Program Linear - Nilai Maksimum dan Nilai Minimum

Tanah seluas 10.000 m akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk rumah tipe A diperlukan 100 m dan tipe B diperlukan 75 m. Jumlah rumah yang dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan rumah tipe A adalah Rp 6.000.000,00/unit dan tipe B adalah Rp 4.000.000,00/unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh dari penjualan rumah tersebut adalah ........

A . Rp 550.000.000,00D . Rp 800.000.000,00B . Rp 600.000.000,00E . Rp 900.000.000,00C . Rp 700.000.000,00

Jawab:

misal:

x = rumah tipe A y = rumah tipe B

100x + 75y 10.000 dibagi 25 4x + 3y 400 ..(1) x + y 125 ..(2)

Keuntungan maksimum : 6000.000 x + 4000.000 y =?

Mencari keuntungan maksimum dengan mencari titik-titik pojok dengan menggunakan

sketsa grafik:

Grafik 1 :

4x + 3y 400titik potong dengan sumbu X jika y=0 maka x = 400 = 1004

Titik potongnya (100 , 0)Titik potong dengan sumbu Y jika x = 0 maka y = 400 = 133,33

Titik potongnya (0 , 133,3)

Grafik 2 :

x + y 125

titik potong dengan sumbu X jika y=0 maka x = 125

Titik potongnya (125 , 0)

Titik potong dengan sumbu Y jika x = 0 maka y = 15Titik potongnya (0 , 125)

Gambar grafiknya:

125133,3

100 125

titik potong :

eliminasi x4x + 3y = 400x 1 4x + 3y = 400x + y= 125x 4 4x + 4y = 500 -

-y = -100

y = 100x + y= 125

x = 125 y

= 125 100 = 25 didapat titik potong (25, 100)Titik pojok

6000.000 x + 4000.000 y(100,0)

600.000.000

(0,125)

500.000.000

(25, 100)

150.000.000+ 400.000.000 = 550.000.000

Keuntungan maksimum adalah Rp.600.000.000Jawabannya adalah B

Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp. 8.000,00/kg dan pisang Rp. 6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp. 1200.000,00 dan gerobaknya hanya dapat memuat mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga Rp.9200,00/kg dan pisang Rp.7000,00/kg, maka laba maksimum yang diperoleh adalah..

A. Rp.150.000,00C.Rp.192.000,00E. Rp.216.000,00B. Rp.180.000,00D.Rp.204.000,00

Jawab:

Misal : x = mangga ; y = pisang Model matematikanya:x 0 ; y 08000x + 6000y 1200.000 dibagi 2000

4x + 3y 600 .(1) x + y 180 .(2)

Laba penjualan mangga = 9200 8000 = 1200

Laba penjualan pisang = 7000 6000 = 1000 Laba maksimum = 1200x + 1000y

200

180

(60,120)

150

180Titik potong:

Dari pers (1) dan (2)

eliminasi x

4x + 3y = 600x1 4x + 3y = 600

x + y = 180x4 4x + 4y = 720 -

- y = - 120

y = 120

x + y = 180

x = 180 120 = 60

titik potong = (60,120)

Titik pojok1200x + 1000y

(0, 0)0

(150, 0)180.000

(60, 120)192.000

(0, 180)180.000

Laba maksimum adalah 192.000

Jawabannya adalah C

Seorang pembuat kue mempunyai 4 kg gula dan 9 kg tepung. Untuk membuat sebuah kue jenis A dibutuhkan 20 gram gula dan 60 gram tepung, sedangkan untuk membuat sebuah kue jenis B dibutuhkan 20 gram gula dan 40 gram tepung. Jika kue A dijual dengan harga Rp. 4.000,00/buah dan kue B dijual dengan harga Rp. 3.000,00/buah,

maka pendapatan maksimum yang dapat diperoleh pembuat kue tersebut adalah .

