GESERAN (TRANSLASI)

Ketentuan dan Sifat-sifat

Dalam Bab setengah putaran, bahwa setengah putaran dapat ditulis sebagai

hasil kali dua pencerminan, yaitu kalau A sebuah titik yang diketahui dan g dan h

dua garis yang tegak lurus di A maka hgA MMS = . Dalam Bab ini akan dibahas

hasil kali dua pencerminan pada dua garis yang sejajar.

Teorema 10.1

Andaikan g dan h dua garis yang sejajar. Apabila ada dua titik A danB

maka "' BBAA = dengan )(" AMMA gh= dan )(" BMMB gh=

Bukti:

Ambil titik A dan B sebarang dengan A≠B dan , , ,

Andaikan A=(a1, a2) dan B=(b1, b2)

Akan dibuktikan SN(A)=B” dengan N adala1h titik tengah .

Andaikan persamaan garis h adalah x=h, k≠0.

Ambil titik P(x,y), P h

Diperoleh Mh(P)=P’, sehingga memotong h di titik Q. Karena h:x=k, dan P(x,y)

maka titik potong Q=(k,y) dengan Q adalah titik tengah

Karena Q(k,y) dan P(x,y),maka dimisalkan P’=(x1,y2) maka diperoleh

B

X

A A’’ A’

g

B’’ B’

N

h

Y

++=

2,

211 yyxx

Q

++=⇔

2,

2, 11 yyxxyk

Sehingga :

kxx =+

21

⇔ kxx 21 =+

⇔ xkx −= 21

yyy =+

21

⇔ yyy 21 =+

⇔ yy =1

Jadi, Mh(P)=P’=(2k-x,y)

Karena garis g adalah sumbu koordinat y maka Mg(P)=P”=(-x,y)

Jadi )]([)( pMMpMM ghgh =

),2(

)),(2(

)],[(

yxk

yxk

yxM h

+=−−=

−=

Karena ),( 21 aaA = dan ),( 21 bbB =

Maka A” )(AMM gh=

),2(

),(

)]([

21

21

aak

aaM

AMM

h

gh

+=−=

=

B” )(BMM gh=

),2(

),(

)]([

21

21

bbk

bbM

BMM

h

gh

+=−=

=

Karena N titik tengah ,

Maka ( )

+++=

2,

2

2 221! babakN

Jika

+++=

2,

2

2 2211 babakN dan A=(a1, a2)

maka

−

+−

++= 2

221

11

22,

2

22)( a

baa

bakASN

( )

"

21,2

B

bbk

=

+=

Dengan demikian maka

Jadi setiap ruas berarah, dengan pangkal sebuqh titik dan berakhir di titik petanya

oleh MhMg adalah ekivalen dengan setiap garis berarah seperti di atas. Jadi hasil

transformasi MhMg adalah seakan-akan menggeser setiap titik sejauh jarak yang

sama dan searah. Transformasi demikian dinamakan translasi(geseran).

Teorema 10.2

Apabila = maka

Bukti:

Dipunyai CDAB =

Ambil x sebarang

Misalkan 1)( xxGAB = dan 21)( xxGCD =

Maka ABxx =1 dan CDxx =2

Karena CDAB = maka 21 xxxx =

Ini berarti bahwa x1 = x 2

Jadi CDAB GG =

Teorema 10.3

Andaikan g dan h dua garis yang sejajar dan sebuah garis berarah

tegak lurus pada g dengan C g dan D h. Apabila = maka

GAB=M hM g

Bukti:

Ambil titik P sebarang

Misal P’=GAB(P) dan P”=MhMg(P)

Akan dibuktikan P’=P”

Menurut definisi geseran

Karena = , maka =

Berhubung gC ∈ maka )(CMM gh

"

)(

)]([

C

cM

cMM

h

gh

=

=

=

Ini berarti D titik tengah , sehingga =

Berdasarkan teorema 10.1 diperoleh =

Jadi = , maka P’=P”

Jadi GAB(P)=MhMg(P)

Karena P titik sebarang maka GAB=MhMg

Catatan

1. Dari teorema di atas dapat disimpulkan bahwa setiap geseran GAB dapat ditulis

sebagai hasilkali dua refleksi pada dua garis yang tegak lurus pada dan

berjarak ½ AB.

