Handouts Penelitian Operasional II

7/25/2019 Handouts Penelitian Operasional II

1/184

2/17/2013 1

HANDOUTS

PENELITIAN OPERASIONAL II

[email protected]

www.k12lessonplans.com/lukmandono

JURUSAN TEKNIK INDUSTRI

INSTITUT TEKNOLOGI ADHI TAMA SURABAYA

2013


2/184

2

Kata Pengantar

Handout ini merupakan lanjutan dari handout Penelitian

Operasional I, yang telah dipelajari pada mata kuliahPenelitian Operasional I, dan ditujukan untukmahasiswa Teknik Industri.

Penjelasan teori dan aplikasi persoalan di dunia industri

digambarkan dengan cukup mudah, agar mahasiswamampu mencerna materi ini lebih cepat.

Salam,

Lukmandono


3/184

2/17/2013 3

MATERI

Programa Dinamis

Teori Permainan Rantai Markov

Teori Antrian

Programa Integer

Analisis Jaringan


4/184

2/17/2013 4

PROGRAMA DINAMIS


5/184

2/17/2013 5

Programa Dinam is

berbeda dengan

prog rama l in ier yang

sudah k ita kenal.

Persoalan bersi fat

dinamis apabi la

diarahkan kepada

pemecahan secarabertahap yang masing-

masingnya merupakan

satu kesatuan.

Ada 3 hal yang penting

diketahui tentang programa

dinamis, yaitu:

STAGE (tahapan) dari

persoalan yang dihadapi

dan ingin dicari solusinya

STATE (kondisi) yang

menjadi faktor penentu

keputusan dari tiap tahapan

DECISION (keputusan) yang

harus diambil dari tiap

tahap untuk sampai kepadasolusi keseluruhan.


6/184

2/17/2013 6

Stage 1 Stage 2 Stage N

State 1 State 2 State N

Decision 1 Decision 2 Decision N

Keputusan tahap N sangat ditentukan oleh keputusan padatahap-tahap sebelumnya.

Tergantung pada jenis perso alan yang dihadapi,

model /formulasi tu juan yang diharapkan pun akan berbeda.


7/184

2/17/2013 7

Misalkan soal memilih ruteangkutan barang dengankereta kuda (stage coach)dari kota asal (A) ke kota

tujuan (K). Persoalan lebihdisederhanakan denganmemilah tahapan yangdapat ditempuh dengan

lama waktu tempuh antarkota yang dilewati, sebagaiberikut:

Contoh 1 : STAGE COACH


8/184

2/17/2013 8

Tahap 1 adalah pilihan rute ABatau AC

Tahap 2 adalah pilihan rute

antara BD, BE, BF, atau BGserta antara CD, CE, CF, atauCG

Tahap 3 dan 4 bisa dibacalanjut seperti di atas ...

Tahapan diperlukan sebagaipenentu rute yang akandipilih

Secara keseluruhan, tujuan

utama dari persoalantersebut adalah minimasiwaktu tempuh dari kota asal(A) ke kota tujuan akhir (T)

Penyelesaian dapatdilakukan denga caramundur (backward) atau

maju (forward), walaupada umumnya banyakdipilih cara mundur

Secara tradisionalpersoalan tersebut

dapat diselesaikandengan menghitungsetiap alternatif ruteyang mungkin (2 x 4 x 3x 1 = 24 alternatif),

kemudian pilih waktutempuh terkecil.

Cara programa dinamislebih sistematis dan

mudah dikerjakan


9/184

2/17/2013 9

Dari \ Ke B C D E F G H I J K

A 15 12

B 20 17 18 17

C 18 25 20 20

D 12 14 16

E 15 15 13

F 15 18 20

G 15 13 17

H 15

I 13

J 10

Misalkan waktu tempu h antar kota (dalam har i) adalah sebagai ber iku t :


10/184

2/17/2013 10

Komponen waktu tempuh dapat langsungdicantumkan pada garis panah dari dari/kekota

Penyelesaian cara programa dinamis adalahdengan membuat matriks setiap tahap, dimulaidari tahap 4, ke tahap 3, ke tahap 2, danterakhir ke tahap 1

State (kondisi penentu keputusan) adalahminimasi waktu tempuh dari rute yangdipertimbangkan.


11/184

2/17/2013 11

Tahap 4 : min { f4(x4) }

Tahap 4 hanya mencantumkan waktutempuh dari ~ ke

f4(x4) adalah nilai perolehan pada tahap 4

x4* adalah rute terbaik pada tahap 4 teruskan ke tahap 3

Dari \ Ke K f4(x4) x4*H 15 15 HK

I 13 13 IK

J 10 10 JK


12/184

2/17/2013 12

Tahap 3 : min { f3(x3) + f4*(x4) }

Tujuan tahap 3 adalah minimasi waktu tempuh tahap 3ditambah yang terbaik dari tahap 4

Misal untuk DH = 12 + 15 = 27 (dihitung mulai dari D hingga K),demikian yang lainnya

f4*(x4) adalah perolehan terbaik dari tahap 4 (pakai tanda *)

f3(x3) adalah nilai perolehan pada tahap 3

x3* adalah rute terbaik pada tahap 3 Dari tahap 3 ini terlihat bahwa tujuan berikutnya adalah ke J

(kecuali dari F bisa juga ke H)

teruskan ke tahap 2

Dari \ KeH

(15)

I

(13)

J

(10)f3(x3) x3*

D 27 27 26 26 DJE 32 32 23 23 EJ

F 30 31 30 30 FH , FJ

G 30 26 25 25 GJ


13/184

2/17/2013 13

Tahap 2 : min { f2(x2) + f3*(x3) }

Tujuan tahap 2 adalah minimasi waktu tempuh tahap 2

ditambah yang terbaik dari tahap 3 Misal untuk BE = 17 + 23 = 40 (dihitung mulai dari B

hingga K), demikian yang lainnya f3*(x3) adalah perolehan terbaik dari tahap 3 (pakai

tanda *)

f2(x2) adalah nilai perolehan pada tahap 2 x2* adalah rute terbaik pada tahap 2 Dari tahap 2 ini terlihat bahwa tujuan berikutnya adalah

ke D (bila dari C) atau E (bila dari B) teruskan ke tahap 1

ari \ KeD

(26)

E

(23)

F

(30)

G

(25)f2(x2) x2*

B 46 40 48 42 40 BE

C 44 58 50 45 44 CD


14/184

2/17/2013 14

Tahap 1 : min { f1(x1) + f2*(x2) }

Yang terbaik pada tahap 1 adalah rute AB

Bila diteruskan dapat diperoleh rute terbaik(waktu tempuh 55 hari), yaitu dari A ke B keE ke J dan berakhir di K

Dari \ KeB

(40)

C

(44)f1(x1) x1*

A 55 56 55 AB


15/184

2/17/2013 15

Contoh 2 : Cargo Loading

Barang yang harus diangkut harus utuh (tidak bolehsetengah atau seperempatnya, berarti kalaumengangkut 1 barang B ~ kapasitasnya 5 ton, bila 2barang B berarti 10 ton, dan seterusnya).

Jenis Barang Berat (ton) Biaya (juta/item)A 2 66

B 5 155

C 3 96

Misalkan, sebuah perusahaan angkutan mendapat ordermengirimkan barang dari satu tempat ke tempat lainnyadengan menggunakan satu truk besar dengan kapasitas15 ton. Jenis barang yang diangkut, berat, dan biayanyaadalah sebagai berikut:


16/184

2/17/2013 16

JAWAB

Stage dalam persoalan ini adalah jumlahbarang yang harus diangkut, tanpamelampaui kapasistas, dan dapat

memaksimumkan pendapatan. Ada 3 jenisbarang ~ berarti ada 3 tahapan (stage).


17/184

2/17/2013 17

Tahap 3 : Max { f3(x3) }

Karena berat barang C(sebagai x3) = 3 ton ~ berarti

jumlah maksimum barang Cyang dapat diangkut adalah5 buah)

Siapkan kolom untuk C = 0(tanpa barang C), C = 1 , C =2 , C = 3 , C = 4 , dan C = 5

Perhatikan kapasitasnya ~cantumkan rupiah yangdiperoleh

Pada C=2 ~ berarti rupiahnya= 2 x 96 = 192 juta, danseterusnya

Baris kapasitas cukupdiringkas untuk 0, 3, 6, 9, 12,dan 15 saja (kelipatan dariberat barang C = 3 ton)

Tanda panah ke bawah

berarti rupiahnya samadengan yang di atasnya

Nilai f3* (x3) berarti jawabterbaik pada tahap 3 padakapasitas yang terpakainya


18/184

2/17/2013 18

Tahap 2 ; Max { f2x2 + f3* (kapasitas - x3) }

Karena barang B (disebut x2) = 5 ton ~maksimum jumlah barang B yang bisadiangkut adalah 3 buah

Siapkan B=0 , B=1 , B=2, dan B=3

Perhatikan kapasitasnya

Formula di atas berarti: rupiah yangdiharapkan adalah dari barang B ditambah

dengan sisa kapasitas yang tersedia untuktahap 3 (tanda *) yang tebaik.

Hasil terbaik pada tahap 2 ini sudah mencakuphasil terbaik pada tahap 3

P h tik hit t b l i b i b ik t


19/184

2/17/2013 19

Perhatikan cara perhitungan tabulasinya sebagai berikut:

Pada kolom f2*x2 tercantum nilai rupiah terbaiknya Kolom x2* menunjukkan jumlah barang B yang harus diangkut pada tahap 2

Jumlah B yang dapat diangkut bisa 0, 1, atau 2 tergantung padakapasitasnya


20/184

2/17/2013 20

Tahap 1 : Max { f1x1 + f2* (kapasitas - x1) }

Pada tahap akhir cukupdicantumkan kapasitas

maksimum (15 ton)Karena berat barang A (disebut

x1) = 2 ton ~ maksimumjumlah barang yang bisadiangkut adalah 7 buah

dengan sisa 1 tonNilai rupiah terbaik dihitung darijumlah barang A yangdiangkut yang ditambahrupiah terbaik dari sisakapasitas di tahap 2

Siapkan kolom A=0 ; A=1 ; A=2 ;A=3 ; A=4 ; A=5 ; A=6 ; A=7

Hasil terbaik dari tahap 1secara kesuluruhanadalah 492 juta

Bawa 6 buah barang A (6x 96 juta = 396 juta)

Dari tahap 2 ~ tambahan

96 juta dari kolom B = 0(beraarti tidak adabarang B yang diangkut)

Ke tahap 3 ~ nilai 96tersebut dari kolom C = 1(berarti bawa 1 barangC)


21/184

2/17/2013 21

Tahap 1 2 3

Bawa barang A=6 B=0 C=1Tonase 12 0 3 total = 15 ton

Rupiah 396 0 96 total = 492 juta

Ringkasan :

LATIHAN SOAL (1/3)


22/184

2/17/2013 22

LATIHAN SOAL (1/3) Seorang kandidat presiden ingin mendapatkan dukungan suara

terbanyak dalam rangka pemilihan umum. Untuk maksud tersebutdia harus mengeluarkan uang untuk kampanye. Probabilitas

perolehan suara sangat bergantung kepada alokasi dana yangdisiapkan untuk tiap wilayah pemilihan/kampanye. Total dana yangdimiliki adalah 10 M.

