Grup Hasil Kronstruksi dariHasilkali Kronecker Pada

Representasi Grup Quaternion

OlehYanita

Universitas Andalas Padang

Seminar Nasional Komunitas Peminat AljabarPadang 8-9 November 2018

.Yanita 1/ 13

Latar Belakang

Yanita 1/ 13

Representasi Grup Quaternion dan Hasilkali Kronecker

• Grup quaternion Q8 dapat direpresentasikan sebagai subgrupdari grup linier GL2(C). Representasi ini diberikan oleh :1 7→

[1 00 1

], i 7→

[i 00 −i

], j 7→

[0 1−1 0

], k 7→

[0 ii 0

],

−1 7→[−1 00 −1

],−i 7→

[−i 00 i

],−j 7→

[0 −1−1 0

],

−k 7→[

0 −i−i 0

]• Hasilkali Kronecker : Misalkan A ∈Mmn(F ) dan B ∈Mst(F ).

Matriks mp× nq yang didefinisikan dengan [aijB] disebut sebagaihasilkali kroneckerA dan B, biasanya disimbolkan dengan A⊗B.

Yanita 2/ 13

Representasi Grup Quaternion dan Hasilkali Kronecker

• Langkah1 : Misalkan masing-masing bentuk representasidiberi simbol sebagai berikut :I 7→

[1 00 1

], B1 7→

[i 00 −i

], B1 7→

[0 1−1 0

], B3 7→

[0 ii 0

],

B4 7→[−1 00 −1

], B5 7→

[−i 00 i

], B6 7→

[0 −1−1 0

],

B7 7→[

0 −i−i 0

]• Langkah2 : lakukan hasilkali Kronecker pada masing masing

matriks di Langkah 1 ke ssetiap matriks (setiap matriks padaLangkah 1 terdapat 8 kali proses hasilkali Kronecker.

• Langkah3 : Daftarkan seluruh matriks yang diperoleh padaLangkah 2

• Langkah4 : Buat Tabel Cayley untuk matriks-matriks yangdiperoleh pada Langkah 3 dengan operasi perkalian matriks.

Yanita 3/ 13

Matriks yang diperoleh dari Hasilkali Kroneceker padaRepresentasi grup quaternion

Yanita 4/ 13

Tabel Cayley

Yanita 5/ 13

Representasi Grup Quaternion dan Hasilkali Kronecker

• Himpunan semua matriks yang diperoleh dari HasilkaliKronecker pada representasi grup quaternion adalah grupdengan operasi perkalian matriks biasa, dimisalkan dengan G,yaitu

G = {Ak = [aij ]|i, j = 1, 2, · · · , 32}• Grup ini adalah grup non abelian berorde 32, dengan jumlah

subgrup sejati 72 dengan seluruh subgrup adalah normal dan25 diantaranya adalah subgrup siklik.

• Grup ini memiliki dua unsur sebagai sentral, yaitu A1 dan A2.

• Grup ini memiliki 32 kelas konjugasi, yaitu setiap unsurmerupakan kelas konjugasi.

Yanita 6/ 13

Diagram Lattice untuk subgrup dari G

Yanita 7/ 13

Analisis grup G• Dedekind → ya

• Solvabel → ya

• Nilpoten → tidak

• Metasiklik → tidak

• Supersolvabel → tidak

• Polisiklik → tidak

• Monolitik → tidak

Yanita 8/ 13

Tipe unsur-unsur GPerhatikan bahwa unsur-unsur pada G mempunyai tipe sebagaiberikut :

• Unsur-unsur yang bersifat a2 = e (e adalah unsur identitas),yaituA1, A2, A11, A12, A13, A14, A15, A16, , A19, A20, A21, A22, A23,A24, A27, A28, A29, A30, A30, A31, A32.

• Unsur-unsur yang bersifat a4 = e , yaituA3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A10, A17, A18, A25, A25, dan untuksetiapa, b ∈ A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A10, A17, A18, A25, A25

memiliki sifat a2 = b2

Yanita 9/ 13

Selanjutkan perhatikan pola pada tabel berikut

Yanita 10/ 13

Presentasi grup GBerdasarkan pola pada tabel Cayley dan tipe unsur-unsur pada grup G, makagenerator dari presentasi grup G ada 4 buah, misalkan a, b, c, d. Relasi yangmemenuhi generatornya sebagai berikut :

• Relasi berdasarkan tipe unsur untuk presentasi grup G adalaha4 = e, b4 = e, c2 = e, dan d2 = e atau a4 = b4 = c2 = d2 = e, a2 = b2

• Relasi yang dapat menghubungkan seluruh unsur adalahab = ba−1, acd = dca−, bcd = dcb−1.

Berdasarkan relasi ini diperoleh presentasi grup untuk G, adalah

P = 〈a, b, c, d|a4 = b4 = c2 = d2, a2 = b2, ab = ba−1, acd = dca−1, bcd =dcb−1〉

Jadi unsur dalam presentasi grup G adalah•e, a, b, c, d •a3, b3, c2, d3

•ab, a2b, a3b •ac, a2c, a3c•ad, a2d, a3d •bc, a2bc, a3bc•bd, a2bd, a3bd •cd, a2cd, a3cd•abc, abd, acd, bcd •abcd

Yanita 11/ 13

KAJIAN LANJUT

Generalisasi dari presentasi grup ini adalahP = 〈a, b, c, d|a2n = b2n = cn = dn, an = bn, ab = ba−1, acd =dca−1, bcd = dcb−1〉 untuk n > 2.

Pengembangan lainnya pada

• Grup fundamental pertamaπ1(P = 〈a, b, c, d|a4 = b4 = c2 = d2, a2 = b2, ab =ba−1, acd = dca−1, bcd = dcb−1〉)• Grup fundamental keduaπ2(P = 〈a, b, c, d|a4 = b4 = c2 = d2, a2 = b2, ab =ba−1, acd = dca−1, bcd = dcb−1〉)

Yanita 12/ 13

TERIMA KASIH

Yanita 13/ 13