A. Rp. 600.000,00C. Rp. 700.000,00E. Rp. 800.000,00B. Rp. 650.000,00D. Rp. 750.000,00

Jawab:

Bahan yg tersedia : gula = 4 Kg = 4000 gr tepung = 9 Kg = 9000 gr

Model matematika:

20x + 20 y 4000x + y 200 pemakaian gula60 x + 40y 90003x + 2y 450 pemakaian tepungx 0 ; y 0

titik potong x+ y 200 dengan 3x + 2y 450 :eliminasi x

x + y= 200x 3 3x + 3 y = 6003x + 2y = 450x 1 3x + 2 y = 450 -

y = 150x + y= 200

x + 150 = 200x = 200 150 =50

Titik potoongnya (50,150)Untuk kue A dibutuhkan bahan : 20 gr gula + 60 gr tepung Untuk kue B dibutuhkan bahan: 20 gr gula + 40 gr tepung pendapatan maksimum : 4000 x + 3000 y =

Titik-titik pojoknya adalah (0, 0), (150, 0), (0, 200) dan titik potong (50, 150) Buat tabel:

xy4000 x + 3000 y

000

1500600000

0200600000

50150650000

didapat pendapatan maksimumnya dalah Rp.650.000

Jawabannya adalah B

Menjelang hari raya Idul Adha Pak Mahmud hendak menjual sapi dan kerbau. Harga seekor sapi dan kerbau di Jawa Tengah berturut- turut Rp. 9.000.000,00 dan Rp. 8.000.000,00. Modal yang ia miliki adalah Rp. 124.000.000,00. Pak Mahmud menjual sapi dan kerbau di Jakarta dengan harga berturut- turut Rp. 10.300.000,00 dan Rp. 9.200.000,00. Kandang yang ia miliki hanya dapat menampung tidak lebih dari 15 ekor.

Agar mencapai keuntungan yang maksimum, maka banyak sapi dan kerbau yang harus dibeli adalah .

A. 11 sapi dan 4 kerbauD. 0 sapi dan 15 kerbauB. 4 sapi dan 11 kerbauE. 7 sapi dan 8 kerbauC. 13 sapi dan 2 kerbau

Jawab:

Buat model matematikanya :

Misal sapi = x dan kerbau = y

9000.000 x + 8000.000 y 124000.000 9x + 8y 124 .(1) x + y 15 (2)

x 0; Y 0

Keuntungan harga jual sapi = 10.300.000 9000.000 = 1300.000

Keuntungan harga jual kerbau = 9.200.000 8000.0000 = 1200.000

Keuntungan maksimum: 1300.000 x + 1200.000 y =?

Mencari keuntungan maksimum dengan mencari titik-titik pojok dengan menggunakan sketsa grafik:

Grafik 1 :

9x + 8y 124titik potong dengan sumbu X jika y=0 maka x = 124 = 13,779

Titik potongnya (13,77 , 0)Titik potong dengan sumbu Y jika x = 0 maka y = 124 = 15,58

Titik potongnya (0 , 15,5)

Grafik 2 : x + y 15

Titik potong dengan sumbu X jika y=0 maka x = 15 Titik potongnya (15 , 0)

Titik potong dengan sumbu Y jika x = 0 maka y = 15Titik potongnya (15 , 0)

Titik potong (1) dan (2):

substitusi pers 1 dan 2 :

eliminasi x

9x + 8y = 124x 1 9x + 8y = 124

x + y = 15x 9 9x + 9y = 135-

- y = - 11

y = 11

x + y = 15 x = 15 11 = 4 titik potongnya (4, 11)

sketsa grafik:

15,5

15

(4 , 11) titik potong

13,77 15

Titik pojok1300.000 x + 1200.000 y(0 , 0 )0(0 , 15 )18.000.000(13,77 , 0 )17.901.000(4 , 11)5.200.000 + 13.200.000 = 18.400.000

Keuntungan maksimum adalah Rp. 18.400.000 pada titik (4 , 11)

sehingga keuntungan maksimum didapat denagan menjual 4 ekor sapid an 11 ekor kerbau

