HIMPUNANPertemuan – 4

MATEMATIKA TERAPAN

Prodi Agribisnis Hortikultura

POLITEKNIK WILMAR BISNIS INDONESIA

Sub Pembahasan

Pengertian Himpunan

Penyajian Himpunan

Himpunan Universal dan Kosong

Operasi Himpunan

Kaidah Matematika dalam Pengoperasian Himpunan

PENGERTIAN HIMPUNAN

• Himpunan adalah suatu kumpulan atau

gugusan dari sejumlah obyek.

• Secara umum himpunan dilambangkan dengan huruf-huruf besar seperti A, B, C, P, Q, R, X, Y atau Z.

• Sedangkan obyek-obyek yang menjadi anggota suatu himpunan dilambangkan dengan huruf kecil, seperti a, b, c, p, q , r, x, y atau z.

• Obyek-obyek yang mengisi atau membentuk sebuah

himpunan disebut anggota atau elemen atau unsur.

• Obyek-obyek suatu himpunan sangat bervariasi; bisa

berupa orang-orang tertentu, buku, angka-angka, dsb.

Penulisan matematis (notasi);

• p ∈ 𝐴 berarti obyek p merupakan elemen dari himpunan A.

• Jika setiap elemen dari himpunan A juga merupakan anggota dari

himpunan lain B (p ∈ 𝐴 dan p ∈ 𝐵), maka A disebut himpunan bagian

(subset) dari B.

notasi: A ⊂ 𝐵 berarti bahwa A merupakan himpunan bagian dari B

• Dua buah himpunan dikatakan sama atau sederajat jika semua anggota dari himpunan yang satu juga merupakan anggota-anggota bagi himpunan yang lain, dengan kata lain jumlah dan jenis anggota-anggota kedua himpunan tersebut sama.

notasi: A = B himpunan A sama dengan himpunan B, yakni jika dan hanya jika A ⊂ 𝐵 serta B ⊂ 𝐴

Pernyataan Ingkaran

• p ∈ 𝐴p ∉ 𝐴 (elemen p bukan

merupakan anggota dari himpunan A)

• A ⊂ 𝐵 A ⊄ 𝐵 (A bukan merupakan

himpunan bagian dari B)

• A = B A ≠ 𝐵 (himpunan A tidak

sama dengan himpunan B)

PENYAJIAN HIMPUNAN

1. Cara Daftar

• 𝐴 = 1, 2, 3, 4, 5

Berarti himpunan A

beranggotakan

bilangan-bilangan

bulan positif 1, 2, 3,

4, dan 5.

2. Cara Kaidah

• 𝐴 = 𝑥; 0 < 𝑥 < 6Berarti himpunan A beranggotakan obyek x, di mana x adalah bilangan-bilangan bulat positif yang lebih besar dari nol tetapi lebih kecil dari enam.

• 𝐴 = 𝑥; 1 ≤ 𝑥 ≤ 5Berarti himpunan A beranggotakan obyek x yang harganya paling sedikit sama dengan satu dan paling banyak sama dengan lima.

HIMPUNAN UNIVERSAL DAN HIMPUNAN KOSONG

• Himpunan universal adalah himpunan yang terdiri

dari beberapa himpunan bagian yang masing-

masing mempunyai anggota, yang dinotasikan U.

• Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak

mempunyai satu anggotapun, biasanya

dilambangkan dengan dengan notasi { } atau ø.

• Berdasarkan konsep, himpunan universal merupakan induk

bagis semua himpunan dan himpunan kosong merupakan

bagian dari setiap himpunan, maka terhadap setiap himpunan

tertentu (misalkan A) berlaku ketentuan: ∅ ⊂ 𝐴 ⊂ 𝑈.

CONTOH• U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

8, 9}

• A = {0, 1, 2, 3, 4}

• B = {5, 6, 7, 8, 9}

• C = {0, 1, 2, 3, 4}

• 𝐴 ⊂ 𝑈

• B ⊂ 𝑈

• C ⊂ 𝑈

• 𝐴 = 𝐶

• 𝐴 ≠ 𝐶

• 𝐵 ≠ 𝐶

• 𝑦 ∈ 𝐴 dan juga 𝑦 ∈ 𝐶 maka 𝐴 ⊂ 𝐶 dan C ⊂ 𝐴

• 𝑦 ∉ 𝐵 dan di lain pihak z ∉ 𝐴, serta z ∉ 𝐶

Kesimpulannya adalah:

• 𝑥 ∈ 𝑈 di mana 0 ≤ 𝑥 ≤ 9

• 𝑦 ∈ 𝐴 di mana 0 ≤ 𝑦 ≤ 4

• 𝑧 ∈ 𝐵 di mana 5 ≤ 𝑧 ≤ 9

• 𝑦 ∈ 𝐶 di mana 0 ≤ 𝑥 ≤ 4

• ∅ ⊂ 𝐴

• ∅ ⊂ 𝐵

• ∅ ⊂ 𝐶

• ∅ ⊂ 𝑈

• ∅ ⊂ 𝐴 ⊂ 𝑈

• ∅ ⊂ 𝐵 ⊂ 𝑈

• ∅ ⊂ 𝐶 ⊂ 𝑈

OPERASI HIMPUNAN

1. Gabungan

Artinya himpunan yang beranggotakan obyek-

obyek milik A atau obyek-obyek milik B.

