PERAMALAN

Materi :1. Metode sederhana2. Metode rata-rata3. Metode pemulusan eksponensial4. Teknik regresi sederhana dan berganda5. Analisis runtun waktu : AR, MA, ARMA, ARIMA, SARIMA dll

Prediksi jarang tepat oleh karena itu hanya digunakan untuk memperkecil kesalahan yang ada.Peramalan model matematika + pertimbangan-pertimbangan (judgement yang masuk akal)Peramalan dibutuhkan dalam bidang : Keuangan, Pemasaran, SDM, Produksi

Tiga unsur pokok yang terkait dengan masalah peramalan :1. Waktu masa depan2. Ketidakpastian3. Analisis Statistika

Peramalan salah satu aspek dari perencanaan

Macam-macam peramalan1. Jangka panjang dan pendek2. Mikro dan Makro3. Kuantitatif dan Kualitatif (judgement)

DATA1. Jenis : Kualitatif (nominal dan ordinal) dan Kuantitatif (interval dan rasio)

Nominal persetujuan : ya 1 atau tidak 0 warna kesukaan : merah (0), kuning (1), hijau (2) pengkodean boleh ditukar-tukar

Ordinal jenjang pendidikan : SD (0), SMP (1), SMA (2) , PT (3) pengkodean tidak boleh ditukar-tukar

Interval suhu udara

dapat digunakan operasi ”+” dan ”−”

Rasio jarak, berat

dapat digunakan operasi ”+”, ”−” , ”” dan ”/”

2. Sifat : diskrit (bilangan bulat) dan kontinu (bilangan riil)

3. Sumber : Intern dan Extern (Primer dan Sekunder(: pribadi dan umum))

Teknik Peramalan 1. Kualitatif : Judgement dan intuisi2. Kuantitatif : deterministik dan probalistik

1

DATA RUNTUN WAKTU dikatakan Stasioner jika memiliki rata-rata (mean) dan varians yang konstan sepanjang waktu.

Metode : 1. Model sederhana2. metode rata-rata sederhana3. rata-rata bergerak4. pemulusan eksponensial sederhana5. metode Box-Jenkins

Trend data yang menunjukkan pertumbuhan (penurunan) dalam periode waktu yang panjang. Metode :

1. Rata-rata bergerak linier2. pemulusan eksponensial linier dari Brown3. pemulusan eksponensial linier dari Holt4. pemulusan eksponensial kuadrat dari Brown5. Regresi liner sederhana 6. Model Gompertz7. Kurva pertumbuhan8. Model-model eksponensial

Musiman data yang mempunyai pola perubahan yangg berulang secara tahunan (periodik). Metode :

1. dekomposisi klasik2. Cencus II3. pemulusan eksponensial dari Winter4. regresi linier berganda runtun waktu5. metode Box-Jenkins

Siklis data yang berfluktuasi seperti gelombang di sekitar garis trend Metode :

1. dekomposisi klasik2. model-model ekonometrik3. regresi linier berganda 4. metode Box-Jenkins

PENGUKURAN KESALAHAN PERAMALAN : nilai data runtun waktu pada periode t : nilai peramalan dari

: residual atau error atau kesalahan peramalan

1. Mean absolute deviation (MAD) :

2. Mean squared error (MSE) :

3. Mean absolute percentage error (MAPE) :

4. Mean percentage error (MPE) :

2

t Yt Ramalan ( =Yt-1)

et | et | et2 | et | / Yt

(%) et / Yt

(%)

1 Y1

2 Y2 Y1 Y2 − Y1

3 Y3 Y2

4 Y4 Y3

5 Y5 Y4

6 Y6 Y5

7 Y7 Y6

8 Y8 Y7

9 Y9 Y8

ne =  

MAD = ….. MAPE = …..MSE = ….. MPE = …..

tjlh mobil yg diservis (Yt)

Ramalan (Yt) et | et | et2 | et | / Yt

(%) et / Yt (%)

1 58

2 54 58 -4 4 16 7.4% -7.4%

3 60 54 6 6 36 10.0% 10.0%

4 55 60

5 62 55

6 62 62

7 65 62

8 63 65

9 70 63

ne = 8

MAD = MAPE =

MSE = MPE =

3

LANGKAH PERAMALANAnda di sini

Data masa lalu t Periode yang diramalkan--o----------o-----------o-------------o-------------o-----------o-----------o--- Yt-3 Yt-2 Yt-1 Yt Yt+1 Yt+2 Yt+3

Data yang terbaru

1. Metode Sederhana (naïve model)a) dengan : ramalan yang dibuat pada waktu t untuk memperkirakan

(meramalkan) nilai Y pada saat t+1

t Yt et et2 |et| |et|/Yt et/Yt

1 Y1            

2 Y2 Y1 Y2 - = Y2 - Y1        3 Y3 Y2

                

