1x r rx I dan 1 1y r ry J .

Dengan demikian 1 1ar x y r 1 1x r y r 1 1rx ry 1 1r x y ra I J .

Jadi, terbukti bahwa I J merupakan ideal pada R.

(Pengayaan)

Teorema 1.2:

Suatu field tidak mempunyai ideal sejati.

Bukti:

Misalkan F suatu field dan S {z} adalah suatu ideal dari F, maka S F .

Ambil sembarang a S , a z dan 1a F . Karena S suatu ideal dari F maka

1aa u S . Sehingga untuk sembarang x F maka xu x S .

Jadi diperoleh bahwa F S dan karena S F maka F = S.

Sehingga ideal dari F yang bukan {z} adalah F.

Oleh karena itu, ideal-ideal dari F hanyalah F dan {z} saja.

Jadi field F tidak mempunyai ideal sejati.

Teorema 1.3:

Apabila R suatu ring komutatif dengan elemen kesatuan dan tidak mempunyai

ideal sejati, maka R suatu field.

Bukti:

Ambil sembarang a R dan a z, karena R tidak mempunyai ideal sejati, maka

{ | }Ra ya y R R . Selanjutnya, karena u R maka ada b R , sehingga

ba u .

Teorema 1.4:

Misalkan R ring dengan elemen satuan dan dan I ideal dari R. Jika I memuat

elemen unit maka I R .

9

Bukti:

Misalkan u elemen unit di I

Maka terdapat v R , sehingga 1uv .

Karena ,u I v R dan I merupakan ideal di R maka 1uv I .

Ditunjukkan I R

i. Jelas bahwa I R karena I ideal dari R.

ii. Ambil sebarang r R

Karena 1 I maka .1r r I ,

Jadi R I

Berdasarkan i dan ii diperoleh I R .

Definisi 1.3:

i. Misalkan R ring komutatif dan a R . Ideal { | }I ra r R dinamakan ideal

utama (principal ideal) yang dibangun oleh a dan disimbolkan dengan a .

Suatu ideal dinamakan ideal utama apabila ideal tersebut dapat dibangun oleh

satu elemen.

ii. Suatu ring komutatif dengan unsur kesatuan, di mana setiap idealnya adalah

ideal utama, disebut ring ideal utama.

iii. Suatu daerah integral R dinamakan daerah ideal utama apabila setiap ideal di

R merupakan ideal utama.

Contoh:

Setiap ideal di Z berbentuk nZ = n yang merupakan ideal utama yang dibangun

oleh n. Karena Z merupakan daerah integral maka berdasarkan Definisi 1.3, Z

merupakan daerah integral utama.

Definisi 1.4:

Misalkan R suatu ring dan S adalah suatu ideal dari R dengan S R. S disebut

Ideal Maksimal dari R, jika tidak ada id