2. Jika sebuah garis dan M titik tengah sedangkan g, h dan n tiga garis

masing-masing tegak lurus di A, di M dan di B pada maka

GAB=MhMg=MnMh.

3. Karena setiap geseran sebagai hasilkali dua reflexi sedangkan reflexi adalah

suatu transformasi maka suatu geseran adalah suatu transformasi yang

merupakan isometri. Jadi suatu reflexi adalah suatu isometri. Suatu geseran

adalah suatu isometric langsung sebab setiap reflexi adalah suatu isometri lawan.

Teorema 10.4

Jika GAB sebuah geseran maka (GBA )-1 = GBA

Bukti:

Geseran adalah hasil kali dua refleksi (Teorema 10.3)

Refleksi adalah trasformasi (Teorema 3.1)

Tiap transformasi memiliki balikan (Teorema 6.1)

Maka setiap geseran memiliki balikan

Perhatikan gambar berikut:

Dari uraian diatas

Diperoleh GAB(A)=MhMg(A)

=Mh[M g(A)]

=Mh(A)

=B

GAB(A)=MnMh(A)

=Mn[Mh(A)]

=Mn(B)

=B

Jadi GAB(A) =MhMg(A)= MnMh(A) atau GAB=MhMg= MnMh

Sedangkan GBA(B)=MhMn(B)

=Mh[Mn(B)]

=Mh(B)

=A

GBA(B)=MgMh(B)

=Mg[M h(B)]

=Mg(A)

=A

Jadi GBA(B) = MhMn(B) = MgMh(B) atau GBA = MhMn = MgMh

n h g

A B C | |

Sehingga (GAB)-1= (MnMh)-1

= Mh-1

Mn-1

= MhMn

=GBA

Jadi (GAB)-1=GBA

Teorema 10.5

Jika GAB sebuah geseran sedangkan C dan D adalah dua titik sehingga

= 2 maka

GAB = SCSD

Bukti :

Andaikan g = , k ± g di C, m ± g di D (gambar 10.5)

Maka ruas garis berarah dari k ke m. Oleh karena = 2 maka GAB = MmMk

sedangkan SD = MmMg

dan SC = MgMk

A

B

C

D g

k

m

Gambar 10.5

(Teorema 10.3)

D g

m

(Menurut Teorema 7.1 “andaikan D sebuah titik serta g dan m dua garis tegak lurus yang berpotongan di D, maka SD = MmM g )

(Menurut Teorema 7.1 “andaikan C sebuah titik serta g dan m dua garis tegak lurus yang berpotongan di C, maka SC = MgM k )

Jadi :

SCSD = (MmMg)(MgMk)

= Mm (MgMg) Mk

= Mm I Mk

= MmMk

Dengan demikian maka

GAB = SCSD

Teorema 10.6

Komposit suatu geseran dan suatu setengah putaran adalah suatu

setengah putaran

Bukti:

Andaikan GAB suatu geseran.

Ambil titik C sebarang dan misal ada titik E yang tunggal sehingga = .

Ambil titik D sehingga D merupakan titik tengah , berarti = 2 .

Menurut teorema 10. 5,

GAB=SDSC

GABSC=SDSCSC

GABSC=SD[SCSC]

GABSC=SD I

GABSC=SD

Jadi komposit suatu geseran dan suatu setengah putaran adalah suatu setengah

putaran.

C

g

k

(Sifat asosiatif hasil kali transformasi)

(Transformasi identitas)

Akibat :

Andaikan SA, SB, dan SC masing-masing setengah putaran, maka

SCSBSA=SD dengan D sebuah titik sehingga AD=BC

Bukti :

Diperoleh berturut-turut SCSB=GZBC

SCSBSA=GZBC SA

Ambil titik X sebarang

Misal GZBC SA=SX

Sehingga diperoleh 2 = 2 atau =

Karena titik X sebarang, Jadi bisa diubah menjadi sebarang titik, kita misalkan titik

D maka diperoleh

GZBC SA=SX

SCSBSA= SD dengan AD=BC

Jadi, jika SA, SB, dan SC masing-masing setengah putaran, maka SCSBSA=SD dengan D

sebuah titik sehingga BCAD =

Teorema 10.7

Hasil kali dua translasi adalah sebuah translasi

Bukti :