MSE MAD MAPE MPE

b) untuk data trend

t Yt Yt-1 Yt-Yt-1 et et2 |et| |et|/Yt et/Yt

1 Y1                

2 Y2 Y1  Y2 - Y1             

3 Y3 Y2 Y3 – Y2           

       

MSE MAD MAPE MPE

c)

t Yt Yt-1 Yt /Yt-1 et et2 |et| |et|/Yt et/Yt

1 Y1                2 Y2 Y1  Y2 /Y1             3 Y3 Y2 Y3 /Y2

         

       

MSE MAD MAPE MPE

d) untuk data musiman

t Yt Yt-3 et et2 |et| |et|/Yt et/Yt

1 Y1 -            2 Y2 -            3 Y3 -4 Y4 Y1

5 Y5 Y2

         

       

MSE MAD MAPE MPE

Secara umum untuk periode musiman = m periodeMaka rumus untuk point d) berubah menjadi

e) untuk data musiman dan trend

4

Penjualan Toko Sepatu Kasigi

0

200

400

600

800

1000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27

time

jlh penjuala

n

penjualan sepatu

t Yt Yt-1 Yt-2 Yt-3 Yt-4 Yt-Yt-1 Yt-1-Yt-2 Yt-2-Yt-3 Yt-3-Yt-4 JlhanJlhan/

4et et

2 |et| |et|/Yt et/Yt

1 Y1                              2 Y2 Y1                              3 Y3 Y2 Y1                            4 Y4 Y3 Y2 Y1                          5 Y5 Y4 Y3 Y2 Y1  Y5-Y4 Y4-Y3 Y3-Y2 Y2-Y1                6 Y6 Y5 Y4 Y3 Y2

         

         

Catatan : poin d) dan e) digunakan untuk 4 periode MSE MAD MAPE MPE

Secara umum untuk periode musiman = m periodemaka rumus untuk point e) berubah menjadi

Penjualan Toko sepatu KASIGI

Tahun Kuartal tjlh penjualan sepatu (Yt)

1987

1 1 5002 2 3503 3 2504 4 400

1988

1 5 4502 6 3503 7 2004 8 300

1989

1 9 3502 10 2003 11 1504 12 400

1990

1 13 5502 14 3503 15 2504 16 550

1991

1 17 5502 18 4003 19 3504 20 600

1992

1 21 7502 22 5003 23 4004 24 650

1993

1 25 8502 26 6003 27 4504 28 700

5

2. Metode rata-rata sederhana data stasioner

example : (data Kasigi)untuk t=1 (kuartal pertama tahun 1987)

dan

untuk t=2 dan

dan seterusnya Ramalan untuk kuartal pertama 1993

dan

t Yt Jumlah kumulatifRamalan (

)et et

2 |et| |et|/Yt et/Yt

1 Y1 = Y1            2 Y2 = Y1+Y2            3 Y3              4 Y4              5 Y5              

       

       

MSE MAD MAPE MPE

3. Metode rata-rata bergerak data stasioner Sering digunakan untuk data kuartalan atau bulanan

n : banyaknya data dalam rata-rata bergerak ditentukan dengan cara melihat grafik datanya

: nilai aktual pada periode t : nilai ramalan periode berikutnya

: rata-rata bergerak pada periode texample : (data Kasigi) merupakan data kuartalan sehingga n = 4untuk t=1untuk t=2 tidak dapat dihitung sehingga untuk t=1,2 dan 3 tidak masuk hitunganuntuk t=3

untuk t=4

dan

untuk t=5

dan dengan cara yang sama dapat dilakukan untuk data seterusnya

6

t Yt Yt-1 Yt-2 Yt-3Jumlah

4-kuartalanet et

2 |et| |et|/Yt et/Yt

1 Y1                    2 Y2 Y1                  3 Y3 Y2 Y1                4 Y4 Y3 Y2 Y1              5 Y5 Y4 Y3 Y2              6 Y6 Y5 Y4 Y3              

              

MSE MAD MAPE MPE

Tergantung persoalan Jika 3-mg-an ???

7

Penyewaan mingguan di Palwa Video Tara

600

620

640

660

680

700

720

740

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

time

Jlh

vid

eo

yg

dis

ew

a

persew aan video

4. Metode rata-rata bergerak Ganda data Trend Linier

p : banyaknya periode ke depan yang akan diramalkann : banyaknya periode dalam rata-rata bergerak

untuk n =3 t = 1 M1 =( Y1 + Y1-1 + Y1-2 ) =( Y1 + Y0 + Y-1 ) tidak mungkin t = 2 M2 =( Y2 + Y2-1 + Y2-2 ) =( Y2 + Y1 + Y0 ) tidak mungkint = 3 M3 =( Y3 + Y3-1 + Y3-2 ) =( Y3 + Y2 + Y1 ) t = 4 M4 =( Y4 + Y3 + Y2 )

t YtJumlah Yt

3-mingguanMt

Jumlah Mt

3-mingguanMt

' at bt

Ramalan (Yt+p=at +p* bt)