Perkiraan pro sentase dukungan suara untuk t iap pengeluaran

uang d i t iap w i layah serta jumlah suara total di t iap w i layah

adalah sebagai berikut :

Jika sang kandidat ingin mendapat suara terbanyak, bagaimana strategikampanye yang sebaiknya dilakukan? Alokasi dana - wilayah ?


23/184

2/17/2013 23

LATIHAN SOAL (2/3)

Keuntungan pada empat macam kegiatan

merupakan fungsi jam kerja yang dialokasikanpada masing-masing kegiatan seperti tabelberikut. Jika setiap hari tersedia 4 jam kerja,bagaimana alokasi waktu sehingga keuntungan

per hari maksimum ?

Jam Kerja

Kegiatan

1 2 3 4

0

1

2

3

4

0

1

3

6

9

0

2

5

8

11

0

3

7

10

12

0

2

5

8

10


24/184

2/17/2013 24

LATIHAN SOAL (3/3)

Seorang mahasiswa mempunyai 7 hari persiapan

sebelum UAS dimulai, pada 4 mata kuliah. Estimasi darialternatif pengalokasian dari tiap mata kuliahmenghasilkan nilai-nilai sebagaimana tabel berikut.Bagaimana alokasi waktu yang sebaiknya ia

mencapai nilai yang maksimal ?Jumlah

HariBelajar

Estimasi nilai yang akan diraih pada matakuliah

1 2 3 4

1

2

3

4

3

5

6

7

5

5

6

9

2

4

7

8

6

7

9

9


25/184

TEORI PERMAINAN


26/184

Permainan (game) adalah suatu bentuk persaingan antara duaorang/pihak atau antara dua kelompok/group yang saling berhadapan

dan menggunakan aturan-aturan yang diketahui oleh kedua belahpihak yang saling berhadapan.

Sejarah Singkat Perkembangan Teori Permainan

Diperkenalkan pertama kali oleh Emile Borel seorang ahlimatematika dari Perancis pada tahun 1921

Baru pada tahun 1928 John Von Neumann berhasil untuk pertamakalinya menganalisis dan menyatakan pembuktiannya, yang

sekarang dikenal sebagai pembuktian teorema Minimax Tahun 1944 kerja nyata bidang teori permainan ditampilkan dalam

buku The Theory of Games and Economics Behavior, ditulis olehOskar Morganstern, seorang ahli Ekonomi.

Tahun 1947, George Dantzig merumuskan teori permainan sebagaikasus khusus dari program linier yang digunakan untuk

membuktikan teorema minimax dalam teori permainan dandigunakan untuk menentukan solusi dari permainan yang berukuranbesar.

Sejak saat itu teori permainan mendapatkan perhatian besar dandigunakan pada bidang ekonomi, politik, olahraga, militer danbidang-bidang lainnya.


27/184

Konsep dasar teor i permainan

1. Ada 2 pemain dengan sejumlah strateginya.2. Kemenangan bagi seorang pemain berarti kekalahan bagi pemain

lainnya (zero-sum game).3. Adanya kelangkaan sumber daya (scarcity).4. Pembacaan tabel permainan adalah dari baris ke kolom, nilai

positif berarti kemenangan bagi pemain I sekaligus kekalahanbagi pemain II, dan sebaliknya nilai negatif berarti kekalahan bagipemain I sekaligus kemenangan bagi pemain II.

5. Dimungkinkan adanya prinsip dominansi.6. Pemain I cenderung kepada strategi maximin, sedangkan

pemain II cenderung kepada strategi minimax.

7. Bila nilai maximin = minimax berarti ada SADLE POINT(permainan sudah pasti mengarah pada salah satu pilihan strategisaja, tidak perlu ada perhitungan lanjut).

8. Bila nilai maximin tidak sama dengan minimax berarti ada MIXSTRATEGY (kedua pemain harus beertimbang dalam bentukprobabilitas untuk memainkan salah satu strateginya, harusdilakukan perhitungan lanjut).


28/184

Klasifikasi Permainan

Berdasarkan jumlah langkah dan pilihana. Permainan berhingga (finite game), yaitu suatupermainan yang mempunyai sejumlah langkah yangberhingga dengan setiap langkah yang memuatsejumlah pilihan yang berhingga pula.

b. Permainan tak berhingga (infinite game), untuk setiappermainan selain permainan berhingga.

Berdasarkan jumlah pemain (orang)Suatu permainan dikatakan permainan n orang jikaorang yang bermain adalah n. Disini orang dapatberperan sebagai individu ataupun sebagai kelompok.

Berdasarkan jumlah pembayarana. Permainan berjumlah nol (zero sum game)b. Permainan berjumlah tidak nol (non zero sum game)


29/184

Contoh :

Adanya persaingan perebutan pasar barang-barang elektronika dari pengusaha Adan pengusaha B dengan mengadakan kampanye promosi. Pengusaha Amenggunakan tiga media promosi, yaitu TV, radio dan surat kabar. Pengusaha B

hanya menggunakan dua media promosi, yaitu TV dan radio. Dengan mengunakaninformasi pasar yang diperoleh dari hasil riset pemasaran diperoleh data sebagaiberikut :

Bila pengusaha A melakukan promosi melalui media TV dan pengusaha Bjuga berpromosi dengan media yang sama, maka pengusaha A akanmemperoleh keuntungan Rp. 5 juta.

Bila pengusaha A melakukan promosi melalui media radio dan pengusahaB melalui TV maka pengusaha A akan memperoleh keuntungan sebesarRp. 6 juta.

Pengusaha A akan rugi sebesar Rp. 10 juta bila ia berpromosimenggunakan media surat kabar disaat pengusaha B menggunakan TV

Bila pengusaha A berpromosi menggunakan TV dan pengusaha Bmenggunakan radio, maka kedua pengusaha sama-sama tidakmendapatkan keuntungan ataupun kerugian.

Bila kedua pengusaha sama-sama menggunakan media radio makapengusaha B akan memperoleh keuntungan sebesar Rp. 2 juta.

Pengusaha B juga akan memperoleh keuntungan sebesar Rp. 3 juta bila iaberpromosi menggunakan media radio di saat pengusaha A berpromosimenggunakan media surat kabar.


30/184

Maka matriks pembayarannyaadalah :

Pengusaha

A

Strategi

Pengusaha B

TV Radio

TV 5 0

Radio 6 -2

SuratKabar

- 10 - 3


31/184

CONTOH : Game 2 x 2


32/184

Pemain I cenderung akan memilih strategi 2yang memberikan nilai maximin terbaik

(maksimasi dari perolehan terburuk) Pemain II akan cenderung memilih strategi 2

yang memberikan nilai minimax terbaik(minimasi dari kekalahan yang harus diterima)

Mix-strategy terjadi pada game ini, sehinggaharus dicari probabilitas pemilihan tiap strategioleh kedua pemain

Probabilitas pilihan strategi oleh I dinyatakandengan X1 dan X2, sedangkan untuk pemain IIdinyatakan dengan Y1 dan Y2.


33/184

Untuk menentukan X1 dan X2 digunakan formulaberikut :

g11 X1 + g21 X2 = g12 X1 + g22 X2

g11 X1 + g21 (1 - X1)= g12 X1 + g22 (1 - X1)

12 X1 - 3 (1 - X1) = - 8 X1 + 6 (1 - X1)

12 X1 + 3 X1 - 3 = - 8 X1 - 6 X1 + 6

15 X1 - 3 = - 14 X1 + 629 X1 = 9

X1* = 9/29

X2* = 1 - 9/29 = 20/29

Probabilitas bagi pemain I untuk menggunakanstrategi 1 dan 2 adalah X1* = 9/29 dan X2* =20/29


34/184

Nilai permainan (game value) G* = 20 (14/29) - 8 = 48/29 (positif,

kemenangan untuk pemain I)

Dapat juga dihitung sebagai : G* = 15 (9/29) - 3 = 48/29

Untuk menentukan Y1 dan Y2 digunakan formula berikut :

g11 Y1 + g12 Y2 = g21 Y1 + g22 Y2

g11 Y1 + g12 (1 - Y1)= g21 Y1 + g22 (1 - Y1)

12 Y1 - 8 (1 - Y1) = - 3 Y1 + 6 (1 - Y1)12 Y1 + 8 Y1 - 8 = - 3 Y1 - 6 Y1 + 6

20 Y1 - 8 = - 9 Y1 + 6

29 Y1 = 14

Y1* = 14/29

Y2* = 1 - 14/29 = 15/29

Probabilitas bagi pemain II untuk menggunakanstrategi 1 dan 2 adalahY1* = 14/29 danY2* = 15/29


35/184

CONTOH : Game 2 x 4 dan ada

dominasi

Pemain II

Pemain I 1 2 3 4

1 12 -9 10 -6 -9

2 -5 6 -8 3 -8

12 6 10 3


36/184

Perhatikan kolom 1 dan 3 (strategi oleh pemain II)strategi 3 adalah dominasi dari strategi 1 bagi pemainII (nilai kekalahan bagi pemain II bila memilih strategi 3

selalu lebih baik daripada strategi 1) Dominasi pada kolom yang dihapus adalah yang nilai

perolehannya lebih besar (perhatikan kolom yangdiarsir itu yang didominasi/dikalahkan)

Perhitungan berikutnya boleh tidak mengikutkanstrategi 1 ini (kalaupun diikutkan pasti senantiasakalah)

Game tersebut adalah mix-strategi (karena nilaimaximin berbeda dengan minimax)

Pada pembahasan kali ini, semua strategi tetapdianalisa

Pemain I punya 2 alternatif strategi yang harusdihadapkan pada keempat strategi dari pemain II


37/184

caranya : hitung ekspektasi bagi pemain I jika pemain IImenggunakan keempat strateginya, sebagai berikut :

Strategi

Pemain II

Ekspektasi Nilai bagi Pemain I

1 12 X1- 5 X2 = 17 X1- 5(1)

2 - 9 X1+ 6 X2= -15 X1+ 6 (2)

3 10 X1- 8 X2 = 18 X1- 8(3)

4 - 6 X1+ 3 X2= -9 X1+ 3(4)

Gambarkan keempat garis pada grafik 2 dimensi untukekspektasi nilai bagi pemain I sekaligus menentukanprobabilitas pemilihan strategi bagi pemain I(kriterianya adalah MAXIMIN)


38/184


39/184

Titik maximin ada padaperpotongan antara garis (3)dan (4)