Andaikan dua buah geseran yaitu dan

Diperoleh dan

Jika dikomposisikan dengan melalui A

maka didapa

A

B

C E

E’

E’’

Andaikan titik E sebarang

Diperoleh

Berarti

Berarti

Jika dikomposisikan dengan melalui titik E, maka diperoleh

Berarti sehingga diperoleh

ACEEGEEG == ")("

Jadi

Atau

Pembuktian menggunakan teorema 10.5

Ambil titik P, Q sebarang sehingga 2 dan titik R sehingga 2

Diperoleh

Jika dikomposisikan dengan maka diperoleh

(assosiatif)

(Identitas transformasi)

(Identitas transformasi)

Karena 2 maka diperoleh

Jadi

Teorema 10. 8

Jika GOA sebuah translasi yang ditentukan oleh titik-titik O(0,0) dan

A(a,b) dan T transformasi yang didefinisikan untuk semua titik P(x,y)

sebagai T(P)=(x+a,y+b) maka T=GOA.

Bukti :

Ambil titik P(x,y) dengan T(P) = (x+a,y+b)

Missal GOA(P) = P’, berarti

Diperoleh P’= (x+a-0,y+b-0) = (x+a,y+b)

Jadi T(P) = P’= GOA(P), P V

Ini berarti T = GOA.

Untuk membuktikan dengan koordinat-koordinat teorema 10. 7

Perhatikan dua buah translasi GEF dan GKH

Andaikan A = (a,b) dan B = (c,d) dengan dan

Ambil titik P(x,y) sebarang sehingga diperoleh

GOA(P) = P’= (x+a,y+b) dan GOB(P) = P’ = (x+c,y+d)

Karena maka GOA(P) = GEF(P) = (x+a,y+b)

Karena maka GOB(P) = P’ = GKH = (x+c,y+d)

Jika GKH dikomposisikan dengan GEF melalui titik P maka diperoleh

GKHGEF(P) = GKH [GEF(P)]

= GKH(x+a,y+b)

= ((x+a)+c,(y+b)+d)

= (x+(a+c),y+(b+d))

Ini berarti bahwa GKHGEF adalah translasi yang membawa titik O(0,0) ke titik

(a+c,b+d).

SOAL TUGAS 1 1. Diketahui titik A, B, C yanng tak segaris.

a. Lukislah

b. Lukislah

c. Lukislah garis – garis g dan h dengan A g dan

d. Lukislah g dan h sehingga C gdan sehingga

2. Diketahui titik – titik A dan B dan garis g sehingga g .Lukislah :

a. Garis h sehingga

b. Garis k sehingga

c. Garis m sehingga m’

d. Titik C sehingga

3. Diketahui garis – garis g dan h yang sejajar dan sebuah titik A tidak pada garis – garis

trersebut.

a. Lukislah titik B sehingga

b. Lukislah titik C sehingga

4. Diketahui titik A, B, C, D, P dan garis g seperti anda lihat pada gambar

Lukislah :

a.

A

B D

P

g

C

b. Garis h sehingga g

c.

d.

5. Nyatakanlah P dengan R dalambentuk yang paling sederhana :

a. R

b. R

c. R

6. Apakah ungkapan – ungkapan di bawah ini benar atau salah :

a. Jika maka

b. Setiap translasi adalah suatu involusi

c. dengan

d. Apabila M titik tengah , maka

e. Apabila g’ (g), maka g’ // g

7. Jika A (2,3) dan B (-4,7) tentukan persamaan garis g dan h sehingga

8. Diketahui titik – titik A = (-1,3), B = (-5,-1) dan C = (2,4)

a. Tentukan C’

b. Tentukan persamaan garis – garis g dan h sehingga C g dan sehingga

9. Diketahui titik – titik A = (2,1) dan B =(5,-3).G sebuah geseran yang membawa A ke B.

a. Jika C = (4,2) tentukanlah G(C)

b. Jika P = (x,y) tentukanlah G(P)

10. Jika A = (2,1) dan B = (3,4) sedangkan g = tentukanlah :

a. jika P = (x,y)

b. Titik D sehingga

c. Sebuah persamaan untuk garis h dengan h (g)