--> p=2et et

2 |et| |et|/Yt et/Yt

1 6542 6583 665 1977 6594 672 1995 6655 673 2010 670 1994 664.7 675.3 3.566 671 2016 672 2007 669.0 675 2.007 693 2037 679 2021 673.7 684.3 3.56 682.44 10.56 111.4 10.6 0.02 0.028 694 2058 686 2037 679.0 693 4.67 679.00 15.00 225 15 0.02 0.029 70110 70311 70212 71013 71214 71115 728

MSE MAD MAPE MPE

Data penyewaan mingguan di Palwa Video Tara

5. Metode Pemulusan Eksponensial Tunggal (Exponential Smoothing) Data Stasioner

tjlh video yg disewa(Yt)

1 654

2 658

3 665

4 672

5 673

6 671

7 693

8 694

9 701

10 703

11 702

12 710

13 712

14 711

15 728

8

Untuk atau atau

Catatan :1. Nilai (konstanta pemulusan) diestimasi degan menggunakan prosedur iterasi yang

meminimkan mean square error (MSE) 2. Nilai awal a. = Y1

b. Rata-rata n data pertama (diambil data ke-1 s.d. ke-n

kemudian dihitung nilai rata-rata-nya) Periode

Waktu = 0.1 = 0.6

Penghitungan Bobot Penghitungan BobotT 0.100 0.600t-1 0.90.1 0.090 0.40.6 0.24t-2 0.90.90.1 0.081 0.40.40.6 0.096t-3 (0.9)3 0.1 0.073 (0.4)3 0.6 0.038t-4 (0.9)4 0.1 0.066 (0.4)4 0.6 0.015

lainnya 0.590 0.0111 1

Example : (data Kasigi)Pilih konstanta pemulusan = 0.1 sedangkan untuk = Y1 = 500

t=1 = 0.1Y1+ (1-0.1) = (0.1)(500)+(0.9)(500) = 500 e2= Y2− =350−500=−150

t=2 = 0.1Y2+ (1-0.1) = (0.1)(350)+(0.9)(500) = 485 e3= Y3− =250−485=−235

t=3 = 0.1Y3+ (1-0.1) = (0.1)(250)+(0.9)(485) = 462 e4= Y4− =400−462=−62

t Yt Yt ( et et2 |et| |et|/Yt et/Yt

initial value     500          1 500 50 450.0            

2 350 35 450.0 500.0 150.0 22500.0 22500.0 64.3 0.4

3 250 25 436.5 485.0 235.0 55225.0 55225.0 220.9 0.9

4 400 40 415.4 461.5 61.5 3782.3 3782.3 9.5 0.2

5 450 45 409.8 455.4 5.4 28.6 28.6 0.1 0.0

6 350 35 409.3 454.8 104.8 10986.2 10986.2 31.4 0.3

7 200 20 399.9 444.3 244.3 59698.9 59698.9 298.5 1.2

8 300 30 377.9 419.9 119.9 14376.0 14376.0 47.9 0.4

9 350

10 200

11 150

12 400

13 550

14 350

15 250

16 550

17 550

18 400

19 350

20 600

MSE MAD MAPE MPE

6. Metode Pemulusan Eksponensial Ganda (Double Exponential Smoothing) Data Trend linier Metode Brown

9

: nilai Yt yang dimuluskan secara eksponensial pada saat t

: nilai Yt yang dimuluskan secara eksponensial ganda pada saat t

sehingga (Pemulusan Eksponensial tunggal)

dapat dituliskan sebagai

dan untuk Pemulusan Eksponensial ganda :

titik potong

slope

Peramalan pada periode p yang akan datang adalah : Keterangan : konstanta pemulusan

Yt nilai Y aktual pada periode t p banyaknya periode ke depan yang akan diramalkan

Example : (data video)Pilih konstanta pemulusan = 0.4, p = 2 dan = Y1 = 654 serta = Y1

t=1 A1= Y1 +(1−) A1-1 =(0.4)(654)+(1−0.4)(654)=654 = A1 +(1−) =(0.4)(654)+(1−0.4)(654)=654

a1 = 2A1− =2654−654=654

e1 dan e2 tidak masuk perhitungan

e3= Y3− =665−654=11t=2 A2= Y2 +(1−) A2-1 =(0.4)(658)+(1−0.4)(654)=263.2+392.4=655.6

