Hukum kedua Newton tentang gerak dapat dinyatakan sebagai berikut: Tingkat waktu perubahan momentum dari suatu sistem adalah sama dengan gaya total yang bekerja pada sistem dan berlangsung dalam arah gaya total

Kami mencatat pada dua bagian awal yang sangat penting dari pernyataan ini: pertama, undang-undang ini mengacu

ke sistem yang spesifik, dan kedua, termasuk arah serta besarnya dan karena itu

ekspresi vektor. Untuk menggunakan undang-undang ini, maka akan diperlukan untuk menyusun kembali pernyataannya

menjadi bentuk yang berlaku untuk mengontrol volume yang berisi partikel fluida yang berbeda (yaitu,

sistem yang berbeda) ketika diperiksa pada waktu yang berbeda.

Pada Gambar 5.1, amati volume control yang terletak di bidang cairan-aliran. sistem

dianggap merupakan bahan menempati volume kontrol di timet, dan posisinya ditampilkan

baik pada waktu t dan pada saat tþDt.

Mengacu pada gambar, kita melihat bahwa

Wilayah I ditempati oleh sistem hanya pada waktu t.

Wilayah II ditempati oleh sistem at tþDt.

Wilayah III adalah umum untuk sistem baik di t dan di tþDt.

-Menulis hukum kedua Newton untuk situasi seperti ini, kita harus

-dimana simbol F, m, dan v memiliki arti seperti biasanya dan P mewakili total linear

momentum sistem.

Pada saat tþDt, momentum linear dari sistem yang sekarang menempati daerah II dan III

dapat dinyatakan sebagai

Mengurangkan kedua ekspresi ini dari pertama dan membaginya dengan interval waktu

Kita mungkin mengatur ulang sisi kanan ekspresi ini dan mengambil batas dihasilkan tersebut

persamaan untuk mendapatkan

Mengingat setiap proses membatasi secara terpisah, yang kita miliki, untuk sisi kiri

yang merupakan bentuk yang ditentukan dalam pernyataan hukum kedua Newton, persamaan (5-1).

Batas pertama di sisi kanan persamaan (5-2) dapat dievaluasi sebagai

Ini kita lihat menjadi laju perubahan momentum linear dari volume control itu sendiri, karena,

sebagai Dt! 0, wilayah III menjadi volume control.

Proses membatasi selanjutnya

mengungkapkan tingkat bersih momentum penghabisan di seluruh permukaan kontrol selama selang waktu

Dt.AsDtapproaches nol, daerah I dan II menjadi bertepatan dengan permukaan kontrol volume.

Mengingat arti fisik dari masing-masing batas dalam persamaan (5-2) dan Newton

hukum kedua, persamaan (5-1), kita dapat menulis persamaan kata berikut untuk konservasi

momentum linier terhadap volume kontrol:

jumlah

pasukan akting

pada kontrol

Volume

tingkat

momentum

di luar kendali

Volume

?

tingkat

momentum

ke kontrol

Volume

tingkat bersih momentum penghabisan dari

Volume kontrol

þ

tingkat

akumulasi

momentum

dalam kendali

Volume

Sekarang kita akan menerapkan persamaan (5-3) untuk volume kontrol umum yang terletak di cairan-aliran

bidang seperti yang ditunjukkan pada Gambar 5.2 dan mengevaluasi berbagai istilah.

Total gaya yang bekerja pada volume kontrol terdiri baik dari pasukan permukaan akibat

interaksi antara fluida kontrol volume, dan sekitarnya melalui kontak langsung,

dan pasukan tubuh yang dihasilkan dari lokasi volume kontrol dalam medan gaya. itu

medan gravitasi dan gaya resultan yang adalah contoh yang paling umum dari jenis yang terakhir ini.

Kami akan menunjuk total gaya yang bekerja pada volume kontrol sebagai? F.

Jika kecil areadAon permukaan kontrol dianggap, kita dapat menulis.