SOAL TUGAS 2 1. Diketahui ruas garis berarah AB dan titik-titik C dan P

a. Tentukan GABSC(P)

b. Tentukan SCGAB (P)

c. Tentukan semua titik X sehingga GABSC(X) = X

2. Diketahui titik-titik A, B, C yang tak segaris

a. Tentukan D sehingga SDSC = GAB

b. Tentukan E sehingga SASBSC = SE

c. Tentukan F sehingga GABSC = SF

3. Diketahui empat titik, tiap tiga titik tak segaris, A, B, C dan D. Lukislah :

a. Titik E sehingga GCDGAB = GAE

b. Semua titik X sehingga SASBSC(X) = X

4. a. Untuk semua titik P = (x, y), S ditentukan sebagai S(P) = (x+a, y+b). Tentukan

S-1 (P)

b. Jika G1 dan G2 adalah geseran-geseran, selidiki apakah G1G2 = G2G1

5. Apakah himpunan-himpunan berikut tertutup terhadap operasi yang bersangkutan?

a. Himpunan semua kelipatan tiga terhadap pengurangan

b. Himpunan semua bilangan ganjil terhadap penjumlahan

c. Himpunan semua refleksi terhadap operasi perkalian (komposisi)

d. Himpunan semua transformasi terhadap perkalian (komposisi)

e. Himpunan ( -1, 0, -1) terhadap perkalian dan terhadap penjumlahan

6. G adalah geseran yang ditentukan sebagai berikut :

Jika P = (x, y) maka G(P) = (x+2, y+3)

Diketahui C = (1, -7). Tentukan koordinat D sehingga SDSC = G

7. Jika A = (1, 0), B = (2, 5) dan C (-3, 8) titik-titik yang diketahui, tentukan koordinat-

koordinat titik D sehingga GCD = SBSA.

8. Andaikan A = (a1, a2) dan B = (b1, b2). Dengan mengunakan koordinat- koordinat,

buktikan :

a. SBSA adalah suatu translasi

b. Jika P sebuah titik dan P’ = SBSA(P), maka = 2

9. Buktikan sifat-sifat berikut :

a. Jika GAB suatu geseran, maka GAB tidak memiiki titik-titik tetap

b. Komposit empat setengah putaran adalah suatu translasi

c. Apabila A, B, C titik-titik yang diketahui, maka SASBSC = SCSBSa

10. Diketahui A = (2, 1) dan B =(-3, 5)

a. Jika P = (x, y) tentukan SASB(P)

b. L = . Tentukan persamaan himpunan L’ = SASB(L)

JAWABAN TUGAS 1

1. Diketahui Titik-titik A, B, dan C yang tak segaris

A B

C

a. Lukislah GAB(A) dan GAB(B)

b. Lukislah GAB(C)

c. Lukislah garis-garis g dan h dengan A∈ g dan GAB=MhMg

d. Lukislah garis-garis g dan h sehingga C∈ g dan sehingga GAB=MhMg

2. Diketahui : Titik-titik A, B, dan garis g sehingga g⊥ AB.

a. Lukislah garis h sehingga MhMg= GAB

A B=GAB(A) A’=G AB(B)

A B

C C’=GAB(C)

h g

A B

C

A B

g h GAB(A) =B MhMg(A)=B } GAB=MhMg

h g

A B

C h g

A B

}

A

g k

B

m

A

m’

B

b. Lukislah garis k sehingga MgMk= GAB

c. Garis m sehingga m’ = GAB(m)

GAB (m) = B

m’ = B

d. Titik C sehingga GBA(C) = B

GAB(C) = B

GAB(A)= B MhMg = Mh(Mg(A))=Mh(B)=B } MhMg=GAB

GAB(A)= B MgMk = Mg(Mk(A))=M g(A)=B } MgMk=GAB

m’ = GAB(m)

A B C

A B

P

C

D

3. Diket: Garis-garis g//h dan titik A tidak pada garis-garis tersebut.

a. Lukislah titik B sehingga MhMg= GAB

Jelas GAB(A)= MhMg(A)= Mh(A’)=B

b. Lukislah titik C sehingga MgMh= GAC

Jelas GAC(A)= MgMh(A)= Mg(A’)=C

4. Diketahui titik A, B, C, D dan garis g

Lukislah !