= A2 +(1−) =(0.4)(655.6)+(1−0.4)(654)=654.64

a2 = 2A2− =2655.6−654.64=656.56

(655.6−654.64)=0.24

= 656.56 + 0.242=657.04 =657.04

e4= Y4− =672−657.04 =14.96

t Yt Yt At-1

At

( At A't-1Al

t At -Al

t at =2*At -A't bt

Yt(hat)et

654 654 p=2

1 654 261.6 392.4 654.0 261.6 392.4 654.0 0 654.0 0    

2 658 263.2 392.4 655.6 262.2 392.4 654.6 0.960 656.5 0.24    

3 665 266 393.3 659.3 263.7 392.7 656.5 2.832 662.1 0.71 654.0 11.00

4 672 268.8 395.6 664.4 265.7 393.9 659.6 4.733 669.1 1.18 657.0 14.96

10

Untuk menentukan nilai awal slope trend b0 dan titik potong a0 dengan menggunakan metode kuadrat terkecil (least square methods)untuk data video a0 = 650.3 dan b0 = 4.9 sehingga

.............1)

.............2)

1) = 642.9

2) = 635.6

dan A1= Y1 +(1−) A0 =(0.4)(654)+(1−0.4)(642.9)=647.3

= A1 +(1−) =(0.4)(647.3)+(1−0.4)( 635.6)=640.3

a1 = 2A1− =2647.3−640.3=654.3

=4.7

p=1

t Yt Yt At-1

At

( At A't-1

Alt

At -Alt

at = 2*At -A't

bt

Yt(hat)et et

2 |et| |et|/Yt et/Yt

…….. …. p=2

1 654

2 658

3 665

4 672

5 673

6 671

7 693

8 694

9 701

10 703

11 702

12 710

13 712

14 711

15 728

MSE MAD MAPE MPE

11

7. Metode Pemulusan Eksponensial untuk data Trend Metode dua parameter Holta) Rangkaian pemulusan secara eksponensial b) Estimasi trend c) Ramalan pada periode p

dengan :At : nilai baru yang telah dimuluskan : konstanta pemulusan (0 < )Yt : data aktual pada periode t : konstanta pemulusan untuk estimasi trend (0 < )

Tt : estimasi trendp : periode yang diramalkan

: nilai ramalan pada periode p

Example : (data kasigi) dan A1 Y1 T1 p = 3 t = 1

A1 500T1

= 500 + 0 × 3 = 500

e4 = =400 – 500= –100t = 2

=0.3×350+(1-0.3) ×(500+0) =105+350=455= 0.1×(455-500)+(1-0.1)×0= – 4.5

= 455 + (–4.5) × 3 = 441.5

e5 = = 450 – 441.5 = 8.5

t Yt Yt At-1 + Tt-1(1-)

[At-1 + Tt-1]

At

( At - At-1 (At - At-1) Tt-1

Tt

( et

0.3 0.1 p=3

1 500       500       0    

2 350 105 500.00 350.0 455.00 -45.00 -4.50 0.00 -4.50    

3 250 75 450.50 315.4 390.35 -64.65 -6.47 -4.05 -10.52  

4 400 120 379.84 265.9 385.88 -4.47 -0.45 -9.46 -9.91 500.00 -100.00

5 450 135 375.97 263.2 398.18 12.30 1.23 -8.92 -7.69 441.50 8.50

6 350 105 390.49 273.3 378.34 -19.84 -1.98 -6.92 -8.90 358.81 -8.80

7 200 60 369.44 258.6 318.61 -59.74 -5.97 -8.01 -13.99 356.15 -156.15

8 300 90 304.62 213.2 303.23 -15.37 -1.54 -12.59 -14.13 375.11 -75.11

9 350 105 289.11 202.4 307.38 4.14 0.41 -12.71 -12.30 351.63 -1.63

10 200 60 295.08 206.6 266.55 -40.82 -4.08 -11.07 -15.15 276.65 -76.65

11 150

12 400

13 550

14 350

15 250

16 550

17 550

18 400

19 350

20 600

21 750

22 500

23 400

24 650

12

8. Metode Pemulusan Eksponensial untuk variasi Trend dan musiman (Metode tiga parameter Winter)

a) Pemulusan eksponensial

b) Estimasi trend

c) Estimasi musiman

d) Ramalan pada periode p dengan : : konstanta pemulusan untuk estimasi musiman (0 < )

St : estimasi musimanL : panjangnya musim

: nilai ramalan pada periode pExample : (data kasigi) p = 3 nilai L dapat dilihat di grafik data L=4 t = 1 inisialisasi awal : A1 Y1 T1 S1

