P a g e | 1

Petrus Fendiyanto/1213201002/ITS

1. Modelkan ekspresi berikut sebagai himpunan fuzzy:

a. Bilangan bulat yang Besar

b. Bilangan yang Sangat kecil

c. Ukuran sedang manusia

d. Bilangan berkisar antara 10 dan 20

e. Tinggi kecepatan untuk mobil balap

Jawab:

a. Misalkan �� adalah himpunan fuzzy yang ekspresikan bilangan bulat yang besar.

Jika dianggap bilangan bulat yang besar itu lebih besar dari 100, maka

�� = {(𝑥, 𝜇��(𝑥)|𝑥 ∈ ℤ}

Di mana jika 𝑥 ≥ 100 maka 𝜇��(𝑥) = 1

jika 𝑥 ≤ 100 maka 0 ≤ 𝜇��(𝑥) < 1

Himpunan fuzzy �� dapat digambarkan sebagai berikut

b. Misalkan �� adalah himpunan fuzzy yang ekspresikan bilangan yang besar kecil.

Jika dianggap bilangan yang sangat kecil itu lebih kecil dari 0,05 maka

�� = {(𝑥, 𝜇��(𝑥)|𝑥 ∈ ℤ}

Di mana jika 𝑥 ≤ 0,05 maka 𝜇��(𝑥) = 1

jika 𝑥 ≥ 0,05 maka 0 ≤ 𝜇��(𝑥) < 1

0,05 0

1

100 0

1

P a g e | 2

Petrus Fendiyanto/1213201002/ITS

c. Misalkan �� adalah himpunan fuzzy yang ekspresikan ukuran sedang manusaia.

Jika dianggap ukuran sedang manusia itu jika memiliki tinggi di antara 145 sampai dengan

165, maka

�� = {(𝑥, 𝜇��(𝑥)|𝑥 ∈ ℤ}

Di mana jika 145 ≤ 𝑥 ≤ 165 maka 𝜇��(𝑥) = 1

jika 𝑥 < 145 atau 𝑥 > 165 maka 0 ≤ 𝜇��(𝑥) < 1

d. Misalkan �� adalah himpunan fuzzy yang ekspresikan bilangan yang berkisar antara 10 dan 20.

Berarti �� = {(𝑥, 𝜇��(𝑥)|𝑥 ∈ ℤ}

Di mana jika 10 ≤ 𝑥 ≤ 20 maka 𝜇��(𝑥) = 1

jika 𝑥 < 10 atau 𝑥 > 20 maka 0 ≤ 𝜇��(𝑥) < 1

Himpunan fuzzy �� dapat digambarkan sebagai berikut.

e. Misalkan �� adalah himpunan fuzzy yang ekspresikan tinggi kecepatan untuk mobil balap

Jika dianggap tinggi kecepatan untuk mobil balap itu 50 km/jam, maka

�� = {(𝑥, 𝜇��(𝑥)|𝑥 ∈ ℤ}

Di mana jika 𝑥 ≥ 50 maka 𝜇��(𝑥) = 1

jika 𝑥 < 50 maka 0 ≤ 𝜇��(𝑥) < 1

10 0

1

20

145 0

1

165

P a g e | 3

Petrus Fendiyanto/1213201002/ITS

2. Tentukan semua himpunan -level dan semua himpunan-level yang kuat untuk himpunan fuzzy

berikut:

a. �� = {(3, 0.1), (4, . 2), (5, .3), (6, .4), (7, .6), (8, .8), (10, 1), (12, .8), (14, .6)}

b. �� = {(𝑥, 𝜇��(𝑥) = (1 + (𝑥 − 10)2)−1}

untuk 𝛼 = .3, .5, .8

c. �� = {(𝑥, 𝜇��(𝑥)|𝑥 ∈ 𝑅}

Di mana 𝜇��(𝑥) = 0 for x 10

𝜇��(𝑥) = (1 + (𝑥 − 10)−2)−1 for x > 10

Jawab:

