Matematika Diskrit

Matematika Diskrit Teori Graf Makalah pertama tentang teori graf ditulis pada tahun 1736 oleh seorang matematikawan Swiss yang bernama Leonard Euler. Ia menggunakan teori graf untuk menyelesaikan masalah jembatan Knigsberg (sekarang, bernama Kaliningrad). Berikut adalah ilustrasi masalah tersebut :

Gambar 1. Masalah Jembatan Knigsberg (Rossen, 2003)

Sejarah Graf

Masalah yang dikemukakan Euler : Dapatkah melewati setiap jembatan tepat sekali dan kembali lagi ke tempat semula? Berikut adalah sketsa yang merepresentasikan ilustrasi jembatan Knigsberg yang pada gambar diatas. Himpunan titik yaitu {A, B, C, D} merepresentasikan sebagai daratan, dan garis yang menghubungkan titik-titik tersebut adalah sebagai jembatan.

Gambar 2. Representasi graf masalah jembatan Knigsberg Sejarah Graf

Jawaban pertanyaan Euler adalah tidak mungkin. Agar bisa melalui setiap jembatan tepat sekali dan kembali lagi ke tempat semula maka jumlah jembatan yang menghubungkan setiap daratan harus genap. Sejarah GrafGraf adalah suatu diagram yang memuat informasi tertentu jika diinterprestasikan secara tepat. Tujuannya adalah sebagai visualisasi objek objek agar lebih mudah dimengerti. Tiap tiap diagram memuat sekumpulan objek (kotak, titik, dan lain lain) beserta garis garis yang menghubungkan objek objek tersebut. Representasi visual dari graf adalah menyatakan objek dinyatakan sebagai noktah, bulatan, atau titik, sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan garis.

Teori GrafDasar Dasar GrafDefinisi 1Suatu graf terdiri dari 2 himpunan yang berhingga, yaitu himpunan titik titik tidak kosong (simbol V(G)) dan himpunan garis garis (simbol E(G)).

Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E), di tulis dengan notasi G = (V, E), yang dalam hal ini V adalah himpunan tidak-kosong dari simpul simpul (vertice and node) dan E adalah himpunan sisi (edges and arcs) yang menghubungkan sepasang simpul.vDefinisi di atas menyatakan bahwa V tidak boleh kosong, sedangkan E boleh kosong. Jadi, sebuah graf dimungkinkan tidak mempunyai sisi satu buah pun, tetapi simpulnya harus ada, minimal satu. Graf yang hanya mempunyai satu buah simpul tanpa sebuah sisi dinamakan Graf Trivial.Graf dinyatakan dengan gambar. Gambar suatu Graf G terdiri dari himpunan titik titik atau simpul V(G), himpunan garis garis atau sisi yang dinyatakan dengan E(G) yang menghubungkan titik tersebut (beserta arah garis pada graf berarah), dan label pada garisnya (jika ada).Dasar dasar GrafvSimpul pada graf dapat dinomori dengan huruf, seperti a, b, c, ., v, w, dengan bilangan asli 1, 2, 3, , atau gabungan dari keduanya. Sedangkan sisi yang menghubungkan simpul u dengan simpul v dinyatakan dengan pasangan (u,v) atau dinyatakan dengan lambang e1, e2, Dengan kata lain, jika e adalah sisi yang menghubungkan simpul u dan v, maka e dapat di tulis sebagai e = (u,v)Dasar dasar GrafSecara geometri graf di gambarkan sebagai sekumpulan noktah (simpul) yang di hubungkan dengan sejumlah garis. Dan berikut adalah beberapa contoh Graf.

Setiap garis berhubungan dengan satu atau dua titik. Titik titik tersebut dinamakan Titik Ujung.Garis yang hanya berhubungan dengan satu titik ujung disebut Loop.Dua garis berbeda yang menghubungkan titik yang sama disebut Garis Paralel.Dua titik dikatakan Berhubungan (adjacent) jika ada garis yang menghubungkan keduanya.Dasar dasar GrafTitik yang tidak memiliki garis yang berhubungan dengannya disebut Titik Terasing (Isolating Point)Graf yang tidak memiliki titik (sehingga tidak memiliki garis) disebut Graf Kosong.Dasar dasar GrafPerhatikan gambar berikut ini:

Gambar tesebut memperlihatkan tiga buah graf, G1, G2, dan G3. G1 adalah graf dengan himpunan simpul V dan Himpunan sisi E adalah :V (G) = {1, 2, 3, 4}E (G) = {(1,2), (1,3), (2,3), (2,4), (3,4)}