=(500+0)×1 = 500 e4 = = 400 – 500 = – 100t = 2 S–2 S1

=0.4×(350/1)+(1– 0.4)×(500+0) =440

= 0.1×(440– 500)+(1– 0.1)×0= – 6

= 0.3×(350/440)+(1 – 0.3)×1 = 0.94

= (440 – 6×3)×1 = 422 e5 = = 450 – 422 = 28

t = 3 S–1 S1 360.4 ; – 13.36 ; 0.91 300.6 e6 = 350 – 300.6 = 49.34

t = 4 S0 S11 368.2 ; – 11.24 ; 1.03 303.7 e7 = 200 – 303.7 = – 103.7

t = 5 S1 394.2 ; – 7.52 ; 1.04 381.25 e8 = – 81.25

t = 6 S2 0.94 A6 381.1 ; T6 – 8.07 ; S6 0.93 372.1 e9 = – 22.1

t Yt

Yt / St-L

* (Yt

/ St-L)

At-1 + Tt-1

(1-)* [At-1 +Tt-1]

At

( At - At-1

* (At

- At-1)*

Tt-1

Tt

( Yt / At

* (Yt / At)

*St-L

St

(

et

L=4 0.4 0.1 0.3 p=3

1 500         500       0       1    

2 350 350.0 140.0 500.0 300.0 440.0 -60.0 -6.00 0.00 -6.00 0.80 0.24 0.70 0.94    

3 250 250.0 100.0 434.0 260.4 360.4 -79.6 -7.96 -5.40 -13.36 0.69 0.21 0.70 0.91    

4 400 400.0 160.0 347.0 208.2 368.2 7.8 0.78 -12.02 -11.24 1.09 0.33 0.70 1.03 500.0 -100.0

5 450 450.0 180.0 357.0 214.2 394.2 26.0 2.60 -10.12 -7.52 1.14 0.34 0.70 1.04 422.0 28.00

6 350 372.9 149.2 386.7 232.0 381.2 -13.0 -1.30 -6.77 -8.07 0.92 0.28 0.66 0.93 300.6 49.34

7 200 220.2 88.1 373.1 223.8 311.9 -69.2 -6.92 -7.27 -14.19 0.64 0.19 0.64 0.83 303.7 -103.7

8 300

9 350

10 200

11 150

12 400

13 550

14 350

15 250

16 550

17 550

ANALISIS KORELASI

13

Hubungan antara dua peubah acak X dan Y biasanya dinamakan korelasi dan nilai

korelasinya ditunjukkan dengan koefisien korelasi yang dinotasikan dengan dan nilai yang mungkin dari koefisien korelasi terletak antara [-1,1]. Jika > 0 berarti hubungan yang ada merupakan hubungan positive dan untuk < 0 mempunyai arti hubungannya negative dan = 0 menunjukkan tidak adanya hubungan atau independensi antara peubah X dan Y.

Koefisien korelasi Pearson (koefisien korelasi sederhana) Misalkan diberikan sampel acak dari n pengamatan (xi,yi), i=1,...,n untuk peubah acak X dan Y. Sampel pengamatan tersebut digunakan untuk menentukan estimator unbiased dari parameter x, y, xy, x dan y yaitu , , Sxy, Sx dan Sy.

dan diduga oleh

digunakan untuk mengukur hubungan linier antara dua peubah acak kuantitative X dan Y. Untuk menguji koefisien korelasinya digunakan hypothesis berikut Ho : = 0 H1 : 0dalam pengujian hypothesis tersebut diperlukan penghitungan statistik : untuk r : koefisien korelasi Pearson Sr : standar deviasi dari estimator r yang didefinisikan sebagai Dibawah H0 , statistik t berdistribusi student dengan derajat kebebasan n-2.Keputusan H0 akan ditolak jika t t(/2),(n-2).

No. Y X Y-mean(Y) X-mean(X) (Y-mean(Y))2 (X-mean(X))2 [Y-mean(Y)]* [X-mean(X)]

1 1.30 10 -0.18 -0.22 0.032 0.05 0.040

2 2.00 6 0.52 -4.22 0.273 17.83 -2.205

3 1.70 5 0.22 -5.22 0.049 27.27 -1.160

4 1.50 12 0.02 1.78 0.000 3.16 0.040

5 1.60 10 0.12 -0.22 0.015 0.05 -0.027

6 1.20 15 -0.28 4.78 0.077 22.83 -1.327

7 1.60 5 0.12 -5.22 0.015 27.27 -0.638

8 1.40 12 -0.08 1.78 0.006 3.16 -0.138

9 1.00 17 -0.48 6.78 0.228 45.94 -3.238

13.3 92 0.696 147.56 -8.656

mean 1.48 10.22 sqrt 0.83 12.15 r= -0.854

No. Y X Y-mean(Y) X-mean(X) (Y-mean(Y))2 (X-mean(X))2 [Y-mean(Y)]* [X-mean(X)]

1 10 1.30

2 6 2.00

3 5 1.70

4 12 1.50

5 10 1.60

6 15 1.20

7 5 1.60

8 12 1.40

9 17 1.00

10 20 1.10

sqrt r=

ANALISIS REGRESI Analisis regresi adalah suatu metode yang menggunakan metode kuadrat terkecil untuk

menguji data dan menggambarkan kesimpulan yang penuh arti tentang hubungan dependensi yang

14

ada antara peubah tak bebas (peubah respon, Y) dan peubah bebas (peubah prediktor, X) atau peubah yang menerangkan variasi Y. Persamaan regresi adalah suatu persamaan yang menyatakan hubungan antara Y dan X yang di dalam tulisan ini hanya akan dibahas untuk Y saja yang acak sedangkan untuk X dianggap tetap atau tidak acak.