a. semua himpunan -level dari �� adalah

��.1 = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14}

��.2 = { 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14}

��.3 = {5, 6, 7, 8, 10, 12, 14}

��.4 = {6, 7, 8, 10, 12, 14}

��.6 = {7, 8, 10, 12, 14}

��.8 = { 8, 10, 12, }

��1 = {10}

himpunan-level yang kuat untuk

𝛼 = .1 adalah ��′.1 = {4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14}

𝛼 = .2 adalah ��′.2 = {5, 6, 7, 8, 10, 12, 14}

𝛼 = .3 adalah ��′.4 = {6, 7, 8, 10, 12, 14}

𝛼 = .4 adalah ��′.4 = {7, 8, 10, 12, 14}

𝛼 = .6 adalah ��′.6 = {8, 10, 12, 14}

𝛼 = .8 adalah ��′.8 = {10}

b. �� = {(𝑥, 𝜇��(𝑥) = (1 + (𝑥 − 10)2)−1}, berarti

50 0

1

P a g e | 4

Petrus Fendiyanto/1213201002/ITS

�� = {… , (7, .1), (8, .2), (9, .5), (10, 1), (11, .5), (12, .2), (13, .1), … }

semua himpunan -level dari �� untuk 𝛼 = .3, .5, .8 adalah

��.3 = {9, 10, 11}

��.5 = {9, 10, 11}

��.8 = {10}

himpunan-level yang kuat untuk

𝛼 = .3 adalah ��′.3 = {10}

𝛼 = .5 adalah ��′.5 = {10}

c. �� = {(𝑥, 𝜇��(𝑥)|𝑥 ∈ 𝑅}

Di mana 𝜇��(𝑥) = 0 for x 10

𝜇��(𝑥) = (1 + (𝑥 − 10)−2)−1 for x > 10

Berarti

�� = {… , (7, 0), (8, 0), (9, 0), (10, 0), (11, .5), (12, .8), (13, .9), (14, .961538), … }

semua himpunan -level dari �� adalah

��0 = {… , 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, … }

��.5 = {11, 12, 13, 14, 15, … }

��.8 = {12, 13, 14, 15, 16, … }

��.9 = {13, 14, 15, 16, 17, … }

𝐶.961538 = {14, 15, 16, 17, … }

himpunan-level yang kuat untuk

𝛼 = 0 adalah ��′0 = {11, 12, 13, 14, 15, … }

𝛼 = .5 adalah ��′.5 = {12, 13, 14, 15, 16, … }

𝛼 = .8 adalah ��′.5 = {13, 14, 15, 16, 17, … }

𝛼 = .9 adalah ��′.9 = {14, 15, 16, 17, 18, … }

𝛼 = .961538 adalah ��′.961538 = {15, 16, 17, … }

P a g e | 5

Petrus Fendiyanto/1213201002/ITS

3. Manakah himpunan fuzzy dari latihan 2 yang convex dan mana yang tidak?

Jawab:

Perhatikan gambar berikut.

Gambar 1. Grafik untuk himpunan fuzzy ��

Gambar 1. Grafik untuk himpunan fuzzy ��

Gambar 1. Grafik untuk himpunan fuzzy ��

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

3 4 5 6 7 8 10 12 14

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920

P a g e | 6

Petrus Fendiyanto/1213201002/ITS

Dari ketiga gambar tersebut terlihat bahwa tidak ada himpunan fuzzy yang convex.

jadi, himpunan fuzzy A, B dan C tidak convex.

4. Diketahui X = {1, 2, ... , 10}. Tentukan cardinalitiy dan relative cardinalitiy himpunan fuzzy

berikut:

a. �� dari latihan 2a

b. �� = {(2, .4), (3, .6), (4, .8), (5, 1), (6, .8), (7, .6), (8, .4)}

c. �� = {(2, .4), (4, .8), (5, 1), (7, .6)}

Jawab:

X = {1, 2, ... , 10}.

𝑐𝑎𝑟𝑑𝑋 = 10

a. 𝑐𝑎𝑟𝑑�� = 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 + 0.6 + 0.8 + 1 + 0.8 + 0.6 = 4.8

𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑑�� tidak bisa ditentukan karena himpunan universal X tidak memuat bilangan 12

dan 14.