Garis (1) selalu ada di atas

garis (3) dominasi strategi3 atas strategi 1

Strategi perlawanan terbaikbagi pemain II terhadaappemain I adalah denganmenggunakan strategi 3 atau4, yang lain tidak perludiperhatikan

Probabilitas pemilihanstrategi bagi pemain I adalah

18 X1 - 8 = -9 X1 + 3

27 X1 = 11 X1* = 11/27

X2* = 1 - 11/27 = 16/27

Probabilitas pemilihan strategibagi pemain II adalah (antarastrategi 3 dan 4) :

16 Y3 - 6 = -11 Y3 + 3

27 Y3 = 9Y3* = 9/27

Y4* = 1 - 9/27 = 18/27

Y1* = Y2* = 0

Nila permainan G* = 18(11/27) - 8 = 110/27(kemenangan untuk pemain I)


40/184

CONTOH : Game 4 x 2 dan ada dominasi

Pemain II

Pemain I 1 2 maximin

1 -8 6 -8

2 8 -3 -33 5 -5 -5

4 4 -2 -2

minimax 8 6


41/184

Perhatikan kolom 2 dan 3 (strategi oleh pemain I)strategi 2 adalah dominasi dari strategi 3 bagi pemain I(nilai kemenangan bagi pemain I bila memilih strategi

2 selalu lebih baik daripada strategi 3) Dominasi pada baris yang dihapus adalah yang nilai

perolehannya lebih kecil (perhatikan baris yang diarsir itu yang didominasi/dikalahkan)

Perhitungan berikutnya boleh tidak mengikutkanstrategi 3 ini (kalaupun diikutkan pasti yang senantiasakalah)

Game tersebut adalah mix-strategi (karena nilaimaximin berbeda dengan minimax)

Pada pembahasan kali ini, semua strategi tetapdianalisa

Pemain I punya 4 alternatif strategi yang harusdihadapkan pada kedua strategi dari pemain II


42/184

caranya : hitung ekspektasi bagi pemain II jika pemain Imenggunakan keempat strateginya, sebagai berikut :

StrategiPemain I

Ekspektasi Nilai bagi Pemain II

1 -8 Y1+ 6 Y2 = -14 Y1+ 6(1)

2 8 Y1- 3 Y2= 11 Y1- 3

(2)

3 5 Y1- 5 Y2 = 10 Y1- 5(3)

4 4 Y1- 2 Y2= 6 Y1- 2(4)

Gambarkan keempat garis pada grafik 2 dimensiuntuk ekspektasi nilai bagi pemain II sekaligusmenentukan probabilitas pemilihan strategi bagipemain II(kriterianya adalah MINIMAX)


43/184

Titik i i d d P b bilit ilih t t i


44/184

Titik minimax ada padaperpotongan antara garis (1)dan (2)

Garis (2) selalu ada di atas

garis (3)

strategi 2mendominasi strategi 3

Strategi perlawanan terbaikbagi pemain I terhadappemain II adalah denganmenggunakan strategi 1 atau

2, yang lain tidak perludiperhatikan

Probabilitas pemilihanstrategi bagi pemain IIadalah :

-14 Y1 + 6 = 11 Y1 - 325 Y1 = 9

Y1* = 9/25

Y2* = 1 - 9/25 = 16/25

Probabilitas pemilihan strategibagi pemain I adalah (antarastrategi 1 dan 2) :

-16 X1 + 8 = 9 X1 - 3

25 X1 = 11 X1* = 11/25

X2* = 1 - 11/25 = 14/25

X3* = X4* = 0

Nila permainan G* = 9 (11/25)

- 3 = 24/25 (kemenanganuntuk pemain I)


45/184

LATIHAN SOAL (1/8)

Two competing ice cream chains, Kool Ice and Ice Kold,want to hold ice cream sales in order to capture someextra business from each other. They each have theoption of having a sale either on their most popularflavors or on all their to show which way the business is

turning for each of their choices. Number of customersof Kool Ice switching to Ice Kold (in hundreds ofpeople). Note that a negative number means they areswitching from Ice Kold to Kool Ice. Find the beststrategy for each of them.

Kool Ice

Ice Kold Sale on All Sale on Popular

Sale on All 4 - 3

Sale on Popular - 3 2


46/184

LATIHAN SOAL (2/8)

Pada sebuah daerah terdapat dua buah toko, yaitu toko Arjun dan tokoVijay yang menyediakan barang-barang dengan jenis, kualitas danharga yang sama. Keadaan itu mengakibatkan pembeli dapatterbagi menjadi dua bagian yang sama banyaknya. Dengandemikian tambahan pembeli bagi toko Arjun adalah penguranganpembeli bagi toko Vijay, dan sebaliknya. Kedua tokomerencanakan untuk mengadakan penjualan istimewa selamaseminggu menjelang tahun baru tiba dengan mengadakan iklanterlebih dahulu. Media iklan yang dipakai adalah surat kabar, radiodan televisi. Dengan bantuan biro periklanan, toko Arjunmembentuk matriks permainan sebagai berikut :

Toko Vijay

Media Surat Kabar Radio Televisi

Toko Surat Kabar - 60 35 30Arjun Radio - 20 0 15

Televisi 50 80 20


47/184

LATIHAN SOAL (3/8)

A new soda company, Super-Cola, recently entered themarket. This company has three choices of advertisingcampaigns. Their major competitor, Cola-Cola, alsohas three counter campaigns of advertising to choose

from in order to minimize the number of peopleswitching from their soda to the new one. It has beenfound that their choices of campaign results in thefollowing pay-off matrix :


48/184

LATIHAN SOAL (4/8)

Two players, A and B, each call out oneof the numbers 1 and 2 simultaneously. Ifthey both call 1, no payment is made. If

they both call 2, B pays A $3.00. If Acalls 1 and B calls 2, B pays A $1.00. If Acalls 2 and B calls 1, A pays B $1.00.

What is the payoff matrix for this game ?Is the game fair to both players ?


49/184

LATIHAN SOAL (5/8)

Bs Strategies B1 B2 B3 B4As Strategies

A1 0 - 1 2 - 4

A2 1 3 3 6

A3 2 - 4 5 1

Simplify the following payoff matrix


50/184

LATIHAN SOAL (6/8)

B1 B2

A1 2 - 3A2 - 3 4

Consider a game with the followingpayoff matrix

Find the value of the game when both players

use mixed strategies


51/184

LATIHAN SOAL (7/8)

IIProbability Y1 Y2 Y3

Probability Pure Strategy 1 2 3X1 1 0 - 2 2I

1X1 2 5 4 -3

Maximize the minimum expected payoffs of

both players.

Consider the payoff table in which player I hasonly two pure strategies :


52/184

LATIHAN SOAL (8/8)

Two stores, R and C, are planning to locate in one of two towns. Town 1 has60 percent of the population while town 2 has 40 percent. If both storeslocate in the same town they will split the total business of both townsequally, but if they locate in different towns each will get the business ofthat town. Where should each store locate ? Consider an extension ofthe above problem. Store R and C are trying to locate in one of three

towns. The matrix game is :

Store C locates in

1 2 3

Store R 1 50 50 80

locate in 2 50 50 80

3 20 20 80

The entries in the matrix above represent the percentages of businessthat store R gets in each case . Where should each store locate ?


53/184

TEORI ANTREAN

Ilmu pengetahuan utama tentang bentuk antrean, yang sering disebutteori antrean (queuing theory), merupakan sebuah bagian pentingoperasi dan alat yang sangatberharga bagi manajer operasi. Antrean(waiting l ine/queue) adalah sebuah s ituas i umumsebagai contoh,lihat bentuk deretan mobil yang menunggu untuk diperbaiki, pekerjaanfotokopi yang sedang menunggu untuk diselesaikan, atau orang-orangyang sedang berlibur menunggu untuk masuk wahana Jatim Park.


54/184

ANTRE..?


55/184


56/184

Bagaimana jika..


57/184

Bagaimana jika..


58/184

Karakteristik Sistem Antrian

1. Kedatangan atau masukan sistem. Kedatangan memilikikarakteristik seperti ukuran populasi, perilaku, dansebuah distribusi statistik.

2. Disiplin antrean atau antrean itu sendiri. Karakteristik

antrean mencakup apakah panjangnya antrean terbatasatau tidak, dan disiplin orang-orangnya atau barangyang ada di dalamnya.

3. Fasilitas layanan. Karakteristiknya meliputi desain dan

distribusi statistik waktu pelayanan.


59/184

Situasi Umum Antrean

K kt i tik K d t


60/184

Karakteristik Kedatangan

Sumber input yang menghadirkan kedatangan pelanggan bagi sebuah sistem

pelayanan memiliki tiga karakteristik utama :1. Ukuran populasi kedatangan.2. Perilaku kedatangan.3. Pola kedatangan (distribusi statistik).


61/184

Ukuran Populasi (Sumber) Kedatangan dibagi menjadi tidak terbatas atauterbatas. Jika jumlah kedatangan pengunjung atau kedatangan pada waktu

tertentu hanyalah sebagian kecil dari semua kedatangan yang potensial, makapopulasi kedatangan dianggap sebagai populasi yang tidak terbatas.

Contoh populasi yang tidak terbatas adalah mobil yang datang ke sebuah tempatpencucian mobil, para pengunjung yang tiba di sebuah supermarket, dan parasiswa yang datang untuk mendaftarkan diri di sebuah universitas besar. Sebagianbesar model antrean berasumsi bahwa populasi kedatangan tidak terbatas.

Sebuah contoh, populasi terbatas ditemukan dalam sebuahtoko percetakan yang memiliki delapan mesin cetak. Setiap mesin cetakmerupakan seorang pelanggan potensial yang mungkin rusak dan memerlukanpemeliharaan.

Pola Kedatangan pada Sistem


62/184

Pola Kedatangan pada Sistem

Pelanggan tiba di sebuah fasilitas pelayanan baik karena memiliki jadwal tertentu(sebagai contoh, 1 pasien datang setiap 15 menit atau 1 siswa datang setiapsetengah jam) atau yang datang secara acak. Kedatangan dianggap sebagai

kedatangan acak apabila kedatangan tersebut tidak terikat satu sama lain dankedatangannya tidak dapat diperkirakan dengan tepat. Biasanya, jumlahkedatangan setiap satuan waktu dapat diperkirakan dengan sebuah probabilitas(kemungkinan) distribusi yang dikenal dengan distribusi Poisson (Poissondist r ibut ion) . Untuk setiap waktu kedatangan (seperti 2 pelanggan per jam atau 4truk per menit), sebuah distribusi Poisson yang berlainan dapat ditetapkan

menggunakan rumus e- x


63/184

Dua contoh distribusi Poisson pada waktu kedatangan.