A B

U

𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥; 𝑥 ∈ 𝐴 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ∈ 𝐵}

2. Irisan

Artinya himpunan yang beranggotakan

obyek milik A juga obyek milik B.

A B

A B

U

U

Dalam hal 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, yaitu jika A

dan B tidak mempunyai satupun

anggota yang dimiliki bersama,

maka A dan B dikatakan disjoint.

𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥; 𝑥 ∈ 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∈ 𝐵}

3. Selisih

Artinya himpunan yang beranggotakan

obyek-obyek milik A yang bukan milik B.

𝐴 − 𝐵 = 𝐴|𝐵 = {𝑥; 𝑥 ∈ 𝐴 𝑡𝑒𝑡𝑎𝑝𝑖 𝑥 ∉ 𝐵}

A B

U

4. Pelengkap

Artinya himpunan yang beranggotakan obyek-obyek yang tidak

dimiliki oleh A, atau dengan kata lain ҧ𝐴 adalah sama dengan selisih

antara himpunan universal U dan himpunan A.

A B

U

ҧ𝐴 = 𝑥; 𝑥 ∈ 𝑈 𝑡𝑒𝑡𝑎𝑝𝑖 𝑥 ∉ 𝐴 = 𝑈 − 𝐴

Contoh:• U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

• P = {1, 2, 3, 4, 5}

• Q = {4, 5, 6, 7, 8}

• R = {6, 7, 8, 9}

Maka:

• 𝑃 ∪ 𝑄 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

• 𝑃 ∪ 𝑅 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 = 𝑈

• 𝑄 ∪ 𝑅 = 4, 5, 6, 7, 8, 9

• 𝑃 ∩ 𝑄 = 4, 5

• 𝑃 ∩ 𝑅 = { } = ∅

• 𝑄 ∩ 𝑅 = 6, 7, 8

• 𝑃 − 𝑄 = 1, 2, 3

• 𝑃 − 𝑅 = 1, 2, 3, 4, 5

• 𝑄 − 𝑅 = 4, 5

• ത𝑃 = 6, 7, 8, 9 = 𝑈 − 𝑃

• ത𝑄 = 1, 2, 3, 9 = 𝑈 − 𝑄

• ത𝑅 = 1, 2, 3, 4, 5 = 𝑈 − 𝑅

KAIDAH-KAIDAH MATEMARIKA DALAM PENGOPERASIAN HIMPUNAN

Kaidah Idempoten• 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴

• 𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴

Kaidah Asosiatif• (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶)

• (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)

Kaidah Komutatif

• 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴

• 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴 Kaidah Distributif

• 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)

• 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝐴 ∩ 𝐵 𝑈(𝐴 ∩ 𝐶)

Kaidah Identitas

• 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴 𝐴 ∩ ∅ = ∅

• 𝐴 ∪ 𝑈 = 𝑈 𝐴 ∩ 𝑈 = 𝐴

Kaidah Kelengkapan

• 𝐴 ∪ ҧ𝐴 = 𝑈 𝐴 ∩ ҧ𝐴 = ∅

• ҧ𝐴 = A ഥ𝑈 = ∅, ഥ∅ = 𝑈

Kaidah De Morgan

• 𝐴 ∪ 𝐵 = ҧ𝐴 ∩ ത𝐵

• 𝐴 ∩ 𝐵 = ҧ𝐴 ∪ ത𝐵

TUGAS

1. Gambarkan sebuah diagram Venn untuk menunjukkan

himpunan universal U dan himpunan-himpunan bagian A

serta B, jika:

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

A = {2, 3, 5, 7}

B = {1, 3, 4, 7, 8}

a) A - B

b) B – A

c) 𝐴 ∩ 𝐵

d) 𝐴 ∪ 𝐵

e) 𝐴 ∩ ത𝐵

f) 𝐵 ∩ ҧ𝐴

2. Gambarkan sebuah diagram Venn yang menunjukkan

himpunan universal U serta himpunan-himpunan bagian A

dan B untuk:

𝑈 = {𝑥; 3 < 𝑥 < 14}𝐴 = {6, 7, 9, 10, 13}

𝐵 = {4, 5, 11}

Kemudian selesaikan:

a) A - B

b) B – A

c) 𝐴 ∩ 𝐵

d) 𝐴 ∩ ത𝐵

e) 𝐴 ∪ 𝐵

f) 𝐴 ∪ ത𝐵

3. Andaikan:

o U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}

o A = {1, 2, 3, 5, 6}

o B = {3, 4, 6, 7, 13}

o C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13}

Gambarkan diagram Venn-nya kemudian selesaikan:

a) 𝐴 ∩ 𝐵

b) 𝐵 ∩ 𝐶

c) 𝐶 ∩ 𝐴

d) 𝐴 ∪ 𝐵

e) 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶

f) 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶

g) (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶

Referensi;Dumairy.2007.Matematika Terapan untuk Bisnis dan

Ekonomi.Yigyakarta:BPFE