Jawabannya adalah B

Suatu perusahaan memproduksi barang dengan 2 model yang dikerjakan dengan dua mesin yaitu mesin A dan mesin B. Produk model I dikerjakan dengan mesin A selama 2 jam dan mesin B selama 1 jam. Produk model II dikerjakan dengan mesin A selama 1 jam dan mesin B selama 5 jam. Waktu kerja mesin A dan B berturut turut adalah 12 jam perhari dan 15 jam perhari. Keuntungan penjualan produk model I sebesar Rp. 40.000,00 perunit dan model II Rp 10.000,00 per unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah .

A. Rp. 120.000,00C. Rp. 240.000,00E. Rp. 600.000,00B. Rp. 220.000,00D. Rp. 300.000,00

Jawab:

Misal produk model I = x produk model II = y

ABproduk model IX21produk model IIY15waktu kerja

1215

ditanya keuntungan maksimum : 40.000 x + 10.000 y =? Dibuat model matematikanya:

x 0 ; y 0 ; 2x + y 12 ; x + 5y 15

buat grafiknya: 2x+ y = 12

titik potong dengan sb x jika y=0 2x = 12 x = 6; didapat titik (6,0) titik potong dengan sb y jika x=0 y = 12 didapat titik (0,12)

Tarik garis dari titik (6,0) ke titik (0,12)

x + 5y = 15

titik potong dengan sb x jika y=0 x = 15; didapat titik (15,0)

titik potong dengan sb y jika x=0 5y = 15 y =3 ; didapat titik (0, 3) Tarik garis dari titik (15,0) ke titik (0,3)

titik potong 2 garis tersebut adalah:

substitusikan2 persamaan tsb:

eliminasi x

2x+ y = 12x1 2x+ y = 12

x + 5y = 15x2 2x +10y = 30-

- 9y = -18

y = 2

2x + y = 12

2x + 2 = 12

2x = 12-2x = 10 = 52

titik potongnya adalah (5,2)

dibuat tabel dengan titik-titik pojok:

titik pojok40.000 x + 10.000 y(0, 0)0(0, 3)30.000(5, 2)200.000 + 20.000 = 220.000(6, 0)240.000

Terlihat bahwa nilai maksimumnya adalah 240.000 di titik (6, 0)

Jawabannya adalah C

Kebutuhan gizi minimum tiap pasien suatu rumah sakit per harinya adalah 150 unit kalori dan 130 unit protein. Apabila dalam tiap kilogram daging mengandung 500 unit kalori dan 200 unit protein, sedangkan setiap ikan basah mengandung 300 unit kalori dan 400 protein dengan harga masing-masing kilogramnya adalah Rp40.000,00 dan Rp20.000,00. Tentukan biaya minimum untuk kebutuhan 100 pasien tiap harinya pada rumah sakit tersebut.

Jawab:

Model matematika disusun dengan memisalkan

Banyaknya daging sapi perharinya= x kg

Banyaknya ikan basah perharinya= y kg

BanyaknyaKaloriProtein

Harga

X500/kg200/kg

40.000

Y300/kg400/kg

20.000

150/orang130/orang

Meminimumkan biaya, Z = 40.000x + 20.000y

Syarat kalori 100 orang, 500x + 300y 15.000 5x +3y 150Syarat protein 10 orang, 200x + 400y 13.000 2x +4y 130

x 0; y 0

Dari model matematika didapat daerah feasible ABC

(daerah tak terarsir) pada gambar 4-16

dengan titik B dicari seperti berikut

Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Tablet jenis II mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam 1 hari anak tersebut memerlukan 25 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet 1 Rp. 4000,00 per biji dan tablet II Rp. 8.000,00 per biji, pengeluaran minuman untuk pembelian tablet per hari adalah.