64/184

Perilaku Kedatangan

Hampir semua model antrean menggunakan asumsi bahwa

pelanggan yang datang adalah pelanggan yang sabar.Pelanggan yang sabar adalah orang atau mesin yang maumenunggu dalam antrean sampai mereka dilayani dan tidakberpindah antrean. Sayangnya, hidup sangatlah rumit karenaorang-orang biasanya menolak dan keluar dari antrean.Pelanggan dapat menolak untuk mengantre karena merasaterlalu lama mendapatkan keperluan mereka. Pelangganyang keluar dari antrean adalah mereka yang mengantre,tetapi menjadi tidak sabar dan meninggalkan antrean tanpa

menyelesaikan transaksi mereka. Namun, kedua situasi inibaru menunjukkan kebutuhan teori antrean dan analisisnyasaja.

K kt i tik A t


65/184

Karakteristik Antrean

Barisan antrean itu sendiri merupakan komponen kedua dari sebuahsistem antrean. Panjangnya sebuah antrean bisa tidak terbatas

ataupun terbatas.

Karakteristik antrean yang kedua berkaitan dengan aturan antrean.Aturan

antrean ini mengacu pada aturan pelanggan yang akan menerima

pelayanan dalam barisannya. Sebagian besar sistem menggunakanaturan disiplin antrean yang dikenal dengan aturan f ir st -i n, f ir st -ou t(FIFO).

Namun, di dalam ruang darurat rumah sakit atau kasir jalur cepat pada

sebuah pasar swalayan, terdapat beragam prioritas lain yang dapatmemotong jalur FIFO. Pasien yang mengalami luka kritis akanmendapatkan prioritas pengobatan yang lebih tinggi dibandingkandengan pasien yang jari atau hidungnya patah.

Karakteristik Pela anan


66/184

Karakteristik Pelayanan

Desain Dasar Sistem Antrean

Sistem layanan umumnya digolongkan menurut jumlah saluran yang

ada (contoh: jumlah penyedia) dan jumlah tahapan (contoh: jumlahpenghentian layanan yang harus dibuat). Sebuah sistem antrean jalurtunggal (single channel queuing system) dengan satu kasir biasanyamerupakan pos yang dilewatikendaraan (drive-in bank) dengan hanyasatu kasir yang dibuka. Di sisi lain, jika bankmemiliki beberapa kasir

yang sedang bertugas dengan setiap pelanggan menunggu dalam satujalur antrean umum dengan kasir pertama yang dapat melayani, makasistem itu disebut sistem antrean jalur majemuk (mul ti ple channelqueu ing system). Saat ini, sebagian besar bank menerapkan sistemantrean banyak jalur, sebagaimana halnya di tempat pangkas rambut

yang besar, agen tiket penerbangan, dan kantor pos.


67/184


68/184

Distribusi Waktu Layanan


69/184

Distribusi Waktu Layanan

Pola pelayanan serupa dengan pola kedatangan di mana pola ini konstanataupun acak. Jika waktu layanannya konstan, maka waktu yang diperlukanuntuk melayani setiap pelanggan adalah sama. Contoh kasus ini adalah dalam

operasi pelayanan yang menggunakan mesin, seperti pencucian mobilotomatis. Waktu layanan biasanya terdistribusi secara acak. Dalam banyakkasus, dapat diasumsikan bahwa waktu layanan acak dapat dijelaskan dengandistribusi probabilitas eksponensial negatif (n eg ativ e ex po nen tial

probab il i ty d is t ribu t ion).


70/184

Menghitung Kinerja Antrean

Model antrean membantu para manajer membuat keputusan untukmenyeimbangkan biaya pelayanan dengan menggunakan biayaantrean. Dengan menganalisis antrean, kita dapat memperoleh banyakperhitungan kinerja sebuah sistem antrean berikut.1. Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam antrean.

2. Rata-rata panjang antrean.3. Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam sistem (waktu

tunggu ditambah waktu pelayanan).4. Jumlah pelanggan rata-rata sistem.5. Kemungkinan fasilitas layanan akan kosong.

6. Faktor kegunaan sistem.7. Kemungkinan beberapa pelanggan di dalam sistem.


71/184

Biaya Antrian


72/184

Keragaman Model Antrian

Model A (M/M/1): Model Antrean Jalur Tunggal dengan Kedatangan


73/184

Model A (M/M/1): Model Antrean Jalur Tunggal dengan Kedatangan

Berdistribusi Poisson dan Waktu Pelayanan Eksponensial

1. Kedatangan dilayani atas dasar first-in, first-out (FIFO), dan setiapkedatangan menunggu untuk dilayani, terlepas dari panjangnya antrean.

2. Kedatangan tidak terikat pada kedatangan yang sebelumnya, tetapijumlah kedatangan rata-rata tidak berubah terhadap waktu.

3. Kedatangan digambarkan dengan distribusi probabilitas Poisson dandatang dari sebuah populasi yang tidak terbatas (atau sangat besar).

4. Waktu pelayanan berbeda dari satu pelanggan dengan pelangganberikutnya dan tidak terikat satu sama lain, tetapi tingkat rata-rata waktupelayanannya diketahui.

5. Waktu pelayanan terjadi akibat distribusi probabilitas eksponensial

negatif.6. Kecepatan pelayanan lebih cepat daripada tingkat kedatangan.

Asumsi-asumsi :

Dalam notasi antrean, huruf pertama menunjukkan kedatangan (dengan M menunjukkan distribusiPoisson), huruf kedua menunjukkan layanan (dengan M kembali menunjukkan distribusi Poisson, yangsama dengan kecepatan eksponensial dari layanandan D adalah kecepatan layanan konstan); simbolketiga menunjukkan jumlah penyedia layanan. Dengan demikian, sistem M/D/I (model C) berartikedatangannya Poisson, layanannya konstan, dan terdapat satu penyedia layanan saja.

Contoh sebuah antrean Jalur Tunggal


74/184

Contoh sebuah antrean Jalur Tunggal

Tom Jones, seorang montir di Golden Muffl er Shop,dapat memasang knalpot baru rata-rata sebanyak 3 buahper jam (atau 1 knalpot setiap 20 menit) berdasarkandistribusi eksponensial negatif. Pelanggan yangmenginginkan pelayanan ini tiba di bengkel dengan rata-rata 2 orang per jam, dengan mengikuti distribusiPoisson. Mereka dilayani dengan aturan first-in, first-outdan berasal dari populasi yang sangat besar (hampir takterbatas).

Rumus Antrean untuk Model A: Sistem Jalur Tunggal disebut juga M/M/1


75/184


76/184


77/184


78/184

Restoran McDonalds yang besar di Moscow menambah 900 tempat duduk,

800 pegawai, dan 80 juta dolar dalam obral tahunannya (kurang dari 2 juta

dolar di outlet di Amerika Serikat). AS mungkin akan menolak keras rata-ratawaktu menunggu selama 45 menit, tetapi masyarakat Rusia terbiasa dengan

antrean yang panjang. McDonalds menunjukkan layanan yang baik di

MosCow.

Model B (M/M/S): Model Antrean Jalur Majemuk


79/184

Model B (M/M/S): Model Antrean Jalur Majemuk

Antrean Jalur Majemuk


80/184

Bengkel Golden Muffl er memutuskan untuk membuka bengkel kedua danmempekerjakan montir kedua untuk memasang knalpot. Pelanggan yang datangdengan tingkat kedatangan sekitar = 2 orang per jam, akan menunggu di jalur

tunggal hingga salah satu dari kedua montir selesai. Setiap montir memasangknalpot sekitar = 3 per jam. Perusahaan ingin tahu perbandingan sistem inidengan sistem antrean jalur tunggal yang terdahulu.


81/184


82/184

Jalur antrean yang panjang seperti di Los Angeles International (LAX) merupakan

pemandangan umum di banyak bandara. Ini adalah sebuah model M/M/S, di mana

para calon penumpang menunggu di satu garis antrean dengan satu atau

beberapa pegawai. Berdasarkan tingkat kedatangan yang berbeda tiap jamnya,

petugas penerbangan menambah atau mengurangi penyedia layanan di setiap

loketnya.

Model C (M/D/1): Model Waktu Pelayanan Konstan


83/184

Model C (M/D/1): Model Waktu Pelayanan Konstan


84/184

Inman Recycling, Inc. mengumpulkan kaleng aluminium dan botolbekas di Reston, Louisiana. Saat ini, pengemudi truk menunggukurang lebih selama 15 menit sebelum mengosongkan isi trukmereka untuk didaur ulang. Biaya pengemudi dan truk untukmenunggu dalam antrean adalah $60 per jam. Sebuah mesin daur

ulang kaleng otomatis baru dapat digunakan untuk memprosesmuatan truk dengan tingkat tetap, yaitu 12 truk per jam (berarti 5 menit untuk setiap truk). Truk yang datang rata-rata berdistribusiPoisson 8 kedatangan per jam. Jika mesin baru ini digunakan, makabiaya akan berkurang sebesar $3 untuk setiap truk yang kosong.

Model layanan konstan


85/184

Model D: Model Populasi yang Terbatas


86/184

p y g

Model populasi terbatas


87/184

p p

Data masa lalu menunjukkan bahwa masing-masing dari lima mesin cetakkomputer laser di Departemen Energi, Amerika Serikat di Washington, DC,memerlukan perbaikan setelah digunakan sekitar 20 jam. Kerusakan mesin

cetak ditentukan mengikuti distribusi Poisson. Seorang teknisi yang bertugasdapat memperbaiki sebuah mesin cetak rata-rata selama 2 jam denganmengikuti distribusi eksponensial. Biaya kerusakan mesin adalah $120 per jam.Teknisi dibayar sebesar $25 per jam. Apakah Departemen Energi AS perlumempekerjakan teknisi kedua?


88/184

Contoh Soal 1


89/184

Saat ini, Sid Das Brick Distributors mempekerjakan seorang pekerjayang pekerjaannya memuat batu bata ke dalam truk perusahaan. Rata-

rata, 24 truk datang setiap hari atau 3 truk per jam ke lokasi pemuatandengan pola kedatangan sesuai dengan distribusi Poisson. Pekerjatersebut sanggup memuat batu bata ke atas 4 truk per jamnya denganwaktu pelayanan mengikuti distribusi eksponensial. Das yakin bahwaproduktivitas perusahaan akan sangat meningkat dengan menambahkan

seorang pemuat batu bata kedua. Ia memperkirakan dua orang kru digerbang pemuatan untuk menggandakan pemuatan dari 4 truk per jammenjadi 8 truk per jam. Lakukan analisis dampak antrean dari perubahanyang dilakukan dan bandingkan hasilnya dengan yang dicapai olehsistem satu pekerja. Berapakah kemungkinan adanya lebih dari 3 truk

yang sedang dimuat atau sedang menunggu?

Jawaban Soal 1


90/184

Hasil ini menunjukkan bahwa jika hanyasatu orang yang dipekerjakan, setiap trukrata-rata harus menunggu selama 45 menitsebelum dimuati. Selanjutnya, rata-rata

truk yang menunggu dalam antrean adalah2,25. Situasi ini mungkin tidak dapatditerima oleh pihak manajemen.Perhatikan juga adanya penurunan ukuranantrean setelah pekerja keduaditambahkan.