G2 adalah graf dengan himpunan simpul V dan Himpunan sisi E adalah :V (G) = {1, 2, 3, 4}E (G) = {(1,2), (2,3), (1,3), (1,3), (2,4), (3,4), (3,4)} Himp. Ganda.= {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7}G3 adalah graf dengan himpunan simpul V dan Himpunan sisi E adalah :V (G) = {1, 2, 3, 4}E (G) = {(1,2), (2,3), (1,3), (1,3), (2,4), (3,4), (3,4), (3, 3)} Himp. Ganda= {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8}

Pada G2, sisi e3 = (1,3) dan sisi e4 = (1,3) dinamakan Sisi Ganda (Multiple edges atau paralel adges) karena kedua simpul menghubungkan dua buah simpul yang sama, yaitu simpul 1 dengan simpul 3.Pada G3, sisi e8 = (3,3) dinamakan Gelang atau Kalang atau disebut juga sebagai Loop, karena dia berawal dan berakhir di simpul yang sama.Contoh Soal Ada 7 kota (A,..,G) yang beberapa diantaranya dapat dihubungkan secara langsung dengan jalan darat. Hubungan hubungan langsung yang dapat dilakukan adalah sebagai berikut : A dengan B A dengan DB dengan DC dengan BE dengan FBuatlah graf yang menunjukan keadaan transportasi di 7 kota tesebut: Contoh Soal Penyelesaian : Misalkan kota kota dianggap sebagai titik titik. Dua titik / atau lebih dihubungkan dengan garis bila dan hanya bila ada jalan yang menghubungkan langsung kedua kota tersebut. Untuk itu keadaan transportasi dalam kota tersebut adalah sebagai berikut :

Dalam graf tersebut, e1 berhubungan dengan titik A dan B (keduanya disebut titik ujung e1). Titik A dan Bdikatakan berhubungan, sedangkan titik A dan C tidak berhubungan karena tidak ada garis yang menghubungkannya secara langsung.Titik G adalah titik terasing karena tidak ada garis yang berhubungan dengan G. Soal latihan Gambarlah Graf G dengan titik V(G) = {V1, V2, V3, V4} dan garis E(G) = {e1, e2, e3, e4, e5} dengan titik-titik ujung berikut :

GarisTitik Ujunge1{V1, V3}e2{V2,V4}e3{V1}e4{V2,V4}e5{V3}Soal latihan Gambarlah Graf G dengan titik V(G) = {V1, V2, V3, V4, V5, V6} dan garis E(G) = {e1, e2, e3, e4, e5, e6} dengan titik-titik ujung berikut :

GarisTitik Ujunge1{V1, V6}e2{V1,V2}e3{V2, V3}e4{V3,V4}e5{V4,V5}e6{V5,V6}Soal latihan Dalam graf G pada gambar berikut, tentukan : Himpunan titik titik, himpunan garis garis, titik titik ujung masing masing garis, dan garis paralel. Loop dan titik Terasing.

Jenis jenis grafGraf Sederhana (Simple graf) adalah graf yang tidak mengandung Loop maupun Garis Paralel. Graf d bawah ini adalah contoh graf sederhana.

Pada graf sederhana, sisi adalah pasangan tak-terurut (Unordered Pairs). Jadi menuliskan sisi (u,v) sama saja dengan (v,u). Kita juga dapat mendeskripsikan graf sederhana G=(V,E) terdiri dari himpunan tidak kosong simpul-simpul dan E adalah himpunan pasangan tak-terurut yang berbeda yang disebut sisi.

Jenis jenis GrafGraf tak sederhana (Unsimple-graph), adalah graf yang mengandung garis paralel atau Loop. Ada dua macam Graf tak sederhana, yaitu : Graf Ganda (MultiGraph), adalah graf yang mengandung sisi ganda (garis paralel). Sisi ganda yang menghubungkan sepasang simpul bisa lebih dari dua buah.

Jenis jenis graf2. Graf Semu (Pseudograph), adalah graf yang mengandung Loop. Contoh geaf di bawah ini disebut graf semu walaupun memiliki sisi ganda sekalipun.

Jenis jenis grafSisi pada graf dapat mempunyai orientasi arah, berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf dibedakan atas 2 jenis : Graf Tak Berarah , adalah graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak berarah. Pada graf tak berarah, urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak di perhatikan. Jadi (u,v) = (v,u) adalah sisi yang sama.

Jenis jenis grafGraf Berarah , adalah graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah. Sisi berarah disebut sebagai arch (busur). Pada graf berarah, (u,v) dan (v,u) menyatakan dua buah busur yang berbeda. Untuk simpul (u,v), simpul u dinamakan simpul asal dan simpul v disebut sebagai Simpul Terminal.