Perhatikan bahwa produk (rv) (dAcosu) adalah tingkat aliran keluar massa dari volume kontrol

throughd A, seperti dibahas dalam Bab 4. Ingat lanjut thatdAcosuis daerah, dA diproyeksikan

dalam arah normal terhadap vektor kecepatan, v, di mana uis sudut antara vand yang

lahiriah diarahkan vektor normal, n. Kami mungkin akan melipatgandakan tingkat aliran keluar massal dengan v untuk memberikan tingkat momentum aliran keluar melalui dA. Dari vektor aljabar produk ini mungkin

ditulis sebagai

v (rv) (dAcosu) ¼v (RDA) ½jvjjnjcosu

Istilah dalam tanda kurung siku adalah skalar atau d produk mot, v: nand istilah momentum aliran keluar

menjadi

rv (v: n) dA

Mengintegrasikan kuantitas ini atas seluruh permukaan kontrol, kita memiliki

ZZ

c: s:

vr (v: n) dA

yang merupakan momentum thenet effluxfrom volume control.

Dalam bentuk integralnya istilah fluks momentum tersebut di atas mencakup tingkat

momentum memasuki volume kontrol serta meninggalkan itu. Jika massa memasuki

Volume kontrol, tanda productv yang: nis negatif, dan terkait momentum fluks adalah

q v

n

dA

arus yang

pada waktu t

Gambar 5.2Fluid mengalir melalui

Volume kontrol.

input. Sebaliknya, tanda positif dari productv yang: nis terkait dengan momentum

aliran keluar dari volume kontrol. Dengan demikian, yang pertama dua istilah di sisi kanan persamaan

(5-3) dapat ditulis

tingkat momentum

di luar kendali

Volume

8

<

:

9

=

;

?

tingkat momentum

ke kontrol

Tingkat akumulasi momentum linear dalam volume kontrol mungkin

dinyatakan sebagai

@

@ t

ZZZ

c: v:

vrdV

dan keseimbangan linear-momentum keseluruhan untuk volume control menjadi

? F¼

ZZ

c: s:

vr (v: n) Dath

@

@ t

ZZZ

c: v:

rvdV (5-4)

Hubungan sangat penting ini sering disebut dalam mekanika fluida sebagai

momentum teorema. Perhatikan kesamaan besar antara (5-4) dan (4-1) dalam bentuk

istilah terpisahkan; amati, bagaimanapun, bahwa persamaan (5-4) adalah ekspresi vektor

menentang bentuk skalar dari keseimbangan massa keseluruhan dipertimbangkan dalam Bab 4. Dalam

persegi panjang koordinat persamaan tunggal vektor, (5-4), dapat ditulis sebagai tiga

persamaan skalar

? Fx¼

ZZ

c: s:

VXR (v: n) Dath

@

@ t

ZZZ

c: v:

rvxdV (5-5a)

? Fy¼

ZZ

c: s:

vyr (v: n) Dath

@

@ t

ZZZ

c: v:

rvydV (5-5b)

? Fz ¼

ZZ

c: s:

vzr (v: n) Dath

@

@ t

ZZZ

c: v:

rvzdV (5-5c)

Ketika menerapkan salah satu atau semua persamaan di atas, harus diingat bahwa setiap

Istilah memiliki tanda sehubungan dengan x didefinisikan secara positif, y, andz arah. itu

penentuan tanda integral permukaan harus dipertimbangkan dengan khusus

perawatan, baik sebagai komponen kecepatan (vx

) Dan produk skalar (v: n) memiliki tanda-tanda. itu

kombinasi yang tepat tanda terkait witheach dari istilah-istilah ini akan memberikan yang benar

akal untuk integral. Hal ini juga harus diingat bahwa sebagai persamaan (5-5a-c) ditulis

untuk cairan dalam volume kontrol, kekuatan untuk dipekerjakan di persamaan ini adalah mereka

yang bekerja pada fluida.