Contoh Soal 2


91/184

Sopir truk yang bekerja pada Sid Das (lihat Contoh soal no 1) mendapatupah rata-rata $10 per jam. Pekerja yang memuat batu bata menerima

upah sekitar $6 per jam. Sopir truk yang sedang menunggu dalamantrean atau lokasi pemuatan tetap menerima upah. Namun, dari segi

produktivitas, tidak ada yang dikerjakan dan tidak ada pemasukan bagiperusahaan selama waktu menunggu tersebut. Berapakah penghematan

per jam yang diperoleh perusahaan jika dipekerjakan 2 orang pemuat

batu bata dan bukan hanya 1 orang? Dengan melihat data pada ContohSoal no 1, terlihat bahwa jumlah truk dalam sistem rata-rata adalah 3ketika hanya ada 1 orang pemuat batu bata, dan menjadi 6 jika ada 2orang pemuat batu bata.

Jawaban Soal 2


92/184

Contoh Soal 3


93/184

Sid Das sedang mempertimbangkan untuk membangun lokasi pemuatankedua untuk mempercepat proses pemuatan batu bata ke truk. Ia berpikir

bahwa sistem ini akan lebih efisien jika dibandingkan denganmempekerjakan orang lain untuk membantu pemuat pertama padalokasi pemuatan pertama (seperti pada Contoh Soal no 1). Misalkan,setiap pekerja di setiap lokasi pemuatan mampu memuat 4 truk per jamdan 3 truk akan terus berdatangan per jamnya. Kemudian, terapkan

persamaan yang sesuai untuk menemukan kondisi operasi antrean yangbaru. Apakah pendekatan baru ini memang lebih cepat dibanding duapendekatan yang dipikirkan Das sebelumnya?

Jawaban Soal 3


94/184

Dengan melihat kembali ContohSoal no. 1, walaupun panjangantrean dan waktu rata-rata dalamantrean yang paling rendah adalahsaat lokasi pemuatan kedua dibuka,rata-rata jumlah truk dalam sistem

dan rata-rata waktu paling kecil yangdihabiskan untuk menunggu dalamsistem adalah ketika dipekerjakandua pemuat batu bata dengan satulokasi pemuatan. Jadi,

pembangunan lokasi pemuatankedua kurang disarankan.

Contoh Soal 4


95/184

Unit perawatan jantung di St. Elsewhere Hospital menyediakan 5 tempattidur yang selalu terisi oleh pasien yang baru melakukan operasi jantung.

Terdapat dua orang perawat yang bertugas dalam 3 giliran kerja yanglamanya 8 jam. Setiap 2 jam (mengikuti distribusi Poisson), seorangpasien memerlukan bantuan perawat. Kemudian, perawat akanmenghabiskan waktu sekitar 30 menit (terdistribusi eksponensial) untukmembantu pasien dan memperbarui catatan medis mengenai

permasalahan dan pemeliharaan yang dilakukan.

Karena pelayanan yang cepat sangatlah penting bagi kelima pasien yangada, pertanyaannya adalah berapakah jumlah rata-rata pasien yangdiurus oleh satu perawat? Berapakah waktu ratarata yang dihabiskan

pasien untuk menunggu seorang perawat tiba?

Jawaban Soal 4


96/184


97/184

Tabel Antreanterbatas denganPopulasi N = 5*

PERTANYAAN UNTUK DISKUSI


98/184

1. Apakah mengoperasikan aturan first-come, first-served pada toko roti di pasarswalayan merupakan langkah yang baik atau buruk? Mengapa?

2. Manakah yang lebih besar: Ws atau Wq? Jelaskan!

3. Jelaskan dengan singkat tiga situasi di mana aturan fi rst-in, fi rst-out (FIFO)tidak dapatditerapkan pada analisis antrean!

4. Jelaskan perilaku sebuah antrean di mana > ! Gunakan intuisi dan analisis!

5. Berikan contoh empat situasi di mana terdapat antrean terbatas!

6. Berapakah Anda menilai diri Anda dalam rupiah untuk waktu yang Andahabiskan dalam antrean? Berapakah nilai yang teman sekelas Anda berikan

untuk diri mereka? Mengapa terjadi perbedaan?

7. Apakah komponen dari sistem antrean berikut? Gambarkan jelaskan bentuksetiap konfi gurasi!

a) Tempat pangkas rambut. b) Tempat pencucian mobil.c) Tempat cuci pakaian otomatis d) Toko kecil yang menjual barang

kebutuhan sehari-hari.

SOAL 1

P l tib di J A d St li Sh b k 3 j


99/184

Para pelanggan tiba di Jonny Andrean Styling Shop sebanyak 3 orang per jamyang berdistribusi Poisson. Andrean dapat memangkas rambut 5 orang per jamdengan distribusi eksponensial.

a) Tentukan rata-rata jumlah pelanggan yang menunggu untuk memangkasrambut!b) Tentukan rata-rata jumlah pelanggan dalam salon!c) Tentukan rata-rata waktu seorang pelanggan menunggu gilirannya!d) Tentukan rata-rata waktu seorang pelanggan menghabiskan waktu di salon!e) Tentukan persentase waktu sibuk Paul!

SOAL 2

Hanya terdapat satu mesin fotokopi dalam ruang santai mahasiswa sekolahbisnis. Para mahasiswa datang dengan tingkat kedatangan = 40 per jam(distribusi Poisson). Proses fotokopi rata-rata berjalan selama 40 detik atau =90 per jam (distribusi eksponensial). Hitunglah karakteristik berikut ini!a) Persentase waktu mesin digunakan.b) Rata-rata panjang antrean.c) Rata-rata jumlah mahasiswa dalam sistem.d) Rata-rata waktu yang dihabiskan untuk menunggu dalam antrean.e) Rata-rata waktu yang dihabiskan dalam sistem.

SOAL 3

PT P El kt ik t h k k l t k


100/184

PT. Panggung Elektronik mempertahankan kru pelayanannya untukmemperbaiki gangguan mesin sebanyak rata-rata = 3 per hari (berdistribusiPoisson). Kru dapat melayani rata-rata = 8 mesin per hari dengan waktu

perbaikan berdistribusi eksponensial.a) Berapakah tingkat utilisasi sistem pelayanan ini?b) Berapakah waktu rata-rata mesin rusak?c) Berapakah mesin yang sedang menunggu untuk dilayani?d) Berapakah kemungkinan terdapat lebih dari satu mesin dalam sistem? Selainitu, berapakah kemungkinan lebih dari dua mesin rusak dan menunggu untuk

diperbaiki atau sedang dilayani? Lebih dari tiga? Lebih dari empat?

SOAL 4

Tempat pencucian mobil Mesti Kinclong memerlukan waktu konstan selama 4,5

menit untuk satu siklus pencucian mobil. Kedatangan mobil berdistribusiPoisson sebanyak 10 per jam. Manajemen Mesti Kinclong ingin mengetahui:a) rata-rata waktu menunggu dalam antrean,b) panjang antrean rata-rata.

SOAL 5

T k b t l i k J ti T di T b iliki li k k


101/184

Toko pembuatan lemari kayu Jati Tuwo, di Tuban, memiliki lima perkakasotomatis untuk mengebor lubang guna memasang engsel. Mesin ini perludisiapkan untuk memenuhi setiap pesanan lemari. Pesanan mengikuti distribusi

Poisson, rata-rata 3/8 jam per hari. Terdapat seorang teknisi yang mengaturmesin ini. Waktu pelayanan bersifat eksponensial, rata-rata 2 setiap jam.a) Berapakah faktor layanan sistem ini?b) Berapakah rata-rata jumlah mesin yang sedang bekerja?c) Apakah dampaknya pada mesin yang bekerja jika ada seorang teknisi kedua?

SOAL 6

Dua orang teknisi yang bekerja secara terpisah mengawasi 5 komputer yangmenjalankan fasilitas pabrik otomatis. Rata-rata waktu untuk memperbaikikomputer yang bermasalah adalah 15 menit (berdistribusi eksponensial).

Komputer bekerja selama rata-rata 85 menit (berdistribusi Poisson) tanpamemerlukan perbaikan. Tentukan karakteristik berikut!a) Rata-rata jumlah komputer yang menunggu diperbaiki.b) Rata-rata jumlah komputer yang sedang diperbaiki.c) Rata-rata jumlah komputer yang tidak bekerja.

SOAL 7

Seorang montir menjalankan 5 mesin bor di seb ah pabrik baja Mesin


102/184

Seorang montir menjalankan 5 mesin bor di sebuah pabrik baja. Mesinmengalami kerusakan rata-rata satu kali setiap 6 hari kerja, dan kerusakan inicenderung mengikuti distribusi Poisson. Montir mampu memperbaiki rata-rata

satu mesin per hari. Pekerjaan perbaikan berdistribusi eksponensial.a) Rata-rata, berapakah mesin yang menunggu diperbaiki?b) Rata-rata, berapa mesin bor yang sedang bekerja?c) Berapakah waktu tunggu yang akan berkurang jika seorang montir keduadipekerjakan?

SOAL 8Suatu pertemuan kontraktor gedung berlangsung di Las Vegas. Terdapat 200orang yang datang ke bagian registrasi setiap jamnya (berdistribusi Poisson),dan biaya waktu tunggu di antrean adalah $100 per orang per jam. Las VegasConvention Bureau menyediakan pelayan untuk registrasi tamu dengan biaya

$15 per orang per jam. Dibutuhkan waktu satu menit untuk mendaft arkanseorang pengunjung (berdistribusi eksponensial). Dibuka satu jalur antrean sajadengan beberapa pelayan.a) Berapakah jumlah minimum pelayan untuk sistem ini?b) Berapakah jumlah maksimal pelayan untuk sistem ini?c) Berapakah biaya sistem per jam untuk jumlah pelayan maksimum?

d) Berapakah tingkat utilisasi pelayan dengan jumlah pelayan minimum?

RANTAI MARKOV


103/184

2/17/2013 103

RANTAI MARKOV

Konsep rantai Markovmengacu pada rantai Sekarang subur ~ masa


104/184

2/17/2013 104

mengacu pada rantaiperubahan tiap kondisiyang ada dari satu periode

ke periode berikutnya.Misalkan, kondisi tanahpertanian (ada 3kemungkinan: subur,kurang subur, dan kering)

pada suatu periode. Untukperiode berikutnya, kondisitanah pertanian tersebutdapat saja berubah kesubur, kurang subur, atau

kering. Ada/tidaknyaperubahan dari satukondisi ke kondisi lainnyadapat digambarkan dalammatriks berikut:

gmendatang mungkintetap subur, menjadi

kurang subur, ataumenjadi kering

Sekangan kurang subur~ masa mendatang

mungkin menjadi subur,tetap kurang subur, ataumenjadi kering

Sekarang kering ~ masa

mendatang mungkinmenjadi subur, menjadikurang subur, atau tetapkering

Periode jPeriode i 1 2 3

1 p p p


105/184

2/17/2013 105

1 p12 p12 p13

2 p21 p22 p23

3 p31 p32 p33

Dalam bentuk rantaiMarkov :

Contoh kondisi lain :


106/184

2/17/2013 106

Contoh kondisi lain :

Di bengkel, kondisi mesin-mesinnyaadalah: baik, agak rusak, dan rusakberat

Di persaingan pasar, kondisi (jenisproduk yang bersaing ada 5 merek) : A,B, C, D, dan E

Di ramalan cuaca, kondisinya adalah:

cerah, berawan, dan hujan dan banyak lainnya

LOYALITAS MEREK ~ RANTAI MARKOV


107/184

2/17/2013 107

Misalkan di suatu daerah dipasarkan empat mereksabun deterjen, merek A, B, C dan D. Terhadap para

pemakai deterjen didaerah tersebut telah dilakukanpenelitian dengan cara menyebarkan kuesioner.