Regresi Linier Sederhana dan BergandaRegresi linier sederhana mencakup dua peubah yaitu Y dan X sedangkan regresi linier

berganda melibatkan lebih dari dua peubah yaitu Y dan (X1, ..., Xp). Dalam model regresi linier sederhana dan berganda diberikan beberapa asumsi yang memungkinkan model tersebut dapat digunakan. Sehingga untuk menggunakannya asumsi yang diajukan harus dipenuhi atau dengan kata lain harus diuji keberadaannya. Sayangnya banyak peneliti yang kadang-kadang menganggap asumsi tersebut sudah benar dan akibatnya tidak perlu lagi diadakan pengujian. Padahal, jika pengujian asumsi tidak dilakukan maka koefisien regresi (estimator parameter) yang diperoleh akan tidak layak untuk dipakai, hal ini karena dengan tidak diujinya asumsi yang ada akan menyebabkan penghitungan rumus-rumus yang digunakan untuk mendapatkan koefisien regresi tersebut tidak bisa dipertanggung-jawabkan secara matematis.1. Regresi Linier Sederhana

Suatu analisis regresi yang peubah tak bebas Y bergantung secara linier pada satu peubah bebas X disebut regresi linier sederhana. Bentuk modelnya adalah Y = 0 + 1 X + untuk Y adalah peubah tak bebas, X merupakan peubah bebas,

ialah residu dan 0 , 1 adalah parameter.

Jika diberikan n pasang pengamatan (x1,y1),..., (xn,yn) untuk yi bergantung secara linier pada xi maka dapat diperoleh : yi = 0 + 1 xi + i , i=1,...,n.dengan asumsi-asumsi berikut :

(i) xi tetap (fixed). (ii) E(ij) = 0 untuk ij. (iii) E(i) = 0 dan V(i) = 2 untuk i=1,...,n.

(iv) i berdistribusi normal. (v) parameter 0 dan 1 berupa konstanta.

Masalahnya adalah mengestimasi parameter 0 , 1 dan memilih nilai 0 , 1 sedemikian sehingga jarak antara yi dan 0 + 1 xi mínimum. Akan digunakan metode kuadrat terkecil (least squares method) dengan prinsip meminimkan jumlah kuadrat residu, dan menghasilkan estimator berikut

sehingga nilai untuk nilai xi

Data 1

No. Y X Y-mean(Y) X-mean(X)[Y-mean(Y)]* [X-mean(X)]

[X-mean(X)]2 Y topi ei (ei)2

1 1.30 10 -0.18 -0.22 0.040 0.049 1.491 -0.191 0.03641

2 2.00 6 0.52 -4.22 -2.205 17.827 1.725 0.275 0.075377

3 1.70 5 0.22 -5.22 -1.160 27.272 1.784 -0.084 0.007075

4 1.50 12 0.02 1.78 0.040 3.160 1.373 0.127 0.016004

5 1.60 10 0.12 -0.22 -0.027 0.049 1.491 0.109 0.011922

6 1.20 15 -0.28 4.78 -1.327 22.827 1.198 0.002 6.17E-06

7 1.60 5 0.12 -5.22 -0.638 27.272 1.784 -0.184 0.033897

8 1.40 12 -0.08 1.78 -0.138 3.160 1.373 0.027 0.000703

9 1.00 17 -0.48 6.78 -3.238 45.938 1.080 -0.080 0.006431

13.3 92 -8.656 147.556 -6.66E-16 0.187824

Mean 1.48 10.22

beta 1 = -0.059

beta 0 = 2.077

Data 2

No. Y X Y-mean(Y) X-mean(X)[Y-mean(Y)]* [X-mean(X)]

[X-mean(X)]2 Y topi ei (ei)2

15

1 10 1.30

2 6 2.00

3 5 1.70

4 12 1.50

5 10 1.60

6 15 1.20

7 5 1.60

8 12 1.40

9 17 1.00

10 20 1.10

mean

beta 1 =

beta 0 =

Untuk mengetahui goodness of fit dari model yang diperoleh dapat dilihat dari nilai koefisien determinasinya, dinotasikan R2 dan bernilai didalam interval [0,1] dan pada umumnya model dikatakan baik jika R2 mendekati satu. Koefisien determinasi ini didefinisikan