g h

A Mg(A)=A’ B= Mh(A’)

g h

C= Mg(A’ ) A Mh(A)=A’

P

P’

P”

P’

P”

P

h’ = GDC (h)

h

g = GABGDC (h)

P”’ = G 3AB (P)

a) GCD GAB (P)

GAB (P) = P’ dimana PP’ = AB

GCD (P) = P” dimana P’P” = CD

b) GCD GBA (P)

GBA (P) = P’ dimana PP’ = BA

GCD (PP) = P” dimana P’P” = CD

c) Garis h sehingga GAB GCD (h) = g

d) G3AB (P)

P

P’

P”

5. Nyatakanlah P dengan R dalam bentuk yang paling sederhana:

a. GABGCD(P)=R

b. SAGBC(P)=R

c. (GAB)-1 Mg(P)=R

Penyelesaian:

6. Apakah ungkapan-ungkapan di bawah ini benar atau salah:

a. Jika GAB=MgMh maka GAB=MhMg..(Salah)

Bukti:

Dipunyai GAB=MgMh.

Jelas MgMh ≠ MhMg ( hasil kali 2 pencerminan tidak bersufat komutatif).

Jadi GAB ≠ MhMg.

Jadi jika GAB=MgMh maka GAB ≠ MhMg

b. Setiap translasi adalah suatu involusi.(Salah)

Bukti:

Misal: GAB=MhMg.

Maka diperoleh (GAB)-1= (MhMg)-1

= Mg-1Mh

-1

= MgMh

≠ GAB.

Jadi GAB bukan suatu involusi.

c. GABGAB= GCD dengan (Benar)

Bukti:

Ambil sembarang titik P.

Jika GABGAB(P)=P4 dan GCD(P)=P5, maka akan dibuktikan P4=P5.

Karena GAB(P)=P2 maka

GAB(P2)=P4 maka dan

GABGAB(P)=P4 maka

Sehingga , akibatnya .54 PP =

Jadi GABGAB(P)= GCD(P).

Karena P sembarang maka GABGAB= GCD.

d. Apabila M titik tengah , maka (Benar)

e. Apabila g’ = (g), maka g’//g ( Benar)

7. Jika A(2,3) dan B(4,-7) tentukan persamaan garis g dan h sehingga

Jawab :

Jelas g dan h ⊥ dan jarak antara g dan h

Persamaan garis

Jadi

Misal A ∈ g maka persamaan garis g

Jarak antara g dan h , A ∈ g maka h melalui c sehingga C midpoint AB

)

)

Jadi C(-1,5)

Persamaan garis h ⊥ AB dan melalui C(-1,5)

Jadi g : y =

h : y =

8. Diket: Titik-titik A(-1,3), B(-5,-1), dan C(2,4).

a. Tentukan ).(' CGC AB=

Penyelesaian:

Karena )(' CGC AB= maka

Jelas

Sehingga 242 22 −=⇔−=− xx dan .044 22 =⇔−=− yy

Jadi ).0,2()(' −== CGC AB

b. Tentukan persamaan garis-garis g dan h sehingga gC ∈ dan sehingga

MhMg= GAB.

Penyelesaian:

Jelas .1

4

4

15

31

12

12 =−−=

+−−−=

−−

=xx

yymAB

Agar MhMg= GAB maka haruslah g//h dan ., ABhABg ⊥⊥

Sehingga diperoleh

Karena g//h maka 1−== hg mm .

Misal garis h melalui titik D maka

Sehingga diperoleh

.1

11

1

−=⇔

−=⋅⇔

−=⋅

g

g

gAB

m

m

mm

2212

212

22

2

2412

412

22

2

212

2124

1212

212

2412

21

)4()4()4()2(

)31()15()4()2(

])()[()()(

−⋅+−⋅=−+−⇔

−−++−=−+−⇔

−+−=−+−⇔

=⇔

=

yx

yx

yyxxyyxx

ABCD

ABCD

2222

22

2222

22

212

212

212

212

22

)4()4()4()2(

)31()15()4()2(

)()()()(

'

'

−+−=−+−⇔

−−++−=−+−⇔

−+−=−+−⇔=⇔

=

yx

yx

yyxxyyxx

ABCC

ABCC

Jadi 042 221

2 =⇔−⋅=− xx dan .244 221

2 =⇔−⋅=− yy

Jadi titik D(0,2).