Tebl berikut menunjukkan data jumlah langgananmasing-masing merek.

Merek

Jumlah

Langganan

Periode Pertama

Perubahan Selama Periode Jumlah

Langganan

Periode KeduaPindah ke Pindah dari

A

B

C

D

320

300

230

250

50

60

25

40

45

70

25

35

225

290

230

225

Total 1.000 175 175 1.000

Penelitian dilanjutkan untuk memperoleh datal bih i i i b h


108/184

2/17/2013 108

yang lebih rinci mengenai perubahanlangganan untuk masing-masing merek.

Merek JumlahLangganan

PeriodePertama

Tambahan darimerek

Pengurangandari merek

JumlahLangganan

PeriodeKedua

A B C D A B C D

AB

C

D

220300

230

250

020

10

15

400

5

25

025

0

0

1015

10

0

040

0

10

200

25

15

105

0

10

1525

0

0

225290

230

155

Total 1.000 1.000

Data di atas memberikan informasi bahwa darisejumlah 220 langganan A pada periode


109/184

2/17/2013 109

sejumlah 220 langganan A pada periodepertama, telah beralih menjadi langganan Bsebanyak 20 orang, menjadi langganan Csebanyak 10 orang, dan langganan D sebanyak15 orang.

Jumlah langganan yang pada periode pertamamemilih A dan pada periode kedua tetap

memilih A sebanyak (220-20-10-15) = 175 orang Probabilitas bahwa langganan A tetap menjadi

langganan A pada periode kedua adalahsebesar 175/220 = 0,796

Probabilitas langganan A beralih ke langgananB pada periode kedua adalah sebesar 20/220 =0,091

Apabila perhitungan dilanjutkan, akan diperoleh


110/184

2/17/2013 110

MPT sebagai berikut :

Periode Kedua

A B C D

A 175/220 = 0,796 20/220 = 0, 091 10/220 = 0,046 15/220 = 0,067

B 40/300 = 0,133 230/300 = 0,767 5/300 = 0,017 25/300 = 0,083

C 0/230 = 0 25/230 = 0,109 205/230 = 0,891 0/230 = 0

D 10/250 = 0,040 15/250 = 0,060 10/250 = 0,040 215/250 = 0,960

Atau dengan singkat dituliskan sebagai


111/184

2/17/2013 111

berikut :

0,796 0,091 0,046 0,067

0,133 0,767 0,017 0,083

P = 0 0,109 0,891 00,040 0,060 0,040 0,860

Pada diagonal utama (cetak tebal-mir ing) terbaca loyalitas setiap merekproduk untuk tetap memakai produk yang sama pada periode berikutnya.

Nilai probabilitas pij (untuk i = j) menunjukkan tingkat loyalitas produk

Terbaca misalnya, loyalitas tertinggi adalah pada produk C, tingkatloyalitas terendah pada produk B.

PANGSA PASAR ~ RANTAI MARKOV


112/184

2/17/2013 112

PANGSA PASAR RANTAI MARKOV

Rantai Markov dapat juga digunakan untukmemperkirakan besarnya pangsa pasar dariproduk yang ada setelah diketahui MPT(matriks probabilitas transisionalnya).Misalnya, ada dua merek A dan B sebagaiberikut:

P = MPT A B

A 0,88 0,12

B 0,15 0,85

Pangsa pasar pada periode sekarang X0

adalah 60 dan 40 persen ditulis :


113/184

2/17/2013 113

adalah 60 dan 40 persen, ditulis :

X0 = [0,60 0,40]

Besarnya pangsa pasar satu periode kedepan X1 = X0 * P (ingat perkalian matriks)

X1 = [0,552 0,448] pangsanya menjadi55,2 % dan 44,8 %

Pangsa pasar pada periode 2 ke depanadalah X2 = X1 * P dan seterusnya

KASUS PETANI ~ TANAHNYA


114/184

2/17/2013 114

KASUS PETANI TANAHNYA

Misalkan kondisi tanah sang petani adalah: (1) Good, (2)Fair, (3) Poor


115/184

2/17/2013 115

MPT tanpa pupuk ( P1 ) dan MPT dengan pupuk ( P2 )adalah :

0,2 0,5 0,3 0,3 0,6 0,1

P1= 0 0,5 0,5 P

2= 0,1 0,6 0,3

0 0 1 0,05 0,4 0,55

Bentuk rantai Markov-nya:

Fungsi Return (pendapatan, dalam juta rupiah)tanpa pupuk R1 dan Return dengan pupuk R2


116/184

2/17/2013 116

tanpa pupuk R1 dan Return dengan pupuk R2adalah :

Hanya ada 2 kemungkinan: tanpa atau denganpupuk

Bagaimana keputusan terbaik bagi sang petani

untuk 3 periode ke depan ?

70 60 30 60 50 -10R1= 0 50 10 R2= 70 40 0

0 0 -10 60 30 -20


117/184

Tahap 3 : vik


118/184

2/17/2013 118

i k=1 k=2 f3(i) k*

1 53 47 53 1

2 30 31 31 23 -10 4 4 2

Tahap 2 : vik + Pi1

k . f3 (1) + Pi2k . f3 (2) + Pi3 . f3 (3)


119/184

2/17/2013 119

i k=1 k=2 f3(i) k*1 53 + 0,2(53) +

0,5(31+ 0,3(4) =

80,3

47 + 0,3(53) +

0,6(31) + 0,1(4) =

81,9

81,9 2

2 30 + 0(53) +0,5(31) + 0,5(4) =

47,5

31 + 0,1(53) +0,6(31) + 0,3(4) =

56,1

56,1 2

3 -10 + 0(53) + 0(31)

+ 1(4) = -0,6

4 + 0,05(53) +

0,4(31) + 0,55(4) =

21,3

21,3 2

Tahap 1 : vik + Pi1

k . f2 (1) + Pi2k . f2 (2) + Pi3 . f2 (3)


120/184

2/17/2013 120

i i1 2 i2 2 i3 2

i k=1 k=2 f3(i) k*

1 53 + 50,8 =

103,8

47 + 60,4 =

107,4

107,4 2

2 30 + 38,7 = 68,7 31 + 48,2 = 79,2 79,2 23 -10 + 21,3 =

11,3

4 + 38,3 = 42,3 42,3 2

Kesimpulan untuk 3 tahun/periode


121/184

2/17/2013 121

ke depan :

tahun 1 dan 2 gunakan pupuk ~ apa pun

kondisi tanahnya

tahun 3 gunakan pupuk jika kondisitanah (2) atau (3), tidak perlu pupuk jika

kondisi tanah (1)

LATIHAN SOAL

Sebuah perusahaan otomotif sedang mempertimbangkan


122/184

2/17/2013 122

Sebuah perusahaan otomotif sedang mempertimbangkankemungkinan dilakukannya advertensi besar-besaran untuk

jenis mobil Karimun Estilo. Perusahaan ini menetapkan bahwahasil penjualan saat ini dapat dikategorikan sebagai berhasilatau gagal.

Jika dilakukan advertensi : probabilitas bahwa bulan ini berhasildan bulan berikutnya gagal adalah 0,1, sedangkan bila bulanini gagal dan bulan berikutnya juga gagal probabilitasnya

adalah 0,4. Matriks labanya adalah : R 1 = 2 - 11 - 3

Jika advertensi tidak dilakukan probabilitas bahwa hasil penjualanbulan ini berhasil dan bulan berikutnya juga berhasil adalah0,7, tetapi jika bulan ini gagal, maka probabilitas bahwa bulan

berikutnya juga gagal adalah 0,8. Matriks labanya adalah :R 2 = 4 1

2 - 1Bagaimanakah policy optimum dari persoalan diatas ?

PROGRAMA INTEGER


123/184

2/17/2013 123

PROGRAMA INTEGER

Programa linier integer (integer linear programming/ILP) pada intinyaberkaitan dengan program-program linier dimana beberapa atau


124/184

2/17/2013 124

semua variabel memiliki nilai-nilai integer (bulat) atau diskrit. SebuahILP dikatakan bersifat campuran atau murni bergantung pada apakah

beberapa atau semua variabel tersebut dibatasi pada nilai-nilai integer.

Kondisi nyata di lapangan justru adalah dalam bentuk ini. Kita hanyaberbicara jumlah kursi sebagai kesatuan (6 atau 25 buah, tidakberupa pecahan 6,25 atau 25,8 buah).

Teknik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan program integersalah satunya adalah dengan metode Branch & Bound :

(1) Branch-ing (atau pencabangan): untuk mencoba keduakemungkinan jawaban integer, misal diperoleh X1 = 3,45 ~ berartikita buatkan 2 pencabangan (program baru dengan tambahanfungsi pembatas baru pada masing-masingnya, yaitu X1 < 3 dan

X1 > 4).(2) Bound-ing (atau pembatasan): memilih salah satu cabang yang

memberikan jawaban ke arah yang diinginkan (maksimasi atauminimasi).


125/184


126/184

Contoh 1 :


127/184

2/17/2013 127

Program (1) adalah PL awal di atas, dicari solusinya (untuk 2dimensi dapat digunakan cara grafik, untuk yang 3 atau lebihgunakan metode simpleks).

Solusi awal (lihat grafiknya) : X1 = 5,5 ; X2 = 0 ; Z = 55 (solusi

integer belum diperoleh karena X1 bernilai pecahan, walaupan Zsudah integer).

Perlu dilakukan pencabangan ~ ada di program (2) dan (3).