Sebuah studi rinci tentang contoh soal untuk mengikuti harus membantu dalam memahami,

dan mampu fasilitas dalam menggunakan, keseimbangan momentum keseluruhan.

5.2 APLIKASI DARI INTEGRAL EKSPRESI

Dalam menerapkan persamaan (5-4), pertama-tama perlu untuk menentukan volume kontrol yang akan memungkinkan solusi yang paling sederhana dan paling langsung untuk masalah yang dihadapi. Tidak ada aturan umum untuk membantu dalam definisi ini, tapi pengalaman dalam menangani permasalahan jenis ini akan memungkinkan seperti pilihan harus dibuat mudah.

Co

Pertimbangkan dulu masalah menemukan gaya yang diberikan pada sebuah tikungan pipa mengurangi akibat aliran asteady cairan di dalamnya. Diagram tikungan pipa dan jumlah yang signifikan untuk analisis akan ditampilkan di Figure5.3.The Langkah pertama adalah definisi dari volume control. Salah satu pilihan untuk volume kontrol, dari beberapa yang tersedia, semua cairan dalam pipa pada waktu tertentu. Kontrol volume yang dipilih dengan cara ini ditetapkan dalam Gambar 5.4, yang menunjukkangaya eksternal yang dikenakan atasnya. Eksternal gaya dikenakan pada cairan ini termasuk pasukan tekanan pada bagian (1) dan (2), gaya tubuh karena berat cairan dalam volume kontrol, dan pasukan karena tekanan dan tegangan geser, Pw dan tw, diberikan pada fluida dengan dinding pipa. Gaya resultan pada fluida (karena toPw dan tw) oleh pipa dilambangkan sebagai B, dan xandycomponents sebagai Bx dan By, masing-masing. Mengingat thex- persamaan

andy-directional komponen, (5-5a) dan (5-5b), keseimbangan momentum secara keseluruhan, kekuatan eksternal yang bekerja pada fluida dalam volume kontrol adalah

Setiap komponen yang tidak diketahui kekuatan B diasumsikan memiliki arti positif. Tanda-tanda yang sebenarnya untuk komponen-komponen ini, ketika solusi diperoleh, akan menunjukkan apakah atau tidak asumsi ini benar. Mengevaluasi integral permukaan di kedua x dan y arah, kita memiliki

Pernyataan yang momentum lengkap dalam arah x dan y adalah

Pemecahan untuk diketahui komponen gaya Bx dan By, kita memiliki

Ingat bahwa kita ingin mengevaluasi gaya yang bekerja pada pipa daripada yang pada gaya fluid.The dicari adalah reaksi terhadap B dan memiliki komponen sama besarnya dan berlawanan akal untuk Bx dan By The komponen gaya reaksi, R, diberikan pada pipa adalah

Beberapa penyederhanaan dalam bentuk dapat dicapai jika aliran steady. Menerapkan persamaan (4-3), kita memiliki......

di mana m laju aliran massa.

Solusi akhir untuk komponen tidak dapat ditulis sebagai

Volume kontrol ditunjukkan pada Gambar 5.4 yang solusi di atas diperoleh

merupakan satu-satunya pilihan yang mungkin. Lain digambarkan pada Gambar 5.5. Volume control ini dibatasi hanya dengan pesawat lurus memotong melalui pipa pada bagian (1) dan (2). Fakta bahwa volume kontrol seperti ini dapat digunakan menunjukkan fleksibilitas dari pendekatan ini, yaitu, bahwa hasil dari proses rumit yang terjadi secara internal dapat dianalisis cukup hanya dengan mempertimbangkan hanya jumlah transfer di seluruh permukaan kontrol.