Jadi persamaan garis g yang melalui titik C(2,4) dengan 1−=gm adalah

6

24

)2(14

)( 11

+−=⇔+−=−⇔

−−=−⇔−=−

xy

xy

xy

xxmyy

dan persamaan garis h yang melalui titik D(0,2) dengan 1−=hm adalah

.2

2

)0(12

)( 11

+−=⇔−=−⇔

−−=−⇔−=−

xy

xy

xy

xxmyy

9. Diket A(2,1), B(5,-3)

Ditanyakan

a.

misal maka

sehinggga

dan

Jadi C’(7,-2)

b. dengan

misal

maka sehingga

dan

Jadi

10. Diket: Titik-titik A=(2,-1), B=(3,4), dan g={(x,y)\y+2x=4}.

a. Tentukan GAB(P) jika P(x,y).

Jawab:

Jelas BAGAB =)(

).4,3()1,2(

)4,3()1,2(

=+−+⇔=−⇔ba

GAB

Sehingga 132 =⇔=+ aa dan .541 =⇔=+− bb

Jadi ).5,1(),()( ++== yxyxGPG ABAB

b. Tentukan titik D sehingga GAB(D)=(1,3).

Jawab:

Misal titik ),( 11 yxD maka

).3,1()5,1(

)3,1(),(

)3,1()(

11

11

=++⇔=⇔

=

yx

yxG

DG

AB

AB

Sehingga 011 11 =⇔=+ xx dan .235 11 −=⇔=+ yy

Jadi titk D(0,-2).

c. Tentukan sebuah persamaan untuk garis h sehingga ).(gGh AB=

Jawab:

.32

4225

4)1(25

)42()(

−=+⇔=+++⇔

=+++⇔=+==

yx

xy

xy

xyGgGh ABAB

JAWABAN TUGAS 2

1. Diketahui ruas garis berarah dan titik-titik C dan P

a) Tentukan GABSC(P)

Penyelesaian :

GABSC(P)=GAB[SC(P)]

=GAB(P’) dengan C adalah titik tengah

=P” dengan

b) Tentukan SCGAB(P)

Penyelesaian :

SCGAB(P)=SC[GAB(P)]

=SC(P’) dengan

=P” dengan C titik tengah

c) Tentukan semua titik X sehingga GABSC(X)=X

Penyelesaian :

Menurut teorema 10. 6 diperoleh GABSC=SD

Ambil titik X sebarang

GABSC(X)=SD(X)

Diperoleh SD(X)=X, berartti X=

Ambil titik E dimana dan titik D adalah titik tengah berarti

Diperoleh GABSC(X) = GABSC(D)

= GAB[SC(X)]

=GAB(D’) dengan C titik tengah D’, berarti

=D dengan

=X

Jadi titik X adalah titik tengah dimana

2. Diketahui titik-titik A, B, C yang tak segaris

a) Tentukan D sehingga SDSC=GAB

Penyelesaian :

Berdasarkan teorema 10. 5 titik C dan titik D terletak pada satu garis dimana,

2

b) Tentukan E sehingga SASBSC=SE

Penyelesaian :

Berdasarkan akibat dari teorema 10. 6 diperoleh titik E segaris dengan titik C

dimana,

c) Tentukan F sehingga GABSC=SF

Penyelesaian :

Berdasarkan teorema 10. 6 diperoleh titik F adalah titik tengah berarti

dimana,

3. Diketahui empat titik, tiap tiga titik tak segaris, A, B, C dan D. lukislah :

a) Titik E sehingga GCDGAB=GAE

b) Semua titik X sehingga SASBSC(X)=X

4. a) Untuk semua titik P=(x,y), S ditentukan sebagai S(P)=(x+a,y+b). Tentukan S-

1(P).

Penyelesaian :

Menurut teorema 7. 3 S-1(P)=S(P)

=(x+a,y+b)

b) Jika G1dan G2 adalah geseran-geseran, selidiki apakah G1G2=G2G1.