Max Z = 10X1 + 8X2

S/t 2X1 + 3X2 < 11

X1dan X2> 0 dan integer

Program 1


128/184

Prog ram (2) :


129/184

2/17/2013 129

Daerah fisibel adalah (0;0) - (5;0) - (5;0,3) - (3,7;0)

Nilai Z maksimal ada di (5;0,3) = 52,4 ~ belum solusiinteger - cabangkan ke program (4) dan (5)

Pencabangan untuk tambahan pembatas X2 < 0 danX2 > 1

Hasilnya lihat pada grafik 2

Max Z = 10X1 + 8X2

S/t 2X1 + 3X2 < 11

X1 < 5

tambahan pembatas baru X1 < 5


130/184

2/17/2013 130

Grafik 2

Prog ram (3) :

Tambahan pembatas baru X1 > 6


131/184

2/17/2013 131

Program ini tidak fisibel (tidak ada daerah jawaban)

Caranya: masukkan pembatas (2) ke (1) ~ nilainyapasti lebih besar dari batas 11

Tidak perlu BOUND-ing, pencabangan sudah pastiharus dari program (2) tercabang ke program 4 dan 5

Max Z = 10X1 + 8X2

S/t 2X1 + 3X2 < 11

X1 > 6

Prog ram (4) :

Tambahan pembatas baru X2 < 0


132/184

2/17/2013 132

Solusinya adalah pada titik (5;0) dengan Z =50 ~ solusi OPTIMAL

Max Z = 10X1 + 8X2

S/t 2X1 + 3X2 < 11X1 < 5

X2 < 0


Prog ram (5) :



133/184

2/17/2013 133

Solusinya pada titik (4;1) dengan Z = 48masih kalah dengan hasil program 4

Solusi program 4 dan 5 lihat grafik 3

Max Z = 10X1 + 8X2

S/t 2X1 + 3X2 < 11X1 < 5

X2 > 1

p


134/184

2/17/2013 134

Grafik3

Bila digambarkan proses pencabangan/pembatasan untuksoal 1 adalah sebagai berikut:


135/184

2/17/2013 135

Contoh 2


136/184

2/17/2013 136

Max Z = 3X1 + 4X2

S/t 2X1 + X2 < 6

2X1 + 3X2 < 9

Prog ram (1)

program asalnya

Solusi program (1) ~

dengan grafik adalah :


137/184

2/17/2013 137

Daerah fisibel adalah (0;0) - (3;0)- (2,25;1,5) - dan (0;3) daerahyang diarsir

Jawab optimal pada (2,25;1,5)dengan Z = 12,75 ~ namun beluminteger, baik pada X1 maupun X2

Pencabangan dilakukan pada X2karena nilai desimal dekat ke

SETENGAH (0,5), selanjutnyabuatkan program (2) dan (3)dengan tambahan fungsipembatas baru X2 < 1 dan X2 > 2

dengan grafik adalah :

Prog ram (2) :



138/184

2/17/2013 138

Tambahan pembatas baru X2 1

Max Z = 3X1 + 4X2

S/t 2X1 + X2 < 6

2X1 + 3X2 < 9X2 < 1

Grafik (baru) untuk program 2

dan 3


139/184

2/17/2013 139

Daerah fisibel adalah(0;0) - (3;0) - (2,5;1) - dan(0;1)

Z maksimal ada di(2,5;1) = 11,5

Prog ram (3) :



140/184

2/17/2013 140

Daerah fisibel adalah (0;2) - (1,5;2) - dan (0;3) Z maksimal ada di (1,5;2) = 12,5

Dari solusi program (2) dan (3) dilakukan bounding (pembatasan)dengan menetapkan bahwa pencabangan berikutnya adalah dari

program (3) ~ buatkan program (4) dan (5)

dasar boundingadalah nilai terbesar ~ bila kedua program fisibel

Pencabangan baru adalah dengan menambahkan pembatas keprogram 3 dengan X1 < 1 dan X1 > 2

Max Z = 3X1 + 4X2

S/t 2X1 + X2 < 62X1 + 3X2 < 9

X2 > 2

Max Z = 3X1 + 4X2

Prog ram (4) :Ada tambahan pembatas baru X1 < 1


141/184

2/17/2013 141

S/t 2X1 + X2 < 6

2X1 + 3X

2 < 9

X2 > 2

X1 1

Max Z = 3X1 + 4X2

S/t 2X1 + X2 < 6

2X1 + 3X2 < 9

X2 > 2

X1 > 2

Prog ram (5) :

Ada tambahan pembatas baru X1 > 2

Program (5) tidak fisibel, masukkan pembatas (3) dan (4) ke (2) ~hasilnya tidak fisibel

Dari gambar terlihat tidak ada daerah yang memenuhi syaratprogram 3 dan X1 > 2

Grafik (baru): untuk program 4


142/184

2/17/2013 142

Hasil program (4) adalah:

Daerah fisibel adalah(0;2) - (1;2) - (1;2,3) -dan (0;3)

Z maksimal pada

(1;2,3) = 12,33 ~belum integer Lakukan pencabangan

baru dari program (4) inimenjadi program (6)

dan (7) denganmenambahkanpembatas yang baru X2< 2 dan X2 > 3

Program (6) :

Ada tambahan pembatas baru X2 < 2


143/184

2/17/2013 143

Ada tambahan pembatas baru X2 < 2

Max Z = 3X1 + 4X2

S/t 2X1 + X2 < 6

2X1 + 3X2 < 9X2 > 2

X1 1

X2 < 2

Solusi program (6) ini ada pada (1;2) denganZ = 11

Program (7) :



144/184

2/17/2013 144


Max Z = 3X1 + 4X2

S/t 2X1 + X2 < 6

2X1 + 3X2 < 9

X2 > 2X1 1

X2 > 3

Solusi untuk program (7) adalah pada (0;3) denganZ = 12

>> SOLUSI OPTIMAL : integer

X1 = 0, X2 = 3 Z = 12

Bila dibuatkan diagran pencabangan dan pembatasannyahasilnya sebagai berikut:


145/184

2/17/2013 145

LATIHAN SOAL (1/2)


146/184

2/17/2013 146

1. Z Maks = 3X1 + 2X2

c/t X1 2X2 2

X1 + X2 3,5

X1, X2 0 dan integer

2. Z Maks = 600X1 + 850X2

c/t 9X1 + 3X2 27

4X1 + 6X2 23X1, X2 0 dan integer


147/184

JARINGAN KERJA (NETWORK)


148/184

Analisis Jaringan Kerja (Network) dipelajari dalam

Ilmu Manajemen Proyek. Analisis ini dipergunakan

untuk perencanaan, penjadwalan, dan pengawasan

suatu proyek. Ada dua teknik jaringan kerja yg ber-

kembang, yaitu : Critical Path Method (CPM) danProject Evaluation and Review Technigue (PERT).

Pada dasarnya kedua teknik analisis ini sudah sama,

perbedaannya terletak pada perkiraan waktu, dimana

CPM menaksir waktu dengan pasti (Deterministic),dan PERT dengan menggunakan teori kemungkinan

(probabilistic).

Teori jaringan kerja (network) merupakan teknik

analisis yang dapat membantu manajemem proyek utk


149/184

y g p j p y

melaksanakan tugas guna:

(1). Membuat perencanaan(2). Mengatur jadwal pelaksanaan

(3). Melakukan pengawasan, dan

(4). Mengambil keputusan

Dalam mengatur rangkaian dari kegiatan-kegiatan ini,

teori jaringan kerja harus dapat :


150/184

j g j p

1. Menggambarkan interelasi kegiatan dengan urutan

yang logis.2. Mengidentifikasi unsur-unsur kritis secara mudah

3. Medeteksi masalah-masalah yang gawat.

Dalam manajemen proyek ada 3 tahap kegiatan :(1). Membuat uraian kegiatan-kegiatan, menyusun

logika urutan kejadian-kejadian, menentukan

syarat-syarat pendahuluan, menguraikan intere-

lasi dan interdependensi antara kegiatan-kegiat-an.

(2). Penaksiran waktu yang diperlukan utk melaksana-

kan tiap kegiatan, menegaskan kapan suatu ke-


151/184

p g g p

giatan dimulai dan kapan berakhir, secara kese-

luruhan kapan proyek selesai.(3). Bila perlu, menetapkan alokasi biaya dan peralat-

an guna pelaksanaan tiap kegiatan, meskipun pd

hakekatnya hal ini tdk begitu penting.Tiga tahap perencanaan proyek ini akan menghasilkan

satu tabel yang terutama memuat daftar kegiatan,

logika ketergantungan dan waktu yg diperlukan untuk

melaksanakan tiap kegiatan. Contohnya ialah proyekPendirian Rumah Makan seperti pada Tabel berikut.

----------------------------------------------------------------------------------------

No. K e g i a t a n Kode Kegiatan Lama

seblmnya Pelaksana


152/184

(hari)

----------------------------------------------------------------------------------------

1. Membeli lemari dan estalase A - 10

2. Membeli peralatan restuaran B - 3

3. Mencari personil (pelayan dll) C - 1

4. Memilih dan membeli tempat restauran D - 2

5. Mengurus izin E D 7

6. Persiapan tempat F E 37. Memindahkan lemari-lemari di tempat G A,F 5

8. Memasang utilitas (listrik, air, dll) H G 4

9. Memasang peralatan I B,H 4

10. Membuat Dekorasi J B,H 3

11. Membeli stok barang K I,J 6

12. Memasang ikl;an dan promosi L G 3

13. Melatih personil M C,I 4

14. Pembukaan Pertama N K,L 7

-----------------------------------------------------------------------------------------

DIAGRAM JARINGAN KERJA

Untuk memahami teori jaringan kerja memerlukan


153/184

j g j

beberapa lambang khusus utk memberikan keterang-

an yg jelas tentang proyek, yaitu :(1). Anak panah (arrow) menyatakan kegiatan

dgn ketentuan bahwa panjang dan arah panah tdk

mempunyai arti khusus. Pangkal dan ujung panah

menerangkan kegiatan mulai dan berakhir dengan

arah kekanan (positif). Kegiatan hrs berlangsung

terus dlm jangka waktu tertentu (duration) dgn

pemakaian sejumlah sumber spt manusia, alat,bahan, dan dana. Pada umumnya kegiatan diberi

kode huruf besar A, B, dan seterusnya.


154/184

Untuk menyatakan saling ketergantungan logika dari

kegiatan-kegiatan, berikut ini dijelaskan beberapa


155/184

ketentuan sbb:

A B

(1). ; kegiatan B hanya dpt dimulai

stlh kegiatan A selesai.

(2). ; kegiatan C hanya dpt dimulai

setelah kegiatan A dan B se-

selesai. Kegiatan A dan B tdk

boleh berlangsung bersama-

sama; A dan B berakhir padakejadian yg sama.

1 2 3

1

2

3 4

A

BC

(3). ; kegiatan C dan D dapat

dimulai setelah kegiat-1 4AC


156/184

an A dan B berakhir,

dan selesai pd kejadianyg berbeda.

(4). ; dua kejadian yg saling

bergantung yg dihubung-

kan dengan dummy.

(5). Bila ada dua kegiatan berbeda yg mulai pada ke-

jadian yg sama dan berakhir pada kejadian yangsama pula, maka kegiatan tsb tdk boleh berim-

pit.