A. Rp12.000,00B. Rp14.000,00C. Rp16.000,00D. Rp18.000,00E. Rp20.000,00

Alternatif penyelesaian:Misal;Banyaknya tablet Jenis I yang diperlukan tiap hari :x tabletBanyaknya tablet Jenis II yang diperlukan tiap hari : y tablet

Satu Tablet Jenis I (x)Satu Tablet Jenis II (y)Keperluan tiap hariKandungan Vit. AKandungan Vit. B53101255Harga4.0008.000

Dari tabel diatas didapatkan model matematika :5x + 10y 253x + y 5X 0Y 0Dengan meminimumkan :F (x,y) = 4.000x + 8.000y

Untuk 5x + 10y = 25Jika x = 0 makay = 25/10 = 2 ; titik (x,y)=(0,2 )Jika y = 0 makax = 5 ; titik (x,y)=(5,0)Untuk 3x + y = 5Jika x = 0 makay = 5 ;titik (x,y)=(0,5)Jika y = 0 makax = 5/3; titik (x,y)=(5/3,0)Tititk perpotongan dua garis diselesaikan dengan tekhnik Eliminasi dan SubstitusiEliminasi5x + 10y = 25x315x + 30y = 753x + y= 5x515x + 5y= 25 25y= 50y= 2Substitusi5x + 10y = 255x + 10.2 = 255x = 25 205x = 5x = 1Jadi titik potongnya adalah (x,y) =(1,2)Daerah penyelesaian dari masalah di atas terlihat pada daerah yang diarsir :

Dengan menguji titik-titik sudut daerah penyelesaian diperoleh :

Titik (x,y)F (x,y) = 4.000x + 8.000yJumlah(0,5)(1,2)(5,0)0 + 40.0004.000 + 16.00020.000 + 0Rp. 40.000,00Rp. 20.000,00Rp. 20.000,00

Jadi ada 2 titik yang menyebabkan nilai minimum pada F yaitu A(5,0) dan B(1,2) yang menghasilkan nilai minimumRp. 20.000,00

Suatu perusahaan mengeluarkan sejenis barang yang diperoduksi dalam tiga ukuran, yaitu ukuran besar, ukuran sedang dan ukuran kecil. Ketiga ukuran itu dihasilkan dengan menggunakan mesin I dan mesin II . Mesin I setiap hari menghasilkan 1 ton ukuran besar, 3 ton ukuran sedang dan 5 ton ukuran kecil. Mesin II setiap hari menghasilkan masing-masing ukuran sebanyak 2 ton. Perusahaan itu bermaksud memperoduksi paling sedikit 80 ton ukuran besar, 160 ton ukuran sedang dan 200 ton ukuran kecil. Bila biaya operasi mesin I adalah Rp500.000,00 tiap hari dan mesin II adalah Rp400.000,00 tiap hari. Dalam berapa hari masing-masing mesin bekerja untuk pengeluaran biaya sekecil-kecilnya dan berapa biaya tersebut.

Jawab:

Model matematika disusun dengan memisalkan: Jumlah hari kerja mesin I adalah xJumlah hari kerja mesin II adalah yDengan menggunakan tabel diperoleh sebagai berikut

Mesin I(x)Mesin II(y)PersediaanUkuran besar1 ton2 ton80 tonUkuran sedang3 ton2 ton160 tonUkuran kecil5 ton2 ton200 ton

Fungsi objektifnya Z = 500.000x + 400.000ySyarat ukuran besarx + 2y > 80Syarat ukuran sedang 3x + 2y > 160Syarat ukuran kecil5x + 2y > 200

Titik A ditentukan dengan cara eliminasi:5x + 2y = 200 3x + 2y = 1602x=40 x=20 y = 50.