Untuk volume control ini, x- dan y persamaan momentum arah yang

di mana kekuatan yang memiliki komponen Bx dan By adalah bahwa diberikan pada volume kontrol oleh bagian pipa memotong di bagian (1) dan (2). Tekanan pada (1) dan (2) dalam persamaan di atas adalah tekanan ukur, seperti tekanan atmosfer yang bekerja pada semua permukaan membatalkan. Perhatikan bahwa persamaan yang dihasilkan untuk volume kontrol ini identik dengan yang diperoleh untuk satu ditetapkan sebelumnya. Dengan demikian, solusi yang tepat dapat diperoleh untuk masing-masing beberapa volume kontrol yang dipilih selama mereka dianalisis secara hati-hati dan benar-benar.

5.3 HUBUNGAN INTEGRAL UNTUK SAAT PADA MOMENTUM

Hubungan yang tidak terpisahkan untuk saat momentum volume control merupakan perpanjangan dari pertimbangan hanya dibuat untuk momentum linear. Dimulai dengan persamaan (5-1), yang merupakan ekspresi matematika dari Newton kedua

hukum gerak yang diterapkan pada sistem partikel (Gambar 5.11)

kita mengambil vektor atau '' silang '' produk dari suatu vektor posisi, r, dengan setiap istilah dan mendapatkan

Kuantitas di sisi kiri persamaan (5-6), r? SF, adalah momen yang dihasilkan,? M,

tentang asal seperti yang ditunjukkan pada Gambar 5.11, karena semua kekuatan diterapkan pada sistem. Jelas, kita dapat menulis

di mana? M adalah, sekali lagi, total sejenak tentang asal-usul semua gaya yang bekerja pada

system.The sisi kanan dari persamaan (5-6) adalah momen tingkat waktu perubahan momentum Dengan demikian, istilah ini juga tingkat waktu perubahan saat momentum sistem. Kita akan menggunakan simbol H untuk menunjuk saat momentum. Ekspresi lengkap sekaranglinier. Ini kita dapat menulis sebagai

Seperti ekspresi analog untuk linearmomentum, persamaan (5-1), persamaan (5-7)

berlaku untuk sistem tertentu. Oleh proses limit sama dengan yang digunakan untuk momentum linear, kita dapat menyusun kembali ekspresi ini ke dalam bentuk yang berlaku untuk volume control dan mencapai persamaan kata

Persamaan (5-8) dapat diterapkan untuk volume kontrol umum untuk menghasilkan berikut

persamaan:

(5-9)

Istilah di sisi kiri persamaan (5-9) adalah total saat semua gaya yang bekerja pada

volume control. Istilah di sisi kanan mewakili tingkat bersih penghabisan

saat momentum melalui permukaan kontrol dan tingkat akumulasi

saat momentum dalam volume yang thecontrol, masing-masing.

Persamaan tunggal-vektor ini dapat dinyatakan sebagai tiga persamaan skalar untuk

orthogonal Inertial mengkoordinasikan directionsx, y, dan zas

V (5-10c)

The withMx arah terkait

dan (r? v) adalah mereka yang dianggap dalam mekanika

di mana aturan tangan kanan digunakan untuk menentukan orientasi kuantitas memiliki

pengertian rotasi.

5.4 APLIKASI UNTUK POMPA DAN TURBIN

Saat-of-momentum ekspresi ini terutama berlaku untuk dua jenis perangkat,

umumnya diklasifikasikan sebagai pompa dan turbin. Kami akan, dalam bagian ini, pertimbangkan mereka yang memiliki

gerakan berputar saja. Jika energi berasal dari akting cairan pada perangkat berputar, itu adalah

ditunjuk turbin, sedangkan pompa menambah energi untuk cairan. The berputar bagian dari turbin adalah

disebut pelari dan pompa impeller.

Dua contoh berikut menggambarkan bagaimana saat-of-momentum analisis digunakan untuk

menghasilkan ekspresi untuk mengevaluasi kinerja turbin. Pendekatan serupa akan digunakan dalam

Bab 14 untuk mengevaluasi karakteristik operasi dari penggemar dan pompa.