2

3

5

B

C

D

1

2

3 4


157/184

JARINGAN KERJA PROYEK RUMAH MAKAN


158/184

1

2 3 4

5

6

7

8

9

10

11

D

A

B

C

E FG

H

I

J

1D

2D

L

K

M

N2

10

7 3

5

4

3

1

4

3

3

67

0

0

4

KONSEP WAKTU

Salah satu tujuan utama dari manajemen proyek ialah

k l l k l


159/184

menentukan jadwal yang memperlihatkan tanggal mu-

lai dan berakhirnya tiap kegiatan. Jumlah waktu ygdiperlukan utk menyelesaikan satu kegiatan tidak

perlu hrs tergantung pada jumlah waktu yang dibutuh

kan utk menyelesaikan seluruh proyek.

Waktu penyelesaian satu kegiatan harus dianalisis

baik-baik utk menghindari waktu yg terlalu sedikit

hingga penyelesaian menjadi terburu-buru dan waktu

yg terlalu longgar hingga penyelesaian kegiatan men-jadi bertele-tele. Waktu dihitung dlm satuan waktu

tertentu seperti hari, minggu, bulan, atau tahun.

Waktu Kejadian paling Cepat (WKC) untuk kejadian

i adalah waktu paling cepat, dimana kejadian i terwu-


160/184

jud sedemikian hingga semua hubungan sebelumnya

yg relevan dengan kejadian i telah selesai dilaksana-kan.

Waktu Kejadian paling Lambat (WKL) untuk kejadi-

an i adalah waktu paling lambat, dimana kejadian i

terwujud tanpa menunda penyelesaian proyek.

WKC

WKL

NK

Waktu mulai paling Cepat (WMC) suatu kejadian

ialah waktu tercepat yang paling mungkin suatu ke-


161/184

p y g p g g

giatan mulai.

Waktu selesai paling Cepat (WSC) suatu kejadian

ialah waktu tercepat yang paling mungkin suatu ke-

giatan selesai.

Waktu selesai paling lambat (WSL) suatu kegiatanadalah waktu paling lambat suatu kegiatan selesai,

tanpa mengganggu waktu penyelesaian proyek.

Waktu mulai paling lambat (WML) suatu kegiatan

adalah waktu paling lambat suatu kegiatan mulai,tanpa mengganggu waktu penyelesaian proyek (sama

dgn waktu kegiatan dikurangi dari WSL).

22

39

4 12E F

7 3


162/184

10

5 17

6

21

7

8

10

9 11

25

25

25

31

38

D

G

H

I

J

K

L

M

N

D1

D2

2

5

4

4

3

3

0

0

67

4

A

B

C

10

3

1


163/184

22

39 4 12

E

7

F

3


164/184

1 0

2 9 12

517

6 21

725

834

9 25

1031

11 38

D 2

7

G 5

H 4

I4

J

K

L

N

M

3

3

7

4

D1 0

D20

A

10

B

3

C

1


165/184


166/184


167/184

JALUR KRITIS

Suatu lintasan adalah rangkaian dr sejumlah kegiatan

m l i d i k j di n l d n b h nti pd k j di n


168/184

yg mulai dari kejadian awal dan berhenti pd kejadian

akhir. Berdasarkan ketentuan, maka definisi jalurkritis dpt ditetapkan sbb :

(1). Jalur kritis terjadi jika lintasan dimana tiap ke-

jadian pada lintasan tersebut mempunyai waktu

kejadian paling cepat = waktu kejadian paling

lambat.

(2). Jumlah waktu yg diperlukan utk menyelesaikan

satu lintasan kritis sama dgn jumlah waktu ygdiperlukan utk menyelesaikan seluruh proyek.


169/184

(3). Waktu penyelesaian satu kegiatan kritis tidak

boleh melebihi waktu yg sudah ditentukan, krn

keterlambatan kegiatan kritis dpt mengganggu


170/184

keterlambatan kegiatan kritis dpt mengganggu

(memperpanjang) waktu penyelesaian seluruhproyek.

WAKTU MENGAMBANG

Selisih waktu antara waktu yg diperlukan oleh jalur

kritis dgn waktu yg diperlukan oleh jalur yg lain (tak

kritis) disebut slack atau float atau waktu mengam-

bang. Artinya terdapat waktu longgar atau idle time

utk menyelesaikan kegiatan tak kritis sehingga ke-terlambatan waktu dlm jalur tak kritis hrus diperhi-

tungkan bbrp lama waktu mengambang yg diperkenan

kan utk tiap kegiatan shg jalur kritis tak terganggu.

Dalam tiap diagram jaringan kerja, ada dua jenis

waktu mengambang, yaitu :

(1) Waktu Mengambang Total yaitu waktu maksimum


171/184

(1). Waktu Mengambang Total, yaitu waktu maksimum

yg tersedia utk melaksanakan kegiatan (i,j)kurang waktu pelaksanaan kegiatan bersangkutan.

Karena waktu maksimum melaksanakan kegiatan

(i, j) adalah selisih (WSL)ij - (WMC)ij maka :

(WMT)ij = (WSL)ij - (WMC)ij - Wij(2). Waktu Mengambang Bebas (WMB)ij adalah seli-

sih antara waktu yang tersedia utk kegiatan (i,j)

dengan waktu pelaksanaan (Wij), asalkan kegiatankegiatan dalam satu jalur hrs dimulai secepat

mungkin. Karena waktu tersedia adalah (WKC)j -

(WKC)i maka :

(WMB)ij = (WKC)j - (WKC)I - WijContoh 1:

U t k k i t (1 6) d (4 5) k


172/184

Untuk kegiatan (1,6) dan (4,5) maka :

(WMT)1,6 = (WSL)1,6- (WMC)1,6- W1,6= 21 - 0 - 3

= 18 hari

(WMT)4,5

= (WSL)4,5

- (WMC)4,5

- W4,5= 17-12-5

= 0

Ini berarti bahwa kita mempunyai waktu luang 18

hari untuk kegiatan (1,6) dan waktu luang utk kegiat-an (4,5) tidak ada sama sekali. Oleh karena itu kita

dapat memilih kemungkinan :


173/184

(WMB)1,8 = (WKC)8 - (WKC)1 - W1,8= 25 - 0 - 1

= 24


174/184

24

(WMB)8,11 = (WKC)11 - (WKC)8 - W8,11= 38 - 25 - 4

= 9

Ini berarti bahwa kegiatan (1,8) mempunyai kelong-

garan selama 24 hari apabila segera dimulai dandemikian juga kegiatan (8,11) mempunyai kelonggaran

waktu selama 9 hari apabila ia segera dimulai. Jlh

waktu mengambang total utk kegiatan (1,8) adalah

33 hari dibagi antara kegiatan (1,8) dan kegiatan

(8,11) sbg waktu mengambang bebas masing-masing

dengan 24 dan 9 hari.

Tabel. Perhitungan Waktu Mengambang utk Proyek Rumah Makan.

-----------------------------------------------------------------------------------------

Kegiatan Kode Wij (WMC)ij (WSL)ij (WMT)ij (WMB)ijKegiatan


175/184

-----------------------------------------------------------------------------------------

A (1,4) 10 0 12 2 2B (1,6) 3 0 21 18 18

C (1,8) 1 0 34 33 24

D (1,2) 2 0 2 0 0

E (2,3) 7 2 9 0 0

F (3,4) 3 9 12 0 0

G (4,5) 5 12 17 0 0

H (5,6) 4 17 21 0 0

I (6,7) 4 21 25 0 0

J (6,9) 3 21 25 1 1

D1 (7,8) 0 25 34 9 0

D2 (7,9) 0 25 25 0 0K (9,10) 6 35 31 0 0

L (5,10) 3 17 31 11 11

M (8,11) 4 25 38 9 9

N (10,11) 7 31 38 0 0

-----------------------------------------------------------------------------------------

PENJADWALAN (TIME CHART)

Akhir dari suatu rencana jaringan kerja (network)

adalah pembuatan satu jadwal Jadwal ini berupa


176/184

adalah pembuatan satu jadwal. Jadwal ini berupa

time chart yg dituangkan menjadi satu kalender ygsangat dibutuhkan oleh para pelaksana. Time chart

dari rumah dapat dilihat berikut ini.

Keterangan Gambar :

: Jalur Kritis

: Jalur non Kritis

: Nomor Kegiatan

: Waktu pelaksanaan tiap kegiatan

1

2 3 4 5 6 72 7 3 5 4 4


177/184

0 5 10 15 20 30

9

10 11

2 9 12 17 21 31 3825

101 4

1 6

1 8

96

5 10

8 11

6 7

4

3

3

1

3

Teknik Evaluasi dan Review Proyek (PERT)Estimasi kurun waktu kegiatan :

a = kurun waktu optimistik (optimistic duration time)

m = kurun waktu paling mungkin (most likely time)


178/184

m = kurun waktu paling mungkin (most likely time)

b = kurun waktu pesimistik (pessimistic duration time)

Probabilitas

a m b waktu

waktu waktu waktu

optimistik paling mungkin pesimistik

Kurun waktu kegiatan yang diharapkante = (a+4m+b)/6


179/184


180/184


181/184


182/184

SOALDari data dibawah :

a. Gambarkan jaringan kerjanya


183/184

Kegiatan KegiatanPengikut

a m b

A

B

C

D

E

F

G

H

B, C, D

F

G

E

G

H

H

1

6

2

1

3

5

3

1

4

14

5

2

12

7

4

5

7

16

8

3

21

9

5

9

j g j y

b. Hitung angka te dan V(te) untuk tiap kegiatanc. Titik waktu penyelesaian proyek (TE)

d. Berapa % kemungkinan mencapai target (Td) pada TE minus 2 hari ?

e. Berapa lama kurun waktu penyelesaian proyek dengan keyakinan 95 % ?

DAFTAR PUSTAKA Bazaraa. M.S. and Jarvis, J.J., 1977, Linear Programming and Network

Flows, John Wiley & Sons.


184/184

Bustanul Arifin Noer (2003, 2004, 2005, 2006). Riset Operasi. Diktat

Kuliah. Jurusan Teknik Mesin ITS. Surabaya. Dimyati, T.T. dan Dimyati, A., 1994, Operations Research : Model-modelPengambilan Keputusan, Edisi Kedua, Sinar Baru Algesindo, Bandung.

Frederick S. Hilier and Gerald J. Lieberman (2005). Introduction toOperation Research. 8th edition. McGraw Hill International Edition.Singapore.

Hamdy A. Taha (2003). Operations Research: An Introductions. 7th

edition.McMillan Publishing Company. New York USA. Hillier, Frederich S., and Lieberman, Gerald J., Introduction to Operations

Research, McGraw Hill, International Editions. Mulyono, Sri., 1991, Operations Research, Lembaga Penerbit Fakultas

Ekonomi Universitas Indonesia, Jakarta. Supranto, J., 1980, Linear Programming, Lembaga Penerbit Fakultas

Ekonomi Universitas Indonesia Jakarta

Handouts Penelitian Operasional II

Documents

Transcript of Handouts Penelitian Operasional II