Titik B ditentukan dengan cara eliminasi:3x + 2y = 160 x + 2y = 80 2x=80 x=40y=20

Uji titik pojok, yaitu koordinat (0, 100), A(20, 50), B(40, 20), dan (80, 0), yaitu:

TitikXyJadi, untuk biaya minimum, mesin I bekerja 40 hari dan mesin II

20 hari dengan biaya minimum sebesar Rp28.000.000,00

500.000x + 400.000y0, 100)010040.000.000A(20, 50)205030.000.000B(40,20)402028.000.000(80,0)80040.000.000Seorang petani menginginkan tanamannya tidak terserang hama. Agar keinginan terse-but terlaksana tanaman tersebut harus diberi pupuk yang mengandung unsur kimia jenis U, V, dan W masing-masing paling sedikit 27, 21, dan 30 satuan unsur kimia tersebut. Dua jenis pupuk P dan Q diberikan pada tanaman tersebut. Satu kg pupuk jenis P mengandung unsur kimia jenis U, V, dan W masing-masing sebesar 3, 1, dan 1 satuan. Sedangkan satu kg pupuk jenis Q mengandung unsur kimia jenis U, V, dan W masing-masing sebesar 1, 1, dan 2 satuan. Perlu juga diketahui bahwa harga satu kg pupuk jenis P dan Q masing-masing adalah Rp8.000,00 dan Rp6.000,00. Petani tersebut harus memilih satu jenis pupuk saja atau kedua-duanya, kemudian mencampurkannya agar petani tersebut mengeluarkan uang seminimal mungkin. Selesaikan persoalan petani tersebut.

Jawab :

Informasi dari persoalan program linear di atas dapat disajikan dalam bentuk tabel sebagai berikut.

Unsur Kimia

Jenis Pupuk

Harga

Jenis UJenis V

Jenis W

P31

18.000

Q11

26.000

Total min.2721

30

Misalkan:banyaknya pupuk jenis P yang dibeli adalah x kg

banyaknya pupuk jenis Q yang dibeli adalah y kg

Persoalan program linear di atas adalah mencari x dan y yang memini-malkan fungsi tujuan:

f(x,y) = 8.000x + 6.000y dengan syarat-syarat:3x + y 27(i)x + y 21(ii)x + 2y 30(iii)x 0(iv)y 0(v)Menentukan himpunan atau daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear (i) (v).

Yang pertama dicari adalah titik potong garis-garis 3x + y = 27, x + y = 21, dan garis x + 2y = 30 terhadap sumbu-sumbu koordinat.

Menentukan nilai minimum dari fungsi tujuan pada daerah penyelesaian. Untuk ini kita selidiki nilai (8.000x + 6.000y) di titik-titik sudut A, B, C, dan D.

TitikA(0,27)B(3,18)C(12,9)D(30,0)

X031230Y271890

8.000x + 6.000y162.000132.000150.000240.000

Jadi, nilai minimum fungsi tujuan f(x,y) = 8.000x + 6.000y adalah 132.000 terjadi di titik B(3,18) atau di x = 3 dan y = 18, dengan biaya minimal adalah Rp132.000,00.

Ling ling membeli 240 ton beras untuk dijual lagi. Ia menyewa dua jenis truk untuk mengangkut beras tersebut. Truk jenis A memiliki kapasitas 6 ton dan truk jenis B memiliki kapasitas 4 ton. Sewa tiap truk jenis A adalah Rp 100.000,00 sekali jalan dan truk jenis B adalah Rp 50.000,00 sekali jalan. Maka Ling ling menyewa truk itu sekurang-kurangnya 48 buah. Berapa banyak jenis truk A dan B yang harus disewa agar biaya yang dikeluarkan minimum?

x + y 48,6x + 4y 240,x 0, y 0, x, y anggota bilangan cacahDengan fungsi objektifnya adalah f(x, y) = 100.000x + 50.000y.

titik potong garis-garis x + y = 48 dan 6x + 4y = 240 adalah pada titik (24, 24).

z =100.000x + 50.000y(0,48)(60,0)(24,24)100.000(0) + 50.000 (48)100.000(60) + 50.000 (0)100.000(24) + 50.000 (24)= 2.400.000= 6.000.000= 3.600.000

Jadi, Ling ling akan mengeluarkan biaya minimum Rp.2.400.000 dan menyewa 48 truk jenis B dan tidak menyewa truk jenis A.