HITUNG DIFERENSIALHITUNG DIFERENSIAL

Widita KurniasariWidita Kurniasari

Modul 5 & 6 Juli 2006

ALJABAR KALKULUSKonsep matematika yg mempelajari

tk perubahan dr suatu fungsi

DIFERENSIAL•Mempelajari tk. perubahan rata-rata/seketika dr suatu fungsi•Mencari turunan dr suatu fungsi

INTEGRAL•Mencari fungsi asal jika diketahui nilai perubahannya•Menentukan luas bidang

APLIKASI•Menghitung nilai optimal•Analisis marginal

APLIKASI•Surplus konsumen dan surplus produsen

PENGERTIAN LIMITPENGERTIAN LIMIT Konsep dasar diferensialKonsep dasar diferensial Adalah harga batas tertentu, L, yang Adalah harga batas tertentu, L, yang

dicapai oleh suatu fungsi, f(x), jika dicapai oleh suatu fungsi, f(x), jika variabelnya mendekati harga tertentu, a.variabelnya mendekati harga tertentu, a.

Kegunaan Limit :Kegunaan Limit :Perhitungan bentuk-bentuk tak tentuPerhitungan bentuk-bentuk tak tentuMenentukan kontinuitas/diskontinuitas Menentukan kontinuitas/diskontinuitas

suatu fungsisuatu fungsiPerhitungan hasil bagi diferensial/turunan Perhitungan hasil bagi diferensial/turunan

fungsifungsi

Lxfax

)(lim

PERHITUNGAN BENTUK TAK TENTUPERHITUNGAN BENTUK TAK TENTU Bentuk tak tentu : Bentuk tak tentu : 0/0, ~/~, 10/0, ~/~, 1~~, ~ - , ~ -

~~ Contoh :Contoh :

62

9lim.1

2

3

X

Xx

x

fxf

XXxfDik

x

)2()2(lim

3)(:.2

0

2

187

1042lim.3

2

2

XX

XXx

187

1042lim.4

2

23

XX

XXXx

XXX

XXx 187

1042lim.5

23

2

x

x X

6

3

11lim.6

x

x XX

X2

2

2

52

22lim.7

XXXx

10lim.8 2

KONTINUITAS FUNGSIKONTINUITAS FUNGSISuatu fungsi Y = f(x) dikatakan Suatu fungsi Y = f(x) dikatakan

kontinyu untuk x = a dari suatu kontinyu untuk x = a dari suatu nterval tertentu jika :nterval tertentu jika :Y = f(a) terdefinisiY = f(a) terdefinisi mempunyai harga tertentu, mempunyai harga tertentu,

misal Lmisal LL = f(a)L = f(a)

)(lim xfax

PERHITUNGAN HASIL BAGI PERHITUNGAN HASIL BAGI DIFERENSIALDIFERENSIAL

Menunjukkan perubahan rata-rata Y Menunjukkan perubahan rata-rata Y terhadap Xterhadap X

Jika perubahan X (Jika perubahan X (X) cukup kecil X) cukup kecil sehingga mendekati nol, maka :sehingga mendekati nol, maka :

Limit dari hasil bagi diferensial = DERIVATIVE Limit dari hasil bagi diferensial = DERIVATIVE PERTAMA = PERTAMA =

x

xfxxf

X

Y

)()(

x

xfxxf

X

Yxx

)()(limlim

00

'' )( YxfX

Y

TURUNAN PERTAMA FUNGSI TURUNAN PERTAMA FUNGSI IMPLISITIMPLISIT

Y = c Y = c Y’ = 0 Y’ = 0Y = aX + b Y = aX + b Y’ = a Y’ = aY = XY = Xnn Y’ = n X Y’ = n Xn-1n-1

Y = UY = Unn Y’ = n U Y’ = n Un-1n-1 . U’ . U’Y = U ± V Y = U ± V Y’ = U’ ± V’ Y’ = U’ ± V’Y = U/V Y = U/V Y’ = (U’V – V’U)/V Y’ = (U’V – V’U)/V22

Y = eY = exx Y’ = e Y’ = exx

Y = eY = euu Y’ = u’.e Y’ = u’.euu

Y = ln X Y = ln X Y’ = 1/X Y’ = 1/XY = ln U Y = ln U Y’ = U’/U Y’ = U’/UY = aY = axx Y’ = a Y’ = axx ln a ln a

Turunan fungsi implisit Turunan fungsi implisit

Y = f’(x) Y = f’(x) XX

Turunan yang lebih tinggi Turunan yang lebih tinggi

Turunan fungsi dalam bentuk Turunan fungsi dalam bentuk parameterparameter

Jika X = f(x) dan Y = g(x), makaJika X = f(x) dan Y = g(x), maka

n

nnn

X

YXfY

)(

tX

tY

X

YY

/

/'

APLIKASI TURUNAN PERTAMAAPLIKASI TURUNAN PERTAMA Menentukan gradien/slope garis singgungMenentukan gradien/slope garis singgung

Y – YY – Y11 = m (X – X = m (X – X11) ) m = Y’ m = Y’ Menentukan koordinat titik stasionerMenentukan koordinat titik stasioner

Titik stasioner terjadi ketika garis singgung Titik stasioner terjadi ketika garis singgung sejajar dengan sumbu X atau gradien 0 sejajar dengan sumbu X atau gradien 0 f’(x) = f’(x) = 00

Jika f’(x) = 0 tidak mempunyai akar riil (D<0), Jika f’(x) = 0 tidak mempunyai akar riil (D<0), maka fungsi tsb tidak mempunyai titik stasioner.maka fungsi tsb tidak mempunyai titik stasioner.