Setelah diketahui goodness of fit model selanjutnya dilakukan uji terhadap asumsi-asumsi yang diberikan, dalam pengujian ini dapat dibagi menjadi dua : Pertama, uji terhadap parameter dan kedua pengujian terhadap residu.

a. Uji Parameter.Pengujian parameter dapat dilakukan dengan bantuan tabel analisis variansi berikut ini :

db JK RK nilai F

regresi 1

residu n-2

total n-1

dengan JK adalah jumlah kuadrat RK ialah rata-rata kuadrat S2 merupakan estimator dari 2

hypothesis H0 : 0 = 1 = 0 H1 : 0 0 atau 1 0

statistiknya :

keputusan untuk menolak H0 adalah jika Fhit > F,1,(n-2) dengan F,1,(n-2) adalah nilai tabel dari distribusi F berderajat kebebasan 1 dan n-2 untuk tingkat kepercayaan . Berikutnya jika diinginkan maka dapat dilakukan penghitungan daerah kepercayaan 100(1-) dari (0, 1)

Untuk memastikan bahwa 0 dan 1 merupakan konstanta dapat dilakukan uji individual terhadap parameter tersebut masing-masing ujinya adalah sebagai berikut :

Uji untuk 0

hypothesis H0 : 0=0

statistiknya : Keputusan :tolak H0

16

H1 : 0 0

dengan jika t > t/2,(n-2)

Uji untuk 1.hypothesis H0 : 1= 0 H1 : 1 0

statistiknya :

dengan

Keputusan :tolak H0

jika t > t/2,(n-2)

Apabila diperlukan maka dapat dilakukan penghitungan interval kepercayaan 100(1-) dari masing-masing parameter 0, 1.

b. Uji Residu.Cakupan uji residu meliputi : Pertama, uji tidak adanya autokorelasi di dalam residu

(e1,...,en) atau E(ei ej) = 0 untuk i j dengan kata lain uji independensi (e1,...,en). Untuk menguji ada dan tidaknya autokorelasi tersebut dapat digunakan uji Durbin-Watson. Jika didefinisikan i = i-1 + i , i < 1 dan i=1,...,nuntuk i IID dengan E(i) = 0 dan V(i) = 2 dan diestimasi dengan

statistik dari uji Durbin-Watson adalah untuk ei =

hypothesis untuk uji ini adalah :H0 : tidak ada autokorelasi di dalam residu (e1,...,en)

H1 : ada autokorelasi di dalam residu (e1,...,en)keputusan yang dapat diambil menggunakan aturan berikut ini :untuk > 0, tolak H0 jika d < dL dan terima H0 jika d > dU sedangkan untuk < 0, tolak H0 jika d > 4 - dL dan terima H0 jika d < 4 - dU . Jika 4 - dU < d < 4 - dL maka tidak dapat diambil kesimpulannya. Untuk dL dan dU adalah nilai kritis dalam tabel statistik Durbin-Watson. Selanjutnya jika diketahui adanya autokorelasi dan diinginkan untuk memperoleh model dari data yang telah dipunyai, maka dapat digunakan metode Prais-Winsten dengan menggunakan suatu transformasi untuk menghilangkan autokorelasinya.Kedua, uji kenormalan residu (e1,...,en) dan untuk mengujinya dapat digunakan uji Kolmogorov-Smirnov atau uji dengan plot : plot P-P atau plot Q-Q. Ketiga, uji kekonstanan variansi residu atau uji homoscedastisitas dalam residu. Dalam hal ini, plot antara ei dan yi dapat digunakan untuk menguji homoscedastisitas tersebut.

2. Regresi Linier BergandaAnalisis regresi yang peubah tak bebasnya Y bergantung secara linier pada beberapa

peubah bebas X1,...,Xk disebut regresi linier berganda yang persamaannya diberikan dalam bentuk berikut : Y = f(X1,...,Xk) dengan f(X1,...,Xk) adalah suatu fungsi linier dari X1,...,Xk.Secara umum model regresi linier berganda dengan (p-1) peubah bebas dinyatakan sebagai :

, i=1,...,n

atau dapat dinotasikan secara matriks berikut : Y = X + dengan Y adalah vektor n1 pengamatan untuk peubah tak bebas X merupakan matriks np yang kolom-kolomnya terdiri dari vektor 1n1 dari peubah-peubah bebas

17

ialah vektor parameter berukuiran p1 menyatakan vektor residu n1dengan asumsi-asumsi berikut :