Penyelesaian :

Ambil titik P sebarang

Misal G1=GAB dan G2=GCD

G1G2(P)=G1[G2(P)]

=G1(P’) dengan

=P” dengan

Jadi, ………(1)

G2G1(P)=G2[G1(P)]

=G2(P’) dengan

=P” dengan

Jadi, ………(2)

Berdasarkan (1) dan (2) berlaku GABGCD=GCDGAB

G1G2=G2G1

5. Apakah himpunan-himpunan berikut tertutup terhadap operasi yang

bersangkutan?

a) Himpunan semua kelipatan tiga terhadap pengurangan.

Penyelesaian :

b) Himpunan semua bilangan ganjil tehadap penjumlahan

Penyelesaian :

c) Himpunan semua reflexi terhadap operasi perkalian (komposisi)

Penyelesaian :

d) Himpunan semua transformasi terhadap perkalian (komposisi)

Penyelesaian :

e) Himpunan {-1,0,1} terhadap perkalian; dan terhadap penjumlahan.

Penyelesaian :

6. G adalah geseran yang ditentukan sebagai berikut :

Jika P=(x,y) maka G(P)=(x+2,y+3). Diketahui C=(1,-7).

Tentukan koordinat D sehingga SDSC=G

Penyelesaian :

SDSC(P)=G(P)

SD[(2-x,-14-y)]=(x+2,y+3)

Misalkan D(a,b)

[2a-(2-x),2b-(-14-y)]=(x+2,y+3)

� 2a-(2-x)=x+2

2a=x+2+2-x

2a=4

a=2

� 2b-(-14-y)=y+3

2b=y+3-14-y

2b=-11

b=-5,5

Jadi titik D(2,-5,5)

7. Jika A=(1,0), B=(2,5) dan C=(-3,8) titik-titik yang diketahui, tentukan koordinat-

koordinat titik D sehingga GCD=SBSA.

Penyelesaian :

Andaikan = maka E=(1+[x+3],0+[y-8])

=(4+x,y-8)

Apabila B titik tengah maka,

�

x=-1

�

y=18

Jadi koordinat D=(-1,18)

8. Andaikan A=(a1,a2) dan B=(b1,b2). Dengan menggunakan koordinat-koordinat.

Buktikan :

a) SBSA adalah suatu translasi

Penyelesaian :

Ambil titik P(x,y) sebarang

SBSA(P)=SB[SA(P)]

=SB(2a1-x,2a2-y)

=(2b1-2a1+x,2b2-2a2+y)

=[x+2(b1-a1),y+2(b2-a2)]

b) Jika P sebuah titik dan P’=SASB(P), maka =

Penyeleesaian :

Ambil titik P(x,y) sebarang

Dari hasil a) diperoleh P’=[ x+2(b1-a1),y+2(b2-a2)]

=( b1–a1,b2-a2)

=[ x+2(b1-a1)-x,y+2(b2-a2)-y]

=[ 2(b1-a1),2(b2-a2)]

=2( b1–a1,b2-a2)

=2

Jadi terbukti =

9. Buktikan sifat-sifat berikut :

a) Jika GAB suatu geseran, maka GAB tidak memiliki titik-titik tetap

Penyelesaian :

b) Komposit empat setengah putaran adalah suatu translasi

Penyelesaian :

c) Apabila A, B, C titik-titik uyang diketahui, maka SASBSC=SCSBSA

Penyelesaian :

10. Diketahui A=(2,1) dan B=(-3,5)

a) Jika P=(x,y) tentukan SASB(P)

Penyelesaian :

SASB(P)=SA(2.-3-x,2.5-y)

=SA(-6-x,10-y)

=2.2-(-6-x),2.1-(10-y)

=(10+x,-8+y)

Jadi SASB(P) =(10+x,-8+y)

b) L={(x,y)| x2+y2=4}. Tentukan persamaan himpunan L’=SASB(L).

Penyelesaian :

L= x2+y2=4 berarti lingkaran dengan pusat (0,0) dengan jari-jari=2

SASB(L)=SA[2.(-3)-0,2.5-0]

=SA(-6,10)

=[2.2-(-6),2.1-10]

=(10,-8)

Jadi L’={(x,y)|(x-10)2+(y+8)2=4}