Menentukan bagian kurva yang monoton Menentukan bagian kurva yang monoton naik/turunnaik/turun Monoton naik : Monoton naik : X > 0 X > 0 Y > 0Y > 0 Monoton turun : Monoton turun : X > 0 X > 0 Y < 0Y < 0

Menghitung harga limit bentuk tak tentu Menghitung harga limit bentuk tak tentu dengan cara L’Hopitaldengan cara L’Hopital

APLIKASI TURUNAN KEDUAAPLIKASI TURUNAN KEDUA Menentukan bentuk kurvaMenentukan bentuk kurva

Cekung ke atas (Cekung ke atas (concave upwardconcave upward) : ) : Harga Y” = f”(x) selalu positif untuk setiap hrg Harga Y” = f”(x) selalu positif untuk setiap hrg

X X Titik minimum : Y’ = 0, Y” > 0Titik minimum : Y’ = 0, Y” > 0

Cekung ke bawah (Cekung ke bawah (concave downwardconcave downward) : ) : Harga Y” = f”(x) selalu negatif untuk setiap hrg Harga Y” = f”(x) selalu negatif untuk setiap hrg

X X Titik maksimum : Y’ = 0, Y” < 0Titik maksimum : Y’ = 0, Y” < 0

Menentukan titik belok dan titik sadelMenentukan titik belok dan titik sadelBatas antara bag kurva yg cekung ke atas dan Batas antara bag kurva yg cekung ke atas dan

cekung ke bwh atau sebaliknyacekung ke bwh atau sebaliknyaSyarat : Y” = f”(x) = 0Syarat : Y” = f”(x) = 0Titik Belok : untuk X = 0 Titik Belok : untuk X = 0 Y’ = 0, Y” = 0 Y’ = 0, Y” = 0Titik Sadel : untuk X = 0 Titik Sadel : untuk X = 0 Y’ ≠ 0, Y” = 0 Y’ ≠ 0, Y” = 0

CONTOH SOALCONTOH SOAL Diketahui fungsi Y = XDiketahui fungsi Y = X33 – 3X – 3X22 – 9X + – 9X +

22, tentukan :22, tentukan :1.1. Persamaan garis singgung di titik Persamaan garis singgung di titik

dengan absis 2dengan absis 2

2.2. Koordinat titik esktrim (maks/min)Koordinat titik esktrim (maks/min)

3.3. Koordinat titik belok/titik sadelKoordinat titik belok/titik sadel

APLIKASI DIFERENSIAL DLM APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMIEKONOMI

Analisis marginal Analisis marginal Laju pertumbuhanLaju pertumbuhanMenghitung Marginal Revenue (MR) dan Menghitung Marginal Revenue (MR) dan

Marginal Cost (MC)Marginal Cost (MC)

MR = TR’MR = TR’ MC = TC’MC = TC’

APLIKASI DIFERENSIAL DLM APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMIEKONOMI

Harga EkstrimHarga EkstrimTotal Revenue (TR) maksimum : TR’ = 0Total Revenue (TR) maksimum : TR’ = 0Laba maksimum (rugi minimum), Laba maksimum (rugi minimum),

= TR – TC= TR – TC’ ’ = 0 = 0 MR = MC MR = MC

Output optimumOutput optimumTerjadi ketika Average Cost (AC) minimumTerjadi ketika Average Cost (AC) minimumAC minimum AC minimum AC’ = 0 AC’ = 0 AC = MC AC = MC

APLIKASI DIFERENSIAL DLM APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMIEKONOMI

Elastisitas Elastisitas Mengukur perubahan suatu variabel Mengukur perubahan suatu variabel

akibat perubahan variabel lainakibat perubahan variabel lainJenis elastisitas :permintaan/harga (Ed), Jenis elastisitas :permintaan/harga (Ed),

penawaran (Es), dllpenawaran (Es), dllPerhitungan elastisitas :Perhitungan elastisitas :

Elastisitas Titik (Point Elasticity)Elastisitas Titik (Point Elasticity)

Elastisitas Busur (Arc Elasticity)Elastisitas Busur (Arc Elasticity)

Q

Px

P

QE

12

12

12

12

PP

PPx

QQ

QQE

CONTOH SOALCONTOH SOAL Diketahui D : Q = 500 – 0,5P dan Diketahui D : Q = 500 – 0,5P dan

TC = QTC = Q22 + 790Q + 1.800 + 790Q + 1.8001.1. Hitung TR, MR, AR, TC, MC, AC, VC, Hitung TR, MR, AR, TC, MC, AC, VC,

AVC, dan AFC ketika Q = 10AVC, dan AFC ketika Q = 10

2.2. Hitung TR maksimum Hitung TR maksimum

3.3. Hitung laba maksimum/rugi minimumHitung laba maksimum/rugi minimum

4.4. Hitung output optimumHitung output optimum

5.5. Hitung elastisitas permintaan ketika Q Hitung elastisitas permintaan ketika Q = 100= 100