b. 𝑐𝑎𝑟𝑑�� = 0.4 + 0.6 + 0.8 + 1 + 0.8 + 0.6 + 0.4 = 4.6

𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑑�� =𝑐𝑎𝑟𝑑��

𝑐𝑎𝑟𝑑𝑋=

4.6

10= 0.46

c. 𝑐𝑎𝑟𝑑�� = 0.4 + 0.8 + 1 + 0.6 = 2.8

𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑑�� =𝑐𝑎𝑟𝑑��

𝑐𝑎𝑟𝑑𝑋=

2.8

10= 2.8

5. Tentukan intersection dan union dari himpunan fuzzy berikut:

a. Himpunan fuzzy ��, ��, dan �� dari latihan 4.

b. �� dan �� dari latihan 2

Jawab:

a. �� = {(3, .1), (4, .2), (5, .3), (6, .4), (7, .6), (8, .8), (10, 1), (12, .8), (14, .6)}

�� = {(2, .4), (3, .6), (4, .8), (5, 1), (6, .8), (7, .6), (8, .4)}

�� = {(2, .4), (4, .8), (5, 1), (7, .6)}

Intersection dari himpunan fuzzy ��, ��, dan ��

𝜇��∩��∩��(𝑥) = min[𝜇��(𝑥), 𝜇��(𝑥), 𝜇��(𝑥)], maka

�� ∩ �� ∩ �� = {(4, .2), (5, .3), (7, .6)}

Union dari himpunan fuzzy ��, ��, dan ��

𝜇��∪��∪��(𝑥) = max[𝜇��(𝑥), 𝜇��(𝑥), 𝜇��(𝑥)] , maka

�� ∪ �� ∪ �� = {(2, .4), (3, .6), (4, .8), (5, 1), (6, .8), (7, .6), (8, .8), (10, 1), (12, .8), (14, .6)

P a g e | 7

Petrus Fendiyanto/1213201002/ITS

b. �� = {(𝑥, 𝜇��(𝑥) = (1 + (𝑥 − 10)2)−1}

�� = {(𝑥, 𝜇��(𝑥)|𝑥 ∈ 𝑅}

Di mana 𝜇��(𝑥) = 0 for x 10

𝜇��(𝑥) = (1 + (𝑥 − 10)−2)−1 for x > 10

Intersection dari himpunan fuzzy �� dan ��

𝜇��∩��(𝑥) = min[𝜇��(𝑥), 𝜇��(𝑥)], maka

�� ∩ �� = {𝑥, 𝜇��∩��(𝑥)|𝑥 ∈ 𝑅}

Di mana 𝜇��∩��(𝑥) = {0 for 𝑥 10

(1 + (𝑥 − 10)2)−1

for 𝑥 > 10

Union dari himpunan fuzzy �� dan ��

𝜇��∪��(𝑥) = max[𝜇��(𝑥), 𝜇��(𝑥)]

�� ∪ �� = {𝑥, 𝜇��∪��(𝑥)|𝑥 ∈ 𝑅}

Di mana 𝜇��∩��(𝑥) = {(1 + (𝑥 − 10)2)

−1 for 𝑥 10

(1 + (𝑥 − 10)−2)−1

for 𝑥 > 10

6. Tentukan intersection dan union dari complement himpunan fuzzy B dan C dari latihan 4

Jawab:

X = {1, 2, ... , 10}.

�� = {(2, .4), (3, .6), (4, .8), (5, 1), (6, .8), (7, .6), (8, .4)}

𝜇��(𝑥) = 1 − 𝜇��(𝑥)

Complement himpunan fuzzy B ∶

�� = {(1,1), (2, .6), (3, .4), (4, .2), (5,0), (6, .2), (7, .4), (8, .6), (9, 1), (10, 1)}

�� = {(2, .4), (4, .8), (5, 1), (7, .6)}

𝜇��(𝑥) = 1 − 𝜇��(𝑥)

Complement himpunan fuzzy �� ∶

�� = {(1,1), (2, .6), (3, 1), (4, .2), (5,0), (6, 1), (7, .4), (8, 1), (9, 1), (10, 1)}

Maka

Intersection dari complement himpunan fuzzy �� dan �� adalah

�� ∩ �� = {(1,1), (2, .6), (3, .4), (4, .2), (5,0), (6, .2), (7, .4), (8, .6), (9, 1), (10, 1)}

dan

Union dari complement himpunan fuzzy �� dan �� adalah

�� ∪ �� = {(1,1), (2, .6), (3, 1), (4, .2), (5,0), (6, 1), (7, .4), (8, 1), (9, 1), (10, 1)}