(i) xij tetap (fixed) untuk i=1,...,n dan j=1,...,p-1 (ii) E(ij) = 0 untuk ij(iii) E(i) = 0 dan V(i) = 2 atau E(') = 2 I untuk i=1,...,n(iv) i berdistribusi normal untuk i=1,...,n(v) parameter 0, 1,…, p-1 berupa konstanta

estimator parameter menggunakan metode kuadrat terkecil : Untuk mendapatkan model terbaik dalam regresi linier berganda, terdapat beberapa cara yang dapat digunakan : Pertama, pemilihan peubah bebas yang akan dipakai dapat dilakukan dengan menggunakan metode stepwise, metode eliminasi backward dan metode forward. Untuk memperoleh peubah bebas yang optimal diperlukan pemakaian ketiga metode tersebut karena satu dan lainnya mempunyai kelebihan dan kekurangan tersendiri. Kedua, koefisien determinasi R2

yang didefinisikan dengan dapat digunakan untuk melihat goodness of

fit model (kriteria koefisien determinasi R2). Ketiga, dengan kriteria R2 adjusted dan rata-rata kuadrat kesalahan (Mean Square error) bisa digunakan pula untuk goodness of fit model. Berbeda dengan koefisien determinasi, penambahan peubah ke dalam model belum tentu menyebabkan naiknya nilai R2 adjusted. Dengan maximumnya kriteria R2 adjusted berarti minimumnya kriteria rata-rata kuadrat kesalahan. Keempat, menguji adanya multikolinieritas yaitu adanya hubungan linier antar peubah-peubah bebas. Jika ada multikolinieritas maka matriks X'X merupakan matriks singular atau mendekati singular. Untuk mendeteksi multikolinieritas yang paling sederhana adalah menggunakan matriks korelasi peubah-peubah bebas (dinotasikan R), bisa juga dilakukan dengan menggunakan nilai eigen dari matriks korelasi R karena nilai rank R ditentukan oleh nilai eigennya yang tidak sama dengan nol atau dengan menghitung perbandingan antara nilai eigen terbesar dengan nilai eigen terkecil, jika perbandingan tersebut melebihi 1000 maka ada multikolinieritas dan jika kurang dari 100 berarti tidak ada multikolinieritas.

Seperti halnya dalam regresi linier sederhana, setelah langkah goodness of fit model akan dilakukan uji terhadap asumsi-asumsi yang diberikan.a. Uji Parameter.

Dengan tabel analisis variansi di bawah ini

db JK RK nilai F

regresi p-1

residu n-p

total n-1dengan JK adalah jumlah kuadrat RK ialah rata-rata kuadrat S2 merupakan estimator dari 2

uji terhadap parameter 0, 1,…, p-1 dapat dilakukan sebagai berikut :hypothesis H0 : j=0 untuk j=1,...,p-1 H1 : paling sedikit ada satu j 0

statistiknya :

Keputusan :tolak H0 jika F > F,p-1,n-p

Langkah berikutnya adalah menghitung ellipsoid kepercayaan 100(1-) dari yang berupa vektor 0, 1,…, p-1). Sedangkan untuk uji individual terhadap parameter (koefisien regresi) 0, 1,…, p-1 dapat dilakukan sebagai berikut :Hypothesis : H0 : j=0 statistiknya : dengan adalah elemen

Keputusan :tolak H0

18

H1 : j 0 diagonal ke-j dari matriks jika t > t/2,(n-p)

Selanjutnya dapat ditentukan interval kepercayaan 100(1-) dari masing-masing parameter.

b. Uji Residu.Pengujian residu di dalam regresi linier berganda pada prinsipnya sama seperti pada

pengujian yang dilakukan pada regresi linier sederhana.

OTOKORELASIPeubah acak e (error) yang dipecah menjadi et dan et-1 untuk t = 2,3,4,…n dan korelasi antara et dan et-1 disebut otokorelasi.

dan secara umum untuk : k = 2,3,4, ...

dan r1 : koefisien otokorelasi tingkat pertama

: nilai rata-rata data =

et : observasi pada waktu tet-1 : observasi pada satu periode sebelumnya

Uji koefisien otokorelasi (secara simultan)Hipotesis : untuk k=1,2,3,....

Keputusan :

1. tolak H0 jika atau . Nilai rk (otokorelasi et) terletak di daerah

penolakan H0 sehingga metode peramalan yang dipakai kurang cocok/ sesuai karena rk ≠ 0 atau tidak random (acak) artinya perlu dilakukan penggantian dengan metode peramalan yang lain.

2. Terima H0 jika . Nilai rk terletak pada interval yang diinginkan

(daerah penerimaan H0) sehingga metode peramalan yang dipakai sudah cocok/ sesuai karena rk

= 0 yang berarti error-nya random

Catatan : untuk α = 0,05 = 5 % nilai = 1,96

Uji otokorelasi dengan uji Durbin-WatsonHypothesis :

untuk k=1,2,3,....statistiknya Durbin-Watson : Keputusan :

terima H jika dw ≈ 2 artinya tidak ada otokorelasi dalam error (residu) atau e random.

19