Contoh 2 Contoh kedua dari penerapan ekspresi kontrol volume untuk momentum linear

(teorema momentum), pertimbangkan tender lokomotif uap secara skematis digambarkan dalam

Gambar 5.6, yang memperoleh air dari palung dengan cara sendok. Gaya di kereta karena

ke air yang akan diperoleh.

Pilihan logis untuk volume control dalam hal ini adalah air-tank / sendok kombinasi. kami

batas kontrol volume akan dipilih sebagai theinteriorof tangki dan sendok. Saat kereta bergerak

dengan kecepatan seragam, ada dua kemungkinan pilihan sistem koordinat. Kami dapat memilih

sistem koordinat baik tetap dalam ruang atau bergerak

1

dengan kecepatan kereta, v0

. Mari kita

menganalisis sistem dengan menggunakan bergerak sistem koordinat.

The bergerak volume kontrol ditunjukkan pada Gambar 5.7 dengan sistem thexycoordinate bergerak di

kecepatan v0. Semua kecepatan ditentukan sehubungan dengan xandyaxes.

1

Ingat bahwa sistem seragam menerjemahkan koordinat sistem koordinat inersia, maka Newton

hukum kedua dan teorema momentum dapat digunakan secara langsung.

h

v0

Gambar 5.6 Skema

lembut lokomotif

menyendoki air dari

palung.

h

y

Ekspresi yang berlaku adalah persamaan (5-5a)

? Fx¼

ZZ

c: s:

VXR (v: n) Dath

@

@ t

ZZZ

c: v:

vxrdV

Pada Gambar 5.7,? Fx direpresentasikan sebagai Fxand ditunjukkan dalam arti positif. Sebagai kekuatan karena

tekanan dan geser untuk diabaikan, Fx

adalah total gaya yang diberikan pada fluida dengan kereta api dan sendok.

Istilah momentum fluks

ZZ

c: s:

VXR (v: n) (? 1) dA¼r (? v0) (v0) ðhÞ (per satuan panjang)

dan laju perubahan momentum dalam volume kontrol adalah nol, karena cairan dalam kontrol

Volume nol kecepatan dalam thexdirection.

Dengan demikian,

Fx¼rv

2

0

h

Ini adalah gaya yang diberikan oleh kereta pada fluida. Gaya yang diberikan oleh fluida pada kereta adalah

Kebalikan dari ini, atau? rv

2

0

h.

Sekarang mari kita perhatikan masalah yang sama dengan stasioner sistem koordinat (lihat Gambar 5.8).

Mempekerjakan sekali lagi hubungan kontrol volume untuk momentum linear

? Fx¼

ZZ

c: s:

VXR (v: n) Dath

@

@ t

ZZZ

c: v:

vxrdV

kita memperoleh

Fx¼0þ

@

@ t

ZZZ

c: v:

vxrdV

dimana fluks momentum adalah nol, karena cairan yang masuk memiliki kecepatan nol. Ada, tentu saja, tidak ada cairan

meninggalkan volume control. Istilah @ = @ t

RRR

c: v:

vxrdV, seperti kecepatan, vx¼v0¼constant, mungkin

ditulis asv0 @ = @ t

RRR

c: v:

rdVorv0 (@ m = @ t), di mana _ mis massa fluida memasuki volume kontrol

di tingkat @ m = @ t ¼rv0hso thatFx¼rv

2

0

memiliki sebelumnya.

Mahasiswa harus mencatat bahwa, dalam kasus sistem koordinat stasioner dan kontrol bergerak

volume, perawatan harus dilakukan dalam penafsiran fluks momentum

ZZ

c: s:

vr (v: n) dA

Regrouping syarat, kita memperoleh

ZZ

c: s:

vrðv: nÞdA?

ZZ

c: s:

vd _ m

Dengan demikian, jelas bahwa whilevis kecepatan relatif terhadap koordinat tetap, v: nis kecepatan relatif

ke batas kontrol volume.